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第 03 讲 全等三角形的判定（ASA、AAS、HL）
课程标准 学习目标
①角边角（ASA）判定三角形全等
②角角边（AAS）判定三角形全等 1. 掌握ASA、AAS以及HL的定义以及判定方法，能够熟练
③斜边与直角边（HL）判定直角 通过题目的已知条件选择合适的判定方法三角形的全等。
三角形全等
知识点01 角边角（ASA）判定三角形全等
1. 角边角（ASA）判定三角形全等的概念：
若两个三角形的 对应相等，则这两个三角形全等。
2. 数学语言：
如图，在△ABC与△DEF中：
∴△ABC≌△DEF。【即学即练1】
1．如图，已知∠CAB＝∠DBA，若用“ASA”证明△ABC≌△BAD，还需要加上条件（ ）
A．∠C＝∠D B．∠1＝∠2 C．AC＝BD D．BC＝AD
【即学即练2】
2．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D，点E在DB的延长线上，DE＝BC，∠1＝∠2，求
证：DF＝AB．
知识点02 角角边（AAS）判定三角形全等
1. 角角边（AAS）判定三角形全等的概念：
若两个三角形的 及其 对应相等，则这两个三角形全等。
2. 数学语言：
如图，在△ABC与△DEF中：
∴△ABC≌△DEF。
【即学即练1】
3．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AD，∠CAE＝∠BAD，如果由“AAS”可以判定△ABC≌△ADE，
则需补充条件 ．
【即学即练2】
4．已知，如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB＝65°，∠D＝115°，求证：
△ABC≌△EAD．知识点03 斜边与直角边（HL）判定直角三角形全等
1. 斜边与直角边（HL）判断全等的概念：
直角三角形的 对应相等的两个三角形全等。
2. 数学语言：
如图：在Rt△ABC与Rt△DEF中：
∴Rt△ABC≌Rt△DEF。
【即学即练1】
5．如图，已知△ABC的两条高AD、BE交于F，AE＝BE，若要运用“HL”说明△AEF≌△BEC，还需添
加条件： ．
【即学即练2】
6．如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2，求证：Rt△ADE≌Rt△BEC．
知识点04 三角形全等判定的灵活应用
1. 三角形全等的灵活应用：
针对不同的已知条件，所选择求证的第三个已知条件也不同，总结如下：【即学即练1】
7．如图1，AB与CD相交于点O，且OA＝OB，要添加一个条件，才能使得△AOC≌△BOD，那么可以添
加的一个条件是：
添加： ，判断三角形全等的依据是SAS；
添加：∠A＝∠B，判断三角形全等的依据是 ；
添加： ，判断三角形全等的依据是 ；
练习：如图2，若有AD⊥BC于点D这个条件，要证△ABD≌△ACD，则需补充的条件是：
添加：BD＝CD，判断三角形全等的依据是 ；
添加： ，判断三角形全等的依据是HL；
添加： ，判断三角形全等的依据是 ．
题型01 添加条件形成ASA判定全等
【典例1】工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在∠AOB的两边OA、OB
上分别在取OC＝OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C、D重合，这时过角尺顶点M的射
线OM就是∠AOB的平分线，这里构造全等三角形的依据是（ ）A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
【变式1】如图，△ABC与△DEF的边BC，EF在同一条直线上，AB∥DE，且BE＝CF，请添加一个条件，
使△ABC≌△DEF，全等的依据是“ASA”，则需要添加的条件是（ ）
A．∠A＝∠F B．AC＝DF C．AC∥DF D．AB＝DE
【变式2】如图，点B在AE上，∠CBE＝∠DBE，要通过“ASA”判定△ABC≌△ABD，可补充的一个条
件是（ ）
A．∠CAB＝∠DAB B．∠ACB＝∠ADB C．AC＝AD D．BC＝BD
【变式3】如图，在△ABC和△ADE中，∠CAB＝∠EAD，AC＝AE．添加下列条件之一，可以直接利用
“ASA”判定△ABC≌△ADE的是（ ）
A．AB＝AD B．BC＝DE C．∠C＝∠E D．∠ABC＝∠D
【变式4】如图，AC与BD相交于点O，AB＝CD，∠A＝∠D，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依
据是（ ）
A．SSS B．SAS C．HL D．AAS
【变式5】如图，已知∠1＝∠2，若用“AAS”证明△ACB≌△BDA，还需加上条件（ ）A．AD＝BC B．BD＝AC C．∠D＝∠C D．∠DAB＝∠CBA
题型02 添加条件形成AAS判定全等
【典例1】如图，∠ACB＝∠DBC，要依据“AAS”判定△ABC≌△DCB，则还需要添加的条件是 ．
【变式1】如图，已知∠1＝∠2，若用“AAS”证明△ACB≌△BDA，还需加上条件（ ）
A．AD＝BC B．BD＝AC C．∠D＝∠C D．∠DAB＝∠CBA
【变式2】如图，点D，E分别在线段AB，AC上，且AB＝AC，要依据“AAS”判定△ABE≌△ACD，则
还需要添加的条件是 ．
题型03 添加条件形成HL判定直角三角形全等
【典例1】如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC．判定Rt△ABD和Rt△CDB全等的依据是（ ）
A．AAS B．SAS C．ASA D．HL
【变式1】如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，要根据“HL”证明Rt△ABC与Rt△BAD全等，
则还需要添加一个条件是（ ）A．∠CAB＝∠DBA B．AC＝BD C．AB＝BD D．∠ABC＝∠BAD
【变式2】如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，点B、D、C、E在同一条直线上，点C和点E重合．∠B＝
∠DEF＝90°，AB＝DE，若添加一个条件后可用“HL”定理证明Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件是（
）
A．BC＝EF B．∠BCA＝∠F C．BA∥EF D．AC＝DF
【变式3】如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加条件
．
题型04 利用ASA判定三角形全等
【典例1】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，在BD上取两点E，F，使DF＝BE，连接AE，CF．若
AE∥CF，试说明△ABE≌△CDF．
【变式1】如图，点E、F在线段BC上，AB∥CD，∠AEB＝∠DFC，BE＝CF，证明：△ABE≌△DCF．【变式2】补充完成下列推理过程：
如图，在△ABC中，D为线段AC中点，AB＝5，BC＝9，求BD的取值范围．
解：作CE∥AB交BD的延长线于点E．
∵AB∥CE，
∴∠A＝∠ACE．（ ）
∵D为线段AC中点，
∴AD＝CD．（ ）
∵在△ABD与△CED中，
，
∴△ABD≌△CED，（ ）
∴AB＝CE，BD＝ED．（ ）
在△BCE中，BC﹣CE＜BE＜BC+CE，
∴ ，
∵ ，BC＝9，AB＝5，
∴ ＜BD＜ ．
【变式3】如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且CE∥BF．
（1）△ECD与△FBD全等吗？请说明你的理由；
（2）若AD＝6，DF＝2，△BDF的面积为3，请直接写出△AEC的面积．【变式4】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE交BC的延长线
于点F．
（1）求证：△DAE≌△CFE；
（2）若AB＝BC+AD，求证：BE⊥AF．
题型05 利用AAS判定三角形全等
【典例1】如图，点F在AB上，BC∥AD，AD＝AC，∠AED＝∠B．求证：△ABC≌△DEA．
【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在边AB上，DB
＝BC，过点D作EF⊥AC，分别交AC于点E，CB的延长线于点F，试说明：△FBD≌△ABC．
【变式2】如图，在△ABC中，点D在边BA的延长线上，过点D作射线DM∥BC，点E是射线DM上一
个定点．
（1）尺规作图：在射线DM上方求作∠DEF，使得∠DEF＝∠C，与BA的延长线交于点F．（保留作
图痕迹）
（2）在（1）问条件下，若BD＝AF，求证：AC∥FE．
请把以下的解题过程补充完整．
证明：∵DM∥BC（已知），
∴∠B＝∠FDE（① ），
∵BD＝AF（已知），
∴BD﹣AD＝② （等式的性质），即AB＝FD，
在△ABC和△FDE中，
，
∴△ABC≌△FDE（AAS），
∴③ （全等三角形的对应角相等），
∴AC∥FE（④ ）．
【变式3】在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，过点A作AD⊥CB于点D，延长DA至点E，使得DE＝AC，过
点E作EF∥AB，交CB的延长线于点F，连接CE．
（1）求证：△ACB≌△DEF；
（2）若∠FCE＝50°，∠CEF＝70°，求∠FCA的度数．【变式4】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD、DE，若AD＝
DE，AC＝CD．
（1）求证：△ABD≌△DCE；
（2）若BD＝3，CD＝5，求AE的长．
题型06 利用HL判定直角三角形全等
【典例1】如图，在△ABE与△CBD中，AE⊥BD于点E，CD⊥BD于点D，AB＝BC，BE＝CD．证明：
Rt△ABE≌Rt△BCD．
【变式1】在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，CF＝AE，BC＝DA．
求证：Rt△ABE≌Rt△CDF．【变式2】如图，已知∠C＝∠F＝90°，∠A＝51°，AC＝DF，AE＝DB，BC与EF交于点O．
（1）求证：△ABC≌△DEF．
（2）求∠BOF．
【变式3】已知：如图，∠B＝∠C＝90°，且AF＝DE，BE＝CF．
（1）求证：AB＝DC；
（2）若∠A＝55°，求∠DEF的度数．【变式4】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，延长BC至点F，过点F作EF∥CD交
AC于点E，AB＝EF，且CB＝CE，过点C作CH∥AB．
（1）求证：∠ACH＝∠BCD；
（2）求证：CD＝CH．
1．根据下列已知条件，不能画出唯一△ABC的是（ ）
A．AB＝6，BC＝7，CA＝8 B．AB＝6，∠B＝50°，BC＝8
C．AB＝4，BC＝3，∠A＝40° D．∠A＝60°，∠B＝40°，AB＝8
2．如图，AD和CE是△ABC的高，交于点F，且BD＝FD＝4，CD＝7，则AF的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．如图，某段河流的两岸是平行的，小开想出了一个不用涉水过河就能测得河的宽度的方案，首先在岸
边点B处，选对岸正对的一棵树A，然后沿河岸直行20m到达树C，继续前行20m到达点D处，再从点
D处沿河岸垂直的方向行走．当到达树A正好被树C速挡住的点E处时，停止行走，此时DE的长度即
为河岸AB的宽度．小开这样判断的依据是（ ）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
4．打碎的一块三角形玻璃如图所示，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是（ ）
A．带①②去 B．带②③去 C．带③④去 D．带②④去
5．数学社团活动课上，甲乙两位同学玩数学游戏．游戏规则是：两人轮流对△ABC及△A′B′C′的对
应边或对应角添加一组等量条件（点 A′，B′，C′分别是点A，B，C的对应点），某轮添加条件后，
若能判定△ABC与△A′B′C′全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜．
轮次 行动者 添加条件
1 甲 AB＝A'B'＝2cm
2 乙 ∠A＝∠A'＝35°
3 甲 …
表格记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是（ ）
①若第3轮甲添加BC＝B′C′＝3cm，则甲必胜；
②若第3轮甲添加∠C＝∠C′＝45°，则甲获胜；
③若第2轮乙添加条件修改为∠A＝∠A'＝90°，则乙必胜；
④若第2轮乙添加条件修改为BC＝B′C′＝3cm，则此游戏最多四轮必分胜负．
A．①③ B．②④ C．①④ D．③④
6．如图，将两块相同的三角板（含30°角）按图中所示位置摆放，若BE交CF于点D，AC交BE于点M，
AB交CF于点N，则下列结论中错误的是（ ）
A．∠EAC＝∠FAB B．CM＝BN C．△ACN≌△ABM D．FN＝DN
7．如图，已知∠BAC＝∠DAC 请你在下面四个备选条件：① AB＝AD；② CB＝CD；③∠BCA＝
∠DCA；④∠B＝∠D中任选一个备选条件和已知条件组合，组合后仍然不能证明△ABC≌△ADC的备选条件是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
8．如图，小马用高度都是2cm的10个相同长方体小木块垒了两面与地面垂直的木墙AD与BE，木墙之间
刚好可以放进一个直角三角板，且直角三角板斜边的两个端点分别与点A，B重合，直角三角板的直角
顶点C与点D，E均在水平地面上，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内．已知AC＝BC，∠ACB＝
90°，则两面木墙之间的距离为（ ）
A．30cm B．24cm C．20cm D．18cm
9．如图，AB＝6cm，AC＝BD＝4cm，∠CAB＝∠DBA＝60°，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点
B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s），当点Q的运动速度为
（ ）cm/s时，在某一时刻，A、C、P三点构成的三角形与B、P、Q三点构成的三角形全等．
A．1或 B．1或 C．2或 D．1
10．如图，在△ABC中，分别延长AC，AB边上的中线BD，CE到F，G，使DF＝BD，EG＝CE，则下列
说法：①GA＝AF；②GA∥BC；③GB＝AC；④四边形GBCF的面积是△ABC面积的3倍．其中正
确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．如图，已知∠B＝∠DEF，AB＝DE，要证明△ABC≌△DEF．
（1）若以“ASA”为依据，还缺条件 ；
（2）若以“AAS”为依据，还缺条件 ．12．如图，BE⊥AE，CF⊥BE，垂足分别为E，F，D是线段EF的中点，CF＝BF，若AE＝4，DE＝3，则
△ABC的面积是 ．
13．如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A、D、B、C分别在直线MN与PQ上，点E在AB上，AD+BC＝7，
AD＝EB，DE＝EC，则AB＝ ．
14．如图，已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过点A的直线，BD⊥AE，CE⊥AE，垂足分别
是D、E，若CE＝3，BD＝7，则DE＝ ．
15．如图所示．A，B，C，D是四个村庄，B，D，C在一条东西走向公路的沿线上，BD＝1km，DC＝
1km，村庄AC，AD间也有公路相连，且公路AD是南北走向，AC＝3km，只有AB之间由于间隔了一个
小湖，所以无直接相连的公路．现决定在湖面上造一座斜拉桥，测得 AE＝1.2km，BF＝0.7km．试求建
造的斜拉桥长至少有 km．
16．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为对角线BD上一点，∠A＝∠BEC，且AD＝BE．
（1）求证：△ABD≌△ECB；
（2）如果∠BDC＝75°，求∠ADB的度数．17．如图，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P为BC边上一动点（BP＜CP），分别过B、C作
BE⊥AP于E，CF⊥AP于F．
（1）求证：EF＝CF﹣BE．
（2）若点P为BC延长线上一点，其它条件不变，则线段BE、CF、EF是否存在某种确定的数量关系？
画图并直接写出你的结论．
18．如图，△ABC中，AB＝BC＝CA，∠A＝∠ABC＝∠ACB，在△ABC的顶点A，C处各有一只小蚂蚁，
它们同时出发，分别以相同速度由A向B和由C向A爬行，经过t（s）后，它们分别爬行到了D，E处，
设DC与BE的交点为F．
（1）求证△ACD≌△CBE；
（2）小蚂蚁在爬行过程中，DC与BE所成的∠BFC的大小有无变化？请说明理由．19．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、
F．
（1）如图①过A的直线与斜边BC不相交时，求证：EF＝BE+CF；
（2）如图②过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE＝10，CF＝3，求：FE长．20．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）求∠FAE的度数；
（3）求证：CD＝2BF+DE．
