文档内容
专题 02 解一元二次方程（四大类型）
【题型1 解一元二次方程-直接开平方】
【题型2 解一元二次方程-配方法】
【题型3 解一元二次方程-公式法】
【题型4 解一元二次方程-因式分解法】
【题型1 解一元二次方程-直接开平方】
1．（2022春•顺义区期末）方程2x2﹣8＝0的根是（ ）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x ＝2，x ＝﹣2D．x ＝4，x ＝﹣
1 2 1 2
4
【答案】C
【解答】解：2x2﹣8＝0
则x2＝4，
解得：x ＝2，x ＝﹣2．
1 2
故选：C．
2．（2022秋•丰台区期末）一元二次方程x2﹣4＝0的实数根为 ．
【答案】x ＝2，x ＝﹣2．
1 2
【解答】解：x2﹣4＝0，
x2＝4，
解得x ＝2，x ＝﹣2．
1 2
故答案为：x ＝2，x ＝﹣2．
1 2
3．（2022春•定远县期末）解方程：2（x﹣2）2﹣4＝0．
【答案】x ＝2+ ，x ＝2﹣ ．
1 2【解答】解：方程整理得：（x﹣2）2＝2，
开方得：x﹣2＝± ，
解得：x ＝2+ ，x ＝2﹣ ．
1 2
4．（2021秋•宜州区期末）解方程：2（x﹣1）2﹣ ＝0．
【答案】x ＝ ，x ＝﹣ ．
1 2
【解答】解：2（x﹣1）2﹣ ＝0，
移项，得2（x﹣1）2＝ ，
（x﹣1）2＝ ，
开方，得x﹣1＝ ，
解得：x ＝ ，x ＝﹣ ．
1 2
5．（2021秋•白水县期末）解方程：2（x﹣1）2＝18．
【答案】x ＝4，x ＝﹣2．
1 2
【解答】解：（x﹣1）2＝9，
x﹣1＝±3，
所以x ＝4，x ＝﹣2．
1 2
6．（2022春•东莞市校级期中）解方程：4（x﹣3）2﹣25＝0．
【答案】x ＝ ，x ＝ ．
1 2
【解答】解：4（x﹣3）2﹣25＝0，
4（x﹣3）2＝25，
（x﹣3）2＝ ，
∴x﹣3＝± ，∴x ＝ ，x ＝ ．
1 2
7．（2020秋•邗江区校级月考）求满足条件的x值：
（1）3（x﹣1）2＝12；
（2）x2﹣3＝5．
【答案】（1）x ＝3，x ＝﹣1；
1 2
（2）x ＝2 ，x ＝﹣2 ．
1 2
【解答】解：（1）3（x﹣1）2＝12，
∴（x﹣1）2＝4，
∴x﹣1＝±2，
∴x ＝3，x ＝﹣1；
1 2
（2）x2﹣3＝5，
∴x2＝8，
∴x＝ ，
∴x ＝2 ，x ＝﹣2 ．
1 2
8．（2022•安徽一模）解方程：（2x﹣1）2＝（3﹣x）2．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：2x﹣1＝±（3﹣x），
2x﹣1＝3﹣x或2x﹣1＝﹣3+x，
所以x ＝ ，x ＝﹣2．
1 2
9．（2021秋•晋江市校级期中）解方程 ．
【答案】x ＝9，x ＝﹣7．
1 2
【解答】解： （x﹣1）2﹣32＝0，
移项，得（x﹣1）2＝64，
则x﹣1＝±8，
∴x ＝9，x ＝﹣7．
1 2
10．（2021秋•徐汇区校级月考）解方程：4（x+1）2﹣9（x﹣2）2＝0（开平方法）．
【答案】x ＝8，x ＝ ．
1 2
【解答】解：4（x+1）2＝9（x﹣2）2，
∴2（x+1）＝±3（x﹣2），
∴x ＝8，x ＝ ．
1 2
11．（2021秋•浦东新区校级月考）解方程：9（x﹣1）2＝16（x+2）2．
【答案】x＝﹣11或x＝﹣ ．
【解答】解：两边直接开平方，得：3（x﹣1）＝±4（x+2），
即3x﹣3＝4x+8或3x﹣3＝﹣4x﹣8，
解得：x＝﹣11或x＝﹣ ．
【题型2 解一元二次方程-配方法】
12．（2022秋•大足区期末）用配方法解方程 x2+6x+5＝0，配方后的方程是（
）
A．（x+3）2＝4 B．（x﹣3）2＝5 C．（x+3）2＝5 D．（x﹣3）2＝4
【答案】A
【解答】解：x2+6x+5＝0，
x2+6x＝﹣5，
x2+6x+9＝4，
（x+3）2＝4．
故选：A．
13．（2022秋•海口期末）将一元二次方程 x2﹣6x+4＝0化成（x+h）2＝k的形
式，则k等于（ ）
A．﹣4 B．3 C．5 D．9
【答案】C
【解答】解：∵x2﹣6x+4＝0，
∴x2﹣6x＝﹣4，
∴x2﹣6x+9＝﹣4+9，即（x﹣3）2＝5，
故选：C．14．（2022 秋•祁阳县期末）把方程 x2+3x+1＝0 的左边配方后可得方程
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：∵x2+3x+1＝0，
∴x2+3x＝﹣1，
∴x2+3x+ ＝﹣1+ ，
∴（x+ ）2＝ ．
故选：D．
15．（2022秋•河北期末）将一元二次方程 x2﹣8x+1＝0化成（x+a）2＝b（a，
b为常数）的形式，则a，b的值分别是（ ）
A．﹣4，15 B．﹣4，﹣15 C．4，15 D．4，﹣15
【答案】A
【解答】解：∵x2﹣8x+1＝0，
∴x2﹣8x＝﹣1，
则x2﹣8x+16＝﹣1+16，即（x﹣4）2＝15，
∴a＝﹣4，b＝15，
故选：A．
16．（2022秋•海口期末）用配方法解一元二次方程 x2+8x﹣9＝0，配方后所得
的方程是（ ）
A．（x+4）2＝9 B．（x﹣4）2＝9 C．（x+4）2＝13 D．（x+4）2＝25
【答案】D
【解答】解：x2+8x﹣9＝0，
∴x2+8x+16＝9+16，
∴（x+4）2＝25．
故选：D
17．用配方法解方程：x2+2x﹣2＝0．【答案】x ＝﹣1+ ，x ＝﹣1﹣ ．
1 2
【解答】解：x2+2x﹣2＝0，
原方程化为：x2+2x＝2，
配方，得x2+2x+1＝3，
即（x+1）2＝3，
开方，得x+1＝± ，
解得：x ＝﹣1+ ，x ＝﹣1﹣ ．
1 2
18．用配方法解方程：x2+10＝8x﹣1．
【答案】 ， ．
【解答】解：∵x2+10＝8x﹣1，
∴x2﹣8x+11＝0，
∴x2﹣8x+16﹣16+11＝0，
∴（x﹣4）2＝5，
∴x﹣4＝ ，
∴ ， ．
19．用配方法解方程： ．
【答案】x ＝3+ ，x ＝﹣3+ ．
1 2
【解答】解：∵ ，
∴x2﹣2 x+5＝4+5，即（x﹣ ）2＝9，
∴x﹣ ＝3或x﹣ ＝﹣3，
∴x ＝3+ ，x ＝﹣3+ ．
1 220．用配方法解方程： ．
【答案】 ．
【解答】解： ，
移项得：x2+ x＝ ，
配方得： ，即 ，
开方得： ，
解得： ．
21．用配方法解方程：x2﹣8x+13＝0．
【答案】x ＝ +4，x ＝﹣ +4．
1 2
【解答】解：x2﹣8x+13＝0，
移项，得：x2﹣8x＝﹣13，
配方，得：x2﹣8x+16＝﹣13+16，
即（x﹣4）2＝3，
开方，得：x﹣4＝± ，
∴x ＝ +4，x ＝﹣ +4．
1 2
22．（2022秋•南关区校级期末）解方程：x2﹣4x+3＝2．
【答案】x ＝2﹣ ，x ＝2+ ．
1 2
【解答】解：x2﹣4x+3＝2，
方程整理得：x2﹣4x＝﹣1，
配方得：x2﹣4x+4＝3，即（x﹣2）2＝3，
开方得：x﹣2＝± ，解得：x ＝2﹣ ，x ＝2+ ．
1 2
23．（2022秋•陈仓区期中）用配方法解方程：2x2+6x＝3．
【答案】 ， ．
【解答】解：2x2+6x＝3，
二次项系数化为1得，2（x2+3x）＝3，
配方得： ，
即： ，
∴ ，
∴ ， ．
24．（2022秋•普宁市校级期中）解下列方程3x2+4x﹣1＝0．（用配方法）
【答案】x ＝﹣ + ，x ＝﹣ ﹣ ．
1 2
【解答】解：∵3x2+4x﹣1＝0，
∴3x2+4x＝1，
则x2+ x＝ ，
∴x2+ x+ ＝ + ，即（x+ ）2＝ ，
∴x+ ＝± ，
∴x ＝﹣ + ，x ＝﹣ ﹣ ．
1 2
25．（2022秋•城西区校级期中）x2﹣14x＝8（配方法）．
【答案】x ＝7+ ，x ＝7﹣ ．
1 2
【解答】解：x2﹣14x＝8，
x2﹣14x+72＝8+72，
（x﹣7）2＝57，x﹣7＝± ，
x ＝7+ ，x ＝7﹣ ．
1 2
26．（2022秋•辉县市期中）解方程：x2+12x+27＝0（用配方法）．
【答案】x ＝﹣9，x ＝﹣3．
1 2
【解答】解：x2+12x+27＝0，
x2+12x＝﹣27，
x2+12x+36＝9，
（x+6）2＝9，
x+6＝±3，
所以x ＝﹣9，x ＝﹣3．
1 2
【题型3 解一元二次方程-公式法】
27．（2023•湘潭开学）用求根公式解一元二次方程 3x2﹣2＝4x时a，b，c的值
是（ ）
A．a＝3，b＝﹣2，c＝4 B．a＝3，b＝﹣4，c＝2
C．a＝3，b＝﹣4，c＝﹣2 D．a＝3，b＝4，c＝﹣2
【答案】C
【解答】解：∵3x2﹣2＝4x，
∴3x2﹣4x﹣2＝0，
∴a＝3，b＝﹣4，c＝﹣2，
故选：C．
28．（2022秋•泉州期末）用求根公式解一元二次方程5x2﹣1﹣4x＝0时a，b，
c的值是（ ）
A．a＝5，b＝﹣1，c＝﹣4 B．a＝5，b＝﹣4，c＝1
C．a＝5，b＝﹣4，c＝﹣1 D．a＝5，b＝4，c＝1
【答案】C
【解答】解：∵5x2﹣1﹣4x＝0，
∴5x2﹣4x﹣1＝0，
则a＝5，b＝﹣4，c＝﹣1，故选：C．
29．（2022秋•德化县期末）下面是小明同学解方程x2﹣5x＝﹣4的过程：
∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣4（第一步），
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣4）＝41（第二步）．
∴x＝ ，（第三步）．
∴x ＝ ，x ＝ （第四步）．
1 2
小明是从第 一 步开始出错．
【答案】一．
【解答】解：原方程化为：x2﹣5x+4＝0，
∴a＝1，b＝﹣5，c＝4．
故答案为：一．
30．用公式法解方程：x2﹣2 x﹣2＝0．
【答案】x ＝ +2，x ＝ ﹣2．
1 2
【解答】解：x2﹣2 x﹣2＝0，
这里a＝1，b＝﹣2 ，c＝﹣2，
∴Δ＝（﹣2 ）2﹣4×1×（﹣2）＝16＞0，
∴x＝ ＝ ＝ ±2，
∴x ＝ +2，x ＝ ﹣2．
1 2
31．用公式法解方程：2x2+4＝7x．
【答案】x ＝ ，x ＝ ．
1 2
【解答】解：2x2+4＝7x整理为2x2﹣7x+4＝0，
这里：a＝2，b＝﹣7，c＝4，
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×2×4＝49﹣32＝17＞0，∴x＝ ＝ ，
解得：x ＝ ，x ＝ ．
1 2
32．用公式法解方程：2x2+4x﹣3＝0．
【答案】x ＝ ，x ＝
1 2
【解答】解：这里a＝2，b＝4，c＝﹣3，
∵Δ＝42﹣4×2×（﹣3）＝16+24＝40＞0，
∴x＝ ＝ ，
解得：x ＝ ，x ＝ ．
1 2
33．用公式法解方程：2x2﹣1＝4x．
【答案】 ．
【解答】解：整理，得：2x2﹣4x﹣1＝0，
∵a＝2，b＝﹣4，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣1）＝24＞0，
∴ ，
∴ ．
34．用公式法解方程：5x2﹣3x＝x+1
【答案】x ＝﹣ ，x ＝1．
1 2
【解答】解：这里a＝5，b＝﹣4，c＝﹣1，
∵b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×5×（﹣1）＝16+20＝36＞0，
∴x＝ ＝ ，解得：x ＝﹣ ，x ＝1．
1 2
35．用公式法解方程：x2﹣x﹣6＝0．
【答案】 ＝3，x ＝﹣2．
1 2
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣6，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣6）＝25＞0，
∴ ，
即x ＝3，x ＝﹣2．
1 2
36．（2022秋•丰满区校级期末）用公式法解方程：x2+2x﹣6＝0．
【答案】x ＝﹣1+ ，x ＝﹣1﹣ ．
1 2
【解答】解：这里a＝1，b＝2，c＝﹣6，
∵Δ＝22﹣4×1×（﹣6）＝28＞0，
∴x＝ ＝﹣1± ，
解得：x ＝﹣1+ ，x ＝﹣1﹣ ．
1 2
37．（2022秋•普宁市校级期中）用公式法解方程：
2x（x﹣3）＝（x﹣1）（x+1）．
【答案】 ，
．
【解答】解：2x（x﹣3）＝（x﹣1）（x+1），
化简为x2﹣6x+1＝0，
∵a＝1，b＝﹣6，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝36﹣4＝32＞0，
∴ ，
∴ ， ．38．（2022秋•成县期中）公式法解方程：2x2﹣ x﹣3＝0．
【答案】x ＝ ，x ＝﹣ ．
1 2
【解答】解：∵Δ＝（﹣ ）2+24＝3+24＝27＞0，
∴x＝ ，
∴x ＝ ，x ＝ ＝﹣ ．
1 2
39．（2022秋•城西区校级期中）x2﹣7x﹣18＝0（公式法）．
【答案】x ＝9，x ＝﹣2．
1 2
【解答】解：x2﹣7x﹣18＝0，
∵a＝1，b＝﹣7，c＝﹣18，
Δ＝b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×1×（﹣18）＝121＞0，
∴x＝ ，
＝ ，
∴x ＝9，x ＝﹣2．
1 2
40．（2022秋•前郭县期中）用公式法解方程：x2﹣x﹣7＝0．
【答案】x ＝ ，x ＝ ．
1 2
【解答】解：这里a＝1，b＝﹣1，c＝﹣7，
∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣7）
＝1+28
＝29＞0，
∴x＝ ，
解得：x ＝ ，x ＝ ．
1 2
【题型4 解一元二次方程-因式分解法】
41．（2023•临安区一模）方程（x﹣2）2＝2x（x﹣2）的解是（ ）
A．x ＝2，x ＝1 B．x ＝2，x ＝﹣2 C．x ＝2，x ＝0 D．x ＝2，x ＝﹣
1 2 1 2 1 2 1 21
【答案】B
【解答】解：（x﹣2）2﹣2x（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x﹣2﹣2x）＝0，
x﹣2＝0或x﹣2﹣2x＝0，
所以x ＝2，x ＝﹣2．
1 2
故选：B．
42．（2022秋•文山市期末）方程（x+1）（x﹣3）＝0的解是（ ）
A．x ＝1，x ＝3 B．x ＝1，x ＝﹣3
1 2 1 2
C．x ＝﹣1，x ＝3 D．x ＝﹣1，x ＝﹣3
1 2 1 2
【答案】C
【解答】解：∵（x+1）（x﹣3）＝0，
∴x+1＝0或x﹣3＝0，
解得：x＝﹣1或x＝3，
故选：C．
43．（2023•泸县一模）方程x2＝3x的解为（ ）
A．x＝3 B．x＝0 C．x ＝0，x ＝﹣3D．x ＝0，x ＝3
1 2 1 2
【答案】D
【解答】解：∵x2﹣3x＝0，
∴x（x﹣3）＝0，
则x＝0或x﹣3＝0，
解得：x＝0或x＝3，
故选：D．
44．（2023•武清区校级模拟）解一元二次方程 x2﹣2x﹣15＝0，结果正确的是
（ ）
A．x ＝﹣5，x ＝3 B．x ＝5，x ＝3
1 2 1 2
C．x ＝﹣5，x ＝﹣3 D．x ＝5，x ＝﹣3
1 2 1 2
【答案】D
【解答】解：x2﹣2x﹣15＝0，
分解因式得：（x﹣5）（x+3）＝0x﹣5＝0，x+3＝0，
解得：x ＝5，x ＝﹣3，
1 2
故选：D．
45．（2023春•靖西市期中）解方程 2（4x﹣3）2＝3（4x﹣3）最适当的方法是
（ ）
A．直接开方法 B．配方法 C．公式法 D．分解因式法
【答案】D
【解答】解：（此题用分解因式法最适当）
移项得，2（4x﹣3）2﹣3（4x﹣3）＝0，
∴（4x﹣3）[2（4x﹣3）﹣3]＝0，
∴4x﹣3＝0或[2（4x﹣3）﹣3]＝0，
∴x ＝ ，x ＝ ．
1 2
故选：D．
46．（2023春•萧山区期中）解下列方程：
（1）x2﹣6x+1＝0； （2）（2x﹣3）2＝5（2x﹣3）．
【答案】（1）x ＝3+2 ，x ＝3﹣2 ；
1 2
（2）x ＝ ，x ＝4．
1 2
【解答】解：（1）x2﹣6x+1＝0，
x2﹣6x＝﹣1，
x2﹣6x+9＝8，即（x﹣3）2＝8，
∴x﹣3＝2 或x﹣3＝﹣2 ，
∴x ＝3+2 ，x ＝3﹣2 ；
1 2
（2）（2x﹣3）2＝5（2x﹣3），
（2x﹣3）2﹣5（2x﹣3）＝0，
（2x﹣3）（2x﹣3﹣5）＝0，
∴2x﹣3＝0或2x﹣8＝0，∴x ＝ ，x ＝4．
1 2
47．（2023春•海曙区期中）解下列方程：
（1）x2﹣6x﹣7＝0； （2）（x﹣3）2＝2（x﹣3）．
【答案】（1）x ＝7，x ＝﹣1；
1 2
（2）x ＝3，x ＝5．
1 2
【解答】解：（1）∵x2﹣6x﹣7＝0，
∴（x﹣7）（x+1）＝0，
则x﹣7＝0或x+1＝0，
解得x ＝7，x ＝﹣1；
1 2
（2）∵（x﹣3）2＝2（x﹣3），
∴（x﹣3）2﹣2（x﹣3）＝0，
则（x﹣3）（x﹣5）＝0，
∴x﹣3＝0或x﹣5＝0，
解得x ＝3，x ＝5．
1 2
48．（2023•九龙坡区校级自主招生）解方程．
（1）3x（x+1）＝2（x+1）； （2）2x2﹣3x﹣5＝0．
【答案】（1）x ＝﹣1，x ＝ ；
1 2
（2）x ＝﹣1，x ＝ ．
1 2
【解答】解：（1）∵3x（x+1）＝2（x+1），
∴3x（x+1）﹣2（x+1）＝0，
则（x+1）（3x﹣2）＝0，
∴x+1＝0或3x﹣2＝0，
解得x ＝﹣1，x ＝ ；
1 2
（2）∵2x2﹣3x﹣5＝0，
∴（x+1）（2x﹣5）＝0，
∴x+1＝0或2x﹣5＝0，
解得x ＝﹣1，x ＝ ．
1 249．（2023春•海曙区期中）解下列方程：
（1）x2﹣6x﹣7＝0；
（2）（x﹣3）2＝2（x﹣3）．
【答案】（1）x ＝7，x ＝﹣1；
1 2
（2）x ＝3，x ＝5．
1 2
【解答】解：（1）∵x2﹣6x﹣7＝0，
∴（x﹣7）（x+1）＝0，
则x﹣7＝0或x+1＝0，
解得x ＝7，x ＝﹣1；
1 2
（2）∵（x﹣3）2＝2（x﹣3），
∴（x﹣3）2﹣2（x﹣3）＝0，
则（x﹣3）（x﹣5）＝0，
∴x﹣3＝0或x﹣5＝0，
解得x ＝3，x ＝5．
1 2
50．（2022秋•江都区期末）解方程：
（1）x2﹣4x﹣4＝0；
（2）x（x+4）＝﹣3（x+4）．
【答案】（1） ， ；
（2）x ＝﹣3，x ＝﹣4．
1 2
【解答】解：（1）由原方程得：x2﹣4x＝4，
得x2﹣4x+4＝4+4，
得（x﹣2）2＝8，
得 ，
解得 ， ，
所以，原方程的解为 ， ；
（2）由原方程得：x（x+4）+3（x+4）＝0，
得（x+4）（x+3）＝0，
解得x ＝﹣3，x ＝﹣4，
1 2所以，原方程的解为x ＝﹣3，x ＝﹣4．
1 2
51．（2022秋•盘龙区期末）解方程：
（1）x2﹣4x﹣3＝0；
（2）3x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0．
【答案】（1）x ＝2+ ，x ＝2﹣ ；
1 2
（2）x ＝2，x ＝ ．
1 2
【解答】解：（1）x2﹣4x﹣3＝0，
x2﹣4x＝3，
x2﹣4x+4＝7，
（x﹣2）2＝7，
x﹣2＝± ，
所以x ＝2+ ，x ＝2﹣ ；
1 2
（2）3x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（3x﹣1）＝0，
x﹣2＝0或3x﹣1＝0，
所以x ＝2，x ＝ ．
1 2
52．（2022秋•兴平市期末）解方程：（x﹣4）2＝2（x﹣4）．
【答案】x ＝4，x ＝6．
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【解答】解：（x﹣4）2＝2（x﹣4），
（x﹣4）2﹣2（x﹣4）＝0，
（x﹣4）（x﹣4﹣2）＝0，
（x﹣4）（x﹣6）＝0，
∴x﹣4＝0或x﹣6＝0，
∴x ＝4，x ＝6．
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