文档内容
21.1 一元二次方程
【考点归纳】
【知识归纳】
知识点一 一元二次方程的定义
（1）等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程，叫做一元
二次方程．
（2）注意以下3点：
①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③等号两边都是整式．
知识点二 一元二次方程的一般形式
一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0 (a≠0)．
其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
知识点三 一元二次方程的解
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根．方程的解的定
义是解方程过程中验根的依据．将此数代入这个一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，就是这个方
程的根；若不相等，就不是这个方程的根．
【题型探究】题型一：一元二次方程的判断
【例1】．（24-25九年级上·广东潮州）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【跟踪训练1】．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）下列方程中，关于 的一元二次方程是（ ）
A． B．
C． D．
【跟踪训练2】．（25-26九年级上·全国·课后作业）给出下列方程：① ；② ；③
；④ ；⑤ ；⑥ ．其中是一元二次方程的有
（ ）
A．1个 B．2个 C．4个 D．5个
题型二：一元二次方程的定义求参数问题
【例2】．（25-26九年级上·广东广州·开学考试）若关于x的方程 是一元二次方程，则（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练1】．（2025·黑龙江佳木斯·二模）若关于 的方程 是一元二次方程，则 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练2】．（24-25九年级上·湖南益阳·阶段练习）关于x的方程 是一元二次方程，则
（ ）
A．2或 B．2 C． D．0
题型三：一元二次方程一般形式
【例3】．（24-25九年级上·全国·随堂练习）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、
一次项系数和常数项．
(1) ．
(2) ．(3) ．
【跟踪训练1】．（25-26九年级上·全国·课后作业）将下列方程化为二次项系数是“1”的一般形式后，一次项系数
和常数项都是正整数的是（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练2】．（24-25九年级上·全国·随堂练习）已知关于x的方程 ．
(1)若此方程是一元二次方程，将方程化为一般形式，并写出它的二次项、一次项、常数项及二次项系数和一次项
系数．
(2)若此方程是一元一次方程，求出a的值．
题型四：一元二次方程的解
【例4】．（25-26九年级上·陕西延安·阶段练习）若 是关于 的方程 的一个根，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练1】．（25-26九年级上·重庆·开学考试）若关于x的一元二次方程 的一个根是 ，则
m的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【跟踪训练2】．（2025·山东烟台·一模）若 是关于 的方程 的一个根，则关于 的方程
必有一个根为（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2027
题型五：由一元二次方程的解求代数值
【例5】．（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）若m是方程 的一个根，则 的值为
（ ）
A．2026 B．2027 C．2028 D．2029
【跟踪训练1】．（25-26九年级上·河南驻马店·开学考试）已知一元二次方程 的一个根为 ，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练2】．（24-25九年级上·云南昭通·期末）已知m是一元二次方程 的一个根，则
的值为（ ）
A．2023 B．2022 C．2020 D．2019
题型六：一元二次方程的综合问题
【例6】．（25-26九年级上·全国）已知关于 的方程 ．
(1)当 __________时，此方程为一元一次方程，此方程的根为_________．
(2)当 为何值时，此方程为一元二次方程？请写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．
【跟踪训练1】．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学
们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程 是一元二次方程
的倒方程，其中 为常数（且 ．根据此定义解决下列问题：
(1)一元二次方程 的倒方程是______；
(2)若 是一元二次方程 的倒方程的解，求出 的值；
(3)若 是一元二次方程 的倒方程的一个实数根，则 的值为______．
【跟踪训练2】．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）阅读与思考
阅读下列材料，然后完成相应任务．
方程 两边同时除以 ，得 ，即 ．
因为 ，
所以 ．任务：
(1)已知方程 ，则 ____________．
(2)若 是方程 的根，求 的值．
【高分演练】
一、单选题
1．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）一元二次方程 的一次项系数是（ ）
A．1 B． C． D．2
2．（25-26九年级上·陕西延安·阶段练习）将方程 化为二次项系数为 的一般形式后，方程中的一次项
的系数是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25九年级上·广东潮州·阶段练习）已知3是方程 的一个根，则 的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（25-26九年级上·甘肃临夏·阶段练习）已知 是方程 的根，则代数式 的值为（ ）．
A．6 B．9 C．14 D．
5．（25-26九年级上·全国·课后作业）若方程 中，a，b，c满足 和 ，
则方程的根是（ ）
A．0，4 B．0， C． ，4 D．1，4
6．（24-25八年级下·云南昆明·期末）下列方程中，是一元二次方程的有（ ）
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个7．（24-25八年级下·安徽池州·期末）若关于x的一元二次方程 （a≠0）有一解为 ，则一元
二次方程 必有一解为（ ）
A． B． C． D．
8．（25-26九年级上·全国·课后作业）若关于x的方程 满足 和 ，则
该方程的两个根分别为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（25-26九年级上·北京西城·阶段练习）若关于x的一元二次方程 有一个根是 ，则a的
值为 ．
10．（25-26九年级上·陕西延安·阶段练习）已知 是关于 的一元二次方程，则实数 的值为
．
11．（24-25九年级上·广东潮州·阶段练习）若关于 的一元二次方程 的一个根为 ，则代数式
的值为 ．
12．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知m是一元二次方程 的一个根，则 的值为
．
13．（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）已知 是关于 的方程 的一个根，则代数式
的值为 ．
三、解答题
14．（24-25九年级上·北京海淀·期中）若a是关于x的一元二次方程 的根，求代数式 的
值．15．（24-25九年级上·湖南永州·期中）已知关于 的方程
(1) 为何值时，此方程是一元一次方程？
(2) 为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项．
16．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如果一元二次方程 满足 ，那么我们称这个
方程为“凤凰方程”．
(1)判断一元二次方程 是否为“凤凰方程”，并说明理由；
(2)若关于 的方程 是“凤凰方程”，求 的值．
17．（24-25九年级上·河南南阳·期中）已知m是一元二次方程 的根，求下列各代数式的值：
(1)
(2)
