文档内容
第 02 讲 解一元二次方程
知识点1：解一元二次方程-直接开方
知识点2：解一元二次方程-配方法
知识点3：解一元二次方程-公式法
知识点4：解一元二次方程-因式分解法
知识点5：一元二次方程的根与系数关系
注意：（1）等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数
（2）降次的实质是有一个一元二次方程转化为两个一元一次方程
（3）方法是根据平方根的意义开平方
【题型1 解一元二次方程-直接平方】
【典例1】解方程：
2(x−1) 2=8【变式1】解方程 ．
(2x+1) 2−1=0
【变式2】用适当的方法解方程：
(3x−1) 2=(x−1) 2
【变式3】解下列方程： ．
9(x−1) 2−4=0
用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：
①化为一般形式；
②移项，将常数项移到方程的右边；
③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；
④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）
2=b 的形式；⑤如果 b≥0 就可以用两边开平方来求出方程的解；如果
b≤0，则原方程无解．
总结：【题型2 解一元二次方程-配方法】
【典例2】解方程：x2−4x−32=0
【变式1】用适当的方法解下列一元二次方程：2x2−6x+3=0．
【变式2】用配方法解方程：2x2−4x−1=0．
1
【变式3】用配方法解方程： x2−3x−5=0．
2
用公式法求一元二次方程的一般步骤：
（1）把方程化成一般形式
，
（2）求出判别式
① 时，方程有两个不相等的实数根；② 时，方程有两个相等的实数根；
时，方程无实数根，反之亦成立
③
【题型3 根据一元二次方程判断根的情况】
【典例3】一元二次方程x2+3x−11=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【变式1】方程 x2+2x+1=0的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．无实数根
【变式2】一元二次方程(x−1)(x+1)=3x−3的根的情况是
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【变式3】下列一元二次方程中，无实数根的是（ ）
A．x2−2x−3=0 B．x2+3x+2=0
C．x2−2x+1=0 D．x2+2x+2=0
【题型4 根据一元二次方程根的情况求参数】
【典例4】若关于x的一元二次方程 有实数根，则实数a的取
(a−1)x2+2x+1=0
值范围是（ ）
A．a≤2 B．a<2 C．a≤2且a≠1 D．a<2且a≠1
【变式1】已知关于x的一元二次方程x2−3x+m+1=0有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
5 5 5 5
A．m< B．m≥ C．m> D．m≤
4 4 4 4
【变式2】若关于x的方程x2−2kx+4=0有两个相等的实数根，则k的值为（ ）
A．2 B．−2 C．1或−1 D．2或−2
【变式3】已知关于x的一元二次方程2x2+x−m=0没有实数根，则m的取值范
围是 ．
【题型5 解一元二次方程-公式法】
【典例5】解方程：x2−4x−1=0．
【变式1】解方程：(x+1)(x−3)=2．
【变式2】用公式法解方程4x2−6x−3=0．
【变式3】解方程：x2−x−3=0．
因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下：
（1）移项，使方程的右边化为零；
（2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积；
（3）令每个因式分别为零；（4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。
【题型6 解一元二次方程-因式分解法】
【典例6】解方程
(1)x2−4x−5=0
(2)
(x−4) 2=10(x−4)
【变式1】解方程：x2−4x−5=0
【变式2】解方程：x2+3x−10=0．
【变式3】解方程：x−1=(x−1)(x+3)．根与系数的关系：即 的两根为 ，则 ，
利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如
。
解题技巧：
当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知
系数时，可以用韦达定理
【题型7 根与系数的关系】
【典例7】已知一元二次方程x2+x−2=0的两个根是x ，x ，则x +x −x x 的值
1 2 1 2 1 2
是（ ）
A．−2 B．2 C．−1 D．1
【变式1】若关于x的一元二次方程x2+x−2025=0的两个解是x =m，x =n，则
1 2
m+n+mn的值是
1 1
【变式2】若实数a、b是一元二次方程x2−4x+3=0的两个根，则 + 的值为
a b
．
【变式3】若一元二次方程2x2−6x−1=0的两根为α, β，则2α2−3α+3β的值为
．一、单选题
1．利用“配方法”解方程x2−4x−7=0，配方结果正确的是（ ）
A． B．
(x−2) 2=11 (x−2) 2=3
C． D．
(x−4) 2=11 (x−4) 2=3
2．若x 、x 是方程 x2+x−6=0的两个根，则x +x 的值为（ ）
1 2 1 2
A．−1 B．1 C．6 D．−6
3．一元二次方程x2−x+1=0的实数根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．无实数根
C．有两个相等的实数根 D．有实数根
4．若关于x的一元二次方程x2+mx+4=0有两个相等的实数根，则实数m的值为
（ ）
A．−4 B．4 C．4或−4 D．16
二、填空题
5．已知m,n是一元二次方程x2−4x−1=0的两根，则m+n= ．
6．方程x(x−1)=0的根是 ．
7．关于x的一元二次方程x2−6x+k=0无实数根，则k的取值范围是
8．已知二元一次方程x2−2x−m=0的两根之积为−3，则m= ．
9．设m, n是方程x2+x−2025=0的两个实数根，则m2+2m+n+mn的值为
．
三、解答题
10．解下列方程．
(1) ； (2) ；
x2−6x+5=0 (x−2) 2=2x−4
(3)x2−3x=0； (4)x2−4x−2=0．11．已知关于 的方程 ．
x (m−1)x2−x−2=0
(1)若x=−1是方程的一个根，求m的值和方程的另一根；
(2)当m取何值时，方程总有实数根．
12．已知 是关于 的方程．
ax2+(a−1)x−1=0 x
(1)求证：无论a取何值，方程总有实数根；
(2)若x=4总是方程的一个根，求a的值及另一个根．
