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专题15 相似三角形之动点问题
1．如图，在 中， ，点E是直角边 上动点，点F是斜边
上的动点（点F与 两点均不重合）．且 平分 的周长，设 长为 ．
(1)试用含x的代数式表示 ；
(2)若 的面积为 ，求x的值；
(3)当 是等腰三角形时，求出此时 的长．
【答案】(1)
(2)2
(3) 或
【分析】（1）勾股定理气得 ，进而求得三角形 的周长，根据题意得出 ，
即可求解；
（2）过点 作 ，证明 ，根据相似三角形的性质得出 ，根据
的面积为 即可求解；
（3）根据题分类讨论，① ，② ，③ ，分别求解即可．
【详解】（1）解：在 中，由勾股定理得：
∴ 的周长 ．
∴ ．
∴ ．
故答案为： ．
（2）过点 作 ．∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ 的面积为 ，
∴ ，
解得： （舍去）．
∴ 的值为 ．
（3）若 是等腰三角形，可分三种情况：
①若 ，
∴ ，
∴ ；
②如图，若 ，过点 作 于 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ；
③若 ，过点 作 于 ，
同理 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 不合题意，舍去；
综上所述， 或 ．
【点睛】本题考查了勾股定理，列代数式，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，综合
运用以上知识是解题的关键．
2．如图，在 中， ， ， ，点P从点A出发，沿线段AB以每秒5个
单位长度的速度向终点B运动，当点P不与点A、B重合时，作点P关于直线AC的对称点Q，连
结PQ，以PQ、PB为边作 ．设 与 重叠部分图形的面积为S，点P的运动
时间为t秒．(1)直接用含t的代数式表示线段PQ的长并写出t的取值范围；
(2)当点M落在边AC上时，求t的值及此时 的面积；
(3)求S与t之间的函数关系式；
(4)当 的对角线的交点到 的两个顶点的距离相等时，直接写出t的值．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) 或 ．
【分析】（1）利用勾股定理求出AC，再利用相似三角形的性质求解即可；
（2）利用面积法求出BM，利用平行四边形的性质求出PQ，构建方程求出t，再求出OM，利用
平行四边形的面积公式求解即可；
（3）分两种情形：当 时，如图3﹣1中，重叠部分是五边形POTMB，当 时，如
图3﹣2中，重叠部分是四边形POTB．分别求解即可；
（4）分三种情形：如图4﹣1中，当对角线的交点O在线段AC的垂直平分线上时，设线段AC的
垂直平分线交AB于点K，连接CK．构建方程求解．如图4﹣2中，当对角线的交点O在线段BC
的垂直平分线上时，设线段BC的垂直平分线交BC于点R，交AC于点L．构建方程求解．观察图
像可知对角线的交点不可能在线段AB的垂直平分线上．由此可得结论．
【详解】（1）如图1中，设PQ交AC于点O．由意得 ， ，在 中，AB＝4，BC＝3，
∴ ，
∵ ，
解得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
（2）如图2中，
∵四边形PQMB是平行四边形，
∴∴ ，
∴ ， ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴
（3）当 时，如图3﹣1中，重叠部分是五边形POTMB，
；
当 时，如图3﹣2中，重叠部分是四边形POTB．
，；
综上所述： ；
（4）如图4﹣1中，当对角线的交点O在线段AC的垂直平分线上时，设线段AC的垂直平分线交
AB于点K，连接CK．
则 ，设 ．
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴
∵ ，
∴
∴
∴ ，
∴ ．
如图4﹣2中，当对角线的交点O在线段BC的垂直平分线上时，设线段BC的垂直平分线交BC于
点R，交AC于点L．∵ ， ，
∴直线OL平分QP，
∴点L在线段PQ上，且
∴ ．
观察图像可知对角线的交点不可能在线段AB的垂直平分线上．
综上所述，满足条件的t的值为 或 ．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质、二次函数求表达式以及线段垂直平分线的性质，难度
较大，综合性极强；熟练掌握和运用动点问题分析技巧以及分类讨论思想是本题的解题关键．
3．如图，在矩形 中， ， 分别是一元二次方程 的两个根，
连结 ，动点 从 出发，以1个单位每秒速度，沿 方向运动，同时，动点 从点 出发，
以同样的速度沿射线 运动，当点 到达点 时，点 即停止运动，设运动时间为 秒.以 为
斜边作Rt ，使点 落在线段 上.
(1)求线段 的长度；
(2)求 面积的最大值；
(3)当 与 相似时，求 的值.
【答案】(1)
(2)面积的最大值为7.5(3) 或 或 或10
【分析】（1）先解方程求出 的长度，再由勾股定理即可求出 的长度；
（2）用时间 分别表示 ，即可表示出 的面积，最后求最大值即可；
（3）用时间 分别表示 的长，再利用相似三角形列方程计算即可，需要注意分类讨论.
【详解】（1）解方程 得
或
∵ ， 分别是一元二次方程 的两个根，
∴ ， ，
∵矩形
∴
∴
（2）由题意得： ，
∴ ，
∴
∴
∴ ，
∴
∴ 面积的最大值为 ；
（3）当M在P右边时，如图所示此时 即
当 时
∴
∴
解得
当 时
∴
∴
解得
同理，当M在P左边时， ，
当 时
当 时
综上，当 或 或 或10， 与 相似.
【点睛】本题考查相似三角形的动点问题，解题的关键是根据相似表示出各个边长，需要特别注
意分类讨论.
4．如图，在 中， ， ，点 从点 开始沿 边向 点以
的速度移动，点 从点 开始沿 边向点 以 的速度移动，如果 分别从
同时出发，问经过几秒钟， ．【答案】 或
【分析】根据两个三角形相似，则对应边的比等于相似比，由此即可求解．
【详解】解：根据题意可知，设经过 秒， ，
∴ ， ， ，
当 ，则 ， ， ，
∴ ，解方程得， （ ）；
当 ，则 ，
∴ ，解方程得， （ ），
∴经过 或 时， ，
故答案是： 或 ．
【点睛】本题主要考查相似三角形性质的应用，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
5．如图，在 中， ， ， ， 是 边的中点， 为 边上的一个动
点，作 ， 交射线 于点 ．设 ， 的面积为 ．
(1)求 关于 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；
(2)如果以 、 、 为顶点的三角形与 相似，求 的面积．
【答案】(1) 或
(2) 或
【分析】（1）过点 作 于 ．通过相似三角形得出的成比例线段可求出 的长，再根据三角形 的面积公式得出 的函数关系式，根据 且 交射线 于点 求得
的取值范围；
（2）若两三角形相似，则 ，分别过 作 于 于 ，根
据 是 和 的余角，因此 ．因此可得出 ，可根
据 的不同的表示方法，来得出含 的等式，从而求出 的值．也就可以求出三角形
的面积．根据 为锐角和钝角的不同情况分类讨论即可求解．．
【详解】（1）如图1，过点 作 于 ．
∴
在 中， ， ， ，
∴ ,
∵ 为 上动点可与 重合，
当 时， 为 的中点， ， ，此时 ， 于 无交点，
设 到 的距离为 ，
则
当 时， ，
此时 ，结合图形可知当 ， 于 无交点，
∴ 或
∵
∴
∴ ，
∴ 或（2）由题意知 ，故可以分两种情况．
①如图2，当 为锐角时，
由已知以 为顶点的三角形与 相似，又知 ， ，所以
．
过点 作 于 ，过 作 ．
∴ ，
∴ ．
由
又∵
∴ ，
解得
∴
②如图3，当∠BEF为钝角时，
同理可求得
∴ ．
∴
综上所述， 的面积是 或 ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，函数关系式．注意（2）中都要分情况进行讨论：要
分 时钝角还是锐角进行分类讨论，不要丢掉任何一种情况．
6．如图，矩形 中， ， 为 边上的动点，当 与 相似时，
求 长．
【答案】 或 或
【分析】根据 和 分两类情况讨论即可；
【详解】解：设 ，则
当 时，
解得：
当 时，
解得： 或 ，
综上： 或 或
【点睛】本题考查了相似三角形与动点问题；根据相似三角形的性质分类列方程是解题的关键．
7．如图，在 中， cm，动点P从点C出发沿着 的方向以 的
速度向终点A运动，另一动点Q同时从点A出发沿着 方向以 的速度向终点C运动，P、Q
两点同时到达各自的终点，设运动时间为t（s）． 的面积为 ．(1)求 的长；
(2)求S与t的函数关系式，并写出的取值范围；
(3)当t为多少秒时，以P、C、Q为顶点的三角形和 相似？
【答案】(1) cm；
(2) ；
(3) 时，以P、C、Q为顶点的三角形和 相似．
【分析】（1）根据P、Q两点同时到达各自的终点知， ，设 cm，则
cm，利用勾股定理列方程即可得出答案；
（2）分 或 两种情形，分别表示出S与t的函数解析式；
（3）当 时，点P在 上，分 或 两种情形，根据相似三角形
的性质可得答案，当 时，点P在 上，只有 时，则 ，通过验证发
现不存在．
【详解】（1）解：根据P、Q两点同时到达各自的终点知，
，
设 cm，则 cm，
由勾股定理得， ，
∴ ，
∴ cm；（2）解：当 时， ；
当 时，作 于点H，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
综上： ；
（3）解：当 时，点P在 上，
当 时，
∴ ，
∴ ，
解得 ；
当 时，
∴ ，
∴ ，
解得 （舍去）；
当 时，点P在 上，则 时， ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故这种情形不成立，
综上： 时，以P、C、Q为顶点的三角形和 相似．
【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，化动为
静，运用分类讨论思想是解题的关键．
8．如图，在 中， ，点P从A出发，以 的速度向B运动，同时
点Q从C出发，以 的速度向A运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止
运动，设运动的时间为 ,
(1)则 ； ____ (用含t的代数式表示)
(2)求运动时间t的值为多少时，以 、 、 为顶点的三角形与 相似？【答案】(1) ，
(2) 或
【分析】（1）根据路程 速度 时间即可表示出 的长度；
（2）分两种情况进行讨论，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：根据题意可得： ， ，
∴ ，
故答案为： ， ；
（2）∵ ， 为顶点的三角形与 相似，
∴ 或 ，
∴ 或 ，
∴ 或 ，
∴ 或 时，以 、 、 为顶点的三角形与 相似．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，相似三角形的动点问题，利用分类讨论的思想解
决问题是本题的关键．
9．如图1，在 中， ，动点P从点B出发，在BA边上以
每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B
匀速运动，运动时间为t秒 ，连接PQ．(1)若 与 相似，求t的值；
(2)直接写出 是等腰三角形时t的值；
(3)如图2，连接AQ、CP，若 ，求t的值．
【答案】(1)t的值为1或
(2) 是等腰三角形时t的值为： 或 或
(3)
【分析】（1）根据勾股定理可得 ，分两种情况：① ，② ，
根据相似三角形的性质将 代入计算即可得；
（2）分三种情况：①当 时，过P作 ，则 ， ，根据平行
线分线段成比例定理得到 ，进而即可求解；②当 时，列出式子即可求解；③当
时，过Q作 于G，则 ，通过 ，得到比
例式进而即可求解；
（3）设AQ，CP交于点N，过P作 于点M，先根据相似三角形的判定与性质可得
， ，从而可得 ，再证出 ，根据相似三角形的
性质即可得．
（1）
解：∵ ，
∴ ，
由题意得： ，
分以下两种情况讨论：①当 时， ，
即 ，
解得 ；
②当 时， ，
即 ，
解得 ，
综上，t的值为1或 ；
（2）
解：分三种情况：
①当 时，如图，过P作 ，
则 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得： ；
②当 时，即 ，
解得： ；
③当 时，如图，过Q作 于G，则 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 即 ，
解得： ；
综上所述： 是等腰三角形时t的值为： 或 或 ；
（3）
解：如图，设AQ，CP交于点N，过P作 于点M，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 ，
经检验 是该分式方程的解．
【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的
性质，等腰三角形的性质，由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键．
10．如图1，在 中， ，点P为斜边 上一点，过点P作射线
，分别交 、 于点D，E．
(1)问题产生∶若P为 中点，当 时， ；
(2)问题延伸：在（1）的情况下，将若∠DPE绕着点P旋转到图2的位置， 的值是否会发生改
变？如果不变，请证明；如果改变，请说明理由；
(3)问题解决：如图3，连接 ，若 与 相似，求 的值．
【答案】(1)
(2)不变，证明见解析；(3) 或
【分析】（1）通过P为 中点， ，可以得到： ，进而得
到 是 的中位线，利用中位线定理即可得解；
（2）过点 作 ，得到 是 的中位线，得到 ，证明
，得到 ，即可得证；
（3）当 ，利用 ，得到点C、D、P、E共圆，得到
，证明 ，利用相似比即可得解，当 时，可以得到
点是 的中点，即可得解．
（1）
解：∵
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵P为 中点，
∴ ，
∴ ；
（2）
不变，理由如下：
过点 作 ，
则 ，
∵P为 中点，
∴ ；∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的值不变；
（3）
如图2，连接 ，
∵ ，
∴ ，
当 时，则 ，
∵ ，
∴点C、D、P、E共圆，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，如图3，当 时，则 ，
∵ ，
∴点C、D、P、E共圆，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理可得： ，
∴ ，
∴ ，
综上所述： 或 ．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质．通过添加合适的辅助线证明三角形相似是解题的关
键．同时，本题考查了三角形的中位线定理，以及利用四点共圆证明角相等，是一道综合题．
11．如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段
AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单
位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．
(1)当t为何值时，△APQ与△AOB相似？
(2)当t为何值时，△APQ的面积为 ？
【答案】(1) ；
(2)2或3．【分析】（1）由AO=6，BO=8得AB=10，①当∠PAQ=∠AOB 时，△APQ∽△AOB．利用其对应边
成比例解t；②当∠AQP=∠AOB 时，△AQP∽△AOB，利用其对应边成比例解得t．
（2）过点Q作QE垂直AO于点E，利用QE BO证明△AEQ∽△AOB，从而得到 ，
从而得出 = = ，再利用三角形面积解得t即可．
（1）
解：由AO=6，BO=8， ，
所以 ，
所以AP=t， AQ= ，
①当∠APQ=∠AOB 时，△APQ∽△AOB
所以 ，
所以 ，
解得 (秒)
②当∠AQP=∠AOB 时，△AQP∽△AOB
所以 ，
所以
解得 (秒)
∴当t为 或 时，△AQP与△AOB相似．
（2）
过点Q作QE⊥AO于点E，∵QE⊥AO，BO⊥AO，
∴QE BO，
∴△AEQ∽△AOB，
∴
∴ = = ，
=
解得：
∴当t=2或3时，△APQ的面积为 个平方单位．
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数值，解直角三角形等知
识点，有一定的拔高难度，属于难题．
12．如图，在矩形ABCD中， cm， cm，点E、F同时分别从D、B两点出发，以
1cm/s的速度沿DC、BA向终点C、A运动，点G、H分别为AE、CF的中点，设运动时间为t
（s）．
(1)求证：四边形EGFH是平行四边形．
(2)填空：
①当t为______s时，四边形EGFH是菱形；
②当t为______s时，四边形EGFH是矩形．
【答案】(1)见解析
(2)① ；②8或
【分析】（1）证明△ADE≌△CBF，进而易得GE HF，且GE=HF，所以四边形EGFH是平行四
边形．（2）①四边形EGFH是菱形，G是AE的中点，则GF=GE=GA= AE，得到∠AFE=90°，根据
DE=AF，列方程求解；
②四边形EGFH是矩形，易得△ADE∽△EHC，则根据 列方程求解即可．
（1）
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠B=90°
∵AD=CB，
∵点E、F同时分别从D、B两点出发，以1cm/s的速度沿DC、BA向终点C、A运动，
∴DE=BF，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF，
∴AE=CF，∠DEA=∠EAF=∠CFB
∵点G、H分别为AE、CF的中点，
∴GE HF，且GE=HF，
∴四边形EGFH是平行四边形．
（2）
①连EF，
∵四边形EGFH是菱形，G是AE的中点．
∴GF=GE=GA= AE，
∴EF⊥AB，
∴DE=AF，
∴ ，∴t= ．
故答案为： ．
②∵四边形EGFH是矩形，
∴∠D=∠EHC=∠AEH=90°，
∴∠AED+∠HEC=∠ECH+∠HEC=90°，
∴∠AED=∠ECH，
∴△ADE∽△EHC，
∴ ，
∴ ，
解得：t=8，t= ．
1 2
故答案为：8或 ．
【点睛】本题主要考查矩形、菱形、平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质、全等
三角形的判定与性质以及数形结合的综合运用，第2小题根据结论逆向分析列出方程是解决问题
的关键．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝8cm，点D，E分别为边AB，AC的中点，
连结DE，点P从点B出发，沿折线BD－DE－EA运动，到点A后立即停止．点P在BD上以
cm/s的速度运动，在折线DE－EA上以1cm/s的速度运动．在点P的运动过程中，过点P作
PQ⊥BC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，点M在线段BQ上．设点P的运动时间为t（s）．
(1)当点P在线段DE上时，求正方形PQMN的边长．
(2)当点N落在边AB上时，求t的值．(3)在点P的整个运动过程中，记正方形PQMN与△ABC重叠部分图形面积为S（cm²），求S与t
的函数关系式，写出相应t的取值范围．
【答案】(1)2cm
(2)4或
(3)
【分析】（1）根据三角形的中位线性质得到DE BC，DE= BC=4cm，CE= AC=2cm，再证明
四边形PQCE是矩形得到PQ=CE即可求解；
（2）分点N与点D重合和点N在线段AD上两种情况，画出对应图形，利用运动线段之间的数量
关系求解t值即可；
（2）分①当0≤t≤2时；②当2＜t≤4时；③当4＜t≤6时；④当6＜t≤ 时；⑤ ＜t≤8时5种情况，
分别画出图形，利用数形结合和运动线段之间的数量关系讨论求解即可．
（1）
解：∵点D，E分别为边AB，AC的中点，AC＝4cm，BC＝8cm，
∴DE BC，DE= BC=4cm，AE=CE= AC=2cm，
∵∠C＝90°，PQ⊥BC，点P在线段DE上，
∴PQ CE，
∴四边形PQCE是平行四边形，又∠C＝90°，
∴四边形PQCE是矩形，
∴PQ=CE=2cm，
即正方形PQMN的边长为2cm；（2）
解：∵∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝8cm，
∴AB= = cm，则BD = cm，
∵点P在BD上以 cm/s的速度运动，
∴点P在线段BD上的时间t= s，
由题意，点N落在边AB上时，分两种情况：
当点N与点D重合时，点P在线段DE上，如图1-1，
则DP=PQ=2，
∵在DE以1cm/s的速度运动，
∴DP=t-2，即：2=t-2，
∴t=2+2=4（s）；
当点N在线段AD上时，点P在线段AE上，如图1-2，
∵点P在DE段的运动时间为4s，点P在 EA上以1cm/s的速度运动，
∴PE=t-2-4=t-6，
∴PA=2-（t-6）=8-t，PC=t-6+2=t-4，
∵PN CM，
∴∠APN=∠ACB，又∠PAN=∠CAB，
∴△PAN∽△CAB，
∴ 即 ，
解得：PN=16-2t，
由PN=PC得：16-2t=t-4，解得：t= ，
综上，当点N落在边AB上时，t的值为4或 ；（3）
解：由题意，在点P的整个运动过程中，正方形PQMN与△ABC重叠部分有5种情况：
①当0≤t≤2时，如图2-1，重叠部分为四边形PQMK，
∵PQ AC，
∴△BPQ∽△BAC，
∴ ，即 ，
∴PQ=t，BQ=2t，则MQ=PQ=t，BM=BQ-MQ=t，
∵KM PQ，
∴KM= PQ= t，
∴ ；
②当2＜t≤4时，如图2-2，重叠部分为五边形PQMFD，
∵DP=t-2，PQ=MQ=2，∴PE=CQ=DE-DP=4-（t-2）=6-t，
∴BQ=BC-CQ=8-（6-t）=2+t，BM=BQ-MQ=t，
∵MF AC，
∴△BFM∽△BAC，
∴ ，即 ，
∴FM= t，
∴
=
= ；
③当4＜t≤6时，如图2-3，重叠部分为正方形形PQMN，则 ；
④当6＜t≤ 时，如图2-4，重叠部分为正方形PQMN，
∵PE=t-2-4=t-6，
∴PC=t-6+2=t-4，
∴ ；⑤ ＜t≤8时，如图2-5，重叠部分为四边形PQMFG，
∵PE =t-6，
∴PA=2-（t-6）=8-t，PC=MC=t-4，
∵PG BC，
∴△PAG∽△CAB，
∴ 即 ，
解得：PG=16-2t，
∵BM=BC-MC=8-（t-4）=12-t，
∴FM= BM=6- t，
∴
=
= ；
综上所述，S与t的函数关系式为
．
【点睛】本题是运动型综合题，涉及正方形的性质、三角形的中位线性质、相似三角形的判定与
性质、矩形的判定与性质、函数等知识，综合型强，运动过程复杂，计算量大，对同学们的解题能力要求很高，属于中考压轴题．读懂题意，弄清动点和动线的运动过程是解题关键，注意第
（2）、（3）问中涉及多种情况，需要进行分类讨论，避免遗漏失分．
14．如图，矩形 中， ， ，动点 从点 出发，沿 边以 的速
度向点 匀速移动，动点 从点 出发，沿 边以 的速度向点 匀速移动，一个动点到达
端点时，另一个动点也停止运动，点 ， 同时出发，设运动时间为 ．
(1)当 为何值时， 的面积为 ？
(2) 为何值时，以A， ， 为顶点的三角形与 相似．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】 由题意知， ， ，再根据三角形的面积公式即可列出方程，解方程可
得答案；
由 ，则当 或 时，以 ， ， 为顶点的三角形与 相
似，代入计算即可．
（1）
由题意知， ， ，
的面积为 ，
，
解得 或 ，
，
时， 的面积为 ；
（2）
，当 或 时，以 ， ， 为顶点的三角形与 相似，
或 ，
解得 或 ，
或 时，以A， ， 为顶点的三角形与 相似．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，一元二次方程的解法等知识，熟练掌握相似三角形
的判定是解题的关键，同时注意分类讨论思想的运用．
15．阅读与思考
如图是两位同学对一道习题的交流，请认真阅读下列对话并完成相应的任务．
解决问题：
(1)写出正确的比例式及后续解答．
(2)指出另一个错误，并给出正确解答．
拓展延伸：
(3)如图，已知矩形ABCD的边长AB＝3cm，BC＝6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向
以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速
运动，是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，直接写出t的值；
若不存在，请说明理由．【答案】(1) ＝ ，解答见解析
(2)没有进行分类讨论，见解析
(3)存在，t＝ 或t＝
【分析】（1）根据三角形相似的性质可得 ＝ ，再进行计算即可；
（2）根据题意可知另一个错误是没有进行分类讨论，进行解答即可；
（3）根据题意可知有两种情况分别是 和 ，然后列出方程进行计算即
可．
（1）
由题意得∵
∴正确比例式是： ＝ ，
∴DE＝ ＝ ＝ ＝ ；
（2）
另一个错误是没有进行分类讨论，如图，过点D作∠ADE＝∠ACB，
又∵∠A＝∠A，则△ADE∽△ACB，∴ ＝ ，
∴DE＝ ＝ ＝ ，
综合以上可得：DE为 或 ．
（3）
由题意可知，有两种情况，
第一种：当 时，
设AM=t，则AN=6-2t，则由 得，
解得：t= ；
第二种：当 时，
则由 ，
，
解得：t= ，
综上所述，当t＝ 或t＝ 时以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解决此题的关键是要学会分类讨论．
16．如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝12厘米，OB＝6厘米．点P从点O开始沿OA向点A
以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BO向点O以1厘米/秒的速度移动．当一点运动到终
点时，另一点也随之停止．如果P、Q同时出发，用t(秒)表示移动的时间(0＜t＜6)，求当 POQ与
AOB相似时t的值．
【答案】4或2
【分析】分△POQ∽△AOB和△POQ∽△BOA两种情况，利用相似三角形的性质分类求解即可．
【详解】解: 由题意，OP=t，OQ=6-t，
有两种情况：
①若△POQ∽△AOB，则有
即 ，
解得 t＝4．
②若△POQ∽△BOA，则有即 ，
解得 t＝2．
∴ 当t＝4或t＝2时，△POQ与△AOB相似．
【点睛】本题考查相似三角形的性质、解一元一次方程，熟练掌握相似三角形的对应边成比例是
解答的关键．
17．如图， ABC中，AB＝AC＝10cm．BC＝16cm，动点P从点C出发沿线段CB以2cm/s的速度
向点B运动△，同时动点Q从点B出发沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点停止
运动时另一个动点也停止运动，设运动时间为t（单位：s），以点Q为圆心，BQ长为半径的⊙Q
与射线BA、线段BC分别交于点D，E，连接DP．
(1)当t为何值时，线段DP与⊙Q相切；
(2)若⊙Q与线段DP只有一个公共点，求t的取值范围；
(3)当 APC是等腰三角形时，直接写出t的值．
△
【答案】(1)当t 时，线段DP与⊙Q相切；
(2)0＜t 或 ；
(3) 或5或8．
【分析】（1）过点A作AN⊥BC于点N，则BN cm，由线段DP与⊙Q相切，则∠BDP
＝∠BNA＝90°，利用 BDP∽△BNA，得 ，代入即可求出t的值；
△
（2）分两种情形：出发后到DP与圆相切时，⊙Q与线段DP只有一个公共点，得0＜t ，当
点P与点E重合后，点P在⊙Q内，此时⊙Q与线段DP只有一个公共点，当点P与点E重合时，
，可解决问题；
（3）分AP＝AC，PPC，CA＝CP三种情形，分别画出图形，即可解决问题．（1）
解：由题意得：CP＝2tcm，BD＝2tcm，则BP＝（16﹣2t）cm，
过点A作AN⊥BC于点N，如图1，
则BN cm，
∵线段DP与⊙Q相切，
∴PD⊥BD，
∴∠BDP＝∠BNA＝90°，
∵∠B＝∠B，
∴△BDP∽△BNA，
∴ ，
∴ ，
解得t ，
∴当t 时，线段DP与⊙Q相切；
（2）
①出发后到DP与圆相切时，⊙Q与线段DP只有一个公共点，
∴0＜t ，
②当点P与点E重合后，点P在⊙Q内，此时⊙Q与线段DP只有一个公共点，
∵点P与点E重合时，
∵∠BED＝∠ANB＝90°，
∴DE AN，∵ ，
∴BE＝BP＝ ，
∵BP＋CP＝BC，
∴ ，
解得：t ，
∵当P到点B时，t＝ ＝8，
∴t＜8，
∴ t＜8，
综上，当0＜t 或 时，⊙Q与线段DP只有一个公共点；
（3）
①当AP＝CP时，由题意得：CP＝2tcm，
过点A作AN⊥BC于点N，过点P作PM⊥AC于点M，如图2，
∵AB＝AC＝10cm，BC＝16cm，AN⊥BC，
∴BN＝NC ，
∵AP＝CP，PM⊥AC，
∴CM ，
∵∠CMP＝∠CNA＝90°，∠C＝∠C，
∴△CMP∽△CNA，∴ ，
∴ ，
∴t ；
②当AC＝CP时，如图3，
则2t＝10，
∴t＝5；
③当点P到达点B时，此时CP＝CB，
∴2t＝16，
∴t＝8，
综上，当 APC是等腰三角形时t的值为 或5或8．
△
【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了动点问题，直线与圆的位置关系，相似三角形的判定与
性质，等腰三角形的性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．
18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，点P，Q同时从点B出发，点P以每秒5个
单位长度的速度沿折线BA﹣AC运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿折线BC﹣CA运动，当
点P，Q相遇时，两点同时停止运动，设点P运动的时间为t秒，△PBQ的面积为S．
(1)当P，Q两点相遇时，t＝ 秒；
(2)求S关于t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．【答案】(1)3；
(2) ．
【分析】（1）首先求出 ，再根据两个点的路程和为24得到方程可得相遇时间；
（2）分三种情况：当 时，当 时，当 时，利用三角形相似和三角形的面积公
式可得 与 的关系式．
（1）
， ， ，
，
，解得 ．
当 ， 两点相遇时， 秒，
故答案为：3；
（2）
当 时，当 时，
在 中，过点 作 于点 ，
，
，
，
，
， ， ，
，，
；
当 时，如图，
，
；
当 时，如图，
，
．
综上， ．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，解决问题的关键是理清图象的含义即会识图．通
过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．
19．如图，在 Rt ABC 中，∠C＝90°，AC＝16，BC＝12．动点 P 从点 B 出发，沿线段 BA 以
每秒 2 个单位长△度的速度向终点 A 运动，同时动点 Q 从点 A 出发，沿折线 AC—CB 以每秒
2 个单位长度的速度向点 B 运动．当点 P 到达终点时，点 Q 也停止运动．设运动的时间为 t
秒．(1)AB= ；
(2)用含 t 的代数式表示线段 CQ 的长；
(3)当 Q 在 AC 上运动时，若以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC 相似，求 t 的值；
(4)设点 O 是 PA 的中点，当 OQ 与△ABC 的一边垂直时，请直接写出 t 的值．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
(4) 或 或
【分析】（1）根据勾股定理直接求解；
（2）根据题意列出代数式；
（3）根据题意分∠AQP=90°时，∠APQ=90°时，两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，
解方程即可求解．
（4）根据题意分 时， 时， 时，三种情况，根据相似三角形的性质列出
比例式，解方程即可求解．
（1）
∠C＝90°，AC＝16，BC＝12
故答案为：20
（2）
（3）
如图1，当∠AQP=90°时，△AQP∽△ACB，
∴ ．∵AB=20．
∵BP=2t，AQ=2t，
∴PA=20-2t，
∴ ，
∴t= ，
如图2，当∠APQ=90°时，△APQ∽△ACB，
∴ ，
∴ ，
t= ．
综上所述，t= 或 时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似；
（4）
如图3，当 时，
，
，
点 O 是 PA 的中点，
，
，
，
，
，解得 ，
如图4，当 时，
，
，
，
，
，
，
如图5，当 时，
，
，
，
，
，
，
解得 ，
综上所述， 的值为 或 或 ．【点睛】本题考查了勾股定理，动点问题，相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．
20．如图，抛物线 交 轴于 ， 两点，与 轴交于点 连接 ， ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图 ，点 为抛物线在第三象限的一个动点， 轴于点 ，交 于点 ， 于
点 ，当 的面积为 时，求点 的坐标；
(3)如图 ，若 为抛物线上一点，直线 与线段 交于点 ，是否存在这样的点 ，使得以 ，
， 为顶点的三角形与 相似．若存在，请求出此时点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) 或(3)存在，坐标为 或 或 或
【分析】（1）把 和 的坐标代入抛物线解析求出a和b即可求解；
（2）求出直线 的解析式为 ，设 ，则 ，由三角形面积可
得出 或 ，则可得出答案；
（3）分两种情况，①若 ，②若 ，由相似三角形的性质可求出 的
长，求出 点坐标，联立直线 和抛物线的解析式可求出答案．
（1）
解：∵抛物线y=a +bx-3交x轴于 ， 两点，
∴ ，
解得 ，
∴该抛物线的解析式为 ；
（2）
解：∵抛物线的解析式为 ，
∴ 时， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
设直线AC的解析式为 ，
∴ ，∴ ，
∴直线AC的解析式为 ，
设 ，
则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ 或 ；
（3）
解：∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
若以A，O，N为顶点的三角形与 相似，可分两种情况：
①若 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
过点N作 于点K，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴直线ON的解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或（ ；
②若 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理ON的解析式为 ，
∴ ，∴ ，
∴ 或 ．
综上所述，点Q的坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题是二次函数压轴题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、图形面积计算、
相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握二次函数图象和性质，相似三角形的性质等相关知
识是解题关键．
