文档内容
第 3 讲 解一元二次方程-公式法和因式分解
1.理解并掌握用因式分解法解一元二次方程；
2.理解并掌握用因式分解法解一元二次方程；
知识点1： 解一元二次方程-公式法
用公式法求一元二次方程的一般步骤：
（1）把方程化成一般形式
，
（2）求出判别式
知识点2：解一元二次方程-因式分解
因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下：
（1）移项，使方程的右边化为零；
（2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积；
（3）令每个因式分别为零；
（4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。
【题型 1 解一元二次方程-公式法】【典例1】（2022秋•大田县期中）用公式法解方程 x2﹣2x＝3时，求根公式中
的a，b，c的值分别是（ ）
A．a＝1，b＝﹣2，c＝3 B．a＝1，b＝2，c＝﹣3
C．a＝1，b＝2，c＝3 D．a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3
【变式1-1】（2022秋•泉州期末）用求根公式解一元二次方程 5x2﹣1﹣4x＝0
时a，b，c的值是（ ）
A．a＝5，b＝﹣1，c＝﹣4 B．a＝5，b＝﹣4，c＝1
C．a＝5，b＝﹣4，c＝﹣1 D．a＝5，b＝4，c＝1
【变式1-2】（2021秋•梁山县期末）用公式法解一元二次方程 3x2﹣4x＝8时，
化方程为一般式，当中的a，b，c依次为（ ）
A．3，﹣4，8 B．3，4，8 C．3，4，﹣8 D．3，﹣4，﹣8
【变式1-3】（2022秋•宛城区校级月考）用求根公式解一元二次方程 5x2﹣1﹣
4x＝0时a，b，c的值是（ ）
A．a＝5，b＝﹣1，c＝﹣4 B．a＝5，b＝﹣4，c＝1
C．a＝5，b＝﹣4，c＝﹣1 D．a＝5，b＝4，c＝1
【典例2】用公式法解下列方程：
（1）2x2+5x﹣1＝0 （2）6x（x+1）＝5x﹣1
【变式2-1】（2022秋•潮安区期中）解方程：2x2﹣7x+3＝0（公式法）．
【变式2-2】（2021秋•新兴县期中）用公式法解方程：5x2＝7﹣2x．【变式2-3】用公式法解下列方程：x2+4x+8＝2x+10
【题型2 解一元二次方程-因式分解法】
【典例3】一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的根为（ ）
A．x＝1 B．x＝5 C．x＝﹣1或x＝5 D．x＝1或x＝﹣5
【变式 3-1】（2022 秋•花垣县月考）一元二次方程（x﹣1）x＝0 的解是
（ ）
A．0或﹣1 B．0或1 C．1 D．0
【变式3-2】（2023•临安区一模）方程（x﹣2）2＝2x（x﹣2）的解是（ ）
A．x ＝2，x ＝1 B．x ＝2，x ＝﹣2 C．x ＝2，x ＝0 D．x ＝2，x ＝﹣
1 2 1 2 1 2 1 2
1
【变式3-3】（2022秋•中山市期末）方程（x﹣3）（x+2）＝0的根是（ ）
A．x ＝﹣3，x ＝﹣2 B．x ＝﹣3，x ＝2
1 2 1 2
C．x ＝3，x ＝﹣2 D．x ＝3，x ＝2
1 2 1 2
【典例4】用因式分解法解下列方程．
（1）x2﹣x﹣56＝0． （2）3x（x﹣2）＝2（x﹣2）．
【变式4-1】（2021秋•昆明期末）用因式分解法的方法解下列方程：
（1）x2+2x﹣3＝0； （2）x﹣7﹣x（x﹣7）＝0．
【变式4-2】（2022春•义乌市月考）解方程：
（1）x2+6x﹣7＝0； （2）（x﹣5）2＝8（x﹣5）．【变式4-3】（2021秋•天府新区期末）用因式分解法的方法解下列方程：
（1）x2﹣2x﹣15＝0； （2）（x+3）2＝2x+6．
1．（2022•路北区校级一模）定义[x]表示不超过实数 x的最大整数，如[1.4]＝
1，[﹣1.2]＝﹣2，[﹣3]＝﹣3，则方程2[x]＝x2的解为（ ）
A．0或 B．0或2 C．2或 D．0或 或2
2．（2022•东营）一元二次方程x2+4x﹣8＝0的解是（ ）
A．x ＝2+2 ，x ＝2﹣2 B．x ＝2+2 ，x ＝2﹣2
1 2 1 2
C．x ＝﹣2+2 ，x ＝﹣2﹣2 D．x ＝﹣2+2 ，x ＝﹣2﹣2
1 2 1 2
3．（2022•鼓楼区校级二模）一元二次方程 3x﹣1﹣2x2＝0在用求根公式 x＝
求解时，a，b，c的值是（ ）
A．3，﹣1，﹣2 B．﹣2，﹣1，3 C．﹣2，3，1 D．﹣2，3，﹣1
4．（2023•河北区一模）方程x2+7x+12＝0的两个根为（ ）
A．x ＝﹣3，x ＝﹣4 B．x ＝﹣3，x ＝4
1 2 1 2
C．x ＝3，x ＝﹣4 D．x ＝3，x ＝4
1 2 1 2
5．（2023•林州市模拟）已知等腰△ABC的边是方程 x2﹣7x+10＝0的根，则
△ABC的周长为（ ）
A．9 B．9或12 C．6或15 D．6或12或15
6．（2023•绥宁县模拟）方程x2＝2023x的解是（ ）
A．x＝2023 B．x＝﹣2023
C．x＝0或2023 D．x＝2023或﹣20237．（2023•泉州一模）一元二次方程x（x﹣3）＝x的解是（ ）
A．x＝0 B．x＝3 C．x ＝0，x ＝3 D．x ＝0，x ＝4
1 2 1 2
8．（2023•裕华区校级模拟）老师设计了一个接力游戏，用合作的方式解一元
二次方程，规则是：每人只能看到前一人计算的结果，并进行一步计算，再
将结果传递给下一人，最后得到方程的解．部分过程如图所示，接力中，谁
负责的一步开始出现错误（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
9．（2023•衡山县二模）我们解一元二次方程（x﹣3）2﹣4（x﹣3）＝0时，可
以运用因式分解法将此方程化为（x﹣3）（x﹣3﹣4）＝0．从而得到两个一
元一次方程：x﹣3＝0或x﹣7＝0．进而得到原方程的解为 x ＝3，x ＝7．这
1 2
种解法体现的数学思想是（ ）
A．函数思想 B．数形结合思想
C．转化思想 D．公理化思想
10．（2023•宜兴市一模）方程x2﹣3x＝1的解是 ．
11．（2023•碑林区校级三模）关于x的方程x2﹣x+ ＝9的解是 ．
12．（2023•小店区校级模拟）用配方法解下列关于x的方程：
（1）x2+12x+25＝0． （2）2x2+4x﹣1998＝0．
13．（2023•三明模拟）解方程：x2+3x﹣1＝0．1．（2023•湘潭开学）用求根公式解一元二次方程 3x2﹣2＝4x时a，b，c的值
是（ ）
A．a＝3，b＝﹣2，c＝4 B．a＝3，b＝﹣4，c＝2
C．a＝3，b＝﹣4，c＝﹣2 D．a＝3，b＝4，c＝﹣2
2．（2022秋•船营区校级期末）一元二次方程x2﹣7x＝0的解是（ ）
A．x＝x＝7 B．x＝x＝﹣7 C．x＝0，x＝7 D．x＝0，x＝﹣
1 2 1 2 1 2 1 2
7
3．一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的根为（ ）
A．x＝1 B．x＝5 C．x＝﹣1或x＝5 D．x＝1或x＝﹣5
4．（2022秋•滨海县期中）解方程x（x﹣2）+3（x﹣2）＝0，最适当的解法是
（ ）
A．直接开平方法 B．因式分解法
C．配方法 D．公式法
5．（2022秋•德城区期末）用公式法解方程2x2﹣1＝0，其中b2﹣4ac＝ ．
6．（2022秋•大丰区期末）解下列方程
（1）x2﹣6x﹣16＝0（配方法）； （2） （公式法）．
7．（2022秋•长寿区期末）解下列方程：
（1）x2﹣2x＝8x﹣9； （2）4x2+4x+9＝0．8．（2022秋•宁强县期末）用公式法解方程：4x2+x﹣3＝0．
9．（2022秋•秦都区期末）用公式法解方程：2x2﹣x﹣5＝0．
10．（2022秋•铁东区期中）解方程：
（1）x2﹣4x﹣3＝0； （2）2x2+5x+3＝0．
11.用因式分解法解方程：x2+4x+3＝0．
12.用因式分解法解方程：x2﹣7x+10＝0（因式分解法）；
13．用因式分解法解方程：
（1）3x（2x+1）＝2（2x+1）； （2）（x﹣3）2＝（5﹣2x）2．
14.用因式分解法解方程：x（x﹣4）＝12﹣3x（用因式分解法）；
