文档内容
第 07 讲 二次函数与一元二次方程
1. 会用图象法求一元二次方程的近似解；掌握二次函数与一元二次方程的关系；
2. 经历探索验证二次函数 与一元二次方程的关系的过程，学会用
函数的观点去看方程和用数形结合的思想去解决问题．
3. 会求抛物线与x轴交点的坐标，掌握二次函数与不等式之间的联系；
4. 经历探索验证二次函数 与一元二次方程的关系的过程，学会用
函数的观点去看方程和用数形结合的思想去解决问题．
知识点1 二次函数与一元二次方程的关系
1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况
求二次函数 (a≠0)的图象与 x 轴的交点坐标，就是令 y＝0，求
中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方
程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表：
一元二次方程
判别式
二次函数
图象 与x轴的交点坐标 根的情况
抛物线 与 x 一元二次方程
轴交于 ， 两
△＞0 有两个不相等的实数根
点，且 ，
此时称抛物线与x轴相交一元二次方程
抛物线 与 x
△＝0 有两个相等的实数根
轴交切于 这一点，此时称
抛物线与x轴相切
一元二次方程
抛物线 与 x
△＜0
轴无交点，此时称抛物线与x轴相
在实数范围内无解（或
离
称无实数根）
注意：
二次函数图象与x轴的交点的个数由 的值来确定的.
(1) 当二次函数的图象与x轴有两个交点时， ，方程有两个不相等的实根；
(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时， ，方程有两个相等的
实根；
(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时， ，方程没有实根.
2. 抛物线与直线的交点问题
抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛
物线 (a≠0)与y轴交点和二次函数与一次函数 的交点
问题．
抛物线 (a≠0)与y轴的交点是(0，c)．
抛物线 (a≠0)与一次函数 (k≠0)的交点个数由方程组的解的个数决定．
（1） 当方程组有两组不同的解时 两函数图象有两个交点；
（2） 当方程组有两组相同的解时 两函数图象只有一个交点；
（3） 当方程组无解时 两函数图象没有交点．
总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题．
注意：
求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的
问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题．
知识点2：利用二次函数图象求一元二次方程的近似解
用图象法解一元二次方程 的步骤：
1.作二次函数 的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数；
2. 确定一元二次方程 的根的取值范围．即确定抛物线
与x轴交点的横坐标的大致范围；
3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大
依次取值，用表格的形式求出相应的y值．
4.确定一元二次方程 的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的
x值即是一元二次方 的近似根．
注意：
求一元二次方程 的近似解的方法（图象法）：
(1)直接作出函数 的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程
的根；(2)先将方程变为 再在同一坐标系中画出抛物线 和直线
图象交点的横坐标就是方程的根；
(3)将方程化为 ，移项后得 ，设 和 ，
在同一坐标系中画出抛物线 和直线 的图象，图象交点的横坐标即为
方程 的根.
知识点3：点 抛物线与不等式的关系
二 次 函 数 (a≠ 0) 与 一 元 二 次 不 等 式 (a≠ 0) 及
(a≠0)之间的关系如下 ：
【题型1：二次函数与x轴交点问题】
【典例1】（2023•遵义三模）二次函数 y＝2x2﹣3x﹣c（c＞0）的图象与x轴的交点情况是（ ）
A．有1个交点 B．有2个交点 C．无交点 D．无法确定
【变式1-1】（2023•遵义三模）二次函数y＝2x2﹣3x﹣c（c＞0）的图象与x轴
的交点情况是（ ）
A．有1个交点 B．有2个交点 C．无交点 D．无法确定
【变式1-2】（2023•汝阳县一模）二次函数y＝ax2﹣4x+2的图象与x轴有两个
不同交点，则a可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式1-3】（2023•雨山区校级一模）若函数y＝（a﹣1）x2﹣x+1（a为常数）
的图象与x轴有且只有一个交点，那么a满足（ ）
A．a＝ 且a≠1 B．a＝ C．a＝1 D．a＝ 或a＝1
【典例 2】（2023•河西区二模）抛物线 y＝x2﹣4x+3 与 x 轴的交点坐标为（
）
A．（0，3） B．（2，0）
C．（1，0）和（3，0） D．（﹣1，0）和 （﹣3，0）
【变式2-1】（2022秋•东丽区期末）二次函数 y＝2x2﹣8x+m的图象与x轴有两
个交点，若其中一个交点的坐标为（﹣1，0），则另一个交点坐标为
（ ）
A．（﹣3，0） B．（3，0） C．（5，0） D．（9，0）
【变式2-2】（2022秋•太和县期末）若二次函数y＝a（x+1）2+k的图象与x轴
交于A（﹣3，0），B两点，则点B的坐标是（ ）
A．（1，0） B．（2，0） C．（﹣1，0） D．（3，0）
【题型2: 图像法确定一元二次方程的根】
【典例3】（2022秋•即墨区校级期末）已知二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0，a，
b，c为常数）的y与x的部分对应值如表：
x 3.23 3.24 3.25 3.26
y ﹣0.06 ﹣0.08 ﹣0.03 0.09
判断方程ax2+bx+c＝0.02的一个解x的取值范围是（ ）A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26
【变式3-1】（2022秋•夏津县期中）如下表给出了二次函数 y＝x2+2x﹣9中，
x，y 的一些对应值，则可以估计一元二次方程 x2+2x﹣9＝0 的一个近似解
（精确到0.1）为（ ）
x …… 2 2.1 2.2 2.3 2.4 ……
y …… ﹣1 ﹣0.39 0.24 0.89 1.56 ……
A．﹣4 B．2.2 C．﹣4.2 D．﹣4.3
【变式3-2】（2022秋•荆门期末）一元二次方程2x2﹣x﹣2＝0的近似根可以看
做是下列哪两个函数图象交点的横坐标（ ）
A．y＝2x2和y＝x+2 B．y＝2x2和y＝﹣x﹣2
C．y＝﹣2x2和y＝x+2 D．y＝﹣2x2和y＝﹣x+2
【题型3： 已知函数值y求X的取值范围】
【典例4】（2022秋•西湖区期末）已知二次函数 y＝ax2+bx+c，函数值y与自
变量x的部分对应值如表：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 18 8 2 0 2 …
则当y＞8时，x的取值范围是（ ）
A．0＜x＜4 B．0＜x＜5 C．x＜0或x＞4 D．x＜0或x＞5
【变式4-1】（2023•博兴县模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，函数y与
自变量x的部分对应值如下表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 …
当y＜5时，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2 B．﹣1＜x＜5 C．x＞4 D．﹣2＜x＜4
【变式4-2】（2023•阿瓦提县模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝
ax2+bx+c（a＜0）经过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．若y＜0，则x的
取值范围是（ ）A．x＜1 B．x＜﹣1 C．﹣1＜x＜1 D．x＜﹣1或x＞
3
【变式4-3】（2022秋•西岗区校级期末）如图是二次函数 y＝ax2+bx+c的部分
图象，由图象可知不等式ax2+bx+c≥0的解集是（ ）
A．1＜x＜5 B．x≤5 C．﹣1≤x≤5 D．x＜﹣1或x＞
5
【题型4： 二次函数与不等式的关系】
【典例5】（2023•邹城市一模）如图是二次函数y ＝ax2+bx+c和一次函数y ＝
1 2
mx+n的图象，观察图象写出y ＞y 时，x的取值范围（ ）
2 1
A．x≥0 B．0≤x≤1 C．﹣2＜x＜1 D．x≤1
【变式5-1】（2023春•苏州月考）如图，已知抛物线 y＝ax2+c与直线y＝kx+m
交于A（﹣3，y ），B（1，y ）两点，则关于 x的不等式ax2+kx+c≥m的解
1 2
集是（ ）A．x≤﹣3或x≥1 B．x≤﹣1或x≥3 C．﹣3≤x≤1 D．﹣1≤x≤3
【变式5-2】（2022秋•仙居县期末）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝
kx+h相交于（﹣2，m），（2，n）两点，则不等式ax2+bx﹣h≥kx﹣c的取值
范围是 ．
【变式5-3】（2022秋•大兴区校级期末）某二次函数 y ＝ax2+bx+c（a≠0）Z
1
的图象与直线y ＝kx+m（k≠0）相交于点M、N，则当y ＜y 时，自变量x的
2 1 2
取值范围是 ．
【题型5:二次函数综合】
【典例6】（2023•牡丹区二模）已知抛物线 y＝﹣ x2+bx+4的对称轴是直线 x
＝3，与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，若点 P是抛物线上 B、C 两点之间的一个动点（不与 B、C 重
合），是否存在点P，使四边形PBOC的面积最大？若存在，求点P的坐标
及四边形PBOC面积的最大值；若不存在，请说明理由．【变式6-1】如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（3，0），
与y轴的交点为B（0，3），其顶点为C，对称轴为x＝1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断△ABC的形状；
（3）已知点M为线段AB上方抛物线上的一个动点，请写出△ABM面积关
系式，并求出当△ABM面积最大时点M的坐标．
【变式6-2】如图，二次函数y＝（t﹣1）x2+（t+1）x+2（t≠1），x＝0与x＝3
时的函数值相等，其图象与x轴交于A、B两点，与y轴正半轴交于C点．
（1）求二次函数的解析式．
（2）在第一象限的抛物线上求点P，使得S 最大．
△PBC
（3）点P是抛物线上x轴上方一点，若∠CAP＝45°，求P点坐标．1．（2021•铜仁市）已知直线y＝kx+2过一、二、三象限，则直线y＝kx+2与抛
物线y＝x2﹣2x+3的交点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
2．（2023•武功县模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线 y＝x2+x﹣5与y＝
x2+（m+n）x﹣5（m＞0＞n）关于y轴对称，则抛物线y＝mx2+2nx+m与x轴
的交点情况是（ ）
A．没有或有一个交点 B．只有一个交点
C．有两个交点 D．没有交点
3．（2023•上虞区模拟）已知二次方程x2+bx+c＝0的两根为﹣1和5，则对于二
次函数y＝x2+bx+c，下列叙述正确的是（ ）
A．当x＝2时，函数的最大值是9
B．当x＝﹣2时，函数的最大值是9
C．当x＝2时，函数的最小值是﹣9
D．当x＝﹣2时，函数的最小值是﹣9
4．（2023•城中区三模）已知关于x的一元二次方程x2+2x+c＝0无实数根，则
抛物线y＝x2﹣2x+c的顶点所在象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（2021•丽水模拟）根据下列表格中二次函数 y＝ax2+bx+c的自变量x与函数
值y的对应值，
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y＝ax2+bx+c ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.04
判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围可能是（
）
A．6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18
C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20
6．（2023•邵阳县二模）已知如图，平面直角坐标系中，一条直线 y 与抛物线
2
y 相交于 、 两点，求当y ＞y 时的x的取值范围是
1 1 2
．7．（2023•泸县二模）已知二次函数y＝﹣2x2﹣4x+5，当函数值y随x值的增大
而增大时，x的取值范围是 ．
8．（2022•盐城）若点P（m，n）在二次函数y＝x2+2x+2的图象上，且点P到
y轴的距离小于2，则n的取值范围是 ．
9．（2023•梧州一模）如图，直线 y＝kx+h与抛物线 y＝ax2+bx+c交于 A（﹣
2，m），B（6，n）两点，则关于x的不等式h＜ax2+（b﹣k）x+c的解集是
．
10 ． （ 2023• 二 道 区 一 模 ） 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 抛 物 线
和直线y ＝kx（k＞0）交于点O和点A．若点A的横坐
2
标是3，则﹣kx+2k＞ax2﹣2ax的解集为 ．
1．（2022秋•沈河区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分y与x的值如下表：
x … ﹣1 1 2 3 4 …
y … 12 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 …
根据表格可知，一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是（ ）A．x ＝1，x ＝5 B．x ＝﹣1，x ＝3 C．x ＝2，x ＝7 D．x ＝0，x ＝3
1 2 1 2 1 2 1 2
2．（2022秋•南宁月考）如表是二次函数 y＝ax2+bx﹣5的自变量x与函数值y
的部分对应值，那么方程ax2+bx﹣5＝0的一个根的取值范围是（ ）
x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 …
y … ﹣1 ﹣0.49 0.04 0.59 1.16 …
A．1.1～1.2 B．1～1.1 C．1.2～1.3 D．1.3～1.4
3．（2022秋•北京期末）在求解方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）时，先在平面直角
坐标系中画出函数y＝ax2+bx+c的图象，观察图象与x轴的两个交点，这两个
交点的横坐标可以看作是方程的近似解，分析图中的信息，方程的近似解是
（ ）
A．x ＝﹣3，x ＝2 B．x ＝﹣3，x ＝3 C．x ＝﹣2，x ＝2D．x ＝﹣2，x ＝
1 2 1 2 1 2 1 2
3
4．（2022秋•西城区校级月考）如图所示，抛物线顶点坐标是 P（1，3），则
函数y随自变量x的增大而减小的x的取值范围是（ ）
A．x≥3 B．x≤3 C．x≥1 D．x≤1
5．（2022 秋•南京期末）如图是二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象，则不等式
ax2+bx+c＜3的解集是（ ）A．x＜0 B．x＜﹣1或x＞3 C．0＜x＜2 D．x＜0或x＞2
6．（2022秋•河口区期末）如图，二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）
的图象的对称轴为直线x＝2，当y小于0时，自变量x的取值范围是
．
7．（2022 秋•抚松县期末）如图，二次函数 y ＝x2+bx+c 与一次函数为 y ＝
1 2
mx+n的图象相交于A，B两点，则不等式x2+bx+c＜mx+n的解为 ．
8．（2023•天宁区模拟）如图，直线y＝kx+h与抛物线y＝ax2+bx+c交于A（﹣
1，m）、B（5，n）两点，则关于x的不等式ax2+（b﹣k）x+c＞h的解集是
．
9．（2023•余姚市一模）如图，二次函数 的图象与x轴相交于点
A（﹣3，0），B（﹣1，0），与y轴相交于点C．（1）求二次函数的表达式和其图象的顶点坐标．
（2）若一次函数 y ＝kx+3的图象经过二次函数图象的顶点，请根据图象直
2
接写出当y ＞y 时x的取值范围．
1 2
10．如图，
（1）求二次函数的解析式．
（2）设二次函数与x轴的另一个交点为D，并在抛物线的对称轴上找一点
P，使三角形PBD的周长最小，求出点D和点P的坐标．
（3）在直线CD下方的抛物线上是否存在一点E，使得△DCE的面积最大，
若有求出点E坐标及面积的最大值．
