第02讲解一元二次方程-开平方和配方法（知识解读+真题演练+课后巩固）（教师版）_初中数学_九年级数学上册（人教版）_知识解读与题型专练-V14_2024版

第 2 讲 解一元二次方程-开平方和配方法 1.理解并掌握用直接开方法解一元二次方程； 2.理解并掌握用配方法解一元二次方程； 知识点1：解一元二次方程-直接开方 注意：（1）等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数 （2） 降次的实质是有一个一元二次方程转化为两个一元一次方程 （3） 方法是根据平方根的意义开平方 知识点2：解一元二次方程-配方法 用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是： ①化为一般形式； ②移项，将常数项移到方程的右边； ③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； ④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a） 2=b 的形式；⑤如果 b≥0 就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解． 总结： 【题型 1 解一元二次方程-直接平方】 【典例1】（2023春•抚顺月考）解方程： （1）x2﹣81＝0； （2）4（x﹣1）2＝9． 【答案】（1）x ＝9，x ＝﹣9； 1 2 （2）x ＝ ，x ＝﹣ ． 1 2 【解答】解：（1）x2﹣81＝0， x2＝81， ∴x＝±9， ∴x ＝9，x ＝﹣9； 1 2 （2）4（x﹣1）2＝9， （x﹣1）2＝ ， ∴x﹣1＝± ， ∴x ＝ ，x ＝﹣ ． 1 2 【变式1-1】（2022秋•清新区期中）解方程：（x﹣5）2﹣36＝0． 【解答】解：∵（x﹣5）2﹣36＝0， ∴（x﹣5）2＝36， ∴x﹣5＝±6， ∴x ＝11，x ＝﹣1． 1 2 【变式1-2】（2023•龙川县校级开学） （x+1）2＝25．【答案】x ＝﹣11，x ＝9． 1 2 【解答】解： ， ∴（x+1）2＝100， x+1＝±10， ∴x ＝﹣11，x ＝9． 1 2 【变式1-3】（2022秋•嘉定区月考）解方程： ． 【解答】解： ， （2x﹣2）2＝48， 2x﹣2＝±4 ， x＝1±2 ， 【典例2】（2022•齐齐哈尔）解方程：（2x+3）2＝（3x+2）2． 【解答】解：方程：（2x+3）2＝（3x+2）2， 开方得：2x+3＝3x+2或2x+3＝﹣3x﹣2， 解得：x ＝1，x ＝﹣1． 1 2 【变式2-1】解方程：（3x﹣1）2＝（2﹣5x）2 【解答】解：∵（3x﹣1）2＝（2﹣5x）2 ∴3x﹣1＝±（2﹣5x）， 解得x＝ 或x＝ ． 【变式2-2】（2x﹣3）2＝x2 【解答】解：2x﹣3＝±x 2x﹣3＝x或2x﹣3＝﹣x ∴x ＝3，x ＝1． 1 2 【变式2-3】解方程：（x+1）2＝（1﹣2x）2． 【解答】解：两边开平方，得 x+1＝|1﹣2x|． ①当x+1＝1﹣2x时，x＝0．②当x+1＝﹣（1﹣2x）时，x＝2． 综上所述，原方程的解是：x ＝0，x ＝2． 1 2 【题型2 解一元二次方程-配方法】 【典例3】（2022•瑞安市一模）用配方法解方程 x2﹣4x﹣5＝0时，配方结果 正确的是（ ） A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝﹣1 C．（x﹣2）2＝9 D．（x﹣2）2＝﹣9 【答案】C 【解答】解：方程移项得：x2﹣4x＝5， 配方得：x2﹣4x+4＝9，即（x﹣2）2＝9． 故选：C． 【变式3-1】（2022秋•滨城区校级期末）用配方法解方程 x2﹣2x﹣5＝0时，原 方程变形为（ ） A．（x+1）2＝6 B．（x﹣1）2＝6 C．（x+2）2＝9 D．（x﹣1）2＝9 【答案】B 【解答】解：x2﹣2x﹣5＝0， x2﹣2x＝5， x2﹣2x+1＝5+1， ∴（x﹣1）2＝6． 故选：B． 【变式 3-2】（2022 秋•陵水县期末）将一元二次方程 x2﹣2x﹣3＝0 化成 （x+h）2＝k的形式，则k等于（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解答】解：x2﹣2x﹣3＝0， x2﹣2x＝3， x2﹣2x+1＝3+1， （x﹣1）2＝4， ∴k＝4， 故选：D．【变式3-3】（2022秋•平顶山期末）把一元二次方程 x2﹣6x+6＝0化成（x+a） 2＝b的形式，则a，b的值分别是（ ） A．﹣3，3 B．﹣3，15 C．3，3 D．3，15 【答案】A 【解答】解：方程x2﹣6x+6＝0， 移项得：x2﹣6x＝﹣6， 配方得：x2﹣6x+9＝3，即（x﹣3）2＝3， ∵一元二次方程x2﹣6x+6＝0化成（x+a）2＝b的形式， ∴a＝﹣3，b＝3． 故选：A． 【典例4】（2022秋•颍州区期末）用配方法解方程： （1）x2+7x＝﹣ ；（2）3x2+6x+2＝11． 【答案】（1） ， ； （2）x ＝1，x ＝﹣3． 1 2 【解答】解：（1）x2+7x＝﹣ ， ， ， ， ， ； （2）3x2+6x+2＝11， 3x2+6x﹣9＝0， x2+2x﹣3＝0， x2+2x+1＝4， （x+1）2＝4， x+1＝±2， x ＝1，x ＝﹣3． 1 2【变式4-1】（2022秋•辉县市期中）解方程：x2+12x+27＝0（用配方法）． 【答案】x ＝﹣9，x ＝﹣3． 1 2 【解答】解：x2+12x+27＝0， x2+12x＝﹣27， x2+12x+36＝9， （x+6）2＝9， x+6＝±3， 所以x ＝﹣9，x ＝﹣3． 1 2 【变式 4-2】（2022秋•普宁市校级期中）解下列方程 3x2+4x﹣1＝0（用配方 法） 【答案】x ＝﹣ + ，x ＝﹣ ﹣ ． 1 2 【解答】解：∵3x2+4x﹣1＝0， ∴3x2+4x＝1， 则x2+ x＝ ， ∴x2+ x+ ＝ + ，即（x+ ）2＝ ， ∴x+ ＝± ， ∴x ＝﹣ + ，x ＝﹣ ﹣ 1 2 【变式4-3】（2022秋•颍州区校级期末）用配方法解下列方程 （1）3x2﹣4x﹣2＝0； （2）6x2﹣2x﹣1＝0； （3）2x2+1＝3x； （4）（x﹣3）（2x+1）＝﹣5． 【答案】（1）x ＝ + ，x ＝ ﹣ ；（2）x ＝ + ，x ＝ ﹣ 1 2 1 2 ；（3）x ＝1，x ＝ ；（4）x ＝2，x ＝ ． 1 2 1 2 【解答】解：（1）原方程可化为x2﹣ x＝ ， ∴x2﹣ x+ ＝ ，即（x﹣ ）2＝ ，∴x﹣ ＝± ， ∴x ＝ + ，x ＝ ﹣ ； 1 2 （2））原方程可化为x2﹣ x＝ ， ∴x2﹣ x+ ＝ ，即（x﹣ ）2＝ ， ∴x﹣ ＝± ， ∴x ＝ + ，x ＝ ﹣ ； 1 2 （3）原方程可化为x2﹣ x＝﹣ ， ∴x2﹣ x+ ＝ ，即（x﹣ ）2＝ ， ∴x﹣ ＝± ， ∴x ＝1，x ＝ ； 1 2 （4）原方程可化为x2﹣ x＝﹣1， ∴x2﹣ x+ ＝ ，即（x﹣ ）2＝ ， ∴x﹣ ＝± ， ∴x ＝2，x ＝ ． 1 2 1．（2023•佛山一模）方程x2＝1的根是（ ） A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝±1 D．x＝±2 【答案】C 【解答】解：x2＝1，x＝±1， 所以x ＝1，x ＝﹣1． 1 2 故选：C． 2．（2023•泸县校级模拟）方程x2﹣4＝0的根为（ ） A．2 B．根号2 C．±2 D．±根号2 【答案】C 【解答】解：x2﹣4＝0， ∴x2＝4， ∴x＝±2． 故选：C． 3．（2022•花都区三模）方程（x+1）2＝9的解为（ ） A．x ＝2，x ＝﹣4 B．x ＝﹣2，x ＝4 1 2 1 2 C．x ＝2，x ＝4 D．x ＝﹣2，x ＝﹣4 1 2 1 2 【答案】A 【解答】解：（x+1）2＝9， x+1＝±3， 所以x ＝2，x ＝﹣4． 1 2 故选：A． 4．（2022•台湾）已知一元二次方程式（x﹣2）2＝3的两根为a、b，且a＞b， 求2a+b之值为何？（ ） A．9 B．﹣3 C．6+ D．﹣6+ 【答案】C 【解答】解：（x﹣2）2＝3， x﹣2＝ 或x﹣2＝﹣ ， 所以x ＝2+ ，x ＝2﹣ ， 1 2 即a＝2+ ，b＝2﹣ ， 所以2a+b＝4+2 +2﹣ ＝6+ ．故选：C． 5．（2022•城西区二模）若关于 x的方程（x+5）2＝m﹣1有两个实数根，则m 的取值范围是（ ） A．m＞0 B．m≥1 C．m＞1 D．m≠1 【答案】B 【解答】解：根据题意得m﹣1≥0， 所以m≥1． 故选：B． 6．（2023•东城区一模）用配方法解一元二次方程 x2+6x+3＝0时，将它化为 （x+m）2＝n的形式，则m﹣n的值为（ ） A．﹣6 B．﹣3 C．0 D．2 【答案】B 【解答】解：x2+6x+3＝0， x2+6x＝﹣3， x2+6x+9＝6， （x+3）2＝6， 所以m＝3，n＝6， 所以m﹣n＝3﹣6＝﹣3． 故选：B． 7．（2023•聊城一模）一元二次方程2x2﹣3x+1＝0配方后可化为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵2x2﹣3x+1＝0， ∴2x2﹣3x＝﹣1， ∴ ， ∴ ，即 ． 故选：D． 8．（2023•馆陶县模拟）用配方法解一元二次方程x2+4x+2＝0时，第一步变形 后应是（ ） A．x2＝﹣4x﹣2 B．x2+4x＝﹣2 C．x2+2＝﹣4x D．4x+2＝﹣x2 【答案】B 【解答】解：x2+4x+2＝0， x2+4x＝﹣2． 故选：B． 9．（2023•泉州一模）用配方法解方程 x2﹣6x﹣1＝0，若配方后结果为（x﹣ m）2＝10，则m的值为（ ） A．±3 B．3 C．﹣3 D．6 【答案】B 【解答】解：x2﹣6x﹣1＝0， x2﹣6x＝1， x2﹣6x+9＝10， （x﹣3）2＝10， 所以m＝3． 故选：B． 10．（2023•市中区一模）用配方法解方程 x2﹣2＝4x，下列配方正确的是（ ） A．（x+2）2＝2 B．（x﹣2）2＝2 C．（x+2）2＝6 D．（x﹣2）2＝6 【答案】D 【解答】解：由原方程得x2﹣4x＝2， 得x2﹣4x+4＝2+4， 得（x﹣2）2＝6， 故选：D． 11．（2023•邯山区校级一模）用配方法解方程 x2﹣8x+2＝0，则方程可变形为 （ ） A．（x﹣4）2＝6 B．（x﹣8）2＝18 C．（x﹣4）2＝18 D．（x﹣4）2＝14 【答案】D 【解答】解：x2﹣8x+2＝0， 则x2﹣8x+16＝14， ∴（x﹣4）2＝14， 故选：D． 12．（2023•南平模拟）用配方法解一元二次方程 x2﹣4x+1＝0，变形后的结果 正确的是（ ） A．（x+2）2＝3 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+2）2＝5 D．（x﹣2）2＝5 【答案】B 【解答】解：x2﹣4x+1＝0， x2﹣4x＝﹣1， x2﹣4x+4＝﹣1+4， （x﹣2）2＝3， 故选：B． 13．（2023•东城区校级模拟）将一元二次方程 x2﹣8x+10＝0通过配方转化为 （x+a）2＝b的形式，下列结果中正确的是（ ） A．（x﹣4）2＝6 B．（x﹣8）2＝6 C．（x﹣4）2＝﹣6D．（x﹣8）2＝54 【答案】A 【解答】解：x2﹣8x＝﹣10， x2﹣8x+16＝6， （x﹣4）2＝6． 故选：A． 14．（2023春•龙湾区期中）用配方法解方程x2﹣4x﹣3＝0，下列配方正确的是 （ ） A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝7 C．（x﹣2）2＝3 D．（x﹣2）2＝7 【答案】D 【解答】解：x2﹣4x﹣3＝0， 移项得：x2﹣4x＝3，配方得：x2﹣4x+4＝3+4，即（x﹣2）2＝7． 故选：D． 15．（2023春•瑞安市校级期中）方程x2﹣6x+8＝0配方后的结果是（ ） A．（x﹣3）2＝1 B．（x﹣3）2＝17 C．（x+3）2＝1 D．（x﹣6）2＝ 17 【答案】A 【解答】解：x2﹣6x+8＝0， x2﹣6x＝﹣8， x2﹣6x+9＝1， 所以（x﹣3）2＝1． 故选：A． 16．（2020•扬州）方程（x+1）2＝9的根是 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（x+1）2＝9， x+1＝±3， x ＝2，x ＝﹣4． 1 2 故答案为：x ＝2，x ＝﹣4． 1 2 17．（2023•东阿县一模）将一元二次方程 x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a， b 为常数）的形式，则ab＝ ． 【答案】﹣84． 【解答】解：∵x2﹣8x＝5， ∴x2﹣8x+16＝5+16， 即（x﹣4）2＝21， ∴b＝21， ∴a＝﹣4， ∴ab＝﹣84， 故答案为：﹣84． 18．（2022•齐齐哈尔）解方程：（2x+3）2＝（3x+2）2． 【答案】x ＝1，x ＝﹣1． 1 2 【解答】解：方程：（2x+3）2＝（3x+2）2，开方得：2x+3＝3x+2或2x+3＝﹣3x﹣2， 解得：x ＝1，x ＝﹣1． 1 2 19．（2023•庐江县模拟）解方程：2（x﹣1）2﹣18＝0 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵2（x﹣1）2﹣18＝0， ∴（x﹣1）2＝9， ∴x﹣1＝±3， ∴x＝4或x＝﹣2； 1．（2022秋•海门市期末）一元二次方程x2﹣1＝0的根为（ ） A．x＝1 B．x＝﹣1 C． D．x ＝1，x ＝﹣ 1 2 1 【答案】D 【解答】解：移项得x2＝1， 开方得，x＝±1， 即x ＝1，x ＝﹣1． 1 2 故选：D． 2．（2023春•涡阳县月考）用配方法解一元二次方程 2x2﹣4x﹣1＝0时，配方 成（x+k）2＝h的形式，则k，h的值为（ ） A．k＝1，h＝ B．k＝1，h＝2 C．k＝﹣1，h＝ D．k＝﹣1，h＝2 【答案】C 【解答】解：∵2x2﹣4x﹣1＝0， ∴x2﹣2x＝ ， 则x2﹣2x+1＝ +1，即（x﹣1）2＝ ， ∴k＝﹣1，h＝ ，故选：C． 3．（2022秋•闵行区校级期中）方程（x+1）2＝1的根是 ． 【答案】x ＝ 0 ， x ＝﹣ 2 1 2 【解答】解：（x+1）2＝1， x+1＝±1， 所以x ＝0，x ＝﹣2． 1 2 故答案为：x ＝0，x ＝﹣2． 1 2 4．（2023春•西城区校级期中）解方程：2x2﹣1＝7． 【答案】x＝±2． 【解答】解：2x2＝8． x2＝4， x＝±2． 5．（2023春•东莞市月考）解方程（x﹣1）2＝64． 【答案】x ＝9，x ＝﹣7． 1 2 【解答】解：x﹣1＝±8，x﹣1＝8或x﹣1＝﹣8， 解得：x ＝9或x ＝﹣7． 1 2 6．2021秋•紫阳县期末）解方程：16（1+x）2＝25． 【解答】解：16（1+x）2＝25， （1+x）2＝ ， 1+x＝± ， 1+x＝ 或1+x＝﹣ ， x ＝ ，x ＝﹣ ． 1 2 7．（2022秋•江都区期中）解方程： （1）4x2＝49； （2）（2x﹣1）2﹣25＝0． 【解答】解：（1）4x2＝49， x2＝ ，∴ ， ∴x ＝ ，x ＝﹣ ； 1 2 （2）（2x﹣1）2﹣25＝0， （2x﹣1）2＝25， ∴2x﹣1＝±5， ∴x ＝3，x ＝﹣2． 1 2 8．（2022秋•安化县期末）解方程： （1）x2﹣6x+9＝（5﹣2x）2； （2）2（x﹣3）＝x2﹣9． 【答案】（1）x ＝ ，x ＝2；（2）x ＝﹣1，x ＝3． 1 2 1 2 【解答】解：（1）将x2﹣6x+9＝（5﹣2x）2整理，得（x﹣3）2＝（5﹣2x） 2， 方程两边开平方，得x﹣3＝5﹣2x或x﹣3＝2x﹣5， ∴x ＝ ，x ＝2． 1 2 （2）2（x﹣3）＝x2﹣9， 2（x﹣3）＝（x+3）（x﹣3）， （x+3）（x﹣3）﹣2（x﹣3）＝0， （x+1）（x﹣3）＝0， ∴x ＝﹣1，x ＝3． 1 2 9．用配方法解方程：x2﹣4x﹣3＝0． 【答案】x ＝2+ ，x ＝2﹣ ． 1 2 【解答】解：移项得x2﹣4x＝3， 配方得x2﹣4x+4＝3+4，即（x﹣2）2＝7， 开方得x﹣2＝± ， 所以x ＝2+ ，x ＝2﹣ ． 1 2 10．（2022秋•南关区校级期末）解方程：3x2﹣6x﹣1＝0（配方法）．【答案】 ， ． 【解答】解：3x2﹣6x﹣1＝0， 3x2﹣6x＝1， 3（x2﹣2x+1）＝4， 3（x﹣1）2＝4， ， x﹣1＝ ， 解得 ， ． 11．解方程： ． 【答案】x ＝2，x ＝﹣1 1 2 【解答】解： ， （2x﹣1）2＝9， ∴2x﹣1＝±3， ∴2x﹣1＝3或2x﹣1＝﹣3， ∴x ＝2，x ＝﹣1． 1 2 12．（2022秋•虹口区校级期中）解方程：（配方法）2x2+5x﹣1＝0． 【答案】x ＝ ，x ＝ ． 1 2 【解答】解：2x2+5x＝1， x2+ x＝ ， x2+ x+ ＝ + ，即（x+ ）2＝ ， ∴x+ ＝± ， ∴x ＝ ，x ＝ ． 1 2