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专题29 一次函数与平行四边形结合
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线PA是一次函数 的图象，直线PB是一
次函数 的图象，点P是两直线的交点，点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴
的交点．若四边形PQOB的面积是5.5，且 ，若存在一点D，使以A、B、P、D为顶
点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为________．
【答案】 ， 或 ， 或 ，
【分析】已知直线解析式，令 ，求出 的值，可求出点 ， 的坐标．联立方程组求出点
的坐标；先根据 得到 、 的关系，然后求出 ， 并都用字母 表示，根
据 ，列式求出 与 的值，得出点 的坐标；根据图形以 、 、 、
为顶点的四边形是平行四边形，如图所示，求出满足题意 ， ， 的坐标．
【详解】解：在直线 中，令 ，得 ，
点 ，
在直线 中，令 ，得 ，
点 ， ，由 ，得 ，
点 ， ，
，
，
整理得 ，
，
，
由题意得： ，
解得： ，
，
，
，
， ， ， ， ， ，
存在一点 ，使以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，
过点 作直线 平行于 轴，过点 作 的平行线交 于点 ，过点 作 的平行线交
于点 ，过点 、 分别作 、 的平行线交于点 ．① 且 ，
是平行四边形．此时 ，由点的平移规律可知P点向右平移6个单位得到 ，
；
② 且 ，
是平行四边形．此时 ，由点的平移规律可知P点向左平移6个单位得到 ，
；
③ 且 ，此时 是平行四边形．由点的平移规律可知A点向右平移 个单
位，向下平移 得到 ， ．
故答案为 ， 或 ， 或 ， ，
【点睛】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数图象的交点，坐标与图形性质，平
行四边形的判定与性质，一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握一次函数的性质和平面内点的平移
坐标变化规律是解本题的关键．
2．已知：在平面直角坐标系中，点A（1，0），点B（4，0），点C在y轴正半轴上，且
OB=2OC．
（1）试确定直线BC的解析式；
（2）在平面内确定点M，使得以点M、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M
的坐标．
【答案】（1）y=﹣ x+2．（2）M （3，2），M （﹣3，2），M （5，﹣2）．
1 2 3
【详解】试题分析：（1）易求B（4，0），C（0，2）．把它们的坐标分别代入直线BC的解析式
y=kx+b（k≠0），列出关于k、b的方程组，通过解该方程组即可求得它们的值；
（2）需要分类讨论：以AB为边的平行四边形和以AB为对角线的平行四边形．
试题解析：（1）∵B（4，0），∴OB=4，
又∵OB=2OC，C在y轴正半轴上，
∴C（0，2）．设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0）．
∵过点B（4，0），C（0，2），
∴ ，
解得 ，
∴直线BC的解析式为y=﹣ x+2．
（2）如图，①当BC为对角线时，易求M （3，2）；
1
②当AC为对角线时，CM∥AB，且CM=AB．所以M （﹣3，2）；
2
③当AB为对角线时，AC∥BM，且AC=BM．则|M|=OC=2，|M|=OB+OA=5，所以M （5，﹣2）．
y x 3
综上所述，符合条件的点M的坐标是M （3，2），M （﹣3，2），M （5，﹣2）．
1 2 3
考点：一次函数综合题．
3．已知直线 ：y= x+m与直线 ：y=2x+n相交于点A（2，3）．
1 2
(1)求m，n的值；
(2)请在所给坐标系中画出直线 和 ，并根据图像回答：当 满足____时， ．(3)设 交 轴于点B， 交y轴于点C，若点D与点A，B，C能构成平行四边形，则点D的坐标为
_____．
【答案】(1)m= ，n=-1；
(2)函数图象见解析，x>2；
(3)（0，4）或（4，2）或（-4，-4）
【分析】（1）将点A（2，3）分别代入直线 和 的解析式中，即可求出m，n的值；
（2）由（1）可得函数解析式，然后可以画出函数图象，观察图象可得x的取值范围；
（3）求出点B、C的坐标，然后分BC是边和BC是对角线两种情况，分别作出平行四边形，即可
得到点D位置．
【详解】（1）解：将点A（2，3）分别代入 ， 中，
得： ， ，
∴m＝ ，n＝−1；
（2）∵m＝ ，n＝−1，
∴ ， ，
画出两直线如图，
由函数图象得：当x＞2时 ．故答案为：x＞2；
（3）当 时，解得： ，
∴B（－2，0），
在 中，当x＝0时，y＝－1，
∴C（0，－1），
如图，当BC是平行四边形的边时，
点D坐标为（0，4）或（4，2），
当BC是平行四边形的对角线时，点D坐标为（−4，−4），
故答案为：（0，4）或（4，2）或（−4，−4）．
【点睛】本题考查待定系数法，画一次函数图象，一次函数图象的交点与不等式的关系，平行四
边形的判定等知识，解题关键是通过数形结合分类讨论．
4．如图，已知函数 的图象与 轴、 轴分别交于点 、 ，与函数 的图象交于
点 ，点 的坐标为 ．
（1）直接写出 和 的值： ______， ______．
（2）在 轴上有一动点 （其中 ），过点 作 轴的垂线，分别交函数 和
的图象于点 、 ．
①若 ，求 的值；
②是否存在这样的点 ，使以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出
点 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）3，2；（2）① ；②存在， ．
【分析】（1）先根据函数 求出点 的坐标，再代入函数 即可得；
（2）①先分别求出点 的坐标，再根据 可得 的长，由此即可得；
②先由（2）①可得 ，再根据平行四边形的判定可得 ，由此建立方
程求出 的值即可得．
【详解】解：（1）由题意，将点 代入函数 得： ，
则 ，
将点 代入函数 得： ，解得 ，
故答案为：3，2；
（2）①由（1）可知，直线 的解析式为 ，
当 时， ，即 ，
，
，
，且 轴，
，
，
则 ，
解得 ；②由（2）①已求： ，
轴， 轴，
，
要使以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，则 ，
则 ，
解得 ，
则点 的坐标为 ，
故存在这样的点 ，使以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，点 的坐标为 ．
【点睛】本题考查了一次函数的几何应用、平行四边形的判定等知识点，熟练掌握一次函数的图
象与性质是解题关键．
5．如图，直线l：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l 交于点C（1，m），与x轴交于点B．
1 2
（1）求直线l 对应的函数解析式；
2
（2）求△ABC的面积；
（3）请你找到图象中直线l 在直线l 上方的部分，直接写出此时自变量x的取值范围；
1 2
（4）在坐标平面内是否存在点P，使以点A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，
请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣2x+6；（2）12；（3）x＞1；（4）存在，（﹣1，﹣4）或（7，4）或（﹣
5，4）．
【分析】（1）求出C（1，4），用待定系数法即可得到直线l 对应的函数解析式为y＝﹣2x+6；
2
（2）过点C作CD⊥x轴于点D，由解析式可得B（﹣3，0），故AB＝6，根据C（1，4），即得
△ABC的面积为12；
（3）数形结合即得x＞1；（4）设P（m，n），分三种情况：①以AB、CP为对角线，则AB的中点与CP的中点重合，
，即得P（﹣1，﹣4）；②以AC、BP为对角线，同理可得： ，故此
时P（7，4）；③以AP、BC为对角线，同理可得： ，从而P（﹣5，4）．
【详解】解：（1）把x＝1代入y＝x+3，得y＝4，
∴C（1，4），
设直线l 对应的函数解析式为y＝kx+b，
2
则由点C（1，4）、A（3，0）得： ，
解得： ，
∴直线l 对应的函数解析式为y＝﹣2x+6；
2
（2）过点C作CD⊥x轴于点D，如图：
当y＝0时，x+3＝0，解得 x＝﹣3，
∴B（﹣3，0），
又A（3，0），
∴AB＝6，
∵C（1，4），
∴CD＝4，∴ ，
故△ABC的面积为12；
（3）由图可得：直线l 在直线l 上方时，x＞1；
1 2
（4）存在，理由如下：
设P（m，n），而A（3，0），B（﹣3，0），C（1，4），以点A、B、C、P为顶点的四边形是
平行四边形，分三种情况：
①以AB、CP为对角线，则AB的中点与CP的中点重合，如图：
∴ ，
解得 ，
∴P（﹣1，﹣4）；
②以AC、BP为对角线，如图：
同理可得： ，解得： ，
∴P（7，4）；
③以AP、BC为对角线，如图：
同理可得： ，
解得： ，
∴P（﹣5，4）；
综上所述：以点A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，P的坐标为：（﹣1，﹣4）或（7，
4）或（﹣5，4）．
【点睛】本题考查一次函数及综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、比较函数值大小、平行
四边形性质及判定等知识，解题的关键是根据平行四边形对角线互相平分列方程组解决问题．
6．已知点A（4，0），B（0，﹣4），C（a，2a）及点D是一个平行四边形的四个顶点，则线段
CD的长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可判定此题需分两种情况讨论，如果AB、CD为对角线，AB与CD交于点F，当
FC⊥直线y＝2x时，CD最小，根据垂直及F点坐标可先求的直线FC的函数解析式，进而通过求得
点C坐标来求CD；如果CD是平行四边形的边，则CD＝AB＝ ，对比两种情况即可求得CD最
小值.【详解】解：如图，由题意点C在直线y＝2x上，
如果AB、CD为对角线，AB与CD交于点F，当FC⊥直线y＝2x时，CD最小，
易知直线AB为y＝x﹣4，
∵AF＝FB，
∴点F坐标为（2，﹣2），
∵CF⊥直线y＝2x，
设直线CF为y＝﹣ x+b′F（2，﹣2）代入得b′＝﹣1
∴直线CF为y＝﹣ x﹣1，
由 解得 ，
∴点C坐标（ ， ）．
∴CD＝2CF＝2× ＝ ．
如果CD是平行四边形的边，则CD＝AB＝ ＞ ，
∴CD的最小值为 ．
故选B．
【点睛】本题考查了一次函数与平行四边形的综合题，解本题的关键是找到何时CD最短.
7．如图，在同一平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线
与直线 交于点P．(1)求P点的坐标．
(2)设直线 与直线 在第一象限内的图象为G，若直线 与图象G只有两个交点，请写出m的
取值范围．
(3)在平面内是否存在一点Q，使得以点O，A，B，Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在请直
接写出Q点的坐标，若不存在请说明理由．
【答案】(1)点P的坐标为
(2) 或 ．（ 且 ）
(3)存在， ； ；
【分析】（1）联立二元一次方程组求解即可；
（2）根据图像判断即可；
（3）如图，分别过点A，B，O点作 轴， 轴，直线 的平行线，交点分别为 ，则点
即为所求作的点．
【详解】（1）解：根据题意，得
解得
∴点P的坐标为 ．
（2）解：如图，把y=0代入 得， ，解得， ，
点A的坐标为（3，0），
由点P的坐标为 ，
或 ．（ 且 ）
（3）解：存在Q，使得以点O，A，B，Q为顶点的四边形是平行四边形，
如图，分别过点A，B，O点作 轴， 轴，直线 的平行线，交点分别为 ，则点
即为所求作的点，
点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，3），
， ，
【点睛】本题考查了一次函数与几何的综合题，一次函数的交点坐标，一次函数与坐标轴的交点，
一次函数与二元一次方程组，一次函数与不等式，正确理解一次函数的相关性质是解本题的关键．8．如图， 的两直角边 、 分别在 轴和 轴上， ， ，将 绕
点顺时针旋转 得到 ，直线 、 交于点 ．点 为直线 上的动点，点 为 轴
上的点，若以 ， ， ， 四点为顶点的四边形是平行四边，则符合条件的点 的坐标为
______．
【答案】（4，4）或（8，−4）．
【分析】由A、B的坐标可求得AO和OB的长，由旋转的性质可求得OC、OD的长，由B、D坐
标可求得直线BD解析式，当M点在x轴上方时，则有CM∥AN，则可求得M点纵坐标，代入直线
BD解析式可求得M点坐标，当M点在x轴下方时，同理可求得M点纵坐标，则可求得M点坐标．
【详解】解：∵ ， ，
∴OA＝4，OB＝8，
∵将△OAB绕O点顺时针旋转90°得△OCD，
∴OC＝OA＝4，OD＝OB＝8，AB＝CD，
∵OD＝OB＝8，
∴D（8，0），且B（0，8），
∴直线BD解析式为y＝−x＋8，
当M点在x轴上方时，则有CM∥AN，即CM∥x轴，
∴M点到x轴的距离等于C点到x轴的距离，
∴M点的纵坐标为4，
在y＝−x＋8中，令y＝4可得x＝4，
∴M（4，4）；
当M点在x轴下方时，同理可得M点的纵坐标为−4，
在y＝−x＋4中，令y＝−4可求得x＝8，
∴M点的坐标为（8，−4）；
综上可知M点的坐标为（4，4）或（8，−4），
故答案为：（4，4）或（8，−4）．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，旋转的性质、掌握平行四边形的判定和性质，进
行分类讨论，是解题的关键．
9．在平面直角坐标系中，已知 ， ， ，D是平面内的一点，以A，B，C，D为
顶点的四边形是平行四边形，则 的最小值是___________．
【答案】 .
【分析】根据题意，点C在直线 上，则可分为两种情况进行讨论：①当AB与CD是对角线时，
②AB与CD是边时；CD是对角线时CF⊥直线 时，CD最小．CD是边时，CD=AB=10，通过比较
即可得出结论．
【详解】解：根据题意，点 在直线 图像上，
①当AB与CD是对角线时，AB与CD相交于点F，
则当CF⊥直线 时，CD最小；如图：
∵ ， ，
由平行四边形的性质，点F为AB的中点，
∴点F为（-3,4），
∵CF⊥直线 ，
设CF的直线解析式为： ，
把点F代入，得： ，
解得： ，
∴CF的直线解析式为： ；
∴ ，解得： ，∴点C坐标为： ，
∴ ，
∴ ；
②当AB与CD是边时，如图：
∴CD=AB= ；
∵ ，
∴CD的最小值为： ；
故答案为 .
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，求一次函数解析式，勾股定理，以及坐标与图形，解题
的关键是熟练掌握平行四边形的性质.注意对CD边进行分情况讨论.
三、解答题(共0分)
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线 与 交于点A，两直线与x轴分别交于
点B和点C，D是直线AC上的一动点，E是直线AB上的一动点．若以E，D，O，A为顶点的四
边形恰好为平行四边形，则点E的坐标为________．【答案】 或
【分析】当OE AC时，由相互平行的两条直线的一次项系数相同，可得到直线OE的解析式，然
后将OE和AB的解析式联立，组成方程组从而可求得点E的坐标；当DE OA时，OD AB时，
先求得OD的解析式，然后联立OD、AC，求得点D的坐标，然后再求得DE的解析式，将DE和
AB联立，组成方程组可解得点E的坐标．
【详解】解：①如图1：当OE AD时，
∵OE AC，
所以直线OE的解析式为y=-2x，
联立OE、AB，得
，解得 ，
即E(- , )；
1
②如图2：当DE OA时，OD AB时，∵OD AB，
∴直线OD的解析式为y=x，
联立OD、AC，得 ，
解得 ，
∴D( , )．
联立AB、AC得
，
解得 ，
A(1，2)．
OA的解析式为y=2x，
∵DE OA，
∴设直线DE的解析式为y=2x+b，
将点D的坐标代入直线的解析式得：y=2x- ，
联立DE、AB得
，解得 ，
E( , )．
2
③当OA为对角线时，则OE AC，如图1，
E(- , )
综上所述：点E的坐标为(- , )或( , )．
故答案为：(- , )或( , )．
【点睛】本题主要考查的是一次函数的性质和平行四边形的性质，掌握相互平行的两条直线的一
次项系数相同是解题的关系，解答本题主要应用了分类讨论的思想．
11．如图，在平面直角坐标系中，直线 交x轴于点A，交y轴于点B．点C为OB的中
点，点D在线段OA上， ，点E为线段AB上一动点，连接CD、CE、DE．
(1)求线段CD的长；
(2)若 的面积为4，求点E的坐标；
(3)在（2）的条件下，点P在y轴上，点Q在直线CD上，是否存在以D、E、P、Q为顶点的四边
形为平行四边形．若存在，直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)2 ；
(2)(4，2) ；
(3)点Q坐标为( 10，- )或(2， )或(-2， )；
【分析】（1）根据一次函数解析式，可以求出OB与OA的长度，再根据OD=3A D和点C为OB的中点来确定OC与OD的长度，然后根据勾股定理可以计算出CD的长；
（2）根据△CDE的面积= △A BO的面积- △OCD的面积-△CBE的面积- △ADE的面积，求解即可；
（3）先求出直线CD的解析式，设点P (0， m)，点Q (n，- n+2)，分情况讨论∶①以DE， PQ
为对角线，②以DP， EQ为对角线，③以DQ， PE为对角线分别列二元一次方程组，求解即可．
（1）
解∶∵直线y=--x+4交x轴于点A，交y轴于点B，
∴点B(0，4)，
∴OB=4，
∵点C为OB的中点，
∴OC=2，
当y=0时， - x+4=0，
∴x=8，
∴A (8，0)，
∵OD=3AD，
∴OD=6，
根据勾股定理，得CD=2 ；
（2）
解：设点E(t，- t+4)，
∵OB=4， OA=8，
∴△ABO的面积= ，
∵BC=2， AD=2，
∴△BCE的面积 ，△OCD的面积 ，△ADE的面积
，
∴△CDE的面积=△A BO的面积-△BCE的面积-△OC D的面积- △ADE的面积，
∴ ，
解得t=4，∴点E坐标为(4，2) ；
（3）
解：存在以D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，设直线CD的解析式： y=kx+b ( k≠0)，
将点C (0，2) ，点D (6，0)代入直线解析式得
，
解得 ，
∴直线CD的解析式为y=- x +2，
∴设点P (0， m)，点Q (n， - n+2)，
①当四边形以DE， PQ为对角线时，
∵点D (6，0) ，E(4，2)，
∴ ，
解得n= 10，
∴点Q ( 10，- ) ；
②当四边形以DP， EQ为对角线，
∵点D (6，0) ，E(4，2)，
∴
解得n=2，
∴点Q (2， )，
③当四边形以DQ， PE为对角线，
，
解得n=-2，
∴点Q ( -2， )综上，满足条件的点Q坐标为( 10，- )或(2， )或(-2， )；
【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，待定系数法求解析式，图象上点的坐标特征，三角形
的面积，平行四边形的判定等，熟练掌握以上知识是解题的关键．
12．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ x+5与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的另一
直线交x轴正半轴于C，且△ABC面积为15．
（1）求点C的坐标及直线BC的表达式；
（2）若M为线段BC上一点，且△ABM的面积等于△AOB的面积，求M的坐标；
（3）在（2）的条件下，点E为直线AM上一动点，在x轴上是否存在点D，使以点D、E、B、C
为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）C（4，0），y＝﹣ x+5；（2）M ；（3）存在，满足条件的点D的坐标为
（7，0）或（﹣11，0）或（1，0）．
【分析】（1）先求出A、B的坐标，然后根据三角形的面积求出C，设直线BC的表达式为y＝
kx+b，将B、C的坐标代入求解即可；
（2）根据S ACM＝S ABC﹣S ABM＝S ABC﹣S ABO求解即可；
△ △ △ △ △
（3）设直线AM的表达式为 ，，求出AM的解析式，然后分三种情况：①当BC为平行
四边形的边，四边形BCDE为平行四边形时；②当BC为平行四边形的边，四边形BDEC为平行四
边形时；③当BC为平行四边形的对角线时，讨论求解即可.
【详解】解：（1）直线y＝ x+5与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（﹣2，0），B（0，5），
即OA＝2，OB＝5，
∵△ABC面积为15，∴ （OA+OC）•OB＝15，
∴OC＝4，
∴C（4，0），
设直线BC的表达式为y＝kx+b，
将点B、C的坐标代入一次函数表达式得：
解得：
∴直线BC的表达式为：y＝﹣ x+5；
（2）∵S ACM＝S ABC﹣S ABM＝S ABC﹣S ABO＝15﹣ ×2×5＝10，
△ △ △ △ △
∴S ACM＝ ×6×ym＝10，解得：ym＝ ，
△
∴
解得：xm＝ ，
∴M（ ， ）；
（3）∵A（﹣2，0），M（ ， ），
设直线AM的表达式为 ，
将点A、M的坐标代入一次函数表达式得： ，
解得：
∴直线AM的表达式为：y＝x+2．
①当BC为平行四边形的边，四边形BCDE为平行四边形时，如图：∵B（0，5），BE∥CD，BE＝CD，
∴点E的纵坐标是5，
∵点E为直线AM上一动点，直线AM的表达式为：y＝x+2．
∴x+2＝5，解得：x＝3，
∴E （3，5），
∴BE＝CD＝3，
∵C（4，0），
∴D（7，0）；
②当BC为平行四边形的边，四边形BDEC为平行四边形时，如图：过点E作EF⊥x轴于F，
∵四边形BDEC为平行四边形，
∴BC＝ED，∠DBC＝∠CED，BD＝EC，
∴△BDC≌△ECD（SAS），
∴EF＝OB，
∵B（0，5），
∴EF＝OB＝5，
∴点E的纵坐标是﹣5，∵点E为直线AM上一动点，直线AM的表达式为：y＝x+2．
∴x+2＝﹣5，解得：x＝﹣7，
∴OF＝7，
在Rt△BOC和Rt△EFD中，
∴Rt△BOC≌Rt△EFD（HL），
∴DF＝OC，
∵C（4，0），
∴DF＝4，
∴OD＝4+7＝11，
∴D（﹣11，0）；
③当BC为平行四边形的对角线时，
∵B（0，5），BE∥CD，BE＝CD，
∴点E的纵坐标是5，
∵点E为直线AM上一动点，直线AM的表达式为：y＝x+2．
∴x+2＝5，解得：x＝3，
∴E （3，5），
∴BE＝CD＝3，
∵C（4，0），
∴D（1，0）．
综上，存在，满足条件的点D的坐标为（7，0）或（﹣11，0）或（1，0）．
【点睛】本题主要考查了一次函数的综合题，待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的性质
与判定，平行四边形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
13．如图，直线 y＝－2x＋4分别与 y 轴、x 轴交于点 A、点 B，点 C 的坐标为(－2，0)，D 为
线段 AB上一动点，连接 CD 交 y 轴于点 E．（1）求出点 A、点 B 的坐标；
（2）若 ，求点 D 的坐标；
（3）在（2）的条件下，点 N 在 x 轴上，直线 AB 上是否存在点 M，使以 M，N，D，E 为顶
点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出 M 点的坐标;若不存在，请说明理由．
【答案】（1）A(0，4)，B(2，0) ；（2）D(1，2)；（3）存在，M( , )或 M( ,- )．
【分析】(1)先令 求出y的值，再令y=0求出x的值即可得出A、B两点的坐标；
(2)根据题意得 ，利用三角形面积公式可求得 =2，从而求得点D的坐标；
(3)利用待定系数法求得直线CD的解析式，得到点E的坐标，分点N在线段OB上、点N在OB延
长线上两种情况讨论，求得直线MN的解析式，利用求得两直线交点的方法即可求得点M的坐标．
【详解】(1)对于直线 y=-2x+4，
令 ，则 ，令 ，则 ，
∴A、B两点的坐标分别为(0，4)、(2，0)；
(2)∵ ，
∴ ，
∴ ×4×yD= ×4×2，
∴ =2，
∴点D的坐标为(1，2)；
(3)设直线CD的解析式为 ，
把点C、D的坐标(-2，0)、(1，2)代入得： ，解得： ，
∴直线CD的解析式为 ，
令 ，则 ，
∴点E的坐标为(0， )；
①当点N在线段OB上时，DENM为平行四边形，如图：
过E作EF∥OB交AB于点F，
∵点F在直线 y=-2x+4上，
∴点F的纵坐标与点E的纵坐标相等，
∴ =-2x+4，
∴点F的坐标为( ， )，
∵DENM为平行四边形，
∴EN∥DM，EN=DM，DE=MN，MN∥CD，
∵EF∥OB，
∴四边形EFBN也为平行四边形，
∴BN=EF= ，
∴ON=2- = ，
∴点N的坐标为( ，0)，设直线MN的解析式为 ，
将点N的坐标为( ，0)代入得： ，
∴直线MN的解析式为 ，
解方程组 得： ，
∴点M的坐标为( ， )；
②当点N在OB延长线上时，DENM为平行四边形，如图：
同理：BN=EF= ，
∴ON=2+ = ，
∴点N的坐标为( ，0)，
设直线MN的解析式为 ，
将点N的坐标为( ，0)代入得： ，
∴直线MN的解析式为 ，
解方程组 得： ，
∴点M的坐标为( ， )；综上，点M的坐标为( ， )或( ， ) ．
【点睛】本题考查了一次函数与平面图形的性质，涉及到的考点包括待定系数法求一次函数解析
式、平行四边形的判定和性质等，对解题能力要求较高．难点在于第(3)问，这是一个存在性问题，
注意平行四边形有两种可能的情形，需要一一分析并求解，避免遗漏．
14．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x＝
，y＝ ，那么称点T是点A，B的三分点．
例如：A（﹣1，5），B（7，7），当点T（x，y）满足x＝ ＝2，y＝ ＝4时，则点T
（2，4）是点A，B的三分点．
（1）已知点C（﹣1，8），D（1，2），E（4，﹣2），请说明其中一个点是另外两个点的三分点．
（2）如图，点A为（3，0），点B（t，2t+3）是直线l上任意一点，点T（x，y）是点A，B的三
分点．
①试确定y与x的关系式．
②若①中的函数图象交y轴于点M，直线l交y轴于点N，当以M，N，B，T为顶点的四边形是平
行四边形时，求点B的坐标．
③若直线AT与线段MN有交点，直接写出t的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）①y＝2x﹣1；②点B的坐标（ ，6）或（﹣ ， ）；③﹣3≤t≤1
【分析】（1）由“三分点”的定义可求解；
（2）①由“三分点”定义可得： ，消去t即可求解；
②先求出点M，点N的坐标，分两种情况：MN为一边或MN为对角线，利用平行四边形的性质可
求解；（3）利用特殊位置，分别求出AT过点M和过点N时，t的值，即可求解．
【详解】（1）∵ ， ，
∴点D（1，2）是点C，点E的三分点；
（2）①∵点A为（3，0），点B（t，2t+3）是直线l上任意一点，点T（x，y）是点A，B的三分
点，
∴ ，
∴y＝2x﹣1；
②∵y＝2x﹣1图象交y轴于点M，直线l交y轴于点N，
∴点M（0，﹣1），点N（0，3），
当四边形MTBN是平行四边形时，
∴BT∥MN，
∵B（t，2t+3），T（ ， ），
∴t＝ ，
∴t＝ ，
∴点B的坐标（ ，6）；
当四边形MTNB是平行四边形时，
设BT与MN交于点P，则点P为BT与MN的中点，
∴点P（0，1），
∵B（t，2t+3），T（ ， ），
∴t+ ＝0，
∴t＝﹣ ，
∴点B（﹣ ， ），
综上所述：点B的坐标为（ ，6）或（﹣ ， ）；（3）当直线AT过点M时，
∵点A（3，0），点M（0，﹣1），
∴直线AM解析式为y＝ x﹣1，
∵点T是直线AM上，
∴ ＝ × ﹣1
∴t＝﹣3，
当直线AT过点N时，
∵点A（3，0），点M（0，3），
∴直线AN解析式为y＝﹣x+3，
∵点T是直线AN上，
∴ ＝﹣ +3，
∴t＝1，
∵直线AT与线段MN有交点，
∴﹣3≤t≤1．
【点睛】本题新定义考题，题目中给出一个新的概念，严格利用新的概念进行求解；但是，新定
义问题实质上是课程内知识点的综合应用，比如本题考查了消元法，平行四边形的性质和一次函
数，本类题目一定要注意分类讨论，利用合适条件确定边界条件是解题的关键．
