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专题 29 一次函数与角度综合应用
解答方法
题型一：若有角度等量关系，不能直接用时，我们要学会角度转化，比如借助
余角、补角、外角等相关角来表示，进行一些角度的和差和角度的代换等，直
到转化为可用的角度关系。
题型二：遇45°角要学会先构造等腰直角三角形，然后构造“三垂直”全等模型，
一般情况下是以已知点作为等腰直角三角形的直角顶点
为AB’
典例分析
【考点1角度相等综合应用】
【典例1】如图，直线l ：y＝x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l ：y
1 2
＝kx+b与x轴交于点C（1.5，0），与y轴交于点D（0，3），直线l ，l 交
1 2
于点E．
（1）求直线l 的函数表达式．
2
（2）若P为直线l 上一点，当∠POB＝∠BDE时，求点P的坐标．
1【变式1-1】（2021秋•龙华区期中）如图1，已知函数y＝ x+3与x轴交于点
A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
（1）求直线BC的函数解析式；
（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点
P，交直线BC于点Q．点M在线段AC上，连接BM，如图2，若∠BMP＝
∠BAC，直接写出P的坐标．
【变式1-2】（2021秋•建湖县期末）如图，直线 l ：y＝x﹣4与x轴交于点A，
1
与y轴交于点B，直线l ：y＝kx+b与x轴交于点C（1，0），与y轴交于点
2
D（0，2），直线l ，l 交于点E．
1 2
（1）求直线l 的函数表达式；
2
（2）试说明CD＝CE．
（3）若P为直线l 上一点，当∠POB＝∠BDE时，求点P的坐标．
1【考点2 二倍角综合应用】
【典例2】如图，直线y＝ x﹣3交x轴于A，交y轴于B，
（1）求A，B的坐标和AB的长（直接写出答案）；
（3）点D是x轴上一点，∠BAO＝2∠DBO，求点D的坐标．
【变式2-1】如图，已知点A（2，﹣5）在直线l ：y＝2x+b上，l 和l ：y＝kx﹣
1 1 2
1的图象交于点B，且点B的横坐标为8．
（1）直接写出b、k的值；
（2）若点Q是直线l 上一点，且∠BAQ＝45°，求出点Q的坐标．
2【考点3 角度45°综合应用】
【典例3】如图，直线l ：y＝ x+2和直线l 与x轴分别相交于A，B两点，且
1 2
两直线相交于点C，直线l 与y轴相交于点D（0，﹣4），OA＝2OB．
2
（1）求点A的坐标及直线l 的函数表达式；
2
（2）求△ABC的面积；
（3）试探究在x轴上是否存在点 P，使得∠BDP＝45°，若存在，请直接写
出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式3-1】如图，直线y＝﹣3x+6交x轴和y轴于点A和点B，点C（0，﹣
3）在y轴上，连接AC．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）若点P是直线AB上一点，若△BCP的面积为18，求点P的坐标；
（3）过点B作直线BE交x轴于点E（E点在点A右侧），当∠ABE＝45°时，
直接写出直线BE的函数表达式．【变式3-2】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC的顶点A
（12，0），C（0，9），将矩形OABC的一个角沿直线 BD折叠，使得点A
落在对角线OB上的点E处，折痕与x轴交于点D，
（Ⅰ）线段OB的长度为 ；
（Ⅱ）求线段DE的长，以及直线BD所对应的函数表达式；
（Ⅲ）若点N为该平面内一点，且使得∠DBN＝45°，直接写出满足条件的直
线BN的解析式．
夯实基础
1．在平面直角坐标系中，一次函数 的图象l 与x轴交于点A，一次函
1
数y＝x+6的图象l 与x轴交于点B，与l 交于点P．直线l 过点A且与x轴垂
2 1 3
直，C是l 上的一个动点．
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（1）分别求出点A、P的坐标；
（2）是否存在点C，使得2∠PCA+∠PAB＝90°？若存在，直接写出点 C的
坐标；若不存在，请说明理由．2．在平面直角坐标系中，点A为x轴上一点，A（3，0），AB＝2OB，
（1）如图（1），求直线AB的解析式．
（2）如图（2），点C、点D分别在x轴、y轴上，CD的延长线交直线AB
于点E，动点F在x轴上从原点出发以 1个单位每秒的速度往负半轴运动，
设运动时间为t，当AF＝AE时，用含t的式子表示△AEF的面积．（不用写
出自变量t的取值范围）
（3）在（2）的条件下，连接 AD、FD，若∠CDA＝∠BAO，∠AFD＝
2∠OAD，求点F的坐标．
3．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+1分别交x轴，y轴于点A、B．另
一条直线CD与直线AB交于点C（a，6），与x轴交于点D（3，0），点P
是直线CD上一点（不与点C重合）．
（1）求a的值．
（2）若直线 MN 在平面直角坐标系内运动，且 MN 始终与 AB 平行，直线
MN交直线CD于点M，交y轴于点N，当∠BMN＝90°时，求△BMN的面积．4．如图，已知函数y＝ x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关
于y轴对称．
（1）求直线BC的函数解析式；
（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点
P，交直线BC于点Q．
①若△PQB的面积为2，求点P的坐标：；
②点M在线段AC上运动的过程中，连接BM，若∠BMP＝∠BAC，求点Q
的坐标．
5．如图，已知点 A（0，6），点 C（3，0），将线段 AC绕点 C顺时针旋转
90°，点A落在点B处，点D是x轴上一动点．
（1）求直线BC的解析式；
（2）联结B、D．若BD∥AC，求点D的坐标；
（3）联结A、D交线段BC于点Q，且∠OAC＝∠CAQ．求△BCD的面积．
