文档内容
第1讲 一元二次方程
1、掌握一元二次方程有关概念；
2、会把一元二次方程化成一般形式并确定各项及各项系数；
3、会用整体思想求解
知识点 1 一元二次方程的概念
等号两边都是整式，只含有一个未知数，并 且未知数的最高次数是 2 的方
程，叫做一元二次方程。
注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件：
（1）是整式方程，即等号两边都是整式。方程中如果有分母，且未知数在分母
上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且
未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）
（2）只含有一个未知数；
（3）未知数项的最高次数是2。
知识点2： 一元二次方程的一般形式
一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²叫
作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。
注意：（1）ax²+bx+c=0中的a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程
（2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各
项系数时不要漏掉前面的性质符号。
知识点3：一元二次方程的解
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二 次方程的解，解决
此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解.知识点4： 一元二次方程的重要结论：
（1）若a+b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=1;若x=1是一
元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a+b+c=0。
（2）若a-b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=-1;若x=11是
一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a-b+c=0。
【题型 1 一元二次方程的概念】
【典例1】（2023春•包河区校级期中）下列关于 x的方程中，是一元二次方程
的为（ ）
A． B．x2﹣4＝2y
C．﹣2x2+3＝0 D．（a﹣1）x2﹣2x＝0
【变式1-1】（2023春•温州期中）在下列方程中，属于一元二次方程的是（
）
A． B．2（x﹣1）+x＝2C．x2＝2+3x D．x2﹣xy+4＝0
【变式 1-2】（2022 秋•宁强县期末）下列方程中，是一元二次方程的是
（ ）
A． +x﹣1＝0 B．3x+1＝5x+42 C．ax2+bx+c＝0 D．m2﹣2m+1＝0
【变式1-3】（2022秋•深圳期末）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x+1＝0 B．2x＞2 C． D．x2+1＝5
【典例2】（2023春•青田县月考）若方程xm+1﹣（m+1）x﹣2＝0是关于x的一
元二次方程，则m的值为（ ）
A．0 B．±1 C．1 D．﹣1
【变式2-1】（2023•河东区校级模拟）若关于x的方程（a﹣1）x2+ax﹣1＝0是
一元二次方程，则a的取值范围是（ ）A．a≠1 B．a＝1 C．a≥1 D．a≠0
【变式2-2】（2022秋•襄州区期末）关于x的方程（a﹣1）x2+4x﹣3＝0是一元
二次方程，则（ ）
A．a＞1 B．a＝1 C．a≠1 D．a≥0
【变式2-3】（2020春•福山区期末）方程（a+3）x +ax+2＝0为一元二次方
程，字母a的取值为（ ）
A．±3 B．3 C．﹣3 D．0
【题型2 一元二次方程的一般形式】
【典例3】（2023•鱼峰区模拟）将方程3x2＝5x﹣1化为一元二次方程一般式后
得（ ）
A．3x2﹣5x﹣1＝0 B．3x2+5x﹣1＝0 C．3x2﹣5x+1＝0 D．3x2+5x+1＝0
【变式3-1】（2022秋•天元区校级期末）将方程（x﹣1）2＝6化成一元二次方
程的一般形式，正确的是（ ）
A．x2﹣2x+5＝0 B．x2﹣2x﹣5＝0 C．x2+2x﹣5＝0 D．x2+2x+5＝0
【变式3-2】（2022秋•禹州市期中）将一元二次方程（2x+1）（x﹣3）＝5化
成一般形式，正确的是（ ）
A．2x2﹣7x﹣8＝0 B．2x2﹣5x﹣8＝0 C．2x2﹣7x+2＝0 D．2x2﹣5x+2＝0
【变式3-3】（2022秋•新会区期末）把方程 x（x+1）＝3（x﹣2）化成一般式
ax2+bx+c＝0（a＞0）的形式，则a、b、c的值分别是（ ）
A．a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3 B．a＝1，b＝﹣2，c＝﹣6
C．a＝1，b＝﹣2，c＝3 D．a＝1，b＝﹣2，c＝6
【典例4】（2022秋•江汉区校级期末）一元二次方程x2＝﹣6x+1的二次项系数
为1，则一次项系数和常数项分别是（ ）
A．﹣6，1 B．6，﹣1 C．﹣6x，1 D．6x，﹣1
【变式4-1】（2022秋•惠东县期中）把一元二次方程4x2+5x＝81化为一般形式
后，二次项系数为4，则一次项系数及常数项分别为（ ）
A．5，81 B．5x，81 C．5，﹣81 D．﹣5x，﹣81
【变式4-2】（2022秋•龙江县期末）一元二次方程3（x2﹣3）＝5x的二次项系
数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．3，﹣5；9 B．3，﹣5，﹣9 C．3，5，9 D．3，5，﹣9【变式4-3】（2022秋•定海区校级月考）将一元二次方程 3x2﹣x＝5x化为一般
形式后，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．3，5，﹣1 B．﹣3，5，1 C．3，﹣5，﹣1 D．3，﹣6，0
【题型3 一元二次方程的解】
【典例5】（2022秋•莲池区校级期末）若关于 x的方程x2+2x+a＝0有一个根是
1，则a等于（ ）
A．﹣1 B．﹣3 C．3 D．1
【变式5-1】（2022秋•宜宾期末）一元二次方程x2+mx＝2的一个根为2，则m
的值为（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
【变式5-2】（2023春•富阳区期中）若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+m2
﹣9＝0的一个根为0，则m的值为（ ）
A．3 B．0 C．﹣3 D．﹣3或3
【变式5-3】（2023春•崇左月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+a2﹣9＝0
的一个根是0，则a的值是（ ）
A．4 B．3 C．﹣3 D．3或﹣3
【典例6】（2023•邗江区校级一模）已知 m是方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则
2023﹣m2+m的值为（ ）
A．2023 B．2022 C．2021 D．2020
【变式6-1】（2021秋•金湖县期末）若a为方程x2+2x﹣4＝0的解，则a2+2a﹣
8的值为（ ）
A．2 B．4 C．﹣4 D．﹣12
【变式6-2】（2023•宿迁一模）若m是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，
则代数式2m2﹣2m的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．4
【变式6-3】（2022秋•天河区校级期末）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，
则6m2﹣9m+2018的值为（ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．20211．（2021•聊城）关于 x 的方程 x2+4kx+2k2＝4 的一个解是﹣2，则 k 值为
（ ）
A．2或4 B．0或4 C．﹣2或0 D．﹣2或2
2．（2021•黔东南州）若关于x的一元二次方程x2﹣ax+6＝0的一个根是2，则
a的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2021•黑龙江）关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+m2x＝9x+5化为一般形
式后不含一次项，则m的值为（ ）
A．0 B．±3 C．3 D．﹣3
4．（2022•遂宁）已知 m 为方程 x2+3x﹣2022＝0 的根，那么 m3+2m2﹣
2025m+2022的值为（ ）
A．﹣2022 B．0 C．2022 D．4044
5．（2021•深圳）已知方程x2+mx﹣3＝0的一个根是1，则m的值为 ．
6．（2022•连云港）若关于x的一元二次方程mx2+nx﹣1＝0（m≠0）的一个根
是x＝1，则m+n的值是 ．
7．（2022•广东）若x＝1是方程x2﹣2x+a＝0的根，则a＝ ．
8．（2022•衢州）将一个容积为 360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利
用容积列出图中x（cm）满足的一元二次方程： （不必化简）．9．（2022•资阳）若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则2a2+4a的值
是 ．
10．（2021•广东）若一元二次方程x2+bx+c＝0（b，c为常数）的两根x ，x 满
1 2
足﹣3＜x ＜﹣1，1＜x ＜3，则符合条件的一个方程为 ．
1 2
1．（2023春•庐阳区校级期中）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B．ax2+bx+c＝0
C．（x+2）（x﹣3）＝x2﹣4 D．x2﹣3x+2＝0
2．（2023春•定远县校级月考）已知 是关于x的一元二次方
程，那么a的值为（ ）
A．±2 B．2
C．﹣2 D．以上选项都不对
3．（2023春•攸县月考）若关于 x的方程（m﹣1）x|m|+1﹣3x+4＝0是一元二次
方程，则m应满足的条件是（ ）
A．m＝﹣1 B．m＝1 C．m＝±1 D．m＝2
4．（2022秋•双峰县期末）方程 3x（1﹣x）+10＝2（x+2）化成一般形式后，
二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．﹣3x2，1，6 B．3x2，1，6 C．3，1，6 D．3，﹣1，﹣6
5．（2022秋•北塔区期末）将一元二次方程（x+2）2＝5x﹣2化为一般形式后，
对应的a，b，c的值分别是（ ）
A．a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2 B．a＝1，b﹣1，c＝6
C．a＝1，b＝﹣5，c＝6 D．a＝1，b＝﹣5，c＝2
6．（2023春•江岸区校级月考）方程x2﹣x＝0二次项系数、一次项系数、常数
项分别是（ ）
A．1，1，0 B．0，1，0 C．0，﹣1，0 D．1，﹣1，07．（2022秋•漳州期末）一元二次方程7x2﹣2x﹣1＝0的常数项是（ ）
A．7 B．﹣2 C．﹣1 D．1
8.（2022秋•甘井子区期末）将方程 4x（x+2）＝25化成ax2+bx+c＝0的形式，
则a，b，c的值分别为（ ）
A．4，8，25 B．4，2，﹣25 C．4，8，﹣25 D．1，2，25
9．（2023春•龙湾区期中）已知 x＝1是一元二次方程 x2+ax+2＝0的一个根，
则a的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
10．（2023春•淮北月考）若关于x的一元二次方程mx2+x﹣m2+1＝0的一个根
为﹣1，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1或0 D．0或1
11．（2022秋•铜梁区校级期末）已知 m为一元二次方程x2+3x﹣2023＝0的根，
那么2m2+6m的值为（ ）
A．﹣4046 B．﹣2023 C．0 D．4046
12．（2022秋•香洲区期末）已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的解，则代数式2a2﹣
4a的值为（ ）
A．2 B．﹣1 C．1 D．﹣2
13．（2022秋•雷州市期末）已知方程x2﹣2x﹣2＝0的一个根是m，则代数式
3m2﹣6m+2017的值为（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
14．（2022秋•朔城区期末）已知t为一元二次方程x2﹣1011x+2023＝0的一个
解，则2t2﹣2022t值为（ ）
A．﹣2023 B．﹣2022 C．﹣4046 D．﹣4044
