专题29和数轴上的线段有关的计算（解析版）_初中数学人教版_7上-初中数学人教版_7上-初中数学人教版（旧版）赠送_07专项讲练

专题29 和数轴上的线段有关的计算 1．已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长 （单位长度）． 慢车长 （单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点 为原点， 取向右方向为正方向画数轴，此时快车头 在数轴上表示的数是 ，慢车头 在数轴上表示的数 是 ，若快车 以6个单位长度 秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车 以4个单位长度 秒 的速度向左匀速继续行驶，且 与 互为相反数． （1）求此时刻快车头 与慢车头 之间相距多少单位长度？ （2）从此时刻开始算起，问再行驶多少秒两列火车行驶到车头 、 相距8个单位长度？ （3）此时在快车 上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客 ，他发现行驶中有一段时间，他的位 置 到两列火车头 、 的距离和加上到两列火车尾 、 的距离和是一个不变的值（即 为定值），你认为学生 发现的这一结论是否正确？若正确，求出定值及所持 续的时间；若不正确，请说明理由． 【解答】解：（1） 与 互为相反数， ， ， ， 解得 ， ， 此时刻快车头 与慢车头 之间相距 单位长度； （2） （秒 ， 或 （秒 ， 答：再行驶1.6秒钟或3.2秒钟两列火车行驶到车头 相距8个单位长度； （3） ， 当 在 之间时， 是定值4， （秒 ， 此时 （单位长度），故这个时间是0.4秒，定值是6单位长度． 2．如图，点 、 和线段 都在数轴上，点 、 、 、 起始位置所表示的数分别为 、 0、3、12；线段 沿数轴的正方向以每秒1个单位的速度移动，移动时间为 秒． （1）当 秒时， 的长为 2 ，当 秒时， 的长为 ． （2）用含有 的代数式表示 的长为 ． （3）当 秒时 ，当 秒时 ． （4）若点 与线段 同时出发沿数轴的正方向移动，点 的速度为每秒2个单位，在移动过程 中，是否存在某一时刻使得 ，若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）当 秒时， ； 当 秒时，移动后 表示的数为2， ． 故答案为：2；4． （2）点 表示的数为 ，点 表示的数为 ； ． 故答案为 ． （3） 秒后点 运动的距离为 个单位长度，点 运动的距离为 个单位长度， 表示的数是 ， 表示的数是 ， ， ， ， ． 解得： ． 当 秒时 ； ， ， ； 当 秒时 ，故答案为6，11； （4）假设能相等，则点 表示的数为 ， 表示的数为 ， 表示的数为 ， 表示的数 为12， ， ， ， ， 解得： ， ． 故在运动的过程中使得 ，此时运动的时间为16秒和 秒． 3．如图，数轴上点 ， 表示的有理数分别为 ，3，点 是射线 上一个动点（不与点 ， 重合）． 是线段 靠近点 的三等分点， 是线段 靠近点 的三等分点． （1）若点 表示的有理数是0，那么 的长为 6 ；若点 表示的有理数是6，那么 的长 为 ． （2）点 在射线 上运动（不与点 ， 重合）的过程中， 的长是否发生改变？若不改变， 请写出求 的长的过程；若改变，请说明理由． 【解答】解：（1）若点 表示的有理数是0（如图 ，则 ， ． 是线段 靠近点 的三等分点， 是线段 靠近点 的三等分点． ， ， ； 若点 表示的有理数是6（如图 ，则 ， ． 是线段 靠近点 的三等分点， 是线段 靠近点 的三等分点． ， ， ． 故答案为：6；6． （2） 的长不会发生改变，理由如下：设点 表示的有理数是 且 ． 当 时（如图 ， ， ． 是线段 靠近点 的三等分点， 是线段 靠近点 的三等分点． ， ， ； 当 时（如图 ， ， ． 是线段 靠近点 的三等分点， 是线段 靠近点 的三等分点． ， ， ． 综上所述：点 在射线 上运动（不与点 ， 重合）的过程中， 的长为定值6． 4．已知数轴上三点 ， ， 表示的数分别为6，0， ，动点 从 出发，以每秒6个单位的 速度沿数轴向左匀速运动． （1）当点 到点 的距离与点 到点 的距离相等时，点 在数轴上表示的数是 1 ； （2）另一动点 从 出发，以每秒4个单位的速度沿数轴向左匀速运动，若点 、 同时出发， 问点 运动多少时间追上点 ？ （3）若 为 的中点， 为 的中点，点 在运动过程中，线段 的长度是否发生变化？ 若发生变化，请你说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段 的长度． 【解答】解：（1） ， 表示的数分别为6， ， ， ， 点 表示的数是1， 故答案为：1；（2）设点 运动 秒时，在点 处追上点 ， 则： ， ， ， ， 解得， ， 点 运动5秒时，追上点 ； （3）线段 的长度不发生变化，理由如下分两种情况： ①当点 在 、 之间运动时（如图① ． ②当点 运动到点 左侧时（如图② ， ； 综上所述，线段 的长度不发生变化，其长度为5． 5．如图，数轴上 ， 两点对应的有理数分别为 和20，点 从点 出发，以每秒1个单位长 度的速度沿数轴正方向匀速运动，点 同时从点 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正 方向匀速运动，设运动时间为 秒． （1）分别求当 及 时，对应的线段 的长度； （2）当 时，求所有符合条件的 的值，并求出此时点 所对应的数； （3）若点 一直沿数轴的正方向运动，点 运动到点 时，立即改变运动方向，沿数轴的负方向 运动，到达点 时，随即停止运动，在点 的整个运动过程中，是否存在合适的 值，使得 ？若存在，求出所有符合条件的 值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）当运动时间为 秒时，点 对应的数为 ，点 对应的数为 ， ． 当 时， ； 当 时， ． 答：当 时，线段 的长度为8；当 时，线段 的长度为2． （2）根据题意得： ， 解得： 或 ， 当 时，点 对应的数为 ； 当 时，点 对应的数为 ． 答：当 时， 的值为5或15，此时点 所对应的数为0或20． （3）当运动时间为 秒时，点 对应的数为 ，点 对应的数为 ． 当 时， ， ， 解得： ， （舍去）； 当 时， ， ， 解得： ， （舍去）． 综上所述：在点 的整个运动过程中，存在合适的 值，使得 ，此时 的值为2或 ． 6．在数轴上点 表示的数是8， 是数轴上一点，且 ，动点 从点 出发，以每秒6个 单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为 秒．（1）①写出数轴上点 表示的数，②写出点 表示的数（用含 的代数式表示） （2）动点 从点 出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速前进，若点 ， 同时出发， 问点 运动多少秒时追上点 ？ （3）在（2）的情况下，若 为 的中点， 为 的中点，点 在运动的过程中，线段 的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请画出图形，并求出线段 的长． 【解答】解：（1）① ， ， 数轴上点 表示的数 或20， ②动点 从点 出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左运动，则点 表示的数 ； （2）分两种情况： 当点 在点 的左侧时，点 运动追上点 ，即 ， 解得 ； 当点 在点 的右侧时，点 运动追上点 ，即 ， 解得 （舍去）， 点 运动6秒追上点 ； （3）分两种情况： ①若点 在 之间运动，则 为 的中点， 为 的中点， ， ， ； ②若点 在 的延长线上运动，则 为 的中点， 为 的中点，， ， ； 综上所述，点 在运动的过程中， 的长度不会发生变化． 7． ， 两点在数轴上的位置如图所示，其中点 对应的有理数为 ，且 ．动点 从 点 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为 秒 ． （1）当 时， 的长为 2 ，点 表示的有理数为 ； （2）当 时，求 的值； （3） 为线段 的中点， 为线段 的中点．在点 运动的过程中，线段 的长度是否发 生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段 的长． 【解答】解：（1）设运动时间为 秒， 则 ，点 表示的有理数为 ， 当 时， ，点 表示的有理数为 ， 故答案为：2， ； （2）当点 在点 左侧时， ， ， ， 由题意得： ， 解得： ； 当点 在点 右侧时，由题意可得 ， 解得： ； 综上， 或6． （3）如图1，当点 在线段 上时， ；如图2，当点 在 延长线上时， ； 综上所述，线段 的长度不发生变化，其值为5． 8．如图，有两段线段 （单位长度）， （单位长度）在数轴上运动．点 在数轴上 表示的数是 ，点 在数轴上表示的数是15． （1）点 在数轴上表示的数是 ，点 在数轴上表示的数是 ，线段 （2）若线段 以1个单位长度 秒的速度向右匀速运动，同时线段 以2个单位长度 秒的速 度向左匀速运动．设运动时间为 秒，若 （单位长度），求 的值 （3）若线段 以1个单位长度 秒的速度向左匀速运动，同时线段 以2个单位长度 秒的速 度也向左运动．设运动时间为 秒，当 时，设 为 中点， 为 中点，则线段 的长为 ． 【解答】解：（1） ，点 在数轴上表示的数是 ， 点 在数轴上表示的数是 ； ，点 在数轴上表示的数是15， 点 在数轴上表示的数是14． ． 故答案为： ；14；24． （2）当运动时间为 秒时，点 在数轴上表示的数为 ，点 在数轴上表示的数为 ， ． ， ， 解得： ， ． 答：当 （单位长度）时， 的值为6或10． （3）当运动时间为 秒时，点 在数轴上表示的数为 ，点 在数轴上表示的数为 ， 点 在数轴上表示的数为 ，点 在数轴上表示的数为 ，， 点 一直在点 的右侧． 为 中点， 为 中点， 点 在数轴上表示的数为 ，点 在数轴上表示的数为 ， ． 故答案为： ． 9．如图， ， 两点在数轴上，点 表示的数为 ， ，点 以每秒2个单位长度的 速度从点 开始向左运动，点 以每秒3个单位长度的速度从点 开始向左运动（点 和点 同 时出发） （1）数轴上点 对应的数是 4 0 线段 的中点 对应的数是 （2）经过几秒，点 ，点 到原点的距离相等 （3）当 运动到什么位置时，点 与点 相距20个单位长度？ 【解答】解：（1） 点 表示的数为 ， ， ， ， 数轴上点 对应的数是40，线段 的中点 对应的数是15； 故答案为：40，15； （2）设经过 秒，点 、点 分别到原点 的距离相等 ①点 、点 在点 两侧，则 ， 解得 ； ②点 、点 重合，则 ， 解得 ． 所以经过6秒或50秒，点 、点 分别到原点 的距离相等； （3）设经过 秒，点 与点 相距20个单位长度， ① ，解得 ．此时 点在 处，② ，解得 ．此时 点在 处， 当 运动到 或 的位置时，点 与点 相距20个单位长度． 10．如图，已知数轴上有 、 、 三个点，它们表示的数分别是18，8， ． （1）填空： 1 0 ， ； （2）若点 以每秒1个单位长度的速度向右运动，同时，点 和点 分别以每秒2个单位长度和 5个单位长度的速度向左运动．试探索： 的值是否随着时间 的变化而改变？请说明理 由； （3）现有动点 、 都从 点出发，点 以每秒1个单位长度的速度向终点 移动；当点 移 动到 点时，点 才从 点出发，并以每秒3个单位长度的速度向左移动，且当点 到达 点 时，点 就停止移动．设点 移动的时间为 秒，试用含 的代数式表示 、 两点间的距离． 【解答】解：（1） ， ， 故答案为：10；18； （2）不变， 由题意得， ， ， ， 故 的值不随着时间 的变化而改变； （3）当 时， ， 当 时， ， 当 时， ， 故 、 两点间的距离为 或 或 ． 11．课题研究： 如图所示，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看到终点表示的数是 ，已知点 ， 是数轴上的点，请参照下图并思考． （1）如果点 表示数 ，将点 向右移动7个单位长度，那么终点 表示的数是 4 ， ， 两点间的距离是 ． （2）如果点 表示数3，将 点向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点 表示的数是 ， ， 两点间的距离为 ． （3）如果点 表示数 ，将 点向右移动2008个单位长度，再向左移动2009个单位长度，那 么终点 表示的数是 ， ， 两点间的距离是 ． 【解答】解：（1） 点 表示数 ， 点 向右移动 7 个单位长度，终点 表示的数是 ， ， 两点间的距离是 ； 故答案为：4，7； （2） 点 表示数3， 将 点向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度， 那么终点表示的数是 ， ， 两点间的距离为 ； 故答案为：1，2； （3） 点 表示数 ， 将 点向右移动2008个单位长度，再向左移动2009个单位长度， 那么终点 表示的数是 ， 、 两点间的距离是 ； 故答案为： ，1． 12 ． 已 知 数 轴 上 有 、 、 三 个 点 对 应 的 数 分 别 是 、 、 ， 且 满 足 ；动点 从 出发，以每秒1个单位的速度向终点 移动，设移 动时间为 秒． （1）求 、 、 的值； （2）若点 到 点距离是到 点距离的2倍，求点 的对应的数； （3）当点 运动到 点时，点 从 点出发，以每秒3个单位的速度向 点运动， 点到达点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点 ．在点 开始运动后第几秒时， 、 两点之 间的距离为4？请说明理由． 【解答】解：（1） ， ， ， ， 解得： ， ， ； （2） ， ①点 在 之间， ， ， 点 的对应的数是 ； ②点 在 的延长线上， ， ， 点 的对应的数是4； （3）当 点在 点的右侧，且 点还没追上 点时， ，解得 ； 当 在 点左侧时，且 点追上 点后， ，解得 ； 当 点到达 点后，当 点在 点左侧时， ， ； 当 点到达 点后，当 点在 点右侧时， ，解得 ， 综上所述：当 点开始运动后第5、9、12.5、14.5秒时， 、 两点之间的距离为4． 13．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数 轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点 、点 表示的数分别为 、 ，则 ， 两点之间 的距离 ，线段 的中点表示的数为 ． 【问题情境】如图，数轴上点 表示的数为 ，点 表示的数为8，点 从点 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点 从点 出发，以每秒2个单位长度的速度向左 匀速运动．设运动时间为 秒 ． 【综合运用】 （1）填空： ① 、 两点间的距离 1 0 ，线段 的中点表示的数为 ； ②用含 的代数式表示： 秒后，点 表示的数为 ；点 表示的数为 ． （2）求当 为何值时， 、 两点相遇，并写出相遇点所表示的数； （3）求当 为何值时， ； （4）若点 为 的中点，点 为 的中点，点 在运动过程中，线段 的长度是否发生变 化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段 的长． 【解答】解：（1）①10，3； ② ， ； （2） 当 、 两点相遇时， 、 表示的数相等 ， 解得： ， 当 时， 、 相遇， 此时， ， 相遇点表示的数为4； （3） 秒后，点 表示的数 ，点 表示的数为 ， ， 又 ， ，解得： 或3， 当： 或3时， ； （4） 点 表示的数为 ， 点 表示的数为 ， ． 14．如图，数轴上的点 和 分别表示0和10，点 是线段 上一动点，沿 以每秒 2个单位的速度往返运动1次， 是线段 的中点，设点 运动时间为 秒 ． （1）线段 的长度为 5 ； （2）当 时，点 所表示的数是 ； （3）求动点 所表示的数（用含 的代数式表示）； （4）在运动过程中，若 中点为 ，则 的长度是否发生变化？若不变，请求出它的值；若 变化，请直接用含 的代数式 的长度． 【解答】解：（1） 是线段 的中点， ； 故答案为：5； （2）当 时，点 所表示的数是 ， 故答案为：6； （3）当 时，动点 所表示的数是 ， 当 时，动点 所表示的数是 ； （4） 的长度发生变化， 当 时， ，当 时， ． 15．已知数轴上有三点 、 、 ，其位置如图1所示，数轴上点 表示的数为 ， ， （1）图1中点 在数轴上对应的数是 （2）如图2，动点 、 两点同时从 、 出发向右运动，同时动点 从点 向左运动，已知点 的速度是点 的速度的3倍，点 的速度是点 的速度2倍少5个单位长度 秒，点 在点 左 侧运动时，经过5秒，点 、 之间的距离与点 、 之间的距离相等，求动点 的速度 （3）如图3，若 点是 点右侧一点，点 在数轴上所表示的数为 ， 的中点为 ， 为 的4等分点且靠近于 点，若 ，求 的值． 【解答】解：（1） ，点 表示的数为 ， 点 表示的数为80． ， 点 表示的数为 ． 故答案为： ． （2）设点 的速度为 个单位长度 秒，则点 的速度为 个单位长度 秒，点 的速度为 个单位长度 秒， 当点 在点 左边时， 、 相遇时 ， ， 解得 ，， 点 的速度为19个单位长度 秒， （3）设 ， 的中点为 ， ， 为 的4等分点且靠近于 点， ， ， ， 解得 ， ． 16．如图，数轴上线段 （单位长度）， （单位长度），点 在数轴上表示的数是 ，点 在数轴上表示的数是16．若线段 以6个单位长度 秒的速度向右匀速运动，同时线 段 以2个单位长度 秒的速度向左匀速运动． （1）问运动多少时 （单位长度）？ （2）当运动到 （单位长度）时，点 在数轴上表示的数是 4 或 1 6 ； （3） 是线段 上一点，当 点运动到线段 上时，是否存在关系式 ，若存在， 求线段 的长；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）设运动 秒时， 单位长度， ①当点 在点 的左边时， 由题意得： 解得： ； ②当点 在点 的右边时， 由题意得： 解得： ． （2）当运动2秒时，点 在数轴上表示的数是4；当运动4秒时，点 在数轴上表示的数是16． （3）方法一： 存在关系式 ． 设运动时间为 秒， 当 时 ， 点 和 点 重 合 ， 点 在 线 段 上 ， ， 且 ， ， 当 时， ，即 ； 当 时，点 在点 和点 之间， ， ① 点 在 线 段 上 时 ， ， ， 当 时，有 ，即 ； 点 在 线 段 上 时 ， ， ， 当 时，有 ，即 ； 当 时，点 与点 重合， ， ， ， 当 时，有 ，即 ； 当 时 ， ， ， ， 时，有 ，即 ． 在 点左侧或右侧， 的长有2种可能，即5或3.5． 方法二： 设线段 未运动时点 所表示的数为 ， 点运动时间为 ， 则此时 点表示的数为 ， 点表示的数为 ， 点表示的数为 ， 点表示的数为 ， 点表示的数为 ， ， ， ， ， ， ， ， 即： ， ①当 点在 点右侧时， ， ， ； ②当 点在 点左侧时， ， ， ； 的长有2种可能，即5或3.5． 17．已知 、 两点在数轴上表示的数为 和 ， 、 均为数轴上的点，且 ． （ 1 ） 若 、 的 位 置 如 图 所 示 ， 试 化 简 ： ． （2）如图，若 ， ，求图中以 、 、 、 、 这5个点为端点的所有线段长度的和； （3）如图， 为 中点， 为 中点，且 ， ，若点 为数轴上一点， 且 ，试求点 所对应的数为多少？ 【解答】解：（1）由已知有： ， ， （3分） （2） （4分）又 （6分） 答：所有线段长度的和为41.6（8分） （3） 为 的中点， 为 的中点 ， （9分） 又解得： （10分） 若点 在点 的左边时，点 在原点的左边（图略） 故点 所对应的数为 （11分） 若点 在点 的右边时，点 在原点的右边（图略） 故点 所对应的数为3 答： 所对应的数为 或3．（12分） 18．对于数轴上的点 ，线段 ，给出如下定义： 为线段 上任意一点，我们把 、 两点间距离的最小值称为点 关于线段 的“靠近距 离”，记作 （点 ，线段 ；把 、 两点间的距离的最大值称为点 关于线段 的 “远离距离”，记作 （点 ，线段 ． 特别的，若点 与点 重合，则 ， 两点间的距离为0． 已知点 表示的数为 ，点 表示的数为2． 如图，若点 表示的数为3，则 （点 ，线段 ， （点 ，线段 ． （1）若点 表示的数为 ，则 （点 ，线段 2 ， （点 ，线段 ； （2）若点 表示的数为 ， （点 ，线段 ，则 的值为 ；若点 表示的数为 ， （点 ，线段 ，则 的值为 ． （3）若点 表示的数为 ，点 表示的数为 ， （点 ，线段 是 （点 ，线段 的3倍．求 的值． 【解答】解：（1） 点 表示的数为 ，（点 ，线段 ， （点 ，线段 ， 故答案为：2，9． （2）①当点 在点 的左侧： 有 ， ； 当点 在点 的右侧： 有 ， ， 的值为 或5． ②当点 在点 的左侧： 有 ， ； 当点 在点 的右侧： 有 ， ， 的值为 或7． （3）分两种情况： 当点 在点 的左侧， （点 ，线段 ， （点 ，线段 ， （点 ，线段 是 （点 ，线段 的3倍， ， ， 当点 在点 的右侧， （点 ，线段 ，（点 ，线段 ， （点 ，线段 是 （点 ，线段 的3倍， ， ， 综上所述： 的值为： 或6.5． 19．如图：在数轴上 点表示数 ， 点示数 ， 点表示数 ， 是最小的正整数，且 、 满 足 ． （1） ， ， ； （2）若将数轴折叠，使得 点与 点重合，则点 与数 表示的点重合； （3）点 、 、 开始在数轴上运动，若点 以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点 和点 分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设 秒钟过后，若点 与点 之间的距离表示为 ，点 与点 之间的距离表示为 ，点 与点 之间的距离表示为 ． 则 ， ， ．（用含 的代数式表示）． （4）直接写出点 为 中点时的 的值． 【解答】解：（1） ， ， ， 解得 ， ， 是最小的正整数， ， 故答案为： ，1，7． （2）由题意得， ， 对称点为 ， ， 故答案为：4． （3）由题意，得，， ， ， 故答案为， ， ， ． （4）点 为 的中点，故有 得， ， 得 ． 20．已知数轴上有 、 两个点． （1）如图1，若 ， 是 的中点， 为线段 上的一点，且 ，则 ， ， （用含 的代数式表示）； （2）如图2，若 、 、 三点对应的数分别为 ， ，20． ①当 、 两点同时向左运动，同时 点向右运动，已知点 、 、 的速度分别为8个单位长 度 秒、4个单位长度 秒、2个单位长度 秒，点 为线段 的中点，点 为线段 的中点， 在 、 相遇前，在运动多少秒时恰好满足： ． ②现有动点 、 都从 点出发，点 以每秒1个单位长度的速度向终点 移动；当点 移动到 点时，点 才从 点出发，并以每秒3个单位长度的速度向左移动，且当点 到达 点时，点 也停止移动（若设点 的运动时间为 ．当 两点间的距离恰为18个单位时，求满足条件的 时间 值． 【解答】解：（1） ， 为线段 上的一点，且 ， ， ， 是 的中点，， 故答案为： ， ， ； （2）① 若 、 、 三点对应的数分别为 ， ，20， ， 设 秒时， 在 右边时，恰好满足 ， ， ， 当 时， ， 解得： ， 秒时恰好满足 ； ②点 表示的数为 ，点 表示的数为 ， Ⅰ、当点 移动18秒时，点 没动，此时， 两点间的距离恰为18个单位； Ⅱ、点 在点 的右侧， ， 解得： ， Ⅲ、当点 在点 的左侧， ， 解得： ； 综上所述：当 为18秒、36秒和54秒时， 、 两点相距18个单位长度．