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专题29 和数轴上的线段有关的计算
1．已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长 （单位长度）．
慢车长 （单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点 为原点，
取向右方向为正方向画数轴，此时快车头 在数轴上表示的数是 ，慢车头 在数轴上表示的数
是 ，若快车 以6个单位长度 秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车 以4个单位长度 秒
的速度向左匀速继续行驶，且 与 互为相反数．
（1）求此时刻快车头 与慢车头 之间相距多少单位长度？
（2）从此时刻开始算起，问再行驶多少秒两列火车行驶到车头 、 相距8个单位长度？
（3）此时在快车 上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客 ，他发现行驶中有一段时间，他的位
置 到两列火车头 、 的距离和加上到两列火车尾 、 的距离和是一个不变的值（即
为定值），你认为学生 发现的这一结论是否正确？若正确，求出定值及所持
续的时间；若不正确，请说明理由．
2．如图，点 、 和线段 都在数轴上，点 、 、 、 起始位置所表示的数分别为 、
0、3、12；线段 沿数轴的正方向以每秒1个单位的速度移动，移动时间为 秒．
（1）当 秒时， 的长为 ，当 秒时， 的长为 ．
（2）用含有 的代数式表示 的长为 ．
（3）当 秒时 ，当 秒时 ．
（4）若点 与线段 同时出发沿数轴的正方向移动，点 的速度为每秒2个单位，在移动过程
中，是否存在某一时刻使得 ，若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由．
3．如图，数轴上点 ， 表示的有理数分别为 ，3，点 是射线 上一个动点（不与点 ，重合）． 是线段 靠近点 的三等分点， 是线段 靠近点 的三等分点．
（1）若点 表示的有理数是0，那么 的长为 ；若点 表示的有理数是6，那么 的长
为 ．
（2）点 在射线 上运动（不与点 ， 重合）的过程中， 的长是否发生改变？若不改变，
请写出求 的长的过程；若改变，请说明理由．
4．已知数轴上三点 ， ， 表示的数分别为6，0， ，动点 从 出发，以每秒6个单位的
速度沿数轴向左匀速运动．
（1）当点 到点 的距离与点 到点 的距离相等时，点 在数轴上表示的数是 ；
（2）另一动点 从 出发，以每秒4个单位的速度沿数轴向左匀速运动，若点 、 同时出发，
问点 运动多少时间追上点 ？
（3）若 为 的中点， 为 的中点，点 在运动过程中，线段 的长度是否发生变化？
若发生变化，请你说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段 的长度．
5．如图，数轴上 ， 两点对应的有理数分别为 和20，点 从点 出发，以每秒1个单位长
度的速度沿数轴正方向匀速运动，点 同时从点 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正
方向匀速运动，设运动时间为 秒．
（1）分别求当 及 时，对应的线段 的长度；
（2）当 时，求所有符合条件的 的值，并求出此时点 所对应的数；
（3）若点 一直沿数轴的正方向运动，点 运动到点 时，立即改变运动方向，沿数轴的负方向
运动，到达点 时，随即停止运动，在点 的整个运动过程中，是否存在合适的 值，使得？若存在，求出所有符合条件的 值，若不存在，请说明理由．
6．在数轴上点 表示的数是8， 是数轴上一点，且 ，动点 从点 出发，以每秒6个
单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为 秒．
（1）①写出数轴上点 表示的数，②写出点 表示的数（用含 的代数式表示）
（2）动点 从点 出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速前进，若点 ， 同时出发，
问点 运动多少秒时追上点 ？
（3）在（2）的情况下，若 为 的中点， 为 的中点，点 在运动的过程中，线段
的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请画出图形，并求出线段 的长．
7． ， 两点在数轴上的位置如图所示，其中点 对应的有理数为 ，且 ．动点 从
点 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为 秒 ．
（1）当 时， 的长为 ，点 表示的有理数为 ；
（2）当 时，求 的值；
（3） 为线段 的中点， 为线段 的中点．在点 运动的过程中，线段 的长度是否发
生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段 的长．
8．如图，有两段线段 （单位长度）， （单位长度）在数轴上运动．点 在数轴上
表示的数是 ，点 在数轴上表示的数是15．
（1）点 在数轴上表示的数是 ，点 在数轴上表示的数是 ，线段
（2）若线段 以1个单位长度 秒的速度向右匀速运动，同时线段 以2个单位长度 秒的速度向左匀速运动．设运动时间为 秒，若 （单位长度），求 的值
（3）若线段 以1个单位长度 秒的速度向左匀速运动，同时线段 以2个单位长度 秒的速
度也向左运动．设运动时间为 秒，当 时，设 为 中点， 为 中点，则线段
的长为 ．
9．如图， ， 两点在数轴上，点 表示的数为 ， ，点 以每秒2个单位长度的
速度从点 开始向左运动，点 以每秒3个单位长度的速度从点 开始向左运动（点 和点 同
时出发）
（1）数轴上点 对应的数是 线段 的中点 对应的数是
（2）经过几秒，点 ，点 到原点的距离相等
（3）当 运动到什么位置时，点 与点 相距20个单位长度？
10．如图，已知数轴上有 、 、 三个点，它们表示的数分别是18，8， ．
（1）填空： ， ；
（2）若点 以每秒1个单位长度的速度向右运动，同时，点 和点 分别以每秒2个单位长度和
5个单位长度的速度向左运动．试探索： 的值是否随着时间 的变化而改变？请说明理
由；
（3）现有动点 、 都从 点出发，点 以每秒1个单位长度的速度向终点 移动；当点 移
动到 点时，点 才从 点出发，并以每秒3个单位长度的速度向左移动，且当点 到达 点
时，点 就停止移动．设点 移动的时间为 秒，试用含 的代数式表示 、 两点间的距离．
11．课题研究：
如图所示，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可
以看到终点表示的数是 ，已知点 ， 是数轴上的点，请参照下图并思考．
（1）如果点 表示数 ，将点 向右移动7个单位长度，那么终点 表示的数是 ， ，两点间的距离是 ．
（2）如果点 表示数3，将 点向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点
表示的数是 ， ， 两点间的距离为 ．
（3）如果点 表示数 ，将 点向右移动2008个单位长度，再向左移动2009个单位长度，那
么终点 表示的数是 ， ， 两点间的距离是 ．
12 ． 已 知 数 轴 上 有 、 、 三 个 点 对 应 的 数 分 别 是 、 、 ， 且 满 足
；动点 从 出发，以每秒1个单位的速度向终点 移动，设移
动时间为 秒．
（1）求 、 、 的值；
（2）若点 到 点距离是到 点距离的2倍，求点 的对应的数；
（3）当点 运动到 点时，点 从 点出发，以每秒3个单位的速度向 点运动， 点到达
点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点 ．在点 开始运动后第几秒时， 、 两点之
间的距离为4？请说明理由．
13．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数
轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点 、点 表示的数分别为 、 ，则 ， 两点之间
的距离 ，线段 的中点表示的数为 ．
【问题情境】如图，数轴上点 表示的数为 ，点 表示的数为8，点 从点 出发，以每秒3
个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点 从点 出发，以每秒2个单位长度的速度向左
匀速运动．设运动时间为 秒 ．
【综合运用】
（1）填空：
① 、 两点间的距离 ，线段 的中点表示的数为 ；②用含 的代数式表示： 秒后，点 表示的数为 ；点 表示的数为 ．
（2）求当 为何值时， 、 两点相遇，并写出相遇点所表示的数；
（3）求当 为何值时， ；
（4）若点 为 的中点，点 为 的中点，点 在运动过程中，线段 的长度是否发生变
化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段 的长．
14．如图，数轴上的点 和 分别表示0和10，点 是线段 上一动点，沿 以每秒
2个单位的速度往返运动1次， 是线段 的中点，设点 运动时间为 秒 ．
（1）线段 的长度为 ；
（2）当 时，点 所表示的数是 ；
（3）求动点 所表示的数（用含 的代数式表示）；
（4）在运动过程中，若 中点为 ，则 的长度是否发生变化？若不变，请求出它的值；若
变化，请直接用含 的代数式 的长度．
15．已知数轴上有三点 、 、 ，其位置如图1所示，数轴上点 表示的数为 ， ，
（1）图1中点 在数轴上对应的数是
（2）如图2，动点 、 两点同时从 、 出发向右运动，同时动点 从点 向左运动，已知点
的速度是点 的速度的3倍，点 的速度是点 的速度2倍少5个单位长度 秒，点 在点 左
侧运动时，经过5秒，点 、 之间的距离与点 、 之间的距离相等，求动点 的速度
（3）如图3，若 点是 点右侧一点，点 在数轴上所表示的数为 ， 的中点为 ， 为
的4等分点且靠近于 点，若 ，求 的值．16．如图，数轴上线段 （单位长度）， （单位长度），点 在数轴上表示的数是
，点 在数轴上表示的数是16．若线段 以6个单位长度 秒的速度向右匀速运动，同时线
段 以2个单位长度 秒的速度向左匀速运动．
（1）问运动多少时 （单位长度）？
（2）当运动到 （单位长度）时，点 在数轴上表示的数是 ；
（3） 是线段 上一点，当 点运动到线段 上时，是否存在关系式 ，若存在，
求线段 的长；若不存在，请说明理由．
17．已知 、 两点在数轴上表示的数为 和 ， 、 均为数轴上的点，且 ．
（ 1 ） 若 、 的 位 置 如 图 所 示 ， 试 化 简 ： ．
（2）如图，若 ， ，求图中以 、 、 、 、 这5个点为端点的所有线
段长度的和；
（3）如图， 为 中点， 为 中点，且 ， ，若点 为数轴上一点，
且 ，试求点 所对应的数为多少？
18．对于数轴上的点 ，线段 ，给出如下定义：
为线段 上任意一点，我们把 、 两点间距离的最小值称为点 关于线段 的“靠近距
离”，记作 （点 ，线段 ；把 、 两点间的距离的最大值称为点 关于线段 的“远离距离”，记作 （点 ，线段 ．
特别的，若点 与点 重合，则 ， 两点间的距离为0．
已知点 表示的数为 ，点 表示的数为2．
如图，若点 表示的数为3，则 （点 ，线段 ， （点 ，线段 ．
（1）若点 表示的数为 ，则
（点 ，线段 ， （点 ，线段 ；
（2）若点 表示的数为 ， （点 ，线段 ，则 的值为 ；若点 表示的数为 ，
（点 ，线段 ，则 的值为 ．
（3）若点 表示的数为 ，点 表示的数为 ， （点 ，线段 是 （点 ，线段
的3倍．求 的值．
19．如图：在数轴上 点表示数 ， 点示数 ， 点表示数 ， 是最小的正整数，且 、 满
足 ．
（1） ， ， ；
（2）若将数轴折叠，使得 点与 点重合，则点 与数 表示的点重合；
（3）点 、 、 开始在数轴上运动，若点 以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点
和点 分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设 秒钟过后，若点 与点
之间的距离表示为 ，点 与点 之间的距离表示为 ，点 与点 之间的距离表示为 ．
则 ， ， ．（用含 的代数式表示）．
（4）直接写出点 为 中点时的 的值．
20．已知数轴上有 、 两个点．
（1）如图1，若 ， 是 的中点， 为线段 上的一点，且 ，则 ，
， （用含 的代数式表示）；（2）如图2，若 、 、 三点对应的数分别为 ， ，20．
①当 、 两点同时向左运动，同时 点向右运动，已知点 、 、 的速度分别为8个单位长
度 秒、4个单位长度 秒、2个单位长度 秒，点 为线段 的中点，点 为线段 的中点，
在 、 相遇前，在运动多少秒时恰好满足： ．
②现有动点 、 都从 点出发，点 以每秒1个单位长度的速度向终点 移动；当点 移动到
点时，点 才从 点出发，并以每秒3个单位长度的速度向左移动，且当点 到达 点时，点
也停止移动（若设点 的运动时间为 ．当 两点间的距离恰为18个单位时，求满足条件的
时间 值．
