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专题 4.1 与线段有关的动点问题
【典例1】已知，线段AB上有三个点C、D、E，AB=18，AC=2BC，D、E为动点（点D在点E的左
侧），并且始终保持DE=8．
（1）如图1，当E为BC中点时，求AD的长；
（2）如图2，点F为线段BC的中点，AF=3AD，求AE的长；
（3）若点D从A出发向右运动（当点E到达点B时立即停止），运动的速度为每秒2个单位，当运动时
间t为多少秒时，使AD，BE两条线段中，一条的长度恰好是另一条的两倍．
【思路点拨】
（1）由AB=18，AC=2BC，求解AC,BC，再利用E为BC中点，求解EC, 再求解DC， 最后利用
AD=AC−CD，从而可得答案；
（2）由点F为线段BC的中点，求解CF,BF，再求解AF,AD，DF,EF,BE，再利用AE=AB−BE，
即可得到答案；
（3）如图3，以A为原点建立数轴，则C,B分别表示12,18，先确定DE的最长运动时间，再在运动后，
表示D对应的数为2t, E对应的数为8+2t, 求解AD,BE，再分两种情况列方程即可得到答案．
【解题过程】
解：（1）如图1，
∵ AB=18，AC=2BC，
2 1
∴AC= AB=12，BC= AB=6，
3 3
∵ E为BC中点时，
1
∴CE=BE= BC=3，
2
∵ DE=8,∴DC=DE−CE=8−3=5，
∴AD=AC−CD=12−5=7.
（2）如图2，
∵ 点F为线段BC的中点，
1
∴CF=BF= BC=3，
2
∵AB=AF+FB=18，
∴AF=18−3=15，
∵ AF=3AD，
∴AD=5，
∴DF=AF−AD=15−5=10，
∵DE=8，
∴EF=DF−DE=10−8=2，
∴BE=EF+BF=2+3=5，
∴AE=AB−BE=18−5=13.
（3）如图3，以A为原点建立数轴，则C,B分别表示12,18，
由运动开始前：BE=AB−DE=18−8=10，
10
∴ DE的最长运动时间为： =5s,
2
运动后，由题意可得：D对应的数为2t, E对应的数为8+2t,
∴AD=2t,BE=18−(8+2t)=10−2t,
当AD=2BE时，
∴2t=2(10−2t),
∴6t=20,
10
∴t= ，
3
10
经检验：t= 符合题意，
3
当2AD=BE时，∴4t=10−2t,
∴6t=10,
5
∴t= ,
3
5
经检验：t= 符合题意，
3
10 5
综上：当t= s或t= s时，AD，BE两条线段中，一条的长度恰好是另一条的两倍．
3 3
1．（2022·贵州黔西·七年级期末）如图，数轴上的点O和点A分别表示0和10，点P是线段OA上一动点.
点P沿O→A→O以每秒2个单位的速度往返运动1次，B是线段OA的中点，设点P运动时间为t秒（t不
超过10秒）.若点P在运动过程中，当PB=2时，则运动时间t的值为（ ）
3 7 3 7 13 17
A． 秒或 秒 B． 秒或 秒或 或 秒
2 2 2 2 2 2
13 17
C．3秒或7秒 D．3秒或 或7秒或 秒
2 2
1
2．（2021·河北·平山县外国语中学七年级期末）如图，C为射线AB上一点，AB＝30，AC比BC的 多
4
5，P，Q两点分别从A，B两点同时出发．分别以2单位/秒和1单位/秒的速度在射线AB上沿AB方向运
动，运动时间为t秒，M为BP的中点，N为QM的中点，以下结论：①BC＝2AC；②AB＝4NQ；③当PB
1
＝ BQ时，t＝12，其中正确结论的个数是（ ）
2
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2022·广东·南联学校七年级阶段练习）线段AB=15，点P从点A开始向点B以每秒1个单位长度的速
度运动，点Q从点B开始向点A以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一个点到达终点时另一个点也随之停止运动，当AP=2PQ时，t的值为________．
4．（2022·全国·七年级专题练习）如图直线l上有AB两点，AB=12cm，点O是线段AB上的一点，
OA=2OB，若点C是射线AB上一点，且满足AC=CO+CB，则OC＝______cm．
5．（2022·辽宁·辽阳市第一中学七年级期中）如图，P是线段AB上一点，AB＝18cm，C，D两动点分别
从点P，B同时出发沿射线BA向左运动，到达点A处即停止运动．
(1)若点C，D的速度分别是1cm/s，2cm/s．
①当动点C，D运动了2s，且点D仍在线段PB上时，AC＋PD＝_________cm；
②若点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，则AP∶PB＝_________；
(2)若动点C，D的速度分别是1cm/s，3cm/s，点C，D在运动时，总有PD＝3AC，求AP的长度．
6．（2022·全国·七年级课时练习）如图1，线段AB长为24个单位长度，动点P从A出发，以每秒2个单
位长度的速度沿射线AB运动，M为AP的中点，设P的运动时间为x秒．
(1)P在线段AB上运动，当PB=2AM时，求x的值．
(2)当P在线段AB上运动时，求(2BM−BP)的值．
(3)如图2，当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点，MN的长度是否发生变化?如不变，求出MN的长
度．如变化，请说明理由．7．（2022·全国·七年级专题练习）如图①，已知线段AB=12，点C为线段AB上的一点，点D，E分别是
AC和BC的中点．
（1）若AC=4，则DE的长为_____________；
（2）若BC=m，求DE的长；
（3）如图②，动点P，Q分别从A，B两点同时出发，相向而行，点P以每秒3个单位长度的速度沿线段
AB向右匀速运动，点Q以点P速度的两倍沿线段AB向左匀速运动，设运动时间为t秒，问当t为多少
时，P，Q之间的距离为6？
8．（2021·上海市民办新北郊初级中学七年级期末）如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从
P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上）
（1）若C、D运动到任一时刻时，总有PD＝2AC，请说明P点在线段AB上的位置：
PQ
（2）在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ＝PQ，求 的值．
AB
1
（3）在（1）的条件下，若C、D运动5秒后，恰好有CD= AB，此时C点停止运动，D点继续运动（D
2
MN
点在线段PB上），M、N分别是CD、PD的中点，下列结论：①PM﹣PN的值不变；② 的值不变，
AB
可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．9．（2022·全国·七年级专题练习）已知点C在线段AB上，AC=2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E
的左侧．若AB=18，DE=8，线段DE在线段AB上移动．
(1)如图1，当E为BC中点时，求AD的长；
(2)点F（异于A，B，C点）在线段AB上，AF=3AD，CE+EF=3，求AD的长．
10．（2022·江苏·南通田家炳中学七年级阶段练习）（1）如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘
米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点，求线段MN的长度；
（2）在（1）的条件下，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为
B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运
动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？11．（2022·浙江·七年级专题练习）【新知理解】如图①，点C在线段AB上，若BC=πAC，则称点C是线
段的圆周率点，线段AC、BC称作互为圆周率伴侣线段．
（1）若AC=2，求AB的长；
（2）在（1）的条件下，若点D也是图①中线段AB的圆周率点（不同于点C），试求出线段BD的长，并
判断AC与BD的数量关系；
【解决问题】（3）如图②，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重
合，并把圆片沿数轴向右无滑动性的滚动1周，该点到达C的位置，求点C所表示的数；若点M、N是线
段OC的圆周率点，求MN的长；
（4）图②中，若点D在射线OC上，且线段CD与O、C、D中某两个点为端点的线段互为圆周率伴侣线
段，请直接写出点D所表示的数（答案保留π）．
12．（2021·安徽蚌埠·七年级期末）如图，点A,B在数轴上分别表示有理数a,b，且a,b满足．
|a+2|+(b−5) 2=0
（1）点A表示的数是___________，点B表示的数是____________．
（2）若动点P从点A出发以每秒3个单位长度向右运动，动点Q从点B出发以每秒1个单位长度向点A运
动，到达A点即停止运动P,Q两点同时出发，且Q点停止运动时，P也随之停止运动，求经过多少秒时，
P,Q第一次相距3个单位长度？
（3）在（2）的条件下整个运动过程中，设运动时间为t秒，若AP的中点为M,BQ的中点为N，当t为何
值时，BM+AN=3PB？
4
13．（2022·全国·七年级课时练习）如图，已知线段AB，延长线段BA至C，使CB＝ AB．
3
AC
（1）请根据题意将图形补充完整．直接写出 ＝ _______；
AB
（2）设AB ＝ 9cm，点D从点B出发，点E从点A出发，分别以3cm/s，1cm/s的速度沿直线AB向左运
动．
AD
①当点D在线段AB上运动，求 的值；
CE
②在点D，E沿直线AB向左运动的过程中，M，N分别是线段DE、AB的中点．当点C恰好为线段BD的
三等分点时，求MN的长．14．（2022·江苏·七年级专题练习）如图，点A、B、C在数轴上对应的数分别是−12、b、c，且b、c满
足 ，动点 从点 出发以 单位/秒的速度向右运动，同时点 从点 出发，以 个单
(b−9) 2+|c−20|=0 P A 2 Q C 1
位/秒速度向左运动，O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，
之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，设运动时间为t秒．
（1）b=____，c=____，A、C两点间的距离为____个单位；
（2）①若动点P从A出发运动至点C时，求t的值；
②当P、Q两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数；
（3）当t=___时，P、Q两点到点B的距离相等．
15．（2022·全国·七年级专题练习）如图，直线l上有A，B两点，AB＝12cm，点O是线段AB上的一点，
OA＝2OB．
（1）则OA＝ cm，OB＝ cm；
（2）若点C是线段AB上一点（点C不与点A、B重合），且满足AC＝CO+CB，求CO的长；
（3）若动点P从点A出发，动点Q从点B同时出发，都向右运动，点P的速度为2cm/s．点Q的速度为
1cm/s，设运动时间为t（s）（其中t≥0）．
①若把直线l看作以O为原点，向右为正方向的一条数轴，则t（s）后，P点所到的点表示的数为 ；
此时，Q点所到的点表示的数为 ．（用含t的代数式表示）
②求当t为何值时，2OP﹣OQ＝4（cm）．16．（2022·全国·七年级专题练习）（理解新知）
如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线
段长度的2倍，则称点M是线段AB的“奇妙点”，
（1）线段的中点 这条线段的“奇妙点”（填“是”或“不是”）
（2）（初步应用）
如图②，若CD=24cm，点N是线段CD的“奇妙点”，则CN= cm；
（3）（解决问题）
如图③，已知AB=24cm，动点P从点A出发，以2cm/s速度沿AB向点B匀速移动，点Q从点B出发，以
3cm/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时
间为 t，请求出 为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“奇妙点”．
17．（2022·全国·七年级单元测试）已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出
发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）
(1)若AB＝11cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值．
(2)若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝ BM．
2MN
(3)在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求 的值．
3AB18．（2022·全国·七年级课时练习）如图，线段AB＝5cm，AC：CB＝3：2，点P以0.5cm/s的速度从点A
沿线段AC向点C运动；同时点Q以1cm/s从点C出发，在线段CB上做来回往返运动（即沿
C→B→C→B→…运动），当点P运动到点C时，点P、Q都停止运动，设点P运动的时间为t秒．
(1)当t＝1时，PQ＝ cm；
(2)当t为何值时，点C为线段PQ的中点？
(3)若点M是线段CQ的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长度保持不变？如果存
在，求出PM的长度；如果不存在，请说明理由．
19．（2022·全国·七年级课时练习）点C在线段AB上，BC＝2AC．(1) 如图1，P，Q两点同时从C，B出发，分别以1cm/s，2cm/s的速度沿直线AB向左运动；
AP
①在P还未到达A点时， 的值为 ；
CQ
MN
②当Q在P右侧时(点Q与C不重合)，取PQ中点M，CQ的中点是N，求 的值；
QB
1 BD
(2) 若D是直线AB上一点，且|AD−BD|= CD．则 的值为 ．
2 AB
20．（2021·辽宁大连·七年级期末）如图1所示，已知线段AB=32cm，点P为线段AB上一点（不与A、B重合），M，N两点分别从A、P同时出发沿射线AB向右运动，点M的运动速度为4cm/秒，点N运动
速度为3cm/秒，设运动时间为t秒(t≠8)．
（1）若AP=8cm，
①t=1时，则MN的长为______；
②点M、N在移动过程中，线段BM、MN之间是否存在某种确定的的数量关系，判断并说明理由；
AP
（2）如图2所示，点M、N在射线AB上移动，若BM=4，MN=3，直接写出 的值．
PB
