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考点 12-2 二项式定理
1．（2022·全国·高三专题练习）若 ，则 ( )
A．27 B．－27 C．54 D．－54
【答案】B
【分析】采用赋值法，令 和 得到不同的系数和，两个系数和相加即可求 ．
【详解】 ，
令 可得 ，
令 可得 ，
两式相加可得 ，∴ ．
故选：B．
2．（2020·山东·高考真题）在 的二项展开式中，第 项的二项式系数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题可通过二项式系数的定义得出结果.
【详解】第 项的二项式系数为 ，
故选：A.
3．（2015·山东·高考真题） 的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是（ ）
A．0 B． C． D．32
【答案】D
【分析】根据 的二项展开式系数之和为 求解即可
【详解】 的二项展开式中所有项的二项式系数之和为
故选：D
4.（2021·山东·高三开学考试）设 ，则 除以9所得的余数为______．
【答案】8
【分析】根据已知条件将a写为 ，即 ，展开后观察式子即可得到结果.【详解】因为 ，
所以 ， ，
所以 除以9所得的余数为8．
故答案为：8
5．（2023·全国·高三专题练习）在 的展开式中含 和含 的项的系数之和为______
【答案】
【分析】先用十字相乘法分解因式，然后利用组合知识求解出指定项系数，求出和.
【详解】 ，则 的系数为1，
的系数为 ，
所以在 的展开式中含 和含 的项的系数之和为 ．
故答案为：-674
6.（2023·全国·高三专题练习）若 ，则 （ ）
A．270 B．135 C． 135 D． 270
【答案】B
【分析】以 代替 ，可得 ，求出 的系数，即可得答案
【详解】 ，
以 代替 ，得 ，
所以其通项公式为 ，
令 ，
所以 ，
故选：B
7．（2022·全国·高三专题练习）若 ，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】利用赋值法分别赋值 和 求系数和，即得.【详解】∵ ，
令 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，即 ，
，即 .
故选：C.
8．（2022·北京·清华附中模拟预测）二项式 的展开式中 的系数与 的系数之比为（ ）
A．6 B．-6 C．15 D．-15
【答案】B
【分析】根据二项式写出含 、 的项，即可得结果.
【详解】由题设 ，
所以含 项为 ，含 项为 ，，
则系数之比为-6.
故选：B
9.（2023·全国·高三专题练习） 的展开式中常数项为______
【答案】
【分析】利用组合知识进行求解.
【详解】将原式看成6个相同的因子相乘，按x的选取个数分类，
得展开式中常数项为 ．
故答案为：-59
10．（2021·天津·高考真题）在 的展开式中， 的系数是__________．
【答案】160
【分析】求出二项式的展开式通项，令 的指数为6即可求出.
【详解】 的展开式的通项为 ，
令 ，解得 ，
所以 的系数是 .
故答案为：160.11.（2022·河南·模拟预测（理））已知 的展开式中各项系数和为4，则 的系数为
（ ）
A．16 B．8 C．0 D．
【答案】D
【分析】根据系数和为4，令x=1代回原式，可求得n值，利用二项式展开式的通项公式，分析计算，即
可得答案.
【详解】因为各项系数和为4，
所以令x=1，代入可得 ，解得 ，
所以原式为 ，
又 展开式的通项公式为 ，
令k=3，则 ，所以可得一个 的系数为 ，
令k=0，则 ，
又 展开式的通项公式为 ，
令 ， ，所以可得一个 的系数为 ，
令 ， ，所以可得一个 的系数为 ，
令k=1， ，所以可得一个 的系数为 ，
综上： 的系数为 .
故选：D
12．（2021·全国·高三专题练习）已知 展开式的常数项的取值范围为 ，且
恒成立.则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．【答案】D
【分析】由二项展开式通项结合已知条件可求得实数 的取值范围，再由 恒成立结合
参变量分离法可求得实数 的取值范围，综合可得出结果.
【详解】 展开式的通项为 ，
令 ，可得 ，所以，展开式中的常数项为 ，
解得 或 ，
令 ，其中 ，可得 .
当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时， ，此时函数 单调递增，
所以， ，
由 可得 ，其中 ，
构造函数 ，其中 ，
则 ，
令 ，其中 ，则 .
当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时， ，此时函数 单调递增.
所以， .
所以，当 时， ，此时函数 单调递减
当 时， ，此时函数 单调递增.
所以， ， .
综上所述，实数 的取值范围是 .
故选：D.13．（2022·全国·高三专题练习（理））设 是常数，对于 ，都有
，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先令 ，求得 的值，再将给定的恒等式两边求关于 的导数，然后令 ，从而可得所求的
值.
【详解】因为 ，
则令 可得 .
又对 两边求导可得：
，
令 ，
则 ，
所以 ，
所以
故 ，
所以 .
故选：A.
【点睛】本题考查函数的导数以及恒等式的系数和的求法，注意根据恒等式的特征选择合适的赋值，本题
属于较难题.
14．（2021·河南·郑州市第一〇六高级中学高三期中（理））已知等差数列 ，对任意 都有
成立，则数列 的前 项和 __________．
【答案】
【分析】根据二项式的性质化简可得 ，求出通项公式，再由裂项相消法即可求出.【详解】设等差数列的公差为 ，则 ，因为 ，
所以
，
所以 ，所以 对 恒成立，
所以 ， ，所以等差数列 的通项公式 ，
所以 ，
所以数列 的前 项和 ．
故答案为： .
15．（2019·全国·高三竞赛）设整数 ， 的展开式中 与xy两项的系数相等，则n的值
为____________ .
【答案】51
【分析】由题意可得 的二项展开式，令r=4可得 项系数，令r=n-1可得xy项的系数，列出
方程可得n的值.
【详解】解：由题意得： .
其中 项，仅出现在求和指标r=4时的展开式 中，
其 项系数为 ；
而xy项仅出现在求和指标r=n-1时的展开式 中，
其xy项系数为 .
因此有 .
注意到n>4，化简得 ，故只能是n为奇数且n-3=48，解得n=51，
故答案为：51.【点睛】本题主要考查二项式展开式的通项公式及二项式系数的性质，考查学生的数学运算能力，属于难
题.
