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专题13 与角相关的旋转（翻折）问题 专项讲练
与角有关的旋转（翻折）问题属于人教版 七年级上期必考压轴题型，是尖子生必须要攻克的一块重
要内容，对考生的综合素养要求较高。绝大部分学生对角度旋转问题信心不足，原因就是很多角度旋转问
题需要自己画出图形，与分类讨论思想、数形结合思想等结合得很紧密，思考性强，难度大。本专题重点
研究与角有关的旋转问题（求值问题；定值问题；探究问题；分类讨论问题）和与角有关的翻折问题。
【与角相关的旋转问题】
【解题技巧】
1、角度旋转问题解题步骤：
①找——根据题意找到目标角度；
②表——表示出目标角度：
1）角度一边动另一边不动，角度变大：目标角=起始角+速度×时间；
2）角度一边动另一边不动，角度变小：目标角=起始角—速度×时间；
3）角度一边动另一边不动，角度先变小后变大：
变小：目标角=起始角—速度×时间；变大：目标角=速度×时间—起始角
③列——根据题意列方程求解。
注：①注意题中是否确定旋转方向，未确定时要分顺时针与逆时针分类讨论；②注意旋转角度取值范围。
常见的三角板旋转的问题：三角板有两种，一种是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一种是特殊角的直
角三角板(90°、60°、30°)。三角板的旋转中隐藏的条件就是上面所说的这几个特殊角的角度。
总之不管这个角如何旋转，它的角度大小是不变的，旋转的度数就是组成角的两条射线旋转的度数（角平
分线也旋转了同样的度数）。抓住这些等量关系是解题的关键，三角板只是把具体的度数隐藏了起来。
【重要题型】
题型1：求值问题
例1．（2022·江苏·七年级期中）已知∠AOB和∠COD均为锐角，∠AOB＞∠COD，OP平分∠AOC，OQ
平分∠BOD，将∠COD绕着点O逆时针旋转，使∠BOC=α（0≤α＜180°）
（1）若∠AOB=60°，∠COD=40°，①当α=0°时，如图1，则∠POQ= ；②当α=80°时，如图2，求
∠POQ的度数；③当α=130°时，如图3，请先补全图形，然后求出∠POQ的度数；
（2）若∠AOB=m°，∠COD=n°，m＞n，则∠POQ= ，（请用含m、n的代数式表示）．【答案】（1）①50°；②50°；③130°；（2） m°+ n°或180°- m°- n°
【分析】（1）根据角的和差和角平分线的定义即可得到结论；（2）根据角的和差和角平分线的定义即可
得到结论．
【详解】解：（1）①∵∠AOB=60°，∠COD=40°，OP平分∠AOC，OQ平分∠BOD，
∴∠BOP= ∠AOB=30°，∠BOQ= ∠COD=20°，∴∠POQ=50°，故答案为：50°；
②解：∵∠AOB=60°，∠BOC=α=80°，∴∠AOC=140°，
∵OP平分∠AOC，∴∠POC= ∠AOC=70°，
∵∠COD=40°，∠BOC=α=80°，且OQ平分∠BOD，同理可求∠DOQ=60°，
∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=20°，∴∠POQ=∠POC-∠COQ=70°-20°=50°；
③解：补全图形如图3所示，
∵∠AOB=60°，∠BOC=α=130°，∴∠AOC=360°-60°-130°=170°，
∵OP平分∠AOC，∴∠POC= ∠AOC=85°，
∵∠COD=40°，∠BOC=α=130°，且OQ平分∠BOD，同理可求∠DOQ=85°，
∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=85°-40°=45°，∴∠POQ=∠POC+∠COQ=85°+45°=130°；
（2）当∠AOB=m°，∠COD=n°时，如图2，∴∠AOC= m°+ °，∵OP平分∠AOC，∴∠POC= (m°+ °)，
同理可求∠DOQ= (n°+ °)，∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC= (n°+ °)- n°= (-n°+ °)，
∴∠POQ=∠POC-∠COQ= (m°+ °)- (-n°+ °) = m°+ n°，
当∠AOB=m°，∠COD=n°时，如图3，
∵∠AOB=m°，∠BOC=α，∴∠AOC=360°-m°- °，
∵OP平分∠AOC，∴∠POC= ∠AOC=180° (m°+ °)，
∵∠COD=n°，∠BOC=α，且OQ平分∠BOD，同理可求∠DOQ= (n°+ °)，
∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC= (n°+ °)-n°= (-n°+ °)，
∴∠POQ=∠POC+∠COQ=180° (m°+ °)+ (-n°+ °) =180°- m°- n°，
综上所述，若∠AOB=m°，∠COD=n°，则∠POQ= m°+ n°或180°- m°- n°．
故答案为： m°+ n°或180°- m°- n°．
【点睛】本题考查了角的计算，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．
变式1．（2022•高新区期末）已知∠AOB＝90°，∠COD＝60°，按如图1所示摆放，将OA、OC边重合在
直线MN上，OB、OD边在直线MN的两侧：（1）保持∠AOB不动，将∠COD绕点O旋转至如图2所示的位置，则
①∠AOC+∠BOD＝ ；②∠BOC﹣∠AOD＝ ．
（2）若∠COD按每分钟5°的速度绕点O逆时针方向旋转，∠AOB按每分钟2°的速度也绕点O逆时针方向
旋转，OC旋转到射线ON上时都停止运动，设旋转t分钟，计算∠MOC﹣∠AOD（用t的代数式表示）．
（3）保持∠AOB不动，将∠COD绕点O逆时针方向旋转n°（n≤360），若射线OE平分∠AOC，射线OF
平分∠BOD，求∠EOF的大小．
【解题思路】（1）①将∠AOC+∠BOD拆分、转化为∠COD+∠AOB即可得；②依据∠BOC＝∠AOB﹣
∠AOC、∠AOD＝∠COD﹣∠AOC，将原式拆分、转化为∠AOB﹣∠COD计算可得；
（2）设运动时间为t秒，0＜t≤36，∠MOC＝（5t）°，只需表示出∠AOD即可得出答案，而∠AOD在OD
与OA相遇前、后表达式不同，故需分OD与OA相遇前后即0＜t≤20和20＜t≤36两种情况求解；
（3）设OC绕点O逆时针旋转n°，则OD也绕点O逆时针旋转n°，再分①射线OE、OF在射线OB同侧，
在直线MN同侧；②射线OE、OF在射线OB异侧，在直线MN同侧；③射线OE、OF在射线OB异侧，在
直线MN异侧；④射线OE、OF在射线OB同侧，在直线MN异侧；四种情况分别求解．
【解答过程】解：（1）①∠AOC+∠BOD
＝∠AOC+∠AOD+∠AOB
＝∠COD+∠AOB
＝60°+90°
＝150°；
②∠BOC﹣∠AOD
＝（∠AOB﹣∠AOC）﹣（∠COD﹣∠AOC）
＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD+∠AOC
＝∠AOB﹣∠COD
＝90°﹣60°
＝30°；
故答案为：150°、30°；（2）设运动时间为t秒，0＜t≤36，∠MOC＝（5t）°，
①0＜t≤20时，OD与OA相遇前，∠AOD＝（60+2t﹣5t）°＝（60﹣3t）°，
∴∠MOC﹣∠AOD＝（8t﹣60）°；
②20＜t≤36时，OD与OA相遇后，∠AOD＝[5t﹣（60+2t）]°＝（3t﹣60）°，
∴∠MOC﹣∠AOD＝（2t+60）°；
（3）设OC绕点O逆时针旋转n°，则OD也绕点O逆时针旋转n°，
①0＜n°≤150°时，如图4，
射线OE、OF在射线OB同侧，在直线MN同侧，
1 1 1 1
∵∠BOF= [90°﹣（n﹣60°）]= （150﹣n）°，∠BOE＝（90− n）°= （180﹣n）°，
2 2 2 2
∴∠EOF＝∠BOE﹣∠BOF＝15°；
②150°＜n°≤180°时，如图5，
射线OE、OF在射线OB异侧，在直线MN同侧，
1 1 1
∵∠BOF= (n−150)°，∠BOE＝（90− n）°= （180﹣n）°，
2 2 2
∴∠EOF＝∠BOE+∠BOF＝15°；
③180°＜n°≤330°时，如图6，射线OE、OF在射线OB异侧，在直线MN异侧，
1 1
∵∠DOF= (n−150)°，∠COE= (360−n)°，
2 2
∴∠EOF＝∠DOF+∠COD+∠COE＝165°；
④330°＜n°≤360°时，如图7，
射线OE、OF在射线OB同侧，在直线MN异侧，
1 1 1
∵∠DOF= [360﹣（n﹣150）]°= （510﹣n）°，∠COE= (360−n)°，
2 2 2
∴∠EOF＝∠DOF﹣∠COD﹣∠COE＝15°；
综上，∠EOF＝15°或165°．
变式2.（2022•浙江七年级期中）如图1， 为直线 上一点，过点 作射线 ， ，将
一直角三角板（ ）的直角顶点放在点 处，一边 在射线 上，另一边 与 都在直
线 的上方．（注：本题旋转角度最多 ．）（1）将图1中的三角板绕点 以每秒 的速度沿顺时针方向旋转．如图2，经过 秒后，
______度（用含 的式子表示），若 恰好平分 ，则 ______秒（直接写结果）．
（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线 也绕 点以每秒 的速度沿顺时针方向旋
转，如图3，经过 秒后， ______度（用含 的式子表示）若 平分 ，求 为多少秒？
（3）若（2）问的条件不变，那么经过秒 平分 ？（直接写结果）
【答案】（1） ，5；（2） ， ；（3）经过 秒 平分
【解析】（1） ，∵ ，∴
∵ 平分 ， ，∴ ，∴
∴ ，解得： 秒
（2） 度
∵ ， 平分 ，∴
∴ ，∴ 解得： 秒
（3）如图：∵ ，
由题可设 为 ， 为 ，∴
∵ ， ，解得： 秒
答：经过 秒 平分 ．
题型2：定值问题（角度不变问题）
例2．（2022·江苏南京·七年级期末）如图，两条直线AB，CD相交于点O，且∠AOC＝∠AOD，射线OM
从OB开始绕O点逆时针方向旋转，速度为15°/s，射线ON同时从OD开始绕O点顺时针方向旋转，速度
为12°/s，运动时间为t秒（0＜t＜12，本题出现的角均小于平角）
（1）图中一定有 个直角；当t＝2时，∠MON的度数为 ，∠BON的度数为 ；
（2）若OE平分∠COM，OF平分∠NOD，当∠EOF为直角时，请求出t的值；
（3）当射线OM在∠COB内部，且 是定值时，求t的取值范围，并求出这个定值．
【答案】(1)4；144°，114°；(2)t的值为10s；(3)当射线OM在∠COB内部，且 是定值时，t的取值范围为 ＜t＜6，这个定值是3
【分析】(1)由直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝∠AOD即可得到共4个直角；当t＝2时求得∠BOM＝
30°，∠NON＝24°，即可得到∠MON、∠BON的度数；
(2)用t分别表示出∠BOM＝15t，∠NOD＝12t，∠COM＝15t﹣90°，根据OE平分∠COM，OF平分
∠NOD，分别求得∠COE、∠DOF,由∠EOF为直角即∠COE+∠DOF＝90°，列出方程解答即可.
(3)先确定∠MON＝180°时，∠BOM＝90°时t的值，再分两种情况进行计算，得到0＜t＜ 时
不是定值，当 ＜t＜6时， =3是定值.
【详解】（1）如图所示，∵两条直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝∠AOD，
∴∠AOC＝∠AOD＝90°，∴∠BOC＝∠BOD＝90°，∴图中一定有4个直角；
当t＝2时，∠BOM＝30°，∠NON＝24°，
∴∠MON＝30°+90°+24°＝144°，∠BON＝90°+24°＝114°；
故答案为：4；144°，114°；
（2）如图所示，∠BOM＝15t，∠NOD＝12t，∠COM＝15t﹣90°，
∵OE平分∠COM，OF平分∠NOD，
∴∠COE＝ ∠COM＝ （15t﹣90°），∠DOF＝ ∠DON＝ ×12t，
∵当∠EOF为直角时，∠COE+∠DOF＝90°，∴ （15t﹣90°）＝ ×12t，解得t＝10，
∴当∠EOF为直角时，t的值为10s；
（3）当∠MON＝180°时，∠BOM+∠BOD+∠DON＝180°，
∴15t+90°+12t＝180°，解得t＝ ，
当∠BOM＝90°时，15t＝90°，解得t＝6，
①如图所示，当0＜t＜ 时，
∠COM＝90°﹣15t，∠BON＝90°+12t，
∠MON＝∠BOM+∠BOD+∠DON＝15t+90°+12t，
∴ ＝ ，（不是定值）
②如图所示，当 ＜t＜6时，
∠COM＝90°﹣15t，∠BON＝90°+12t，
∠MON＝360°﹣（∠BOM+∠BOD+∠DON）＝360°﹣（15t+90°+12t）＝270°﹣27t，
∴ ＝ =3，（是定值）综上所述，当射线OM在∠COB内部，且 是定值时，
t的取值范围为 ＜t＜6，这个定值是3．
【点睛】此题考察图形中的运动问题，(3)先确定∠MON＝180°时，∠BOM＝90°时t的值，再分两种情况
进行计算，得到0＜t＜ 时 不是定值，当 ＜t＜6时， =3是定值.
变式1．（2022•渝中区七年级期中）如图 1，∠AOB＝40°，∠COD＝60°，OM、ON分别为∠AOB和
∠BOD的角平分线．（1）若∠MON＝70°，则∠BOC＝ °；（2）如图2，∠COD从第（1）问中的位
置出发，绕点O逆时针以每秒4°的速度旋转；当OC与OA重合时，∠COD立即反向绕点O顺时针以每秒
6°的速度旋转，直到OC与OA互为反向延长线时停止运动．整个运动过程中，∠COD的大小不变，OC旋
转后的对应射线记为OC′，OD旋转后的对应射线记为OD′，∠BOD′的角平分线记为ON′，∠AOD′的角平
分线记为OP．设运动时间为t秒．①当OC′平分∠BON′时，求出对应的t的值；②请问在整个运动过程中，
是否存在某个时间段使得|∠BOP﹣∠MON′|的值不变？若存在，请直接写出这个定值及其对应的t的取值范
围（包含运动的起止时间）；若不存在，请说明理由．
【解题思路】（1）根据角平分线的定义结合图形根据已知条件求角的大小；
（2）①分类讨论顺时针、逆时针转两种情况，根据角平分线的定义用t表示出角的度数，列出等量关系式
求出t；②分类讨论顺时针、逆时针转两种情况，当C′在B下方时，当C′在B上方时，根据角平分线的定
义用t表示出角的度数，求在某个时间段使得|∠BOP﹣∠MON′|的值不变，求出这个定值及其对应的t的取
值范围．【解答过程】解：（1）∵OM为∠AOB的角平分线、∠AOB＝40°，∴∠MOB＝20°．
∵∠MON＝70°，∴∠BON＝∠MON﹣∠MOB＝50°．
∵ON为∠BOD的角平分线，∴∠BON＝∠DON＝50°．
∴∠CON＝∠COD﹣∠DON＝10°∴∠BOC＝∠DON﹣∠CON＝40°．故答案为：40°．
（2）如图①：①逆时针旋转时：
当C′在B上方时，根据题意可知，∠BOC′＝40°﹣4t，∠BOD′＝∠BOD﹣4t＝100°﹣4t．
1 1
∠BON′= ∠BOD′= (100°−4t)=50°﹣2t，
2 2
∵OC′平分∠BON′，
1 1
∴∠BOC′= ∠BON'，即40°﹣4t= （50°﹣2t），解得：t＝5（s）．
2 2
当C′在B下方时，此时C′也在N′下方，此时不存在OC′平分∠BON′．
顺时针旋转时：如图②，
同理当C′在B下方时，此时C′也在N′下方，此时不存在OC′平分∠BON′．
当C′在B上方时，即OC′与OB重合，
由题意可求OC′与OB重合用的时间＝∠AOC÷4+∠AOB÷6
＝（∠AOB+∠BOC）÷4+∠AOB÷6
80
= （s）．
3
80
∴OC′与OB重合之后，∠BOC′＝6（t− ）（s）．
3
80
∴∠BOD′＝∠BOC′+60°＝6（t− ）+60°＝6t﹣100°．
3
1 1
∴∠BON′= ∠BOD'= （6t﹣100°）＝3t﹣50°，
2 2
∵OC′平分∠BON′，
1
∴∠BOC′= ∠BON'，
2
80 1
∴6（t− ）= （3t﹣50°），
3 2
解得：t＝30（s）
综上所述t的值为5或30．
②逆时针旋转时：当C′在B上方时，如图③
根据①可知，∠BOC′＝40°﹣4t，∠BOD′＝100°﹣4t，∠BON′＝50°﹣2t．∴∠AOD′＝∠AOB+∠BOD′＝140°﹣4t，
1 1
∴∠AOP= ∠AOD'= ∠(140°−4t)=70°﹣2t，
2 2
∴∠BOP＝∠AOP﹣∠AOB＝30°﹣2t，
∵∠MON′＝∠MOB+∠BON′＝70°﹣2t，
∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|30°﹣2t﹣70°+2t|＝40°，
此段时间0≤t≤10s；
如图④当C′在B下方时，设经过OB后运动时间为t，
2
同理可知，∠BOC′＝4t，∠BOD′＝60°﹣4t，
2 2
1
∴∠MON'= ∠BON'=30−2t ，
2 2
∴∠AOD′＝∠AOB+∠BOD′＝100°﹣4t，
2
1
∴∠AOP= ∠AOD'=50°−2t ，
2 2
∴∠BOP＝∠AOP﹣∠AOB＝10°﹣2t，
2
∵∠MON′＝∠MOB+∠BON′＝50°﹣2t，
2
∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|10°﹣2t﹣50°+2t|＝40°．此时：10＜t≤20；
2 2
顺时针旋转时：当C′在B下方时，如图⑤，
设经过OB后运动时间为t，
1
同理可知：∠BOC′＝40°﹣6t，∠BOD′＝20°+6t，
1 1
1
∴∠BON'= ∠BOD'=10°+3t ，
2 1
∴∠AOD′＝60°+6t，∠AOP＝30°+3t，
1 1
∴∠BOP＝∠AOP﹣∠AOB＝3t﹣10°，
1
∵∠MON′＝∠MOB+∠BON′＝30°﹣3t，
1
∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|3t﹣10°﹣30°﹣3t|＝40°，
1 1
80
此时：20＜t≤ ；
3
当C′在B上方时，如图⑥，
设经过OB后运动时间为t，
3
同理可知：，∠BOC′＝60°+6t，∠BOD′＝100°+6t，
3 3
1
∴∠BON′= ∠BON'=50°+3t，
2 3∴∠AOD′＝140°+6t，∴∠AOP＝70°+3t，
3 3
∴∠BOP＝∠AOP﹣∠AOB＝30°+3t，
3
∵∠MON′＝∠MOB+∠BON′＝70°+3t，
3
80
∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|30°+3t﹣70°﹣3t|＝40°，此时： ＜t≤50．
3 3 3
综上所述：存在且定值为40°，0≤t≤50．
变式2．（2022•碑林区七年级开学）如图 1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝
120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问：
直线ON是否平分∠AOC？请直接写出结论：直线ON 平分 （平分或不平分）∠AOC．
（2）将图1中的三角板绕点O按每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线
ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为 1 0 或 4 0 ．（直接写出结果）
（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转，请探究，当ON始终在∠AOC的内部时（如图3），∠AOM
与∠NOC的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请举例说明．
【解题思路】（1）设ON的反向延长线为OD，由角平分线的性质和对顶角的性质可求得∠BON＝∠AOD＝∠COD＝30°；
（2）由直线ON恰好平分锐角∠AOC可知旋转60°或240°时直线ON平分∠AOC，根据旋转速度可求得需
要的时间；
（3）由∠MON＝90°，∠AOC＝60°，可知∠AOM＝90°﹣∠AON、∠NOC＝60°﹣∠AON，最后求得两角
的差，从而可做出判断．
【解答过程】解：（1）直线ON平分∠AOC．
理由如下：设ON的反向延长线为OD，
∵OM平分∠BOC，∠BOC＝120°，
1
∴∠MOC＝∠MOB= ∠BOC＝60°，
2
又∠MOD＝∠MON＝90°，
∴∠COD＝90°﹣∠MOC＝30°，
∵∠AOC＝180°﹣∠BOC＝60°，
1
∴∠COD= ∠AOC，∴OD平分∠AOC，
2
即直线ON平分∠AOC，故答案为：平分；
（2）∵∠BOC＝120°，∴∠AOC＝60°．
∴∠BON＝∠COD＝30°．
即旋转60°或240°时直线ON平分∠AOC．
由题意得，6t＝60或240．
解得：t＝10或40，故答案为：10或40；
（3）∠AOM﹣∠NOC的差不变．
∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°，
∴∠AOM＝90°﹣∠AON、∠NOC＝60°﹣∠AON．
∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°．
∴∠AOM与∠NOC的差不变，这个差值是30°．
题型3：探究类问题（判断角的数量之间的关系）
例3．（2022·四川·成都市七年级期末）如图所示：点 是直线 上一点，∠ 是直角， 平分∠
．（1）如图1，若∠ =40°，求∠ 的度数；
（2）如图1，若∠ = ，直接写出∠ 的度数（用含 的代数式表示）；
（3）保持题目条件不变，将图1中的∠ 按顺时针方向旋转至图2所示的位置，探究∠ 和∠
的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．
【答案】（1）20°；（2） ；（3） ，理由见解析
【分析】（1）首先求得∠BPC，∠BPD的度数，然后根据角平分线的定义求得∠BPE的度数，再根据
即可求解；
（2）解法与（1）相同，把（1）中的40°改成α即可；
（3）把∠APC的度数作为已知量，求得∠BPC的度数，然后根据角的平分线的定义求得∠BPE的度数，
再根据 即可解决．
【详解】（1）∵ ， ，
∴ ，
，
又∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ．
（2）∵ ， ，
∴ ，
，
又∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ．（3）结论： ．理由如下：
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
又∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了角度的计算，正确理解角平分线的定义，理解角度之间的和差关系是关键．
变式1．（2022·广东七年级期中）如图（a），将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．
（1）若∠DCE=25°，∠ACB 等于多少；若∠ACB=130°，则∠DCE 等于多少；
（2）猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系，并说明理由；
（3）如图（b），若是两个同样的三角尺60°锐角的顶点A重合在一起，则∠DAB与∠CAE的大小有何关
系，请说明理由；（4）已知∠AOB=α，∠COD=β（α、β都是锐角），如图（c），若把它们的顶点O重
合在一起，则∠AOD与∠BOC的大小有何关系，请说明理由．
【答案】（1）∠ACB=155°；∠DCE=50°；（2）∠ACB+∠DCE=180°，理由见解析；（3）
∠DAB+∠CAE=120°，理由见解析；（4）∠AOD+∠BOC=α+β，理由见解析．
【分析】（1）先求出∠BCD，再代入∠ACB=∠ACD+∠BCD求出即可；先求出∠BCD，再代入
∠DCE=∠BCE﹣∠BCD求出即可；（2）根据∠ACB=∠ACE+∠DCE+∠DCE求出即可；
（3）根据∠DAB=∠DAE+∠CAE+∠CAB求出即可；（4）根据∠AOD=∠AOC+∠COB+∠BOD求出即可．
【详解】解：(1)∵∠BCE=90°，∠DCE=25°，∴∠BCD=∠BCE﹣∠DCE=65°，
∵∠ACD=90°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°+65°=155°；∵∠ACB=130°，∠ACD=90°，∴∠BCD=∠ACB﹣∠ACD=130°﹣90°=40°，
∵∠BCE=90°，∴∠DCE=∠BCE﹣∠BCD=90°﹣40°=50°，故答案为：155°，50°；
（2）∠ACB+∠DCE=180°，理由如下：∵∠ACB=∠ACE+∠DCE+∠DCE，
∴∠ACB+∠DCE=∠ACE+∠DCE+∠DCE+∠DCE=∠ACD+∠BCE=180°；
（3）∠DAB+∠CAE=120°，理由如下：∵∠DAB=∠DAE+∠CAE+∠CAB，
∴∠DAB+∠CAE=∠DAE+∠CAE+∠CAB+∠CAE=∠DAC+∠BAE=120°；
（4）∠AOD+∠BOC=α+β，理由如下：∵∠AOD=∠AOC+∠COB+∠BOD，
∴∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠COB+∠BOD+∠BOC=∠AOB+∠COD=α+β．
【点睛】本题考查了角的运算，理解角的和差运算是解题的关键．
变式2．（2022•喀喇沁旗七年级期中）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝
120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使点N在OC的反向延长线上，请直接写出图中∠MOB
的度数；（2）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分
∠BOC，求∠CON的度数；（3）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图4，使ON在∠AOC内部，请
探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．
【解题思路】（1）根据对顶角求出∠BON，代入∠BOM＝∠MON﹣∠BON求出即可；
（2）求出∠BOC＝120°，根据角平分线定义请求出∠COM＝∠BOM＝60°，代入∠CON＝∠MON+∠COM
求出即可；
（3）用∠AOM和∠CON表示出∠AON，然后列出方程整理即可得解．
【解答过程】解：（1）如图2，∵∠AOC＝60°，∴∠BON＝∠AOC＝60°，
∵∠MON＝90°，∴∠BOM＝∠MON﹣∠BON＝30°，故答案为：30°；
（2）∵∠AOC＝60°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝120°，
∵OM平分∠BOC，∴∠COM＝∠BOM＝60°，
∵∠MON＝90°，∴∠CON＝∠MON+∠COM＝90°+60°＝150°；
（3）∠AOM﹣∠NOC＝30°，理由是：∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°，
∴∠AON＝90°﹣∠AOM，∠AON＝60°﹣∠NOC，
∴90°﹣∠AOM＝60°﹣∠NOC，∴∠AOM﹣∠NOC＝30°，
故∠AOM与∠NOC之间的数量关系为：∠AOM﹣∠NOC＝30°．
题型4：分类讨论问题
例4．（2022·成都市七中育才学校七年级月考）一副三角板（直角三角板 和直角三角板 ）如图
1所示放置，两个顶点重合于点 ， 与 重合，且 ， ， ，
．将三角板 绕着点 逆时针旋转一周，旋转过程中， 平分 ， 平分
，（ 和 均是指小于180°的角）探究 的度数．
（1）当三角板 绕点 旋转至如图2的位置时， 与 重合， ______°， ______°．
（2）三角板 绕点 旋转过程中， 的度数还有其他可能吗？如果有，请研究证明结论，若没有，
请说明理由．（3）类比拓展：当 的度数为 时，其他条件不变，在旋转过程中，请直
接写出 的度数．（用含 的式子来表示）
【答案】（1）150；75 （2）有，105° （3） 或
【分析】（1）利用两个角的和的定义,角的平分线的定义计算即可； （2）利用分类思想， 确定不同方式
计算即可；（3）利用特殊与一般的思想，分类将问题抽象即可．
【详解】（1）如图，由 与 重合，∵ ， ，∴ ．
又∵ 平分 ， 平分 ，∴ ， ，
∴ ．故答案为：150°；75°；
（2）如图，∵ 平分 ， 平分 ，
∴
+30° +30° +30° ．
∴ ，∴ ．
（3）如图，∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
，
∴ = +60°- = ；
如图，∵OE平分 ， 平分 ，
∴ ，
∴
．
综上所述， 或 ．
【点睛】本题考查了两个角的和，角的平分线，周角的定义，灵活运用分类思想，角的平分线定义，角的和，差定义计算是解题的关键．
变式1.（2022•广东七年级期末）如图（1），∠BOC和∠AOB都是锐角，射线OB在∠AOC内部，
， ．（本题所涉及的角都是小于180°的角）
(1)如图（2），OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，填空：
①当 ， 时， ______， ______， ______；
② ______（用含有 或 的代数式表示）．
(2)如图（3），P为∠AOB内任意一点，直线PQ过点O，点Q在∠AOB外部：
①当OM平分∠POB，ON平分∠POA，∠MON的度数为______；
②当OM平分∠QOB，ON平分∠QOA，∠MON的度数为______；
（∠MON的度数用含有 或 的代数式表示）
(3)如图（4），当 ， 时，射线OP从OC处以5°/分的速度绕点O开始逆时针旋转一周，同
时射线OQ从OB处以相同的速度绕点O逆时针也旋转一周，OM平分∠POQ，ON平分∠POA，那么多少
分钟时，∠MON的度数是40°？
【答案】(1) ；(2) ， ；(3) 分钟时，∠MON的度数是40°
【解析】(1)① OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，
当 ， 时， ，
，
② ，故答案为：
(2)① OM平分∠POB，ON平分∠POA，② OM平分∠QOB，ON平分∠QOA，
故答案为： ，
(3)根据题意
OM平分∠POQ，
如图，当 在 的外部时，
MON的度数是40°
ON平分∠POA， ， ，则 旋转了
分，即 分钟时，∠MON的度数是40°
如图， 在 的内部时，
即
此情况不存在，综上所述， 分钟时，∠MON的度数是40°
变式2．（2022·成都市七年级阶段练习）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两
条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角，如图1，若
，则 是 的内半角．
（1）如图1，已知 ， ， 是 的内半角，则 ________；
（2）如图2，已知 ，将 绕点 按顺时针方向旋转一个角度 得 ，当旋转的角度 为何值时， 是 的内半角；
（3）已知 ，把一块含有 角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点 以3度/秒的速度按顺时
针方向旋转（如图4），问：在旋转一周的过程中，射线 ， ， ， 能否构成内半角？若能，
请求出旋转的时间；若不能，请说明理由．
【答案】（1） ；（2） ；（3）能， 或 或 或 ．
【分析】（1）根据内半角的定义解答即可；
（2）根据内半角的定义解答即可；
（3）设按顺时针方向旋转一个角度 ，旋转的时间为 ，根据内半角的定义列方程即可得到结论．
【详解】（1）∵ 是 的内半角， ，∴ ，
∵ ，∴ ，故答案为： ．
（2）∵ ，∴ ，
∵ 是 的内半角，∴ ，∴ ，
∴旋转的角度 为 时， 是 的内半角．
（3）设按顺时针方向旋转一个角度 ，旋转的时间为 ，
如图1，∵ 是 的内半角， ，
∴ ，∴ ，解得： ，∴ ；如图2，∵ 是 的内半角， ，
∴ ，∴ ，∴ ，∴ ；
如图3，∵ 是 的内半角， ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ；
如图4，∵ 是 的内半角， ，
∴ ，
∴ ，解得： ，∴ ，
综上所述，当旋转的时间为 或 或 或 时，射线 ， ， ， 能构成内半角．
【点睛】本题考查了与角的有关的计算，涉及到角的和差，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的
关键．【折叠（翻折）问题】
【解题技巧】
折叠前后对应角、对应边相等；出现角的比值或无角的具体度数却求度数常设x列方程。在旋转问题
中求解角度是初一数学的难点题型，需要熟悉并灵活运用角度求解的方法，本文就例题详细解析这类题型
的解题思路，希望能给初一学生的数学学习带来帮助。
解决本题的关键是根据题目给出的角度或角与角之间的关系，确定射线旋转的角度，再根据射线的旋
转速度，就可以求得射线旋转的时间，特别要注意在角的两边所处位置不明确的情况下，必须要考虑多解
的可能。
例1．（2022·山东东营·期末）如图，长方形纸片 ，点 、 分别在边 、 上，连接 ．将
对折，点 落在直线 上的点 处，得折痕 ；将 对折，点 落在直线 上的点 处，
得折痕 ．则 的度数为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】B
【分析】由翻折可得∠FEN＝∠AEN，∠FEM＝∠BEM，从而可得∠NEM＝ ∠AEB，进而求解．
【详解】解：由翻折可得∠FEN＝∠AEN＝ ∠AEF，∠FEM＝∠BEM＝ ∠BEF，
∴∠NEM＝∠FEN＋∠FEM＝ （∠AEF＋∠BEF）＝ ×180°＝90°．故选：B．
【点睛】本题考查角的计算，解题关键通过翻折得到角相等．
变式1．（2022·辽宁沈阳·七年级期末）将一张长方形纸片 按如图所示方式折叠，AE、AF为折痕，
点B、D折叠后的对应点分别为 、 ，若 ，则 的度数为（ ）A．40.5° B．41° C．41.5° D．42°
【答案】B
【分析】由长方形和折叠的性质结合题意可求出 ．再根据
，即可求出答案．
【详解】由长方形的性质可知： ．
∴ ，即
．
由折叠的性质可知 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．故选B．
【点睛】本题考查长方形的性质，折叠的性质．利用数形结合的思想找到角之间的关系是解题关键．
例2．（2022·辽宁西丰县·七年级期中）利用折纸可以作出角平分线．
（1）如图1，若∠AOB＝58°，则∠BOC＝ ．
（2）折叠长方形纸片，OC，OD均是折痕，折叠后，点A落在点A′，点B落在点B'，连接OA'．
①如图2，当点B'在OA'上时，判断∠AOC与∠BOD的关系，并说明理由；
②如图3，当点B'在∠COA'的内部时，连接OB'，若∠AOC＝44°，∠BOD＝61°，求∠A'OB'的度数．
【答案】（1）29°；（2）①∠AOC+∠BOD＝90°，理由见解析；②30°
【分析】（1）由折叠得出∠AOC＝∠BOC，即可得出结论；（2）①由折叠得出∠AOA'＝2∠AOC，
∠BOB'＝2∠BOD，再由点B'落在OA'上，得出∠AOA'+∠BOB'＝180°，即可得出结论；
②同①的方法求出∠AOA'＝88°，∠BOB'＝122°，即可得出结论．【详解】解：（1）由折叠知，∠AOC＝∠BOC＝ ∠AOB，
∵∠AOB＝58°，∴∠BOC＝ ∠AOB＝ ×58°＝29°，故答案为：29°；
（2）①∠AOC+∠BOD＝90°，
理由：由折叠知，∠AOC＝∠A'OC，∴∠AOA'＝2∠AOC，
由折叠知，∠BOD＝∠B'OD，∴∠BOB'＝2∠BOD，
∵点B'落在OA'，∴∠AOA'+∠BOB'＝180°，∴2∠AOC+2∠BOD＝180°，∴∠AOC+∠BOD＝90°；
②由折叠知，∠AOA'＝2∠AOC，∠BOB'＝2∠BOD，
∵∠AOC＝44°，∠BOD＝61°，∴∠AOA'＝2∠AOC＝2×44°＝88°，∠BOB'＝2∠BOD＝2×61°＝122°，
∴∠A'OB'＝∠AOA'+∠BOB'﹣180°＝88°+122°﹣180°＝30°，即∠A'OB'的度数为30°．
【点睛】此题主要考查了折叠的性质，平角的定义，角的和差的计算，从图形中找出角之间的关系是解本
题的关键．
变式2．（2022·湖南长沙·七年级月考）已知长方形纸片ABCD， E、F分别是AD、AB上的一点，点I在
射线BC上、连接EF，FI，将∠A沿EF所在的直线对折，点A落在点H处，∠B沿FI所在的直线对折，
点B落在点G处．(1)如图1，当HF与GF重合时，则∠EFI＝_________°；
(2)如图2，当重叠角∠HFG＝30°时，求∠EFI的度数；
(3)如图3，当∠GFI＝α，∠EFH＝β时，∠GFI绕点F进行逆时针旋转，且∠GFI总有一条边在∠EFH内，
PF是∠GFH的角平分线，QF是∠EFI的角平分线，旋转过程中求出∠PFQ的度数(用含α，β的式子表示)．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ．
【分析】（1）根据折叠的性质可得∠HFE=∠AFE，∠IFG=∠IFB，再根据
∠HFE+∠AFE+∠IFG+∠IFB=180°，即可得到∠EFI=∠HFE+∠IFH=90°；（2）令 ， ，推导出x与y的和即可求得答案；
（3）先求出∠GFH，∠GFP，∠QFI，根据 ，即可得到答案.
【详解】（1）由折叠的性质得∠HFE=∠AFE，∠IFG=∠IFB，
∵∠HFE+∠AFE+∠IFG+∠IFB=180°，∴∠EFI=∠HFE+∠IFH=90°；
（2）令 ， ∵ 30°∴ 30°+x， 30+y，
∴ 180°，
即 90°，∴ 45°，∴ 75°；
（3） , ，
∴ 180°，∴ 90°，
又∵ ，
.
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，角的计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.课后专项训练
1．（2022·偃师市实验中学初一月考）如图,将长方形纸片ABCD的∠C沿着GF折叠(点F在BC上,不与
B,C重合),使点C落在长方形内部的点E处,若FH平分∠BFE,则∠GFH的度数是____.
【答案】90°
【分析】根据折叠求出∠CFG=∠EFG= ∠CFE，根据角平分线定义求出∠HFE= ∠BFE，即可求出
∠GFH=∠GFE+∠HFE= ∠CFB．
【解析】∵将长方形纸片ABCD的角C沿着GF折叠（点F在BC上，不与B，C重合），使点C落在长方
形内部点E处，∴∠CFG=∠EFG= ∠CFE，
∵FH平分∠BFE，∴∠HFE= ∠BFE，
∴∠GFH=∠GFE+∠HFE= （∠CFE+∠BFE）= ×180°=90°，故答案为：90°．
【点睛】本题考查了角的计算，折叠的性质，角平分线定义的应用，主要考查学生的推理和计算能力．
2．（2022·东平县实验中学初一期中）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD、BE为折痕，若
∠CBD＝66°，则∠ABE＝_________.【答案】24°
【分析】根据翻折的性质可知，∠ABE＝∠A′BE，∠DBC＝∠DBC′，再根据平角的度数是180°，∠CBD
＝66°，继而即可求出答案．
【解析】解：根据翻折的性质可知，∠ABE＝∠A′BE，∠DBC＝∠DBC′，
又∵∠ABE＋∠A′BE＋∠DBC＋∠DBC′＝180°，∴∠ABE＋∠DBC＝90°，
又∠CBD＝66°，∴∠ABE＝24°，故答案为：24°.
【点睛】题考查了角的计算，解题的关键是根据翻折变换的性质，得出三角形折叠以后的图形和原图形全
等，对应的角相等，得出∠ABE＝∠A′BE，∠DBC＝∠DBC′．
3．（2022·重庆七年级期中）如图，将一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠后，点C落在点E处，连
接BE交AD于F，再将三角形DEF沿DF折叠后，点E落在点G处，若DG刚好平分∠ADB，那么∠ADB
的度数是（ ）
A．18° B．20° C．36° D．45°
解：由折叠可知，∠BDC＝∠BDE，∠EDF＝∠GDF，
∵DG平分∠ADB，
∴∠BDG＝∠GDF，
∴∠EDF＝∠BDG，
∴∠BDE＝∠EDF+∠GDF+∠BDG＝3∠GDF，
∴∠BDC＝∠BDE＝3∠GDF，
∠BDA＝∠GDF+∠BDG＝2∠GDF，
∵∠BDC+∠BDA＝90°＝3∠GDF+2∠GDF＝5∠GDF，
∴∠GDF＝18°，∴∠ADB＝2∠GDF＝2×18°＝36°．
故选：C．
4．（2022·山西·初一期末）如图1，长方形纸片 ，点 分别在边 上，连接 ，将
对折，点 落在直线 上的点 处，的到折痕 ；将 对折，点 落在直线 上的点
处，得到折痕 .（1）求 的度数. （2）如图2，在（1）的基础上，将纸片展平，然后将
对折，点 落在直线 上的 处，得到折痕 ，猜想 和 的数量关系，并说明
理由.
图1 图2
【答案】(1) ;(2) ，理由见解析.
【分析】（1）由对折可得 ， ，再由
代入即可得出结果；
（2）先根据折叠的性质推出 ，由（1）可得
，最后由 代入可得出结果.
【解析】解：（1）由对折可得 ， ，
所以；
（2） .理由如下：由对折可得 .
又因为 ，所以 .
由（1）可得 .
所以 .
即 .
【点睛】本题考查角的计算，翻折变换，角平分线的定义，角的和差定义等知识，解题的关键是掌握基本
概念和性质，属于中考常考题型．
4．（2022·四川省金堂实验中学初一月考）如图，以直线 AB 上一点 O 为端点作射线 OC，使
∠BOC=70°，将一个直角三角形的直角顶点放在点 O 处．（注：∠DOE=90°）
(1)如图①，若直角三角板 DOE 的一边 OD 放在射线 OB 上，则∠COE= °；
(2)如图②，将直角三角板 DOE 绕点 O 逆时针方向转动到某个位置，若 OC 恰好平分∠BOE，求
∠COD 的度数；(3)如图③，将直角三角板 DOE 绕点 O 转动，如果 OD 始终在∠BOC 的内部， 试
猜想∠BOD 和∠COE 有怎样的数量关系？并说明理由．
【答案】（1）20；（2）20 º；（3）∠COE﹣∠BOD=20°．
分析：（1）根据图形得出∠COE=∠DOE-∠BOC，代入求出即可；（2）根据角平分线定义求出
∠EOB=2∠BOC=140°，代入∠BOD=∠BOE-∠DOE，求出∠BOD，代入∠COD=∠BOC-∠BOD求出即可；
（3）根据图形得出∠BOD+∠COD=∠BOC=70°，∠COE+∠COD=∠DOE=90°，相减即可求出答案．【解析】（1）如图①，∠COE=∠DOE﹣∠BOC=90°﹣70°=20°；
（2）如图②，∵OC平分∠EOB，∠BOC=70°，∴∠EOB=2∠BOC=140°，
∵∠DOE=90°，∴∠BOD=∠BOE﹣∠DOE=50°，
∵∠BOC=70°，∴∠COD=∠BOC﹣∠BOD=20°；
（3）∠COE﹣∠BOD=20°，
理由是：如图③，∵∠BOD+∠COD=∠BOC=70°，∠COE+∠COD=∠DOE=90°，
∴（∠COE+∠COD）﹣（∠BOD+∠COD）=∠COE+∠COD﹣∠BOD﹣∠COD
=∠COE﹣∠BOD=90°﹣70°=20°，即∠COE﹣∠BOD=20°．
点睛：本题考查了角的综合计算，能根据图形和已知条件求出各个角之间的关系是解此题的关键．
5．（2022·山东·济南市天桥区泺口实验学校七年级期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C
按如图方式叠放在一起，其中∠A=60°，∠B=45°．
(1)如图1，若∠DCE=40°，则∠ACE= ．∠ACB= ．
(2)由（1）猜想∠ACB和∠DCE的数量关系，并证明你的结论：
(3)若固定△ACD，将△BCE绕点C旋转．
①如图2，当旋转至BE AC时，则∠ACE= ．
②如图3，当旋转至BC AD时，则∠ACE= ．
【答案】(1)50°，140°
(2)∠ACB+∠DCE=180°，证明见解析
(3)①45°；②30°
【分析】对于（1），根据直角定义求出∠ACE的度数，即可求出∠ACB的度数；
对于（2），将∠ACB+∠DCE转化为∠ACE+∠BCE+∠DCE，再求出答案；
对于（3）①，先根据两直线平行内错角相等得出答案；
对于②，先根据两直线平行，同旁内角互补，求出∠ACB的度数，进而得出答案．
（1）∵∠ACD=90°，∠DCE=40°，
∴∠ACE=50°．
∵∠BCE=90°，
∴∠ACB=∠ACE+∠BCE=50°+90°=140°．
故答案为：50°，140°；
（2）
∠ACB+∠DCE=180°．
理由如下：∠ACB+∠DCE=∠ACE+∠BCE+∠DCE=∠BCE+∠ACD=180°；
（3）
①∵ ，
∴∠ACE=∠E=45°．
故答案为：45°；
②∵ ，
∴∠A+∠ACB=180°．
∵∠A=60°，
∴∠ACB=120°．
∵∠BCE=90°，
∴∠ACE=∠ACB-∠BCE==120°-90°=30°．
故答案为：30°．
【点睛】本题主要考查了角的和差，平行线的性质等，灵活选择平行线的性质是解题的关键．
6．（2022·上海·七年级专题练习）（1）已知：如图1，P是直角三角板ABC斜边AB上的一个动点，
CD、CE分别是∠ACP和∠BCP的平分线．当点P在斜边AB上移动时，∠DCE＝ °；
（2）把直角三角板的直角顶点C放在直尺的一边MN上：
①点A和点B在直线MN的上方（如图2），此时∠ACM与∠BCN的数量关系是∠ACM+∠BCN＝
；
②当把这把直角三角板绕顶点C旋转到点A在直线MN的下方、点B仍然在直线MN的上方时（如图
3），∠ACM与∠BCN的数量关系是 ；
③当把这把直角三角板绕顶点C旋转到点A和点B都在直线MN的下方时（如图4），∠ACM与∠BCN的
数量关系是 ．【答案】（1）45；（2）①90°；②∠BCN﹣∠ACM＝90°；③∠ACM+∠BCN＝270°
【分析】（1）根据角平分线定义得出 ， ，根据
，计算求解即可；
（2）①根据 ，计算求解即可；②由题意知 ，
，进而可得 ，计算求解即可；③由题意知，
， ， ，对
计算求解即可．
【详解】（1）解：由题意知， ， ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：45．
（2）①解：由题意知， ， ，
∴ ，
故答案为：90°．
②解：由题意知， ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
③解：由题意知， ， ， ，
∴ ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了角平分线定义，与三角板有关的角的和差计算．明确角之间的数量关系是解题的关键．
7．（2022·湖南株洲·七年级期末）点 为直线 上一点，过点 作射线 ，使 ，将一直角
三角板的直角顶点放在点 处．
(1)如图1，当三角板 的一边 与射线 重合时，则 ________；
(2)如图2，将三角板 绕点 逆时针旋转一定角度，此时 是 的平分线，求 和
的度数；(3)将三角板 绕点 逆时针旋转至图3所示的位置时， ，求 的度数．
【答案】(1)25°
(2)∠AOM＝50°，∠CON＝25°
(3) ＝70°
【分析】（1）根据∠MON和∠BOC的度数可以得到∠MON的度数；
（2）根据OC是∠MOB的角平分线，∠BOC＝65°可以求得∠BOM的度数，由∠NOM＝90°，可得∠BON
的度数，从而可得∠CON的度数；
（3）根据平角的定义求出∠NOC＝5°，再根据角的和差即可得解．
（1）
解：∵∠MON＝90°，∠BOC＝65°，
∴∠MOC＝∠MON−∠BOC＝90°−65°＝25°，
故答案为：25°；
（2）
∵∠BOC＝65°，OC是∠MOB的角平分线，
∴∠MOB＝2∠BOC＝130°，
∴∠AOM＝180°−∠MOB＝180°−130°＝50°，∠BON＝∠MOB−∠MON＝130°−90°＝40°，
∠CON＝∠COB−∠BON＝65°−40°＝25°，即∠AOM＝50°，∠CON＝25°；
（3）
∵∠AOM＋∠MON＋∠NOC＋∠BOC＝180°，∠BOC＝65°，∠MON＝90°，
∴∠AOM＋∠MON＝180°−65°−90°＝25°，
∵∠AOM＝4∠NOC，
∴∠NOC＝5°，
∴∠NOB＝∠NOC＋∠BOC＝70°．
【点睛】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，三角板的知识，角的计算，熟记概念并准确识图理清
图中各角度之间的关系是解题的关键．
8．（2022·江苏盐城·七年级期末）【阅读理解】
如图1，一套三角板如图拼在一起，我们将三角板COD绕点O以每秒15°的速度顺时针旋转180°．
【解决问题】
（1）在旋转过程中，∠AOB、∠AOC、∠BOC之间有怎样的数量关系？
（2）当运动时间为9秒时，图中有角平分线吗？找出并说明理由．
（3）运动过程中，如图2，形成的三个角：∠AOB、∠AOC、∠BOC，当其中一个角的度数是另一个角的
两倍时，则称射线OC是∠AOB的“优线”．
①第（2）问中旋转后的射线OC是“优线”吗？为什么？
②在整个旋转过程中，若旋转时间记为t秒，当射线OC是“优线”时，请直接写出所有满足条件的t值．
【答案】（1）∠AOC+∠BOC=∠AOB或者∠AOC-∠BOC=∠AOB；（2）有，理由见解析；（3）①是，理
由见解析；②t=2，3，4，9，12
【分析】（1）根据题意画出图形可得结论；
（2）分别计算出角的度数可得结论；
（3）①根据“优线”的定义可判断；②根据题意全面考虑所有可能并分类讨论可得t的值．【详解】（1）如图，当OC在∠AOB内部时，∠AOC+∠BOC=∠AOB，
当OC在∠AOB外部时，∠AOC-∠BOC=∠AOB，
∴∠AOC+∠BOC=∠AOB或者∠AOC-∠BOC=∠AOB
（2）有，理由如下：
射线OD平分∠AOB，射线OB平分∠COD．
当运动时间为9秒时，∠AOC=15°×9=135°
则∠BOC=∠AOC-∠AOB=135°-90°=45°
因为∠COD=90°，
所以∠BOD=∠COD-∠BOC=90°-45°=45°
∠BOC=∠BOD=45°
所以射线OB平分∠COD
又因为∠BOD=45°= ∠AOB
所以射线OD平分∠AOB
（3）①是，理由如下：
第（2）问中∠AOB=90°，∠AOC=135°，∠BOC=45°
则∠AOB=2∠BOC
所以OC是∠AOB的“优线”．
②由题意得，∠AOB＝90°，∠AOC＝15t，
当∠BOC＝2∠AOC时，∠AOC＝30°，
∴15t＝30，解得t＝2；当∠AO＝2∠AOC时，∠AOC＝45°，
∴15t＝45，解得t＝3；
当∠AOC＝2∠BOC时，∠AOC＝60°，
∴15t＝60，解得t＝4；
当∠AOB＝2∠BOC时，∠AOC＝135°，
∴15t＝135，解得t＝9；
当∠AOC＝2∠AOB时，∠AOC＝180°，
∴15t＝180，解得t＝12．
综上，t＝2，3，4，9，12．
【点睛】本题主要考查了三角尺中角度的计算，几何图形中角的计算，根据题意全面考虑所有可能以分类
讨论是解题的关键．
9．（2022·江苏连云港·七年级期末）【问题提出】
七年级上册《数学实验手册》中有“三角尺拼角”的问题．
(1)①填空：如图（1），用副三角板可以直接画出大于 小于 的角，它们是：
， ， ， ， ， ， ， ，______， ， ．
②如果用两副三角板能画出 吗？________．（填“能”或“不能”）
(2)【问题探究】如图（2），现有 、 角的两种模板， ， ，请设计一种方案，
只用给出的模板和铅笔画出 角．
小明想出了一个方案，利用 角模板画出 角．动手操作：如图（3），M、O、N三点在一条直线上，
的顶点A与点O重合， 边与射线 重合，如图所示，将 绕点O逆时针旋转 ，得
，再将 绕点O逆时针旋转 ，得 ，…，如此连续操作52次．再利用两个平角等
于一个周角，可得 的角，即： ．
请聪明的你设计一个方案，利用 角模板画出 角，并说明理由．(3)【问题拓展】现将【问题探究】中两种模板按照如图（4）所示放置，即M、O、N三点在一条直线上，
与 的顶点A、D都与点O重合， 、 边与射线 重合．动手操作：将 绕点O以每
秒 的速度逆时针方向旋转一周，同时 也绕点O以每秒 的速度逆时针方向旋转一周，当一方先
完成旋转一周时，另一方随之停止转动．．设运动时间为t（秒）．
①当t为何值时， ？
②请直接写出在旋转过程中， 与 的数量关系（数量关系中不能含t）．
【答案】(1)①135°，②不能；
(2)见解析；
(3)① t为1或3时，∠COF＝1°；②∠NOC﹣3∠COF＝23°或∠NOC+3∠COF＝23°．
【问题提出】①根据用一副三角板可以直接画出角的度数是15的倍数可解答；
②根据用两副三角板可以直接画出角的度数也是15的倍数可解答；
【问题探究】根据利用17°角画出1°角的过程可得解决方法；
【问题拓展】①用含t的代数式表示∠COF，再根据方程可得答案；
②用含t的代数式分别表示∠COF和∠NOC，再根据结果不能含t，整理即可得到结论．
（1）解：①用一副三角板可以直接画出大于0°小于180°的角，角的度数是15的倍数，
所以这些角是度数是15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165°．
故答案为：135°；
②用两副三角板可以直接画出大于0°小于180°的角，角的度数也是15的倍数，
而140°不是15的倍数，所以不能画出140°的角．
故答案为：不能；
（2）
解：如图，M、O、N三点在一条直线上，∠FDE的顶点D与点O重合，DE边与射线ON重合，如图所示，
将∠EDF绕点O逆时针旋转17°，如此连续旋转，操作19次，再利用两个平角等于一个周角，可得1°的角，
即：19°×19﹣180°×2＝1°．
（3）
解：①由题意可得，∠NOC＝17°+3t，∠NOF＝19°+2t，
∴∠COF＝|（17°+3t）﹣（19°+2t）|＝|t﹣2°|，
∴|t﹣2°|＝1°，
解得t＝1或3，
答：当t为1或3时，∠COF＝1°；
②在旋转过程中，∠NOC＝17°+3t，∠COF＝|t﹣2°|，
当∠COF＝t﹣2°时，3∠COF＝3t﹣6°，
∴∠NOC﹣3∠COF＝17°+3t﹣3t+6°＝23°；
当∠COF＝2°﹣t时，3∠COF＝6°﹣3t，
∴∠NOC+3∠COF＝17°+3t+6°﹣3t＝23°．
综上，∠NOC﹣3∠COF＝23°或∠NOC+3∠COF＝23°．
【点睛】本题考查角的计算，熟练掌握角的和差是解题关键．
10．（2022·安徽亳州·七年级期末）如图（ ）所示，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．(1)若 ，则 ________°；若∠ACB=130°，则 _________°．
(2)如图（b）所示，若两个同样的三角板，将 锐角的顶点A叠放在一起，则 与 有何数量关
系，请说明理由．
(3)如图（c）所示，已知 ， （ ， 都是锐角）．若把它们的顶点O叠放在一起，
则 与 有何数量关系，直接写出结论．
【答案】(1)155，50；
(2)∠DAB+∠CAE=120°，理由见解析；
(3)
【分析】(1) 先求出∠BCD，再代入∠ACB=∠ACD+∠BCD求出即可；
(2)根据∠DAB=∠DAE+∠EAB求出即可；
(3) 根据∠AOD=∠AOC+∠COB+∠BOD求出即可．
（1）
解∶ ∵∠BCE=90°，∠DCE=25°，
∴∠BCD=∠BCE-∠DCE=65°，
∵∠ACD=90° ，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°+65°=155°；
∵∠ACB=130°，∠ACD=90° ，
∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=130°-90°=40°，
∵∠BCE=90°，
∴∠DCE=∠BCE-∠BCD=90°-40°=50°，
故答案为∶155，50；
（2）
∠DAB+∠CAE=120°，理由如下∶∵∠DAC=∠EAB=60°，
∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=60°-∠EAC，
∴∠DAB=∠DAE+∠EAB=60°-∠EAC+60°=120°-∠EAC，
∴∠DAB+∠CAE=120°；
（3）
解： ，理由如下，
∵
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了几何图形中角度的计算，正确理解图形中角的位置关系，掌握三角板中各角的度数是
解题的关键．
11．（2022·福建泉州·七年级期末）如图， ，射线 以 的速度从 位置出发，射线
以 的速度从 位置出发，设两条射线同时绕点 逆时针旋转 ．
(1)当 时，求 的度数；
(2)若 ．
①当三条射线 、 、 构成的三个度数大于 的角中，有两个角相等，求此时 的值；
②在射线 ， 转动过程中，射线 始终在 内部，且 平分 ，当 ，求
的值．
【答案】(1)
(2)① 或 ；②【分析】（1）根据题意求得OD与OA重合，∠AOC＝20°，即可得到∠COD的度数；
（2）①分三种情况，列出方程，解方程即可得到答案；②先证明 运动至 外部．由
， ，可以得到 ，又因为
平分 ，则 ，从而求出 ，再求得
，即可求得答案．
（1）
解：依题意，当 时，射线 运动的度数为 ，
∵ ，
∴此时 与 重合，
射线 运动的度数为 ，
即 ，
∴当 时， ．
（2）
①若 时，分下面三种情形讨论：
（i）如图1，
当 时， ，
∴ ，符合 ．
（ii）如图2，当 时， ，
∴ ，符合 ．
（iii）如图3，
当 时， ，
∴ ，不在 范围内，舍去．
综上所得 或 ．
②如图4，∵ ，
∴ ， ，
∴ 最大度数为 ， 最大度数为 ．
∵ ，
∴当 时， ，
∴ ，即 ，
∴ 运动至 外部．
此时， ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ．
【点睛】此题主要考查了与角平分线有关的计算、图形的旋转、角之间计算、一元一次方程的应用等知识，
解题的关键是找到等量关系列方程．
12．（2022·安徽·定远县第一初级中学七年级期末）已知 ， ，OM，ON分别是
和 的平分线．(1)如图1，如果OA，OC重合，且OD在 的内部，求 的度数；
(2)如图2，固定 ，将图1中的 绕点O顺时针旋转 （ ）．
① 与旋转度数 有怎样的数量关系？说明理由；
②当n为多少时， 为直角？
(3)如果 的位置和大小不变， 的边OD的位置不变，改变 的大小；将图1中的OC绕着O
点顺时针旋转 （ ），如图3，请直接写出 与旋转度数 之间的数量关系：_____．
【答案】(1)25°
(2)①n°＋25°，②n＝65
(3)∠MON= m°＋25°
【分析】（1）如图1，根据OM平分∠AOB，∠AOB＝130°，求出∠AOM，再根据ON平分∠COD，
∠COD＝80°，可出∠AON，进而求出∠MON＝∠AOM﹣∠AON；
（2）①根据图形中角的和差关系可直接求出；②当∠MON＝90°时，由于n°＋25°＝90°，所以n＝65，
（3）根据图中角的和差关系可得：∠MON＝∠COM﹣∠CON，即可得出答案．
（1）
如图1，∵OM平分∠AOB，∠AOB＝130°，
∴∠AOM＝ ∠AOB＝ ×130°＝65°，
∵ON平分∠COD，∠COD＝80°，
∴∠AON＝ ∠COD＝ ×80°＝40°，
∴∠MON＝∠AOM﹣∠AON＝65°﹣40°＝25°，
（2）
①如图2中，∠MON＝∠COM﹣∠NOC＝65°＋n°﹣40°＝n°＋25°，②当∠MON＝90°时，n°＋25°＝90°，
∴n＝65，
（3）
如图3中，∠MON＝∠COM﹣∠CON＝65°＋m°﹣ （80°＋m°）＝ m°＋25°．
故答案是：∠MON＝ m°＋25°．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义和角的和差关系，解决本题的关键是要熟练掌握角平分线的定义，
并能结合图形分析角的和差关系．
13．（2022·湖北武汉·七年级期末）【学习概念】 如图1，在∠AOB的内部引一条射线OC，则图中共有3
个角，分别是∠AOB、∠AOC和∠BOC．若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是
∠AOB的“好好线”．
【理解运用】
（1）①如图2，若∠MPQ＝∠NPQ，则射线PQ ∠MPN的“好好线”（填“是”或“不是”）；
②若∠MPQ≠∠NPQ，∠MPQ＝α，且射线PQ是∠MPN的“好好线”，请用含α的代数式表示∠MPN；
【拓展提升】
（2）如图3，若∠MPN＝120°，射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒12°的速度逆时针旋转，旋转的时
间为t秒．当PQ与PN成110°时停止旋转．同时射线PM绕点P以每秒6°的速度顺时针旋转，并与PQ同
时停止． 当PQ、PM其中一条射线是另一条射线与射线PN的夹角的“好好线”时，则t＝
秒．
【答案】（1）①是；②∠MPN= α，3α；（2）t= ，4，5秒．
【分析】（1）①根据新定义的理解，即可得到答案；
②根据题意，可分为两种情况：当∠MPQ=2∠QPN时；当∠QPN=2∠MPQ时；分别求出∠MPN即可；（2）根据题意，设运用的时间为t秒，则PM运用后有 ， ，然后对PM和PQ
的运动情况进行分析，可分为四种情况进行分析，分别求出每一种情况的运动时间，即可得到答案．
【详解】解：（1）①如图，若∠MPQ＝∠NPQ，
∴∠MPN=2∠NPQ=2∠MPQ，
∴射线PQ是∠MPN的“好好线”；
②∵射线PQ是∠MPN的“好好线”
又∵ ∠MPQ≠∠NPQ
∴此题有两种情况
Ⅰ．如图1，当∠MPQ=2∠QPN时
∵∠MPQ=α
∴∠QPN= α
∴∠MPN=∠MPQ+∠QPN= α；
Ⅱ．如图2，当∠QPN=2∠MPQ时∵∠MPQ=α
∴∠QPN=2α
∴∠MPN=∠MPQ+∠QPN=3α
综上所述：∠MPN= α或∠MPN=3α．
（2）根据题意，PM运动前∠MPN＝120°，
设运用的时间为t秒，则PM运用后有
， ，
①当 时，如图：
∴ ，
解得： ；
②当 ，即 时，如图：
∴ ，
解得： ；
③当 ，如图：∴ ，
解得： ；
④当 ，如图：
∵ ， ，
∴ ，
解得： ；
∵ 的最大值为： ，
∴ 不符合题意，舍去；
综合上述，t= ，4，5秒．
【点睛】本题考查了新定义的角度运算，角度的和差关系，以及一元一次方程的应用，解题的关键是熟练
掌握题意，正确掌握运动状态，运用分类讨论的思想进行分析．
14．（2022·江苏淮安·七年级期末）【阅读理解】
射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠AOC＝ ∠BOC，则称射线OC是射线OA在∠AOB内的一条
“友好线”．如图1，若∠AOB＝75°，∠AOC＝25°，则∠AOC＝ ∠BOC，所以射线OC是射线OA在
∠AOB内的一条“友好线”．
【解决问题】
(1)在图1中，若作∠BOC的平分线OD，则射线OD （填“是”或“不是”）射线OB在∠AOB内
的一条“友好线”；
(2)如图2，∠AOB的度数为n，射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，ON平分∠AOB，则
∠MON的度数为 （用含n的代数式表示）；
(3)如图3，射线OB先从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒1°的速度逆时针旋转；10秒后射线OC
也从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒5°的速度逆时针旋转，当射线OC与射线OA的延长线重
合时，运动停止．问：当射线OC运动时间为多少秒时，射线OA，OB，OC中恰好有一条射线是余下两条
射线中某条射线在余下两条射线所组成的角内的一条“友好线”？
【答案】(1)是
(2) n
(3) 或 或 或 或 秒
【分析】（1）根据“友好线”定义即可作出判断；
（2）根据“友好线”定义即可求解；
（3）利用分类讨论思想，分别作出图形，分情况进行计算即可．
(1)
解：∵OB是∠BOC的平分线，∴∠BOD＝∠COD，
∵∠COA＝ ∠BOC，
∴∠BOD＝ ∠AOD，
∴射线OD是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”．
故答案为：是．
(2)
∵射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，∠AOB的度数为n，
∴∠BOM＝ ∠AOB＝ n，
∵ON平分∠AOB，
∴∠BON＝ ∠AOB＝ n，
∴∠MON＝∠BON﹣∠BOM＝ n﹣ n＝ n．
故答案为： n．
(3)
设运动时间为x秒时，射线OA、OB、OC中恰好有一条射线是其余两条射线中某条射线的“友好线”．
当射线OC与射线OA的延长线重合时，运动停止
如图，当射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”时，当 时，
根据题意可得 , ,则解得
如图,当射线OC是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”时，当 时，
, ,
解得
即运动时间为 秒时，射线OC是射线OB的“友好线”．
③如图，当射线OB是射线OA在∠AOC内的一条“友好线”时，则∠AOB＝ ∠COB，
, ,
所以10+x＝ ，
解得x＝ （符合题意），
即运动时间为 秒时，射线OB是射线OA的“友好线”．
④如图，当射线OB是射线OC在∠AOC内的一条“友好线”时，则 ∠AOB＝∠COB，, ,
解得
⑤如图， ,
当 时
解得：
当 时
解得：综上所述，当运动时间为 或 或 或 或 秒时，符合题意要求．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，角的计算，解决本题的关键是利用分类讨论思想．
15．（2022·江苏无锡·七年级期末）类比角平分线的概念，如果一条射线把一个角分成1：2两部分，则称
这条射线为这个角的一条三等分线，
(1)如图，已知 ， 是 的一条三等分线，．且 ，求 的度数；
(2)如图， ， 是 的一条三等分线（ ）， 是 的角平分线，
是 的角平分线．若 以每秒5的速度绕点O逆时针旋转一周，旋转时间为t秒，当t为何值
时，射线 恰好是 的一条三等分线．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）根据角的三等分线的意义进行计算求解；
（2）根据角平分线的定义和角的三等分线的意义，分两种情况进行计算求解．
(1)
解： ，OC是 的一条三等分线，且 ，
；
(2)
解： ，OC是 的一条三等分线，且 ，， ．
∵OE是 的角平分线，OF是∠AOB的角平分线，
∴ ， ，
，
．
设旋转后的角为 ，旋转的时间为t秒，
如图2-1，当OB是 的一条三等分线，且 时，
，
，
，
解得 (秒)；
如图2-2，当OB是 的一条三等分线，且 时，，
，
，
解得 (秒)，
当 秒或 秒时，射线OB恰好是 的一条三等分线．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，理解角平分线、角三等分线的意义是正确解答的前提．
16．（2022·扬州市七年级期末）如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠BOC=120°．将
一块直角三角板的直角顶点放在点O处，边OM与射线OB重合，另一边ON位于直线AB的下方．（1）
将图1的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问：此时ON
所在直线是否平分∠AOC？请说明理由；
（2）将图1中的三角板绕点O以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，设旋转时间为t秒，在旋转的过程
中，ON所在直线或OM所在直线何时会恰好平分∠AOC？请求所有满足条件的t值；
（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使边ON在∠AOC的内部，试探索在旋转过程中，
∠AOM和∠CON的差是否会发生变化？若不变，请求出这个定值；若变化，请求出变化范围．【答案】（1）直线ON平分∠AOC，见解析；（2）10秒或40秒或25秒或55秒；（3）不变，30°
【分析】（1）直线ON平分∠AOC，设ON的反向延长线为OD，已知OM平分∠BOC，根据角平分线的
定义可得∠MOC=∠MOB，又由OM⊥ON，根据垂直的定义可得∠MOD=∠MON=90°，所以
∠COD=∠BON，再根据对顶角相等可得∠AOD=∠BON，即可∠COD=∠AOD，结论得证；
（2）分直线ON平分∠AOC时和当直线OM平分∠AOC时两种情况进行讨论求解即可；
（3）设∠AON=x°，则∠CON=60°－x°，∠AOM=90°－x°，即可得到∠AOM－∠CON=30°.
【详解】解：（1）直线ON平分∠AOC
理由：设ON的反向延长线为OD，∵OM平分∠BOC，∴∠MOC=∠MOB，
又∵OM⊥ON，∴∠MOD=∠MON=90°，∴∠COD=∠BON，
又∵∠AOD=∠BON，∴∠COD=∠AOD，
∴OD平分∠AOC，即直线ON平分∠AOC；
（2）①当直线ON平分∠AOC时，三角板旋转角度为60°或240°，
∵旋转速度为6°/秒，∴t=10秒或40秒；
②当直线OM平分∠AOC时，三角板旋转角度为150°或330°，∴t=25秒或55秒，
综上所述：t=10秒或40秒或25秒或55秒；
（3）设∠AON=x°，则∠CON=60°－x°，∠AOM=90°－x°，∴∠AOM－∠CON=30°，
∴∠AOM与∠CON差不会改变，为定值30°．
【点睛】本题考查了角平分线的定义及角的和差计算，解题的关键是认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系．
17．（2022·宿迁市初一期末）如图，以直线 AB 上一点 O 为端点作射线 OC，使∠BOC=70°，将一个
直角三角形的直角顶点放在点 O 处．（注：∠DOE=90°）
(1)如图①，若直角三角板 DOE 的一边 OD 放在射线 OB 上，则∠COE= °；
(2)如图②，将直角三角板 DOE 绕点 O 逆时针方向转动到某个位置，若 OC 恰好平分∠BOE，求
∠COD 的度数；(3)如图③，将直角三角板 DOE 绕点 O 转动，如果 OD 始终在∠BOC 的内部， 试
猜想∠BOD 和∠COE 有怎样的数量关系？并说明理由．
【答案】（1）20；（2）20 º；（3）∠COE﹣∠BOD=20°．
分析：（1）根据图形得出∠COE=∠DOE-∠BOC，代入求出即可；（2）根据角平分线定义求出
∠EOB=2∠BOC=140°，代入∠BOD=∠BOE-∠DOE，求出∠BOD，代入∠COD=∠BOC-∠BOD求出即可；
（3）根据图形得出∠BOD+∠COD=∠BOC=70°，∠COE+∠COD=∠DOE=90°，相减即可求出答案．
【解析】（1）如图①，∠COE=∠DOE﹣∠BOC=90°﹣70°=20°；
（2）如图②，∵OC平分∠EOB，∠BOC=70°，∴∠EOB=2∠BOC=140°，
∵∠DOE=90°，∴∠BOD=∠BOE﹣∠DOE=50°，
∵∠BOC=70°，∴∠COD=∠BOC﹣∠BOD=20°；
（3）∠COE﹣∠BOD=20°，
理由是：如图③，∵∠BOD+∠COD=∠BOC=70°，∠COE+∠COD=∠DOE=90°，
∴（∠COE+∠COD）﹣（∠BOD+∠COD）=∠COE+∠COD﹣∠BOD﹣∠COD
=∠COE﹣∠BOD=90°﹣70°=20°，即∠COE﹣∠BOD=20°．
点睛：本题考查了角的综合计算，能根据图形和已知条件求出各个角之间的关系是解此题的关键．
