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专题 29 一次函数与角度综合应用
解答方法
题型一：若有角度等量关系，不能直接用时，我们要学会角度转化，比如借助
余角、补角、外角等相关角来表示，进行一些角度的和差和角度的代换等，直
到转化为可用的角度关系。
题型二：遇45°角要学会先构造等腰直角三角形，然后构造“三垂直”全等模型，
一般情况下是以已知点作为等腰直角三角形的直角顶点
为AB’
典例分析
【考点1角度相等综合应用】
【典例1】如图，直线l ：y＝x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l ：y
1 2
＝kx+b与x轴交于点C（1.5，0），与y轴交于点D（0，3），直线l ，l 交
1 2
于点E．
（1）求直线l 的函数表达式．
2
（2）若P为直线l 上一点，当∠POB＝∠BDE时，求点P的坐标．
1
【答案】（1）y＝﹣2x+3；
（2）（1，﹣2）或（﹣3，﹣6）．
【解答】解：（1）∵直线l ：y＝kx+b与x轴交于点C（1.5，0），与y轴交
2
于点D（0，3），
∴ ，∴ ，
∴直线l 的函数表达式为y＝﹣2x+3；
2
（2）∵∠POB＝∠BDE，
∴点P在l 上有两个位置，
1
当点P在点B的上方时，如图，
∴OP∥DE，
∴直线OP的函数解析式为y＝﹣2x，
∴﹣2x＝x﹣3，
∴x＝1，
当x＝1时，y＝﹣2，
∴P（1，﹣2）；
当点P在点B的下方时，设点P关于y轴的对称点为Q，连接OQ交l 于点
1
P'，
∴Q（﹣1，﹣2），
∴直线OQ的解析式为y＝2x，
∴直线OQ与l 的交点P'（﹣3，﹣6），
1
∴点P的坐标为（1，﹣2）或（﹣3，﹣6）．【变式1-1】（2021秋•龙华区期中）如图1，已知函数y＝ x+3与x轴交于点
A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
（1）求直线BC的函数解析式；
（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点
P，交直线BC于点Q．点M在线段AC上，连接BM，如图2，若∠BMP＝
∠BAC，直接写出P的坐标．
【答案】（1）y＝﹣ x+3 （2）P的坐标为（﹣ ， ）或（ ， ）．
【解答】解：（1）对于y＝ x+3，
由x＝0得：y＝3，
∴B（0，3）．
由y＝0得： x+3＝0，解得x＝﹣6，
∴A（﹣6，0），
∵点C与点A关于y轴对称．
∴C（6，0）
设直线BC的函数解析式为y＝kx+b，
∴ ，解得 ，
∴直线BC的函数解析式为y＝﹣ x+3；（2）如图2，当点M在y轴的左侧时，
∵点C与点A关于y轴对称，
∴AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵∠BMP＝∠BAC，
∴∠BMP＝∠BCA，
∵∠BMP+∠BMC＝90°，
∴∠BMC+∠BCA＝90°
∴∠MBC＝180°﹣（∠BMC+∠BCA）＝90°，
∴BM2+BC2＝MC2，
设M（x，0），则P（x， x+3），
∴BM2＝OM2+OB2＝x2+9，MC2＝（6﹣x）2，BC2＝OC2+OB2＝62+32＝45，
∴x2+9+45＝（6﹣x）2，解得x＝﹣ ，
∴P（﹣ ， ），
如图2，当点M在y轴的右侧时，
同理可得P（ ， ），
综上，点P的坐标为（﹣ ， ）或（ ， ）．
【变式1-2】（2021秋•建湖县期末）如图，直线 l ：y＝x﹣4与x轴交于点A，
1
与y轴交于点B，直线l ：y＝kx+b与x轴交于点C（1，0），与y轴交于点
2
D（0，2），直线l ，l 交于点E．
1 2
（1）求直线l 的函数表达式；
2
（2）试说明CD＝CE．
（3）若P为直线l 上一点，当∠POB＝∠BDE时，求点P的坐标．
1【答案】（1） y＝﹣2x+2； （2）略 （3）P（ ，﹣ ）或（﹣4，﹣8）
【解答】解：（1）将C（0.5，0）．D（0，2）代入y＝kx+b得，
，
解得 ，
∴直线l 的函数解析式为y＝﹣2x+2；
2
（2）当﹣2x+2＝x﹣4时，
∴x＝2，
∴E（2，﹣2），
过点E作EF⊥x轴于F，
∴EF＝OD＝2，
∵∠ODC＝∠CEF，∠DCO＝∠ECF，
∴△DOC≌△EFC（AAS），
∴CD＝CE；
（3）∵∠POB＝∠BDE，
∴点P在l 上有两个位置，
1
当点P在点B上方时，如图，
∴OP∥DE，
∴直线OP的函数解析式为y＝﹣2x，
∴﹣2x＝x﹣4，∴x＝ ，
当x＝ 时，y＝﹣ ，
∴P（ ，﹣ ），
当点P在点B的下方时，设点P关于y轴的对称点为Q，连接OQ交l 为点
1
P'，
∴Q（﹣ ，﹣ ），
则直线OQ的函数解析式为y＝4x，
∴直线OQ与l 的交点为P'（﹣4，﹣8），
1
综上所述：P（ ，﹣ ）或（﹣4，﹣8）．
【考点2 二倍角综合应用】
【典例2】如图，直线y＝ x﹣3交x轴于A，交y轴于B，
（1）求A，B的坐标和AB的长（直接写出答案）；
（3）点D是x轴上一点，∠BAO＝2∠DBO，求点D的坐标．
【答案】（1）点A为（4，0），点B为（0，﹣3），5 （2）D坐标为（﹣
1，0）或（1，0）
【解答】解：（1）对于直线y＝ x﹣3，
令x＝0，得到y＝﹣3，
∴B（0，﹣3）．
令y＝0，得到x＝4，
∴点A为（4，0），点B为（0，﹣3），∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝ ＝5．
（3）如图，当点D在x轴的负半轴上时，
∵∠BAO＝2∠DBO，
∴∠ABD＝∠DBO+∠ABO
＝ ∠BAO+90°﹣∠BAO
＝90°﹣ ∠BAO
＝90°﹣∠DBO
＝∠ADB，
∴AD＝AB＝5，
∴OD＝5﹣4＝1，
∴D（﹣1，0），
根据对称性可知，当点D在x轴的正半轴上时，D′（1，0）．
综上所述，满足条件的点D坐标为（﹣1，0）或（1，0）．
【变式2-1】如图，已知点A（2，﹣5）在直线l ：y＝2x+b上，l 和l ：y＝kx﹣
1 1 2
1的图象交于点B，且点B的横坐标为8．
（1）直接写出b、k的值；
（2）若点Q是直线l 上一点，且∠BAQ＝45°，求出点Q的坐标．
2【答案】（1） b＝﹣9，k＝1 （2）点Q的坐标为（ ，﹣ ）
【解答】解：（1）将点A的坐标代入y＝2x+b中，得﹣5＝2×2+b，
解得：b＝﹣9，
∴直线l 的解析式为y＝2x﹣9，
1
将x＝8代入y＝2x﹣9中，
解得：y＝7，
∴点B的坐标为（8，7），
将点B的坐标代入y＝kx﹣1中，得
7＝8k﹣1，
解得：k＝1，
综上：b＝﹣9，k＝1；
（2）过Q作QE⊥AQ交AB于E，过Q作FG∥y轴，过A作AF⊥FG于F，
过E作EG⊥FG于G，
∵∠G＝∠F＝∠EQA＝90°，
∴∠EQG+∠AQF＝90°，∠QAF+∠AQF＝90°，∴∠EQG＝∠QAF，
∵∠EQA＝90°，∠QAE＝45°，
∴△AQE是等腰直角三角形，
∴EQ＝QA，
在△EGQ和△QFA中，
，
∴△EGQ≌△QFA（AAS），
∴EG＝QF，QG＝AF，
设Q（a，a﹣1），
∵A（2，﹣5），
∴AF＝2﹣a，FQ＝a+4，GE＝a+4，QG＝2﹣a，
∴点E坐标（2a+4，1），
把E（2a+4，1）代入y＝2x﹣9中，
得4a+8﹣9＝1，解得：a＝ ，
∴点Q的坐标为（ ，﹣ ）．
【考点3 角度45°综合应用】
【典例3】如图，直线l ：y＝ x+2和直线l 与x轴分别相交于A，B两点，且
1 2
两直线相交于点C，直线l 与y轴相交于点D（0，﹣4），OA＝2OB．
2
（1）求点A的坐标及直线l 的函数表达式；
2
（2）求△ABC的面积；
（3）试探究在x轴上是否存在点 P，使得∠BDP＝45°，若存在，请直接写
出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）A（﹣4，0），直线l 的函数表达式为：y＝2x﹣4；
2
（2）12；
（3）点P的坐标为（12，0）或（﹣ ，0）．
【解答】解：（1）将y＝0代入y＝ x+2得，x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），
∴OA＝4，
∵OA＝2OB，
∴OB＝2，
∴B（2，0），
设直线l 的函数表达式为：y＝kx+b，
2
将D（0，﹣4）、B（2，0）分别代入y＝kx+b得：
，解得 ，
∴直线l 的函数表达式为：y＝2x﹣4；
2
（2）∵点C是直线l 和l 的交点，
1 2
∴ ，解得 ，
∴C（4，4），
∵A（﹣4，0），B（2，0），
∴AB＝6．∴△ABC的面积为： ；
（3）分两种情况：
①点 P 在点 B 的右侧，如图，过点 B 作 BE⊥BD，交 DP 于 E，过点 E 作
EF⊥x轴于F，
∵∠BDP＝45°，BE⊥BD，EF⊥x轴，
∴∠DBE＝90°，BD＝BE，∠BOD＝EFB＝90°，
∴∠OBD+∠EBF＝∠OBD+∠BDO＝90°，
∴∠EBF＝∠BDO，
∴△EBF≌△BDO（AAS），
∴BF＝OD＝4，EF＝BO＝2，
∴OF＝OB+BF＝6，
∴E（6，﹣2），
设直线DE的函数表达式为：y＝mx+n，
将D（0，﹣4）、E（6，﹣2）分别代入y＝mx+n得：
，解得 ，
∴直线DE的函数表达式为：y＝ x﹣4，
将y＝0代入y＝ x﹣4得，x＝12，
∴点P的坐标为（12，0）；
②点P在点B的左侧，如图，过点 B作BE⊥BD，交DP的延长线于E，过
点E作EF⊥x轴于F，
同理得△EBF≌△BDO（AAS），
∴BF＝OD＝4，EF＝BO＝2，
∴OF＝BF﹣OB＝2，
∴E（﹣2，2），
设直线DE的函数表达式为：y＝px+q，将D（0，﹣4）、E（﹣2，2）分别代入y＝mx+n得：
，解得 ，
∴直线DE的函数表达式为：y＝﹣3x﹣4，
将y＝0代入y＝﹣3x﹣4得，x＝﹣ ，
∴点P的坐标为（﹣ ，0）；
综上，点P的坐标为（12，0）或（﹣ ，0）．
【变式3-1】如图，直线y＝﹣3x+6交x轴和y轴于点A和点B，点C（0，﹣
3）在y轴上，连接AC．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）若点P是直线AB上一点，若△BCP的面积为18，求点P的坐标；
（3）过点B作直线BE交x轴于点E（E点在点A右侧），当∠ABE＝45°时，直接写出直线BE的函数表达式．
【解答】解：（1）∵y＝﹣3x+6交x轴和y轴于点A和点B，
∴当x＝0时，则y＝6；
当y＝﹣3x+6＝0时，解得x＝2，
∴A（2，0），B（0，6）；
（2）设点P（a，﹣3a+6），如图1，连接PC，
则S ＝ BC•|a|＝ （6+3）•|a|＝18，解得a＝±4，
△BCP
故点P（4，﹣6）或（﹣4，18）；
（3）当∠ABE＝45°，如图，过点 A 作 AD⊥AB 交 BE 于点 D，过点 D 作
DH⊥x轴于点H，∵∠ABE＝45°，
∴△BAD为等腰直角三角形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠BAO+∠DAH＝90°，∠DAH+∠ADH＝90°，
∴∠BAO＝∠ADH，
在△AOB与△DHA中，
，
∴△AOB≌△DHA （AAS），
∵OA＝2，OB＝6，
∴OH＝OA+AH＝2+6＝8，DH＝2，
∴D（8，2），
∵B（0，6），
设直线BE的表达式为y＝kx+b，
则 ，解得 ，
故直线BE的表达式为y＝﹣ x+6．
【变式3-2】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC的顶点A
（12，0），C（0，9），将矩形OABC的一个角沿直线 BD折叠，使得点A
落在对角线OB上的点E处，折痕与x轴交于点D，（Ⅰ）线段OB的长度为 ；
（Ⅱ）求线段DE的长，以及直线BD所对应的函数表达式；
（Ⅲ）若点N为该平面内一点，且使得∠DBN＝45°，直接写出满足条件的直
线BN的解析式．
【解答】解：（1）∵A（12，0），C（0，9），
∴OA＝12，OC＝9，
∵矩形OABC，
∴OC＝AB，
在Rt△ABO中，BO＝15，
故答案为：15；
（2）由折叠可知，AB＝BE＝9，AD＝ED，
∵OA＝12，
∴OD＝12﹣AD，
∵OB＝15，
∴OE＝6，
在Rt△ODE中，（12﹣AD）2＝36+AD2，
解得AD＝ ，
∴DE＝ ，DO＝ ，
∴D（ ，0），
∵A（12，0），C（0，9），
∴B（12，9），
设直线BD的解析式为y＝kx+b，∴ ，
解得 ，
∴y＝2x﹣15；
（3）取点P（9，9），过点P作PF⊥x轴交于点F（9，0），
连接OP，过点P作PG∥BD交x轴于点G，过点G作GH⊥OP交于点H，
∴∠OPF＝45°，∠GPF＝∠DBA，
∵PB＝GD，
∴G（ ，0），
∴OH＝HG＝ ，
∵CP＝9，
∴OP＝9 ，
∴PH＝ ，
∴tan∠HPG＝ ，
设直线BN与x轴交于Q点时，∠DBQ＝45°，
∴∠ABQ＝∠HPG，
∴ ＝ ，
∴AQ＝3，
∴Q（15，0），
设直线BN的解析式为y＝kx+b，
∴ ，
解得 ，
∴y＝﹣3x+45；
设直线BN与y轴交于R点时，∠RBD＝45°，∴∠CBR＝∠HPG，
∴ ＝ ，
∴CR＝4，
∴R（0，5），
∴ ，
解得 ，
∴y＝ x+5；
综上所述：直线BN的解析式为y＝﹣3x+45或y＝ x+5
夯实基础
1．在平面直角坐标系中，一次函数 的图象l 与x轴交于点A，一次函
1
数y＝x+6的图象l 与x轴交于点B，与l 交于点P．直线l 过点A且与x轴垂
2 1 3
直，C是l 上的一个动点．
3
（1）分别求出点A、P的坐标；
（2）是否存在点C，使得2∠PCA+∠PAB＝90°？若存在，直接写出点 C的
坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）A（1，0），P（﹣2，4）；
（2）存在，C（1，﹣5）或C（1，13）．【解答】解：（1）令y＝0，得 ，
解得x＝1，
∴A（1，0），
联立 ，
解得 ，
∴P（﹣2，4）．
（2）过点P作PE⊥l 于点E，
3
∵P（﹣2，4），A（1，0），
∴E（1，4），
∵l ⊥x轴，
3
∴∠AEP＝∠EAO＝90°，
∴PE＝1﹣（﹣2）＝3，AE＝4，
在Rt△AEP中， ，
∵2∠PCA+∠PAB＝90°，∠PAE+∠PAB＝90°，
∴∠PAE＝2∠PCA，
①当点C 在x轴下方时，连接PC ，
1 1
∵∠PAE＝∠PC A+∠APC ＝2∠PC A，
1 1 1
∴AC ＝AP＝5，
1∴C （1，﹣5），
1
②当点C 在x轴上方时，连接PC ，
2 2
∵∠PC A＝∠PC A，
2 1
∴PC ＝PC ，
1 2
又∵PE⊥C C ，
1 2
∴EC ＝EC ，
1 2
∵EC ＝AE+AC ＝4+5＝9，
1 1
∴EC ＝9，
2
∴AC ＝AE+EC ＝4+9＝13，
2 2
∴C （1，13），
2
综上，存在，C（1，﹣5）或C（1，13）．
2．在平面直角坐标系中，点A为x轴上一点，A（3，0），AB＝2OB，
（1）如图（1），求直线AB的解析式．
（2）如图（2），点C、点D分别在x轴、y轴上，CD的延长线交直线AB
于点E，动点F在x轴上从原点出发以 1个单位每秒的速度往负半轴运动，
设运动时间为t，当AF＝AE时，用含t的式子表示△AEF的面积．（不用写
出自变量t的取值范围）
（3）在（2）的条件下，连接 AD、FD，若∠CDA＝∠BAO，∠AFD＝
2∠OAD，求点F的坐标．
【答案】（1） ；
（2） ；
（3） ．【解答】解：（1）∵A（3，0），AB＝2OB，
∴OA＝3，
由勾股定理得：AB2＝OA2+OB2，即：4OB2＝32+OB2，
解得： ，
∴ ，
设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
将A（3，0）， 代入y＝kx+b中得，
，
解得： ，
∴直线AB的解析式为： ；
（2）由（1）可知，OA＝3， ，则 ，
∴∠BAO＝30°，
由题意可知，OF＝t，则AF＝3+t，
∵AE＝AF＝3+t，
∴△AEF的AF边上的高 ，
∴△AEF的面积为： ；
（3）过点A作AQ⊥EC于Q，过点F作FP⊥AD于P，如图，
则∠P＝∠Q＝90°，∵∠CDA＝∠BAO＝30°，∠DCA＝∠ECA，
则由三角形内角和可得：∠PAF＝∠QEA，
∵AE＝AF，
∴△APF≌△EQA（AAS），
∴AQ＝PF，
在OA上取点M，连接DM，DM＝DF，则∠ADF＝∠DMF，
又∵∠AFD＝2∠OAD，∠DMF＝∠OAD+∠ADM，
∴2∠OAD＝∠OAD+∠ADM，即：∠OAD＝∠ADM，
∴DM＝AM，
过点M作MH⊥AD于H，
∴ ，∠DHM＝∠P＝90°，
∵∠CDA＝30°，
∴ ，则AQ＝DH＝PF，
∴△DPF≌△MHD（HL），
∴∠PFD＝∠HDM，
又∵∠PFD+∠PDF＝90°，
∴∠HDM+∠PDF＝90°，则∠MDF＝90°，
∴△DMF为等腰直角三角形，则OF＝OM＝OD，
设OF＝OM＝OD＝t，则AM＝DM＝3﹣t，
由勾股定理得：OD2+OM2＝DM2，即：2t2＝（3﹣t）2，
解得： （舍去）， ，
∵F在负半轴，∴ ．
3．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+1分别交x轴，y轴于点A、B．另
一条直线CD与直线AB交于点C（a，6），与x轴交于点D（3，0），点P
是直线CD上一点（不与点C重合）．
（1）求a的值．
（2）若直线 MN 在平面直角坐标系内运动，且 MN 始终与 AB 平行，直线
MN交直线CD于点M，交y轴于点N，当∠BMN＝90°时，求△BMN的面积．
【答案】（1）a的值是5；
（2）△BMN的面积为 ．
【解答】解：（1）将C（a，6）代入y＝x+1得：
6＝a+1，
解得a＝5，
∴a的值是5；
（3）过M作MH⊥BN于H，如图：设M（n，3n﹣9），
在y＝x+1中，令x＝0得y＝1，
∴B（0，1），
∵A（﹣1，0），
∴OA＝OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAO＝∠ABO＝45°，
∵MN∥AB，
∴∠BNM＝∠ABO＝45°，
∵∠BMN＝90°，
∴∠MBN＝45°＝∠BNM，
∴△BMN是等腰直角三角形，
∵MH⊥BN，
∴BH＝NH＝MH＝n，
∵OB＝1，OH＝﹣（3n﹣9）＝9﹣3n，
∴1+（9﹣3n）＝n，
解得n＝ ，
∴MH＝ ，BN＝5，
∴S ＝ BN•MH＝ ．
△BMH
4．如图，已知函数y＝ x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关
于y轴对称．
（1）求直线BC的函数解析式；
（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点
P，交直线BC于点Q．
①若△PQB的面积为2，求点P的坐标：；
②点M在线段AC上运动的过程中，连接BM，若∠BMP＝∠BAC，求点Q
的坐标．【解答】解：（1）令x＝0，则y＝3，
∴B（0，3），
令y＝0，则x＝﹣6，
∴A（﹣6，0），
∵点C与点A关于y轴对称，
∴C（6，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴ ，
解得 ，
∴y＝﹣ x+3；
（2）①设M（m，0），
∵PQ⊥x中轴，
∴P（m， m+3），Q（m，﹣ m+3），
∴PQ＝| m+3+ m﹣3|＝|m|，
∴S ＝ |m|×|m|＝2，
△PQB
解得m＝±2，
∴P（2，4）或（﹣2，2）；
②∵点M在线段AC上运动，∴﹣6≤m≤6，
当点M在线段AO上时，
∵点C与点A关于y轴对称，
∴AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵∠BMP＝∠BAC，
∴∠BMP＝∠BCA，
∵∠BMP+∠BMC＝90°，
∴∠BMC+∠BCA＝90°，
∴∠MBC＝90°，
∴BM2+BC2＝MC2，
∴MC2＝（6﹣m）2，BM2＝m2+9，BC2＝45，
∴m2+9+45＝（6﹣m）2，
解得m＝﹣ ，
∴Q（﹣ ， ）；
当点M在线段OC上时，同理可得Q（ ， ），
综上所述：点Q的坐标为（﹣ ， ）或（ ， ）．
5．如图，已知点 A（0，6），点 C（3，0），将线段 AC绕点 C顺时针旋转
90°，点A落在点B处，点D是x轴上一动点．
（1）求直线BC的解析式；
（2）联结B、D．若BD∥AC，求点D的坐标；
（3）联结A、D交线段BC于点Q，且∠OAC＝∠CAQ．求△BCD的面积．【解答】解：（1）过B点作BM⊥x轴交于M，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACO+∠BCM＝90°，
∵∠ACO+∠OAC＝90°，
∴∠BCM＝∠OAC，
∵AC＝BC，∠AOC＝∠CMB＝90°，
∴△ACO≌△CBM（AAS），
∴BM＝OC，CM＝AO，
∵A（0，6），C（3，0），
∴BMM＝3，CM＝6，
∴B（9，3），
设直线CB的解析式为y＝kx+b，
∴ ，
解得 ，
∴y＝ x﹣ ；
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴ ，
解得 ，
∴y＝﹣2x+6，
∵BD∥AC，
设直线BD的解析式为y＝﹣2x+m，∵B（9，3），
∴﹣18+m＝3，
解得m＝21，
∴y＝﹣2x+21，
∴D（21，0）；
（3）作O点关于直线AC的对称点E，连接AE与x轴交于D，与线段BC交
于Q，
由对称性可知，∠OAC＝∠ACE，
∵A（0，6），C（3，0），
∴OA＝AE＝6，OC＝CE＝3，
设CD＝y，ED＝x，
∴36+（3+y）2＝（6+x）2①，y2＝9+x2②，
联立①②可得x＝4，y＝5，
∴CD＝5，
∴D（8，0），
∴S ＝ 5×3＝ ．
△BCD
