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【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】
专题19.8一次函数的应用大题专练（2）最大利润问题（重难点培优30
题）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压
轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己
的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、解答题
1．（2022春·四川泸州·七年级统考期末）暑期临近，某超市计划购进100件A，B两种不同类型的夏季文
化衫进行销售，其进价和售价之间的关系如下表：
类型 进价（元/件） 售价（元/件）
A 20 25
B 35 45
(1)该超市应该怎样进货，才能使进货款恰好为2900元？
(2)若该超市准备进货款不超过3200元，且这两种夏季文化衫全部售出后获利不少于890元，请问应该怎
样进货，才能使总利润最大，最大利润是多少？（利润=售价-进价）
【答案】(1)超市购进A种文化衫40件，购进B种文化衫60件；
(2)应购进A种文化衫20件，B种文化衫80件，才能使总利润最大，最大利润为900元．
【分析】（1）设购进A种文化衫x件，购进B种文化衫y件，根据总件数为100件，总进价为2900元，
列出关于x与y的方程组，解方程组即可求解；
（2）设超市购进A种文化衫a件，则购进B种文化衫(100−a)件，根据总进价小于等于3200，总利润大
于等于890列出关于a的不等式组，求出不等式组的解集，再表示总利润W，发现W与a成一次函数关系
式，且为减函数，故a取最小值时，W最大，即可求出所求的进货方案与最大利润．
【详解】（1）解：设购进A种文化衫x件，购进B种文化衫y件，
根据题意得：
¿，解得：¿，
答：超市购进A种文化衫40件，购进B种文化衫60件；（2）设超市购进A种文化衫a件，则购进B种文化衫(100−a)件，
根据题意列得：¿，
解得：20≤a≤22，
∵总利润W =5a+10(100−a)=−5a+1000，W是关于a的一次函数，W随a的增大而减小，
∴当a=20时，W有最大值，此时W =900，且100−20=80，
答：应购进A种文化衫20件，B种文化衫80件，才能使总利润最大，最大利润为900元．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的性质，以及一元一次不等式组的应用，弄清题中
的等量关系及不等关系是解本题的关键．
2．（2022春·河南信阳·七年级校联考期末）习近平总书记对实施乡村振兴战略作出重要指示强调：实施乡
村振兴战略，是党的十九大作出的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手．为了发展特色产
业，红旗村花费4000元集中采购了A种树苗500株，B种树苗400株，已知B种树苗单价是A种树苗单价
的1.25倍．
(1)求A、B两种树苗的单价分别是多少元？
(2)红旗村决定再购买同样的树苗100株用于补充栽种，其中A种树苗不多于25株，在单价不变，总费用不
超过480元的情况下，共有几种购买方案？哪种方案费用最低？最低费用是多少元？
【答案】(1)A种树苗的单价是4元，则B种树苗的单价是5元
(2)有6种购买方案，购买A种树苗，25棵，购买B种树苗75棵费用最低，最低费用是475元．
【分析】（1）设A种树苗的单价是x元，则B种树苗的单价是1.25x元，根据“花费4000元集中采购了A
种树苗500株，B种树苗400株，”列出方程，即可求解；
（2）设购买A种树苗a棵，则购买B种树苗（100-a）棵，其中a为正整数，根据题意，列出不等式组，
可得20≤a≤25，从而得到有6种购买方案，然后设总费用为w元，根据题意列出函数关系式，即可求解．
【详解】（1）解：设A种树苗的单价是x元，则B种树苗的单价是1.25x元，根据题意得：
500x+400×1.25x=4000，
解得：x=4，
∴1.25x=5，
答：A种树苗的单价是4元，则B种树苗的单价是5元；
（2）解：设购买A种树苗a棵，则购买B种树苗（100-a）棵，其中a为正整数，根据题意得：
¿，
解得：20≤a≤25，
∵a为正整数，∴a取20，21，22，23，24，25，
∴有6种购买方案，
设总费用为w元，
∴w=4a+5(100−a)=−a+500，
∵-1＜0，
∴w随a的增大而减小，
∴当a=25时，w最小，最小值为475，
此时100-a=75，
答：有6种购买方案，购买A种树苗，25棵，购买B种树苗75棵费用最低，最低费用是475元．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，明确题意，
准确得到数量关系是解题的关键．
3．（2022春·河南南阳·七年级统考期中）猕猴嬉戏是王屋山景区的一大特色，猕猴玩偶非常畅销．小李在
某网点选中A，B两款猕猴玩偶，决定从该网点进货并销售，两款玩偶的进货价和销售价如下表：
类别 A款玩 B款玩
偶 偶
价格
进货价（元/个） 40 30
销售价（元/个） 56 45
(1)第一次小李用1100元购进了A，B两款玩偶共30个，求两款玩偶分别购进多少个．
(2)第二次小李进货时，计划购进两款玩偶共30个．若设小李购进A款玩偶m个，这些玩偶全部卖完所获
得的利润为W元．
①请用含m的代数式表示W；
②若网点规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半，则有多少种进货方案？（两种玩偶都
要购进）
③在②条件下，求A款玩偶进货数量取最大值时的利润．
【答案】(1)A款玩偶购进20个 ， B款玩偶购进10个
(2)①W=m+450；②有10种进货方案；③A款玩偶进货数量取最大值时的利润为460元
【分析】（1）设A款玩偶进购x个，B款玩偶进购y个，根据小李用1100元购进了A，B两款玩偶共30个，
即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）① A款玩偶进购m个，则B款玩偶进购（30-m）个 ，依据表格中的销售价和进货价满足的关系，
即可得到关系式；
②根据A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半，列出不等式，求解即可得到答案；
③由1≤m≤10，结合①中的关系式即可得到答案.
(1)
解：设A款玩偶进购x个，B款玩偶进购y个，
根据题意，得，
¿
解得¿
答 ：A款玩偶购进20个 ， B款玩偶购进10个
(2)
解：① A款玩偶进购m个，则B款玩偶进购（30-m）个
根据题意，得，
W=（56-40）m+（45-30）（30-m）=m+450
② 根据题意，得，
1
m≤ (30−m)
2
解得 m≤10
因为m为正整数，且两种玩偶都要购进，所以有10种进货方案.
③∵1≤m≤10
∴A款玩偶进货数量的最大值取10，此时的利润为：W=m+450 =10+450=460（元）
答：A款玩偶进货数量取最大值时的利润为460元.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，不等式的应用，解决本题的关键是读懂
题意，根据关键描述语，找到所求量的等量关系，确定m的范围是解决本题的关键．
4．（2022春·福建龙岩·七年级统考期末）2022年北京冬奥会和冬残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融深受国
内外广大朋友的喜爱，北京奥组委会官方也推出了许多吉祥物的周边产品．现有以下两款：
已知购买3个冰墩墩和2个雪容融需要560元；购买1个冰墩墩和3个雪容融需要420元：(1)请问冰墩墩和雪容融每个的售价分别是多少元？
(2)北京奥运官方特许零售店开始销售的第一天4个小时内全部售罄，于是从厂家紧急调配24000个商品，
拟租用甲、乙两种车共6辆，一次性将商品送到指定地点，若每辆甲种车的租金为400元可装载4500个商
品，每辆乙种车的租金为280元可装载3000个商品，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用．
【答案】(1)冰墩墩每个的售价是120元，雪容融每个的售价是100元；
(2)当租用甲种车4辆，租用乙种车2辆，总租金最低，最低费用为2160元．
【分析】（1）设1个冰墩墩的售价为x元，1个雪容融的售价为y元，根据“购买3个冰墩墩和2个雪容
融需要560元；购买1个冰墩墩和3个雪容融需要420元”，列出方程组求解即可；
（2）设租用甲种车x辆，则租用乙种车（6-a）辆，总租金为w元，根据题意求出w与a的关系式，并根
据题意求出a的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：设冰墩墩每个的售价是x元，雪容融每个的售价是y元，根据题意得：
¿，
解得：¿，
答：冰墩墩每个的售价是120元，雪容融每个的售价是100元；
（2）解：设租用甲种车a辆，则租用乙种车（6-a）辆，总租金为w元，根据题意，得：
w=400a+280（6-a）=120a+1680，
由题意，得4500a+3000（6-a）≥24000，且6-a≥0，
解得：4≤a≤6，
∵120>0，
∴w随a的增大而增大，
∴当a=4时，w有最小值为2160，
此时6-a=2，
即当租用甲种车4辆，租用乙种车2辆，总租金最低，最低费用为2160元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂
题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系．
5．（2021春·吉林长春·七年级长春外国语学校校考阶段练习）为了倡导绿色出行，某市政府今年投资112
万元，建成40个公共自行车站点，共计配置720辆公共自行车，今后将逐年增加投资，用于建设新站点、
配置公共自行车．预计2019年将投资340.5万元，新建120个公共自行车站点、配置2205辆公共自行车．
(1)分别求出每个站点的造价和公共自行车的单价；
(2)若到2020年该市政府将再建造m个新站点和配置（2600-m）台公共自行车，并且自行车数量（2600-m）不超过新站点数量m的12倍，求市政府至少要投入多少万元的资金？（注：从今年起至2020年，每
个站点的造价和公共自行车的单价每年都保持不变）
【答案】(1)每个站点造价为1万元，自行车单价为0.1万元
(2)市政府至少要投入的资金440万元．
【分析】（1）分别利用投资了112万元，建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车以及投资
340.5万元，新建120个公共自行车站点、配置2205辆公共自行车进而得出等式求出答案；
（2）设市政府要投入的资金为w元，得到一次函数的关系式，再由已知条件可求出m的取值范围，利用
一次函数的性质即可求出资金的数目．
(1)
解：设每个站点造价x万元，自行车单价为y万元．根据题意可得：
¿，
解得：¿；
答：每个站点造价为1万元，自行车单价为0.1万元；
(2)
解：设市政府要投入的资金为w元，
根据题意得：w=0.1(2600-m)+ 1×m=0.9m+260，
∵自行车数量（2600-m）不超过新站点数量m的12倍，
∴2600-m≤12m，
解得：m≥200，
∵0.9>0，
∴要使市政府的资金最少，则m取最小的正整数200，
∴市政府至少要投入的资金=0.9×200+260=440（万元）．
∴市政府至少要投入的资金440万元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组、一次函数的应用和一元一次不等式的应用，关键是正确理解题
意，找出题目中的等量关系或不等关系，设出未知数，列出不等式或方程组．
6．（2022春·山西临汾·七年级统考期末）2021年是建党100周年，各种红色书籍在网上热销．某网店购
进了相同数量的甲、乙两种红色书籍，其中甲种书籍共用了1600元，乙种书籍共用了2000元，已知乙种
书籍每本进价比甲种书籍贵4元．
(1)甲、乙两种书籍每本进价各是多少元?
(2)这批商品上市后很快销售一空．该网店计划按原进价再次购进这两种商品共100件，将新购进的商品按照表格中的售价销售．设新购进甲种书籍数量不低于乙种书籍的数量（不计其他成本）．
种类 甲 乙
售价（元/件） 24 30
问：网店怎样安排进货方案，才能使销售完这批商品获得的利润最大?最大利润是多少？
【答案】(1)甲种商品每件进价是16元，则乙种商品每件进价为20元
(2)购进甲种商品50件，乙种商品50件，利润最大，最大利润为900元
【分析】（1）设甲种商品每件进价是x元，则乙种商品每件进价(x+4)元，找出等量关系，根据题意列出
分式方程即可求解；
（2）设新购甲种商品m件，则乙种商品为(100−m)件，根据题意即可得到y与x之间的函数关系式；再
根据m的取值与一次函数的性质即可求解．
（1）
设甲种商品每件进价是x元，则乙种商品每件进价(x+4)元，
1600 2000
由题意得： = ，
x x+4
解得x=16，
经检验，x=16是原方程的解，当x=16时，x+4=20．
答：甲种商品每件进价是16元，则乙种商品每件进价为20元．
（2）
设新购甲种商品m件，则乙种商品为(100−m)件，
由题意可得：m≥100−m，解得m≥50
∴50≤m≤100
y=(24−16)m+(30−20)(100−m)=−2m+1000．
∴y随m得增大而减小，且50≤m≤100，
∴当m=50时，y =−2×50+1000=900，此时100−m=50．
最大
答：购进甲种商品50件，乙种商品50件，利润最大，最大利润为900元．
【点睛】本题主要考查了列分式方程解决实际问题、一次函数的应用，解题的关键是找到数量关系列出方
程或函数关系式．
7．（2022春·山东泰安·七年级校联考期中）在“新冠疫情”期间，某药店出售普通口罩和N95口罩．下表
为两次销售记录：销售情况 普通口罩/个 N95口罩/个 总销售额/元
第一次 600 100 2400
第二次 400 200 3200
(1)求每个普通口罩和每个N95口罩的销售价格各是多少元？
(2)该药店计划第三次购进两种口罩共800个，已知普通口罩的进价为1元/个，N95口罩的进价为8元/个，
两种口罩的销售单价不变，设此次购进普通口罩x个，药店销售完此次购进的两种口罩共获利为W元．
①求W与x的函数关系式；
②若销售利润为1400元，则购进两种口罩各多少个？
【答案】(1)每个普通口罩的销售价格为2元，每个N95口罩的销售价格12元；
(2)W =3200−3x，(0≤x≤800)；普通口罩600个，N95口罩200个
【分析】（1）设普通口罩的单价为x元， 口罩的单价为y元；根据题意列方程组，求解即可．
（2）①利润=（售价−单价）×价格，可列利润与个数的函数关系式；
②将利润代入（2）中的关系式，即可求出x的值与800−x的值．
（1）
解：设普通口罩的单价为x元，N95口罩的单价为y元；
由题意可知¿
解得：¿
∴每个普通口罩的销售价格为2元，每个N95口罩的销售价格为12元．
（2）
解：①由题意可得W =(2−1)×x+(12−8)×(800−x)
化简得：W =3200−3x，(0≤x≤800)
∴W 与 x 的函数关系式为W =3200−3x，(0≤x≤800)．
②当W =1400时，有1400=3200−3x
解得x=600
∴800−x=800−600=200
∴购进普通口罩600个；N95口罩200个
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，一次函数解析式．解题的关键在于明确各数据之间的数量关系
并正确的列出方程．自变量的取值范围是易错点．8．（2021春·山东威海·七年级统考期末）在“新冠病毒”防控期间，某医疗器械公司分两次购进酒精消毒
液与测温枪两种商品进行销售，两次购进同一商品的进价相同，具体情况如表所示：
购进数量（件）
项目 购进所需费用（元）
酒精消毒液 测温枪
第一
40 50 10600
次
第二
20 70 14300
次
（1）求酒精消毒液和测温枪两种商品每件的进价分别是多少元；
（2）公司决定酒精消毒液以每件20元出售，测温枪以每件230元出售．为满足市场需求，需购进这两种
商品共1000件，且酒精消毒液的数量不少于测温枪数量的4倍，求该公司销售完上述1000件商品获得的
最大利润．
【答案】（1）酒精消毒液的进价为15元，测温枪的进价为200元；（2）10000
【分析】（1）设酒精消毒液和测温枪每件的进价分别是x,y，根据题意列二元一次方程组，解方程组，即
可解决问题；
（2）设购进酒精消毒液a件，则购进测温枪(1000−a)件，销售完这1000件商品获得的利润为W，根据
酒精消毒液以每件20元出售，测温枪以每件230元出售，可以得到酒精消毒液每件的利润为5元，测温枪
每件的利润为30元，由此可以求出利润的表达式；同时结合酒精消毒液的数量不少于测温枪数量的4倍列
出不等式，即可求出a的取值范围，从而求出最大利润．
【详解】（1）设酒精消毒液和测温枪每件的进价分别是x元，y元，
40x+50 y=10600
由题意可得：{ ，
20x+70 y=14300
x=15
解得：{ ，
y=200
答：酒精消毒液的进价为15元，测温枪的进价为200元．
（2）设购进酒精消毒液a件，则购进测温枪(1000−a)件，销售完这1000件商品获得的利润为W，
由题意可得：W =(20−15)a+(230−200)(1000−a)=30000−25a ，
∵ 酒精消毒液的数量不少于测温枪数量的4倍，
∴ a≥4(1000−a)，
解得：a≥800 ，∵W =30000−25a，
∴ 当a=800时，W有最大值为10000，
∴ 该公司销售完这1000件商品获得的最大利润为10000元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组和不等式是解
题的关键．
9．（2021春·河北沧州·七年级统考期末）在全国人民的努力下，中国新冠疫情得到了有效控制，但是仍存
在小范围反弹的危险，所以我们仍要严加防控，注意个人防护．某药店销售A、B两种类型的口罩，已知
销售800只A型口罩和450只B型口罩的利润为2100元，销售400只A型口罩和600只B型口罩的利润为
1800元．
（1）求每只A型口罩和B型口罩的利润；
（2）该药店计划一次购进两种型号的口罩2000只，其中B型口罩的进货量不超过A型口罩的3倍，设A
型口罩进货量为x．
①求A型口罩的进货范围；
②设这批口罩的利润为W，请你根据每只口罩的利润来计算该药店销售这批口罩可获得的最大利润是多少
元？
【答案】（1）每包A型口罩和B型口罩的利润分别为1.5元，2元；（2）①500≤x＜2000；②该药店销售
这批口罩可获得的最大利润是3750元
【分析】\（1）根据某药店销售A、B两种类型的口罩，已知销售800只A型口罩和450只B型口罩的利润
为2100元，销售400只A型口罩和600只B型口罩的利润为1800元，可以列出相应的二元一次方程组，
从而可以求得每只A型口罩和B型口罩的利润；
（2）①根据B型口罩的进货量不超过A型口罩的3倍，可以得到相应的不等式，从而可以得到A型口罩的
进货范围；
②根据题意，可以写出W与x的函数关系式，然后根据一次函数的性质和x的取值范围，即可得到该药店
销售这批口罩可获得的最大利润．
【详解】解：（1）设A型口罩每包的利润为a元，B型口罩每包的利润为b元，
由题意得：¿，
解得：¿，
答：每包A型口罩和B型口罩的利润分别为1.5元，2元；
（2）①设A型口罩进货x只，则B型口罩的进货（2000﹣x）只，
∵B型口罩的进货量不超过A型口罩的3倍，
∴2000﹣x≤3x，解得：x≥500，
∴A型口罩的进货范围500≤x＜2000；
②由题意得，
W＝1.5x+2（2000﹣x）＝﹣0.5x+4000，
∵k＝﹣0.5＜0，
∴W随x的增大而减小，
∵500≤x＜2000，
∴当x＝500时，W取得最大值，此时W＝﹣0.5×500+4000＝3750，
答：该药店销售这批口罩可获得的最大利润是3750元．
【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是
明确题意，列出相应的方程和不等式，利用一次函数的性质解答．
10．（2022春·山东烟台·七年级统考期末）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，
某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬
菜进价每千克n元，售价每千克18元．
（1）该超市购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元；购进甲种蔬菜6千克和乙种蔬菜10千克
需要200元．求m，n的值．
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购
买甲种蔬菜x千克，求有哪几种购买方案．
（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a元，乙种蔬
菜每千克捐出a元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求a的最大值．
【答案】（1）m的值为10，n的值为14；（2）有3种购买方案，方案1：购买甲种蔬菜58千克，乙种蔬
菜42千克；方案2：购买甲种蔬菜59千克，乙种蔬菜41千克；方案3：购买甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜
40千克；（3）a的最大值为1.8．
【分析】（1）根据“购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种
蔬菜8千克需要212元”，即可得出关于m、n的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据总价＝单价×数量结合投入资金不多于1168元且甲种蔬菜不多于60千克，即可得出关于x的一
元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数即可得出各购买方案；
（3）求出（2）中各购买方案的总利润，比较后可得出获得最大利润时售出甲、乙两种蔬菜的重量，再根
据总利润＝每千克利润×销售数量结合捐款后的利润率不低于20%，即可得出关于a的一元一次不等式，
解之取其中的最大值即可得出结论．【详解】（1）依题意，得：¿，
解得：¿.
答：m的值为10，n的值为14.
（2）设购买甲种蔬菜x千克，则购买乙种蔬菜(100−x)千克，
依题意，得：¿，
解得：58≤x≤60.
∵x为正整数，
∴x=58,59,60，
∴有3种购买方案，
方案1：购买甲种蔬菜58千克，乙种蔬菜42千克；
方案2：购买甲种蔬菜59千克，乙种蔬菜41千克；
方案3：购买甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克.
（3）设超市获得的利润为y元，
则y=(16−10)x+(18−14)(100−x)=2x+400.
∵k=2>0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=60时，y取得最大值，最大值为2×60+400=520.
依题意，得：(16−10−2a)×60+(18−14−a)×40≥(10×60+14×40)×20%，
解得：a≤1.8.
答：a的最大值为1.8．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一元一次不等式的应用，解题
的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元
一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
11．（2021春·内蒙古兴安盟·七年级统考期末）某商店销售一台A型电脑销售利润为100元，销售一台B
型电脑的销售利润为150元．该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超
过A型电脑的3倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？
【答案】（1）y＝﹣50x+15000；（2）该商店购进A型电脑25台，B型电脑75台时，才能使销售总利润
最大
【分析】（1）根据题意列出关系式为：y＝100x+150（100﹣x），整理即可；（2）利用不等式求出x的范围，再根据一次函数的性质解答即可．
【详解】解：（1）据题意得，y＝100x+150（100﹣x），即y＝﹣50x+15000；
（2）据题意得，100﹣x≤3x，
解得x≥25，
由（1）可知y＝﹣50x+15000，
∵k＝﹣50＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝25时，y有最大值，
100﹣25＝75（台），
∴该商店购进A型电脑25台，B型电脑75台时，才能使销售总利润最大．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是根据一次函数x值的增大而确定y值的增减情况．
12．（2020春·山东临沂·七年级校考阶段练习）在绿化某县城与高速公路的连接路段中，需购买罗汉松、
雪松两种树苗共400株，罗汉松树苗每株60元，雪松树苗每株70元．相关资料表明：罗汉松、雪松树苗
的成活率分别为70%，90%．
（1）若购买这两种树苗共用去26500元，则罗汉松、雪松树苗各购买多少株?
（2）绿化工程来年一般都要将死树补上新苗，现要使该两种树苗来年共补苗不多于80株，则罗汉松树苗
至多购买多少株?
（3）在（2）的条件下，应如何选购树苗，才能使购买树苗的费用最低?请求出最低费用．
【答案】（1）购买罗汉松树苗150株，雪松树苗250株；（2）罗汉松树苗至多购买200株；（3）选购罗
汉松树苗200株，雪松树苗200株时，总费用最低，为26000元
【分析】设购买罗汉松树苗x株，雪松树苗y株，
(1)根据两种树苗的株数和费用列出二元一次方程组，然后求解即可；
(2)根据罗汉松树苗的株数表示出雪松树苗为(400-x)株，然后根据成活的两种树苗数列出不等式，求解即可；
(3)表示出两种树苗的费用数，然后根据一次函数的增减性求出费用最小值即可．
【详解】(1)设购买罗汉松树苗x株，雪松树苗y株，则
¿，
解得：¿，
答：购买罗汉松树苗150株,雪松树苗250株；
(2) 设购买罗汉松树苗x株，则购买雪松树苗(400−x)株，
由题意得，70%x+90%(400−x)≥(400−80)，
解得：x≤200，答：罗汉松树苗至多购买200株；
(3)设罗汉松树苗购买x株，购买树苗的费用为W元，
则有W =60x+70(400−x)=−10x+28000，
显然W是关于x的一次函数，
∵−10<0，
∴W随x的增大而减小，
故当x取最大值时，W最小，
∵00，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=23时，w取得最大值，此时60−m=37，
∴该超市购进37台A型号压力锅、23台B型号压力锅时，全部销售完后获得的利润最大．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键
是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出不等量关系，正确列出一元一次不等式组；
（3）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
19．（2022秋·江苏苏州·七年级校联考期中）母亲节前夕，某工艺品店从厂家购进A、B两种礼盒，已知A、
B两种礼盒的单价之和为200元，购进2个A种礼盒和3个B种礼盒共花费520元．
(1)求A、B两种礼盒的单价；
(2)若该店主购进这两种礼盒恰好用去9600元，且购进A种礼盒最多36个，B种礼盒的数据不超过A种礼盒
数量的2倍，共有几种进货方案？
(3)已知销售一个A种礼盒可获利10元，销售一个B种礼盒可获利18元，该店主决定每售出一个B种礼盒，
为爱心公益基金捐款m元，每个A种礼盒的利润不变，在（2）的条件下，要使A、B两种礼盒全部售出后
所有方案获利均相同，m的值应是多少？此时店主获利多少元？
【答案】(1)A种礼盒单价为80元，B种礼盒单价为120元
(2)共有三种方案
(3)m=3，此时店主获利1200元
【分析】(1)利用A、B两种礼盒的单价和为200元，2个A种礼盒和3个B种礼盒共花费520元，得出等式即
可求A、B两种礼盒的单价；
(2)利用两种礼盒恰好用去9600元，结合(1)中所求，得出等式，利用两种礼盒的数量关系求出即可；(3)首先表示出店主获利，进而利用a，b关系得出符合题意的答案即可．
【详解】（1）解：设A种礼盒单价为x元，B种礼盒单价为200−x元，依据题意得：
2x+3(200−x)=520，
解得：x=80，
则200−80=120(元)，
答：A种礼盒单价为80元，B种礼盒单价为120元；
（2）设购进A种礼盒a个，B种礼盒b个，依据题意可得：
¿，
解得：30≤a≤36，
∵a，b的值均为整数，
∴a的值为：30、33、36，
∴共有三种方案；
（3）设店主获利为w元，则
w=10a+(18−m)b，
由80a+120b=9600，
3
得：a=120− b，
2
则w=(3−m)b+1200，
∵要使(2)中方案获利都相同，
∴3−m=0，
∴m=3，
此时店主获利1200元．
【点睛】此题主要考查了一次函数与对应的一元一次不等式及方程的应用，根据题意得出正确数量关系是
解题关键．
20．（2022春·福建泉州·七年级校考期中）某商店决定购进A，B两种纪念品．购进A种纪念品7件，B种
纪念品2件和购进A种纪念品5件，B种纪念品6件均需80元．
(1)求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
(2)若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金
不少于750元，但不超过764元，那么该商店共有几种进货方案？
(3)已知商家出售一件A种纪念品可获利a元，出售一件B种纪念品可获利(5−a)元，试问在（2）的条件
下，商家采用哪种方案可获利最多？（商家出售的纪念品均不低于成本价）
【答案】(1)购进A种纪念品每件需10元、B种纪念品每件需5元；(2)有三种方案；
(3)见解析
【分析】（1）设购进A种纪念品每件需x元、B种纪念品每件需y元，根据题意得关于x和y的二元一次
方程组，解得x和y的值即可；
（2）设购进A种纪念品t件，则购进B种纪念品（100-t）件，由题意得关于t的不等式，解得t的范围，
再由t为正整数，可得t的值，从而方案数可得；
（3）分别写出三种方案关于a的利润函数，根据一次函数的性质可得答案．
（1）
解：设购进A种纪念品每件需x元、B种纪念品每件需y元，
根据题意得：¿，
解得：¿，
答：购进A种纪念品每件需10元、B种纪念品每件需5元；
（2）
解：设购进A种纪念品t件，则购进B种纪念品（100-t）件，
由题意得：750≤5t+500≤764，
解得50≤t≤52.8，
∵t为正整数，
∴t=50，51，52，
∴有三种方案．
第一种方案：购进A种纪念品50件，B种纪念品50件；
第二种方案：购进A种纪念品51件，B种纪念品49件；
第三种方案：购进A种纪念品52件，B种纪念品48件；
（3）
解：第一种方案商家可获利：w=50a+50（5-a）=250（元）；
第二种方案商家可获利：w=51a+49（5-a）=245+2a（元）；
第三种方案商家可获利：w=52a+48（5-a）=240+4a（元）．
当a=2.5时，三种方案获利相同；
当0≤a＜2.5时，方案一获利最多；
当2.5＜a≤5时，方案三获利最多．【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组、一次函数的综合运用，解决问题的关键是读懂
题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．
21．（2022春·湖北武汉·七年级校考阶段练习）某超市准备购进A、B两种品牌台灯，其中A每盏进价比B
进价贵30元，A售价120元，B售价80元．已知用5200元购进的A与B各40盏．
(1)求A、B的进价；
(2)超市打算购进A、B台灯共100盏，要求A、B的总利润不得少于3400元，不得多于3450元，问有多少
种进货方案？
(3)在（2）的条件下，该超市决定对A进行降价促销，A台灯每盏降价m(50，
此时W随a的增大而增大，
∴当a=45时，W最大，最大值为45(10−m)+3000，
∴45(10−m)+3000=3180，
解得：m=6；
当m=10时，W=3000；
当100，
∴“冰墩墩”进货越多，总利润w越大，
所以当a=125时，取得最大利润，最大利润为：5×125+3000=3625（元），
答：总利润为(5a+3000)元；“冰墩墩”进货125件，“雪容融”进货75件，获得最大利润为3625元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的性质等，理解题意并根据题意
建立关系式是解题的关键．
27．（2022春·湖北武汉·七年级统考期末）甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并各自推出了优
惠方案：在甲商场累计购物金额超过a元后，超出a元的部分按85%收费；在乙商场累计购物金额超过b元
后，超出b元的部分按90%收费，已知a>b，顾客累计购物金额为x元．
(1)若a=100，b=80．
①当x=120时，到甲商场实际花费_________元，到乙商场实际花费_________元；
②若x>100，那么当x=_________时，到甲或乙商场实际花费一样；
(2)经计算发现：当x=120时，到甲商场无优惠，而到乙商场则可优惠1元；当x=200时，到甲或乙商场
实际花费一样，请求出a，b的值；
(3)若x=180时，到甲或乙商场实际花费一样，且30≤a−b≤50，请直接写出a+b的最小值．
【答案】(1)①117；116；②140
(2)¿
(3)110
【分析】（1）①根据题中等量关系计算即可．②利用①中关系计算即可．
（2）建立关于a，b的方程组计算即可．
（3）根据甲乙两商场费用一样求解．
（1）①由题意得到甲商场实际花费：100+（120-100）×85%=117（元），
到乙商场实际花费：80+（120-80）×90%=116（元）．
故答案为：117，116．
②若x＞100，到甲商场实际花费：100+（x-100）×85%=15+0.85x．
到乙商场实际花费：80+（x-80）×90%=8+0.9x．
∵15+0.85x=8+0.9x，
∴x=140（元）．
故答案为：140．
（2）
∵当x=120时，到甲商场无优惠，
∴a≥120，
∵当x=120时，到甲商场无优惠，而到乙商场则可优惠1元，
∴b+（120-b）×90%=119．
∴b=110．
∵当x=200时，到甲或乙商场实际花费一样，
∴a+（200-a）×85%=110+（200-110）×90%，
∴a=140．
∴a=140，b=110．
（3）
∵x=180时，到甲或乙商场实际花费一样，
∴a+（180-a）×85%=b+（180-b）×90%，
∴0.15a+153=0.1b+162．
∴0.15a-0.1b=9．
∴b=1.5a-90．
∴a-b=a-1.5a+90=-0.5a+90．
∵30≤a-b≤50，
∴30≤-0.5a+90≤50，
∴80≤a≤120．
∴a+b=a+1.5a-90
=2.5a-90．
∵2.5＞0，∴a+b随a的增大而增大．
∴当a=80时，a+b有最小值：2.5×80-90=110．
【点睛】本题考查列代数式，一次函数的应用和一元一次方程的应用，正确表示两个商场实际花费是求解
本题的关键．
28．（2022春·湖北武汉·七年级统考期末）春茶是咸丰的支柱产业之一，我县某茶厂清明前生产A、B两
种茶叶，若生产10千克A种茶叶和20千克B种茶叶，共需投入成本22000元；若生产20千克A种茶叶和
30千克B种茶叶，共需投入成本36000元．
(1)每千克A，B两种茶叶的生产成本分别是多少元？
(2)经测算，A种茶叶每千克可获利280元，B种茶叶每千克可获利400元，该厂准备用10万元资金生产这
两种茶叶．设生产A种茶叶a千克，总获利为w元，且要求生产A种茶叶量不少于B种茶叶量的2倍，请
你设计出总获利最大的生产方案，并求出最大总获利．
【答案】(1)每千克A种茶叶生产成本600元，每千克B种茶叶生产成本800元；
(2)生产A种茶叶100千克，B种茶叶50千克时总获利最大，最大利润为48000元
【分析】（1）直接利用“生产10千克A种茶叶和20千克B种茶叶，共需投入成本22000元，生产20千
克A种茶叶和30千克B种茶叶，共需投入成本36000元”分别得出等式求出答案；
（2）根据生产A种茶叶a千克，表示出生产B种茶叶量，进而得出不等关系，进而求得最值求出答案．
（1）
解：设每千克A种茶叶生产成本x元，每千克B种茶叶生产成本y元，根据题意得，
¿
解得¿
答：每千克A种茶叶生产成本600元，每千克B种茶叶生产成本800元；
（2）
100000−600a 500−3a
∵生产A种茶叶a千克，则生产B种茶叶量为： = ,
800 4
500−3a
根据题意：a≥ ×2a≥100,
4
500−3a
∴w=280a+ ×400=−20a+50000,
4
∵w随a的增大而减小，而a≥100，
∴当a=100时，w最大，
∴w =−20×100+50000=48000,
max500−3a 500−300
此时 = =50,
4 4
答：生产A种茶叶100千克，B种茶叶50千克时总获利最大，最大利润为48000元．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，正确得出不等式是解题关键．
29．（2022春·山东烟台·七年级统考期末）某学生用品商店购进一批A，B两种型号的计算器进行销售，
其进价与标价如下表：
A型 B型
进价（元） 45 25
标价（元） 60 30
(1)该商店购进了A型和B型计算器共300个，若A型计算器按标价进行销售，而B型计算器打九折销售，
则销售完这批计算器后可获利3200元，求该商店购进的A，B两种型号的计算器数量分别为多少？（列方
程组解答）
(2)由于新学年开学前热销，很快将两种计算器销售完．该商店计划再次购进这两种计算器120个，在不打
折的情况下，请问如何进货，使这批计算器销售完时获利最多且不超过进货价的30%？
【答案】(1)该商店购进A，B两种型号的计算器数量分别为200个和100个
(2)该商场再次购进A型计算器75个，B型计算器45个，获利最多
【分析】（1）设该商场购进A型计算器x个，B型计算器y个，利用该商场购进这两种计算器共300个和
销售完这批计算器后可以获利3200元列方程组，然后解方程组即可；
（2）设该商场购进A型计算器m个，这批计算器的总利润为w元，则购进B型计算器（120-m）个，利用
利润的意义得到w=（60−45）m+(30−25)(120−m)=10m+600，再根据销售完这批计算器时获利
最多且不超过进货价的30%可确定m的范围，然后根据一次函数的性质解决问题．
（1）
解：设该商店购进A型计算器x个，B型计算器y个，
根据题意，得
¿，
解得
¿ ，
答 ：该商店购进A，B两种型号的计算器数量分别为200个和100个；（2）
解：设该商店再次购进A型计算器m个，则购进B型计算器（120−m）个，这批计算器的总利润为w
元，
W =（60−45）m+(30−25)(120−m)=10m+600，
10m+600≤[45m+25（120−m）]×30%，
解得m≤75．
∵10＞0，
∴W随m的增大而增大，
∴m=75时，W最大，此时购进B型计算器（120-75）=45个，
答：该商场再次购进A型计算器75个，B型计算器45个，获利最多且不超过进货价的30%．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，二元一次方程组的应用以及不等式的应用，根据题意得出有关
等量关系是解决问题的关键．
30．（2022春·湖北鄂州·七年级统考期末）某商店决定购进A，B两种纪念品．若购进A种纪念品8件，B
种纪念品3件，需要95元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要80元．
(1)求购进A，B两种纪念品每件各需多少元？
(2)若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金
不少于750元，但不超过764元，那么该商店共有哪几种进货方案？
(3)已知商家出售一件A种纪念品可获利a元，出售一件B种纪念品可获利(5−a)元，试问在（2）的条件
下，商家采用哪种方案可获利最多？（商家出售的纪念品均不低于成本价）（直接写出结果）
【答案】(1)A、B两种纪念品的价格分别为10元和5元
(2)有三种方案，第一种方案：购A种纪念品50件，B种纪念品50件；第二种方案：购A种纪念品51件，
B种纪念品49件；第三种方案：购A种纪念品52件，B种纪念品48件；
(3)当a＝2.5时，三种方案获利相同；当0≤a＜2.5时，方案一获利最多；当2.5＜a≤5时，方案三获利最多
【分析】（1）设A、B两种纪念品的价格分别为x元和y元，根据“购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，
需要95元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要80元”列出方程组，即可求解；
（2）设购买A种纪念品t件，则购买B种纪念品（100－t）件，根据“购买这100件纪念品的资金不少于
750元，但不超过764元，”列出不等式组，即可求解；
（3）设商家购进x件A纪念品，所获得利润为y，根据题意可得0≤a≤5，再列出y关于x的函数解析式，
然后分三种情况讨论，即可求解．
（1）解：设A、B两种纪念品的价格分别为x元和y元，根据题意得：
¿
解得¿，
答：A、B两种纪念品的价格分别为10元和5元．
（2）
解：设购买A种纪念品t件，则购买B种纪念品（100－t）件，根据题意得：
750≤5t＋500≤764，
264
解得50≤t≤ ，
5
∵t为正整数，
∴t＝50，51，52，
即有三种方案：第一种方案：购A种纪念品50件，B种纪念品50件；
第二种方案：购A种纪念品51件，B种纪念品49件；
第三种方案：购A种纪念品52件，B种纪念品48件；
（3）
解：设商家购进x件A纪念品，所获得利润为y，根据题意得：
∵商家出售的纪念品均不低于成本价，
∴¿，
解得：0≤a≤5，
y=ax+(100−x)(5−a)=(2a−5)x+500−100a，
5
当2a−5>0，即
