文档内容
专题19.5 二次根式（高频易错题题型训练）
【解析版】
题型一 求二次根式的值
题型十一 同类二次根式
题型二 求二次根式中的参数
题型十二 二次根式的加减运算
题型三 二次根式有意义的条件
题型十三 二次根式的混合运算
题型四 利用二次根式的性质化筍
题型十四 分母有理化
题型五 二次根式的乘法
题型十五 已知字母的值，化简求值
二次根式
题型六 二次根式的除法
题型十六 已知条件式，化简求值
题型七 二次根式的乘除混合运算
题型十七 比较二次根式的大小
题型八 最简二次根式的判断
题型十八 二次根式的应用
题型九 化为最简二次根式
题型十九 复合二次根式的化简
题型十 已知最简二次根式求参数
题型一 求二次根式的值
1．（23-24八年级下·宁夏吴忠·月考）观察分析下列各数：0，❑√3，❑√6，3，❑√12，❑√15，❑√18，⋯
根据其中的规律，则第10个数是（ ）
A．❑√21 B．❑√24 C．❑√27 D．❑√28
【答案】C
【分析】本题是数字规律探究题，观察题目找出规律被开方数依次增加3是解题的关键．
【详解】解：∵0，❑√3，❑√6，3，❑√12，❑√15，❑√18，⋯
∴第n个数为❑√3n−3，
∴第10个数是❑√3×10−3=❑√27，故选C．
2．代数式❑√n2+4的最小值为 ．
【答案】2
【分析】根据二次根式成立的条件即可解答．
【详解】解：根据题意可得n2≥0，
∴n2+4≥4
∴❑√n2+4≥❑√4=2，
∴❑√n2+4的最小值为2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了二次根式成立的条件，熟练掌握和运用二次根式成立的条件是解决本题的关键．
题型二 求二次根式中的参数
3．（2023·河南洛阳·二模）代数式❑√3−x的值为0时，x的值为 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了二次根式的值为零的条件，掌握二次根式的值为0的条件为被开方数为0成为解
题的关键．
根据二次根式的值为0的条件列方程求解即可．
【详解】解：∵代数式❑√3−x的值为0，
∴3−x=0，解得：x=3．
∴x的值为3．
故答案为：3．
4．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法．
(1)【回顾旧知，类比求解】
解方程：❑√x+1=2．
解：去根号，两边同时平方得一元一次方程 ，解这个方程，得x= ．经检验，x= 是原方程的解．
(2)【学会转化，解决问题】
①运用上面的方法解方程：❑√9x2−5x+3x=1；
②代数式❑√x2+4+❑√(7−x) 2+4的值能否等于7？若能，求出x的值；若不能，请说明理由．
【答案】(1)x+1=4，3，3(2)①无解，②不能，理由见解析
【分析】本题是阅读理解题，解题的关键是读懂题意、把带根号的方程转化为整式方程．
（1）根据题意可直接进行求解；
（2）①先移项，然后方程两边同时平方得到一元一次方程，进而问题可求解；
②先设❑√x2+4+❑√(7−x) 2+4=7，根据题意中的方法解该方程，根据方程的解的情况即可解答．
【详解】（1）解：❑√x+1=2
去根号，两边同时平方得一元一次方程x+1=4，
解这个方程，得x=3．
经检验，x=3是原方程的解．
（2）解：①❑√9x2−5x+3x=1
移项，得❑√9x2−5x=1−3x
去根号，两边同时平方得9x2−5x=(1−3x) 2，
即9x2−5x=1−6x+9x2
解得：x=1，
检验：x=1时，方程左边=❑√9×12−5×1+3×1=5≠右边，
∴x=1不是原方程的解，原方程无解；
②若代数式❑√x2+4+❑√(7−x) 2+4的值等于7，即❑√x2+4+❑√(7−x) 2+4=7，
移项，得❑√(7−x) 2+4=7−❑√x2+4，
两边同时平方，得(7−x) 2+4=49−14❑√x2+4+x2+4，
化简，得❑√x2+4=x，
两边同时平方，得x2+4=x2，
∴该方程无解，
∴代数式❑√x2+4+❑√(7−x) 2+4的值不能等于7．
题型三 二次根式有意义的条件
5．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知x，y是实数，且满足y=❑√x−2026+❑√2026−x，则xy的值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
根据二次根式有意义条件，确定x的值，进而求出y的值，然后计算xy的值即可．
【详解】解：由二次根式有意义条件，
{x−2026≥0，)
得
2026−x≥0，
解得x=2026，
当x=2026时，y=❑√2026−2026+❑√2026−2026=0+0=0．
∴xy=20260=1．
故答案为：1．
6．（1）已知x、y为实数，且y=❑√x−9−❑√9−x+4，求❑√x+❑√y的值；
（2）实数a，b，c在数轴上的对应点如图，化简：❑√(c−b) 2+❑√c2−❑√(b−a) 2．
【答案】（1）5；（2）−a
【分析】此题考查二次根式的化简求值，实数与数轴，整式的加减运算，理解题意，综合运用这些知识点
是解题关键．
（1）根据题意得出x−9≥0,9−x≥0，确定x=9，得出y=4，然后代入求解即可；
（2）根据数轴上实数a，b，c的位置，得到a>0>c>b，|c)<|a)<|b)，得出c−b>0，b−a<0，再化简
计算即可．
【详解】解：（1）根据题意得：x−9≥0,9−x≥0，
∴x−9=0，
∴x=9，
∴y=4，
∴❑√x+❑√y=❑√9+❑√4=3+2=5；
（2）根据题意得：a>0>c>b，|c)<|a)<|b)，
∴c−b>0，b−a<0，
∴ ❑√(c−b) 2+❑√c2−❑√(b−a) 2
=(c−b)+(−c)−(a−b)
=c−b−c−a+b=−a．
题型四 利用二次根式的性质化筍
2
7．（25-26八年级下·全国·周测）实数a，b对应的点在数轴上的位置如图所示，则化简a−(❑√|a+b))
的结果是（ ）
A．2a+b B．−2a+b C．b D．2a−b
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的性质与绝对值的化简，掌握二次根式化简，及根据数的符号化简绝对值是
解题的关键．
先从数轴确定a、b的符号及a+b的正负，再利用二次根式的性质化简(❑√|a+b)) 2 ，最后结合绝对值的化
简规则计算式子结果．
【详解】解：由数轴可知，a<0，b>0，且|a)>b，因此a+b<0，
故|a+b)=−(a+b)，
2
∵(❑√|a+b)) =|a+b)，
∴ 原式=a−|a+b)
=a−[−(a+b))
=a+a+b
=2a+b．
故选：A．
8．（25-26八年级下·全国·课后作业） 在学完“二次根式的乘除”后，老师给同学们留下这样一道思
√ y √ x
考题：已知x+ y=−6，xy=4，求❑ +❑ 的值．
x y
小刚是这样解的：
√ y √ x ❑√y ❑√x
❑ +❑ = + 第一步
x y ❑√x ❑√y
❑√xy ❑√xy
= + 第二步
x y❑√xy(x+ y)
= 第三步
xy
…
小刚在第____________步出现错误．请你写出正确的解题过程．
【答案】一；过程见解析
【分析】先确定x,y的符号，再利用二次根式的性质结合x,y的关系得出它们的符号，进而化简求出答案．
【详解】解：小刚同学未讨论x,y的符号直接进行化简，
∴第一步是错误的
故答案为：一．
正确过程如下：
∵x+ y=−6，xy=4，
可得x<0，y<0，
√ y √ x ❑√xy ❑√xy ❑√xy(x+ y)
∴❑ +❑ =− − =− ．
x y x y xy
把x+ y=−6，xy=4代入，
❑√xy(x+ y) ❑√4×(−6)
得− =− =3，
xy 4
√ y √ x
∴❑ +❑ 的值为3．
x y
【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
题型五 二次根式的乘法
9．（25-26八年级下·全国·周测）计算：
( 1 √ 3)
(1)(−8❑√35)× − ❑1 ．
4 7
(2) 2 ❑√ab3 ⋅ ( − 3 ❑√ab ) （a≥0，b≥0）．
3 4
(3)❑√75×❑√32÷❑√12．
√ 1 ❑√2a
(4)a❑√8a2÷a2❑ ⋅ ．
2a a
【答案】(1)10❑√2
ab2
(2)−
2
(3)10❑√2(4)4❑√2
【分析】（1）利用二次根式的乘法法则，先将系数相乘，再将被开方数相乘，最后化简；
（2）结合幂的运算和二次根式乘法法则，系数与系数相乘，根式部分按法则计算；
（3）先将二次根式化为最简形式，再按乘除法则计算；
（4）先将系数和根式部分分开运算，再结合二次根式的乘除法则化简．
( 1) √ 3
【详解】（1）解： 原式=(−8)× − ×❑35×1
4 7
=2×5❑√2
=10❑√2．
（2）解：原式= 2 × ( − 3) ×❑√ab3×ab
3 4
1
=− ab2 ．
2
（3）解：原式=5❑√3·4❑√2÷2❑√3
=(5×4÷2)×(❑√3×❑√2÷❑√3)
=(5×4÷2)×❑√2
=10❑√2．
（4）解：先化简各根式：
√ 1 ❑√2a
❑√8a2=2a❑√2(a>0)，❑ = ，
2a 2a
❑√2a ❑√2a
原式=2❑√2a2÷a2
⋅
2a a
2a ❑√2a
=2❑√2a2
⋅ ⋅
a2❑√2a a
❑√2a ❑√2a
=2❑√2a2
⋅ ⋅
a2 a
=4❑√2．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，解题关键是熟练掌握二次根式的乘除法则，并结合最简二次根
式的化简方法进行计算．
10．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算下列各题：
1
(1)❑√5×❑√10× ❑√2．
31 ( 1 )
(2) ❑√10×(−❑√15)× − ❑√6 ．
2 3
(3) 1 ❑√xy⋅ ( − 1 ❑√x3y ) ⋅3❑ √ y (x>0,y>0)．
x 3 x
10
【答案】(1)
3
(2)5
(3)−y❑√xy
【分析】本题主要考查二次根式的乘法运算，解题步骤为：先确定系数的乘积及符号，再将被开方数相乘，
最后化简二次根式并计算结果，正确的计算是解题的关键．
（1）（2）（3）根据二次根式的乘法法则计算即可．
1
【详解】（1）解：原式= ×❑√5×10×2
3
1
= ×❑√100
3
1
= ×10
3
10
= ．
3
[1 ( 1))
（2）解：原式= ×(−1)× − ×❑√10×15×6
2 3
1 1
= × ×❑√10×15×6
2 3
1
= ×❑√900
6
1
= ×30
6
=5．
1 √ y
（3）解：原式=− ⋅❑ xy⋅x3y⋅
x x
1
=− ⋅❑√x3 y3
x
1
=− ⋅xy·❑√xy
x=−y❑√xy．
题型六 二次根式的除法
11．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，
√ l
以字母T（单位：s）表示周期，l（单位：m）表示摆长，则计算公式为T=2π❑ ，其中g=9.8m/s2．
g
（❑√5≈2.24，π取3，结果保留小数点后两位）
(1)若一台座钟的摆长为0.49m，求摆针摆动一个来回所需的时间．
(2)为使摆针摆动一个来回所需的时间恰好为1s，座钟的摆长应设计为多少米？
【答案】(1)1.34s
(2)0.27m．
【分析】（1）已知摆长，直接代入周期公式计算即可；
（2）已知周期，通过公式变形求解摆长．
【详解】（1）解：已知l=0.49m，g=9.8m/s2，π=3，代入公式：
√0.49
T=2×3×❑
9.8
√ 49
=6×❑
980
√ 1
=6×❑
20
❑√5
=6×
10
2.24
≈6×
10
≈1.34(s)．
√ l √ l T
（2）解：已知T=1s，对公式T=2π❑ 变形得：❑ =
g g 2π( T ) 2
l=g×
2π
代入T=1、g=9.8、π=3：
( 1 ) 2
l=9.8×
2×3
1
=9.8×
36
≈0.27(m)．
【点睛】本题考查了二次根式的实际应用，解题关键是熟练代入公式计算，并根据已知量对公式进行合理
变形，同时注意近似值的计算精度．
12．（24-25八年级下·全国·期末）计算：
( √1 )
(1) ❑√12−2❑ +❑√48 ÷2❑√3；
3
(√1 )
(2)(4❑√3−3❑√2)(4❑√3+3❑√2)−6❑√2 ❑ −❑√6 ．
8
8
【答案】(1) ；
3
(2)27+12❑√3．
【分析】本题考查了二次根式性质，二次根式除法，二次根式乘法，平方差公式，熟练掌握运算法则是解
题的关键．
（1）根据二次根式性质，二次根式除法法则化简，然后合并即可；
（2）通过二次根式性质，平方差公式，二次根式乘法法则进行运算即可．
( √1 )
【详解】（1）解： ❑√12−2❑ +❑√48 ÷2❑√3
3
√1
=❑√12÷2❑√3−2❑ ÷2❑√3+❑√48÷2❑√3
3
√1
=2❑√3÷2❑√3−❑ ÷3+❑√48÷12
3
1
=1− +2
38
= ；
3
(√1 )
（2）解：(4❑√3−3❑√2)(4❑√3+3❑√2)−6❑√2 ❑ −❑√6
8
=(4❑√3) 2 −(3❑√2) 2 −6❑ √ 2× 1 +6❑√2×6
8
1
=48−18−6× +6×2❑√3
2
=48−18−3+12❑√3
=27+12❑√3．
题型七 二次根式的乘除混合运算
13．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：
√ x 1 √ x
（1）5❑√xy÷3❑ ⋅ ❑ = ．
y 3 y
（2） 3 ❑√x y5÷ ( − 4 ❑ √ y) ⋅ ( − 5 ❑√x3y ) = ．
5 15 x 6
5 15
【答案】 ❑√xy x2y2❑√xy
9 8
【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，解题的关键是准确化简．
（1）（2）根据二次根式的乘除法则化简计算即可．
❑√xy ❑√xy
【详解】解：（1）原式=5❑√xy÷3 ·
y 3 y
y 1 ❑√xy
=5❑√xy· ·
3❑√xy 3 y
5
= ❑√xy
9
3 y2 ( 4 ❑√xy) ( 5x )
（2）原式= ❑√xy÷ − · · − ❑√xy
5 15 x 6
3 y2 ( 15x ) ( 5x )
= ❑√xy· − · − ❑√xy
5 4❑√xy 6
15
= x2y2❑√xy
85 15
故答案为：① ❑√xy，② x2y2❑√xy．
9 8
14．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：
√1 2 √ 2
(1)3❑√45÷❑ × ❑2 ．
5 3 3
√2 ( 1 ) 1 √2
(2)3❑ × − ❑√15 ÷ ❑ ．
3 8 2 5
【答案】(1)20❑√6
15
(2)−
4
【分析】本题考查了二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法的运算法则是解题的关键．
（1）（2）直接利用二次根式的乘除法运算法则计算即可得出答案．
( 2) √ 1 8
【详解】（1）解：原式= 3÷1× ×❑45÷ ×
3 5 3
=2×❑√600
=2×❑√100×6
=20❑√6．
( 1) √2 5
（2）解：原式=3× − ×2×❑ ×15×
8 3 2
3
=− ×5
4
15
=− ．
4
题型八 最简二次根式的判断
15．（25-26八年级下·全国·课后作业）有下列二次根式：①❑√0.1；②❑√3a(a>0)；③❑√a2+b2；④
√2
❑ ．其中是最简二次根式的有（ ）
5
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因
式．据此逐一判断每个二次根式是否为最简二次根式．【详解】解：根据最简二次根式的定义分析各根式：
1
①❑√0.1：0.1= ，被开方数含分母，不符合最简二次根式的条件，不符合题意；
10
②❑√3a(a>0)：被开方数3a不含分母，且3和a都不能开得尽方，符合最简二次根式的条件，符合题意；
③❑√a2+b2：被开方数a2+b2不含分母，且无法分解出能开得尽方的因式，符合最简二次根式的条件，符合
题意；
√2
④❑ ：被开方数含分母，不符合最简二次根式的条件，不符合题意．
5
综上，是最简二次根式的有②③，共2个．
故选：B．
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，解题关键是牢记最简二次根式的两个核心条件，逐一分析被开
方数的形式．
16．（23-24八年级下·云南德宏·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
√1
A．❑ B．❑√0.3 C．❑√5 D．❑√8
2
【答案】C
【分析】本题考查了最简二次根式．熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
根据最简二次根式的定义对各选项判断作答即可．
√1 ❑√2
【详解】解：由题意知，A中❑ = ，不是最简二次根式，故不符合要求；
2 2
❑√30
B中❑√0.3= ，不是最简二次根式，故不符合要求；
10
C中❑√5，是最简二次根式，故符合要求；
D中❑√8=2❑√2，不是最简二次根式，故不符合要求；
故选：C．
题型九 化为最简二次根式
√ 1 √ 92 √1 √22
17．（25-26八年级下·全国·周测）请观察式子：9❑ =❑ =❑√3，−2❑ = −❑ =−❑√2．
27 27 2 2
仿照上面的方法解决下列问题：
√2 √3 √ 1
(1)化简：①5❑ ；②−7❑ ；③a❑− ．
5 7 a√ 1
(2)把(a−1)❑ 中根号外的因式移到根号内，求化简后的结果．
1−a
【答案】(1)①❑√10 ②−❑√21 ③−❑√−a
(2)−❑√1−a
【分析】（1）仿照例子，将根号外的数平方后移入根号内，再结合二次根式的性质化简；
（2）先根据二次根式有意义的条件确定a的范围，再将根号外的因式变形后移入根号内化简．
√2 √52×2
【详解】（1）解：①5❑ =❑ =❑√10．
5 5
√3 √72×3
②−7❑ =−❑ =−❑√21．
7 7
③a❑ √ − 1 =−❑ √ (−a) 2× ( − 1) =−❑ √ a2× ( − 1) =−❑√−a．
a a a
√ 1
（2）解：把(a−1)❑ 中根号外的因式移到根号内：
1−a
√ 1
由❑ 有意义，得1−a>0，即a−1<0．
1−a
将a−1变形为−(1−a)，再平方移入根号内：
√ 1
原式=−(1−a)❑
1−a
√ 1
=−❑(1−a) 2×
1−a
=−❑√1−a．
【点睛】本题考查了二次根式的化简（根号外因式移入根号内），解题关键是先根据二次根式有意义的条
件确定字母的取值范围，再将根号外的因式平方后（注意符号）移入根号内化简．
18．（24-25八年级下·山西阳泉·期末）下列式子是最简二次根式的是（ ）
√1
A．❑√3 B．❑ C．❑√0.2 D．❑√4
2
【答案】A
【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开
得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母．
【详解】解：选项A：❑√3，被开方数3是质数，无平方因子，且不含分母，满足最简二次根式的条件．
√1 ❑√2
选项B：❑ ，被开方数含分母2，需化简为 ，不满足条件②．
2 21 ❑√5
选项C：❑√0.2，0.2可写为 ，被开方数含分母5，需化简为 ，不满足条件②．
5 5
选项D：❑√4，被开方数4是完全平方数，可化简为2，不满足条件①．
故选：A．
题型十 已知最简二次根式求参数
19．如果最简根式b−√a3b和❑√2b−a+2是同类二次根式，则b=
【答案】2
【分析】根据同类二次根式的定义：两个最简二次根式，被开方数相同，列式求解即可．
{ b−a=2 )
【详解】解：由题意，得 ，
2b−a+2=3b
{a=0)
解得： ，
b=2
故答案为：2．
【点睛】本题考查同类二次根式．熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
20．若最简二次根式3a−√b 4a+3b和❑√2a−b+6能合并，则a、b的值分别是（ ）
A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1
【答案】D
【分析】由二次根式的定义可知3a−b=2，由最简二次根式3a−√b 4a+3b和❑√2a−b+6能合并，可得
4a+3b=2a−b+6，由此即可求解．
【详解】解：∵最简二次根式3a−√b 4a+3b和❑√2a−b+6能合并，
{ 3a−b=2 )
∴ ，
4a+3b=2a−b+6
{3a−b=2)
∴ ，
a+2b=3
{a=1)
解得 ，
b=1
故选D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的定义和最简二次根式的定义，熟知定义是解题的关键．
题型十一 同类二次根式
3
21．当m= 时，两个最简二次根式 ❑√2m+1和4❑√2+m可以合并．
2
【答案】1
【分析】本题考查了最简二次根式的定义，同类二次根式的定义，解题的关键是掌握所学的定义进行计算．
根据最简二次根式和同类二次根式的定义，列方程即可求出答案．3
【详解】解：∵最简二次根式 ❑√2m+1和4❑√2+m可以合并，
2
∴被开方数相同．
∴2m+1=2+m．
解得m=1．
故答案为：1．
22．（24-25八年级下·浙江金华·月考）计算：
√1
(1)❑√18−❑ +❑√8；
2
(2)(❑√2−❑√3) 2+(2❑√2+❑√3)(2❑√2−❑√3)．
9❑√2
【答案】(1)
2
(2)10−2❑√6
【分析】本题考查二次根式的混合运算
（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可；
（2）先根据完全平方公式和平方差公式计算，然后合并即可；
掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和乘法公式是解题的关键．
√1
【详解】（1）解：❑√18−❑ +❑√8
2
❑√2
=3❑√2− +2❑√2
2
9❑√2
= ；
2
（2）(❑√2−❑√3) 2+(2❑√2+❑√3)(2❑√2−❑√3)
=2−2❑√6+3+8−3
=10−2❑√6．
题型十二 二次根式的加减运算
23．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：
√3
(1)❑√12−4❑ +❑√18．
4
(2)❑√8+2❑√3−(❑√27−❑√2)．
(3)❑√50+❑√45−❑√18+4❑√2．(4)❑√12+❑√24+❑√36+❑√48．
【答案】(1)3❑√2
(2)3❑√2−❑√3
(3)6❑√2+3❑√5
(4)6❑√3+2❑√6+6
【分析】（1）先将各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式；
（2）先去括号，再将二次根式化为最简形式，最后合并同类二次根式；
（3）把每个二次根式化简后，合并同类二次根式；
（4）先化简各二次根式，再合并同类二次根式．
❑√3
【详解】（1）解：原式=2❑√3−4× +3❑√2
2
=2❑√3−2❑√3+3❑√2
=3❑√2．
（2）解：原式=2❑√2+2❑√3−3❑√3+❑√2
=(2❑√2+❑√2)+(2❑√3−3❑√3)
=3❑√2−❑√3．
（3）解：原式=5❑√2+3❑√5−3❑√2+4❑√2
=(5❑√2−3❑√2+4❑√2)+3❑√5
=6❑√2+3❑√5．
（4）解：原式=2❑√3+2❑√6+6+4❑√3
=(2❑√3+4❑√3)+2❑√6+6
=6❑√3+2❑√6+6．
【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，解题关键是先将二次根式化为最简形式，再准确合并同类二次
根式．
24．（25-26八年级下·全国·周测）计算：
(1)❑√45+❑√18−❑√8+❑√125．
( √1 )
(2) 3❑√12−2❑ +❑√48 ÷2❑√3．
3
【答案】(1)8❑√5+❑√214
(2)
3
【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
（1）先化简，然后计算加减法即可；
（2）先根据二次根式的加减法计算括号内的运算，再计算除法即可．
【详解】（1）解：原式=3❑√5+3❑√2−2❑√2+5❑√5
=8❑√5+❑√2．
( 2❑√3 )
（2）解：原式= 6❑√3− +4❑√3 ÷2❑√3
3
28❑√3
= ÷2❑√3
3
14
= ．
3
题型十三 二次根式的混合运算
25．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，数轴上A，B，C，D四个点所表示的数中，与
(2❑√2−❑√3)÷❑√2最接近的数对应的点是（ ）
A．A B．B C．C D．D
【答案】A
【分析】本题考查的是无理数的估算，实数和数轴，二次根式的混合运算，掌握相关知识是解决问题的关
键．
先进行化简，再进行估算即可．
❑√6
【详解】解：∵(2❑√2−❑√3)÷❑√2=2−
2
又∵2<❑√6<3
❑√6
∴1< <1.5
2
❑√6
∴0.5<2− <1
2
❑√6
∴数轴上最接近2− 的是A．
2
故选：A．26．（24-25八年级下·河南信阳·月考）计算：
1 −2
(1)❑√8+|1−❑√2)+( ) −(π−2020) 0；
2
(2)(3+2❑√2)(3−2❑√2)−❑√54÷❑√6．
【答案】(1)3❑√2+2
(2)−2
【分析】本题考查实数的混合运算，涉及二次根式的混合运算，平方根、绝对值、负整数指数幂、零指数
幂以及乘法公式等，解题关键是熟练掌握运算法则和运算顺序．
（1）先化简二次根式，绝对值，负整数指数幂，零次幂，再计算加减即可；
（2）先根据平方差公式，二次根式的除法计算，再计算减法即可．
【详解】（1）解：❑√8+|1−❑√2)+
(1) −2
−(π−2020) 0
2
=2❑√2+(❑√2−1)+4−1
=2❑√2+❑√2−1+4−1
=3❑√2+2；
（2）解：(3+2❑√2)(3−2❑√2)−❑√54÷❑√6
=[32−(2❑√2) 2)−❑√54÷6
=(9−8)−❑√9
=1−3
=−2．
题型十四 分母有理化
27．（25-26八年级下·全国·期中）计算：
1 (2) −2
(1)1−❑√3−❑√2×❑√6+ − ；
2−❑√3 3
(2)(2−❑√3) 2+(3❑√27−2❑√48)÷ √ 3 1 ；
8
(3)(❑√3+1) 2027 −2(❑√3+1) 2026 −2(❑√3+1) 2025+❑√3+1。
3
【答案】(1) −2❑√3
4
(2)7−2❑√3(3)❑√3＋1
【分析】本题考查了二次根式的混合运算、负整数指数幂、立方根运算及因式分解的应用，解题的关键是
熟练掌握二次根式的运算法则，灵活运用因式分解简化计算．
（1）先化简二次根式、分母有理化、计算负整数指数幂，再合并同类项；
（2）先计算完全平方、化简根式、立方根，再进行除法运算，最后合并；
（3）提取公因式简化高次幂项，再逐步计算．
2+❑√3 9
【详解】（1）解：原式=1−❑√3−❑√12+ −
(2−❑√3)(2+❑√3) 4
9
=1−❑√3−2❑√3+2+❑√3−
4
9
=3−2❑√3−
4
3
= −2❑√3
4
1
（2）解：原式=(4−4❑√3+3)+(9❑√3−8❑√3)÷
2
=7−4❑√3+❑√3×2
=7−2❑√3
（3）解：原式=(❑√3+1) 2025 [(❑√3+1) 2 −2(❑√3+1)−2]+❑√3+1
=(❑√3+1) 2025 (4+2❑√3−2❑√3−2−2)+❑√3+1
=0+❑√3+1
=❑√3+1
28．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）数学课上，邱老师在黑板上给出了如下等式．
第1个等式：
1 ❑√2−1 ❑√2−1
= = =❑√2−1；
❑√2+1 (❑√2+1)(❑√2−1) 2−1
第2个等式：
1 ❑√3−❑√2 ❑√3−❑√2
= = =❑√3−❑√2；…
❑√3+❑√2 (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2) 3−2
请你根据上述方法完成下列题目：1
(1)计算： =______________；
❑√10+❑√9
1
(2)计算： =______________；
❑√n+❑√n−1
( 1 1 1 1 )
(3)计算： + + +⋯+ (❑√2025+1)．
❑√2+1 ❑√3+❑√2 ❑√4+❑√3 ❑√2025+❑√2024
【答案】(1)❑√10−3
(2)❑√n−❑√n−1
(3)2024
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握分母有理化．
（1）分母有理化即可；
（2）分母有理化即可；
（3）利用（2）中的规律将原式变形为(❑√2−1+❑√3−❑√2+2−❑√3+⋯+❑√2025−❑√2024)×(❑√2025+1)，
再进一步计算即可．
1 ❑√10−❑√9
【详解】（1）解： = =❑√10−3，
❑√10+❑√9 (❑√10+❑√9)(❑√10−❑√9)
故答案为：❑√10−3；
1 ❑√n−❑√n−1
（2）解：
= =❑√n−❑√n−1
❑√n+❑√n−1 (❑√n+❑√n−1)(❑√n−❑√n−1)
故答案为：❑√n−❑√n−1；
( 1 1 1 1 )
（3）解： + + +⋯+ (❑√2025+1)
❑√2+1 ❑√3+❑√2 ❑√4+❑√3 ❑√2025+❑√2024
=(❑√2−1+❑√3−❑√2+2−❑√3+⋯+❑√2025−❑√2024)×(❑√2025+1)
=(❑√2025−1)(❑√2025+1)
=2025−1
=2024．
题型十五 已知字母的值，化简求值
1 1
29．（24-25八年级下·湖北黄冈·期中）已知 a= ，b= ．
❑√3+❑√2 ❑√3−❑√2(1)求a+b的值；
a❑√b+b❑√a
(2)求 ⋅❑√ab的值．
❑√a+❑√b
【答案】(1)2❑√3
(2)1
【分析】本题考查二次根式的运算，分母有理化和代数式的化简是解题的关键．
（1）首先将a，b进行分母有理化，再计算a+b即可；
（2）首先对该分式进行化简，最后将a，b的值代入即可．
1 (❑√3−❑√2)
【详解】（1）解：化简a= = =❑√3−❑√2，
❑√3+❑√2 (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2)
1 (❑√3+❑√2)
b= = =❑√3+❑√2，
❑√3−❑√2 (❑√3−❑√2)(❑√3+❑√2)
故a+b=(❑√3−❑√2)+(❑√3+❑√2)=2❑√3．
a❑√b+b❑√a (a❑√b+b❑√a)(❑√a−❑√b) a❑√ab−ab+ab−b❑√ab
（2）解：原式= ⋅❑√ab= ⋅❑√ab= ⋅❑√ab
❑√a+❑√b (❑√a+❑√b)(❑√a−❑√b) a−b
a❑√ab−b❑√ab (a−b)❑√ab
= ⋅❑√ab= ⋅❑√ab=❑√ab⋅❑√ab=ab
a−b a−b
将a=❑√3−❑√2，b=❑√3+❑√2代入上式得ab=(❑√3−❑√2)(❑√3+❑√2)=1．
a❑√b+b❑√a
故 ⋅❑√ab=1
❑√a+❑√b
30．（24-25八年级下·广东中山·期中）在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题：
1
已知a= ，求2a2−8a+1的值．他们是这样解答的：
2+❑√3
1 2−❑√3
a= = =2−❑√3，
2+❑√3 (2+❑√3)(2−❑√3)
∴a−2=−❑√3，
∴(a−2) 2=3即a2−4a+4=3，
∴a2−4a=−1，
∴2a2−8a+1=2(a2−4a)+1=2×(−1)+1=−1．请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题：
1
(1) = ．
❑√3+❑√2
1 1 1 1 1
(2)化简： + + +⋯+ + ．
❑√2+1 ❑√3+❑√2 ❑√4+❑√3 ❑√120+❑√119 ❑√121+❑√120
1
(3)若a= ，
❑√5−2
①求a2−4a的值，
②求2a4−8a3−8a+4的值．
【答案】(1)❑√3−❑√2
(2)10
(3)①1；②6
【分析】本题考查了二次根式的化简求值的知识，二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考
查了分母有理化的知识，掌握以上知识是解答本题的关键．
（1）把分子分母都乘以❑√3−❑√2，然后利用平方差公式计算；
（2）先分母有理化，然后合并二次根式即可；
（3）先分母有理化得到a=❑√5+2，移项后再平方得到a2−4a=1，再把原式化简变形为
2a2(a2−4a)−8a+4，接着利用整体代入法计算得到原式=2a2−8a+4，再应用同样方法计算即可．
1 ❑√3−❑√2 ❑√3−❑√2
【详解】（1）解：
= = =❑√3−❑√2，
❑√3+❑√2 (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2) 1
故答案为：❑√3−❑√2；
（2）解：原式=❑√2−1+❑√3−❑√2+❑√4−❑√3+⋯❑√121−❑√120
=❑√121−1
=11−1
=10；
1
（3）解：①∵a= =❑√5+2，
❑√5−2
∴a−2=❑√5，
∴(a−2) 2=5，
∴a2−4a=1；
②∵a2−4a=1，∴2a4−8a3−8a+4
=2a2(a2−4a)−8a+4
=2a2−8a+4
=2(a2−4a)+4
=2+4
=6；
题型十六 已知条件式，化简求值
1
31．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·月考）问题：已知a= ，求2a2−8a+1的值．
2+❑√3
1 2−❑√3
小明是这样分析与解答的：∵a= = =2−❑√3，∴a−2=−❑√3，
2+❑√3 (2+❑√3)(2−❑√3)
∴(a−2) 2=3，∴a2−4a+4=3，∴a2−4a=−1，
∴2a2−8a+1=2(a2−4a)+1=2×(−1)+1=−1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
1
(1)计算： =________；
❑√2025+❑√2024
1
(2)若a= ，求3a2−18a+5的值．
❑√10−3
【答案】(1)❑√2025−❑√2024
(2)8
【分析】二次根式的化简求值，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键.
（1）根据分母有理化的方法可以解答本题；
（2）根据题目中的例子可以灵活变形解答本题．
1 ❑√2025−❑√2024
【详解】（1）解：
= =❑√2025−❑√2024，
❑√2025+❑√2024 (❑√2025+❑√2024)(❑√2025−❑√2024)
故答案为：❑√2025−❑√2024．
1 ❑√10+3
（2）解：∵a= = =❑√10+3
❑√10−3 (❑√10+3)(❑√10−3)
∴a−3=❑√10∴(a−3) 2=10
∴a2−6a+9=10
∴a2−6a=1
∴3a2−18a+5=3(a2−6a)+5
=3×1+5
=8
32．（23-24八年级下·山东·期末）计算∶
√1
(1)(❑√40÷❑√5)+❑√5−❑ ×❑√15+❑√24；
3
(2)先化简，再求值∶(a+❑√5)(a−❑√5)−a(2a−1)，其中a=❑√2−1．
【答案】(1)2❑√2+2❑√6
(2)−a2+a−5，3❑√2−9
【分析】本题考查二次根式的混合运算，化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则，正确的计算，是解题
的关键：
（1）根据混合运算的法则进行计算即可；
（2）根据平方差公式，单项式乘以多项式的法则进行计算，化简后，再代值计算即可．
√1
【详解】（1）解：原式=❑√40÷5+❑√5−❑ ×15+2❑√6；
3
=2❑√2+❑√5−❑√5+2❑√6=2❑√2+2❑√6；
（2）原式=a2−5−2a2+a=−a2+a−5；
当a=❑√2−1时，
原式=−(❑√2−1) 2+❑√2−1−5
=−(2−2❑√2+1)+❑√2−1−5
=−3+2❑√2+❑√2−1−5=3❑√2−9．
题型十七 比较二次根式的大小
33．比较大小：❑√7−❑√6 ❑√6−❑√5．
【答案】<
【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较、二次根式的混合运算等知识点，掌握分子有理化是解题的
关键．先对❑√7−❑√6和❑√6−❑√5分子有理化，然后比较分母即可解答．
(❑√7−❑√6)(❑√7+❑√6) 1 (❑√6−❑√5)(❑√6+❑√5) 1
【详解】解：❑√7−❑√6= = ，❑√6−❑√5= = ，
❑√7+❑√6 ❑√7+❑√6 ❑√6+❑√5 ❑√6+❑√5
∵❑√7+❑√6>❑√6+❑√5，
1 1
∴ < ，
❑√7+❑√6 ❑√6+❑√5
∴❑√7−❑√6<❑√6−❑√5．
故答案为：<．
1 √ 1
34．（24-25八年级下·云南临沧·月考）（1）比较大小：4+3______2❑√4×3，1+ ______2❑1× ，
6 6
5+5______2❑√5×5（填“>”，“<”或“=”）；
（2）由（1）中各式猜想2❑√mn(m≥0,n≥0)与m+n的大小关系，并说明理由；
（3）请利用上述结论解决下面问题：
某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃，如图所示，花圃恰好
可以借用一段墙体，为了围成面积为200m2的花圃，所用的篱笆至少需要多少米？
【答案】（1）>，>，=；（2） m+n≥2❑√mn，见解析；（3）40
【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，二次根式的应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据二次根式比较大小的方法求解即可；
（2）当m≥0，n≥0时，(❑√m−❑√n) 2 ≥0，则可证明m+n≥2❑√mn；
（3）设花圃的长为a米，宽为b米，则a>0，b>0，S=ab=200．根据（2）的结论可得：
a+2b≥2❑√a⋅2b=2❑√2ab=40．
【详解】解：（1）由题意，4+3=7，2❑√4×3=4❑√3，
∵72=49>(4❑√3) 2=48，
∴4+3>4❑√3；
∵6<9，
∴❑√6<3，
1 7 √ 1 ❑√6 3
∵1+ = >1，2❑1× = < =1，
6 6 6 3 31 √ 1
∴1+ >2❑1× ．
6 6
∵5+5=10，2❑√5×5=10，
∴5+5=2❑√5×5．
故答案为：>，>，=．
（2）m+n≥2❑√mn(m≥0,n≥0).理由如下：
当m≥0，n≥0时，∵(❑√m−❑√n) 2 ≥0，
∴(❑√m) 2 −2❑√m⋅❑√n+(❑√n) 2 ≥0，
∴m−2❑√mn+n≥0，
∴m+n≥2❑√mn．
（3）设花圃的长为a米，宽为b米，
∴a>0，b>0，S=ab=200．
根据（2）的结论可得：a+2b≥2❑√a⋅2b=2❑√2ab=2❑√2×200=2×20=40，
∴篱笆至少需要40米．
故答案为：40．
题型十八 二次根式的应用
35．（22-23九年级上·河南新乡·期末）如图，张大伯家有一块长方形空地ABCD，长方形空地的长
BC为❑√72m，宽AB为❑√32m，现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植
蔬菜，长方形养鸡场的长为(❑√10+1)m，宽为(❑√10−1)m．
(1)长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
(2)若市场上某种蔬菜8元/千克，张大伯种植该种蔬菜，且每平方米可以产15千克的该种蔬菜．如果张大
伯将所种的蔬菜全部销售完，那么销售收入为多少元？
【答案】(1)20❑√2m
(2)4680元
【分析】本题考查了二次根式的应用，掌握二次根式的混合运算的法则是解题的关键．
（1）利用长方形的周长公式即可求解；（2）先求得蔬菜地的面积，再计算收入即可求解．
【详解】（1）长方形ABCD的周长=2×(❑√72+❑√32)
=2×(6❑√2+4❑√2)
=20❑√2(m)，
答：长方形ABCD的周长是20❑√2m；
（2）蔬菜地的面积=❑√72×❑√32−(❑√10+1)×(❑√10−1)
=48−(10−1)
=39(m2)，
39×8×15=4680（元），
答：如果张大伯将所种的蔬菜全部销售完，那么销售收入为4680元．
36．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方
形的面积分别为S =45，S =32，重叠部分的面积为8，则空白部分的面积为（ ）
1 2
A．12❑√10−16 B．8❑√10−6 C．12❑√10−8 D．6❑√10+8
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次根式的应用，关键在于审清题意，看懂图形，找到各部分面积的关系．先算
出三个小正方形的边长，再得到大正方形的边长，通过面积的计算得结论．
【详解】因为重叠部分图形的长和宽都是两个小正方形的边长的和减去大正方形的边长，所以重叠部分也
是正方形．
因为三个小正方形的面积分别为45，32，8，
所以三个小正方形的边长分别为：❑√45=3❑√5，❑√32=4❑√2，❑√8=2❑√2．
由图知大正方形的边长为：3❑√5+4❑√2−2❑√2=3❑√5+2❑√2，
所以S =(3❑√5+2❑√2) 2 −(45+32−8)=45+12❑√10+8−69=12❑√10−16．
空白
故选：A．
题型十九 复合二次根式的化简37．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如
3+2❑√2=2+2❑√2+1=(❑√2) 2+2❑√2+12=(1+❑√2) 2 ．善于思考的小明进行了以下探索：
形如❑√m±2❑√n的化简，只要我们找到两个数a，b使a+b=m,ab=n，这样(❑√a) 2+(❑√b) 2=m，
❑√a⋅❑√b=❑√n，那么便有❑√m±2❑√n=❑√(❑√a±❑√b) 2=|❑√a±❑√b)．
例如：化简❑√6+4❑√2，首先把❑√6+4❑√2化为❑√6+2❑√8，这里m=6，n=8；
由于4+2=6,4×2=8，即(❑√4) 2+(❑√2) 2=6，❑√4⋅❑√2=❑√8
∴❑√6+4❑√2=❑√6+2❑√8=❑√4+2❑√8+2=❑√(❑√4) 2+2❑√8+(❑√2) 2=❑√(❑√4+❑√2) 2=|❑√4+❑√2)
∵❑√4+❑√2>0
∴原式=❑√4+❑√2=2+❑√2
由上述例题的方法，化简下列各式：
(1)❑√3−2❑√2；
(2)❑√7−❑√40；
(3)❑√2−❑√3．
【答案】(1)❑√2−1
(2)❑√5−❑√2
❑√6−❑√2
(3)
2
【分析】（1）根据题中的方法变化为❑√3−2❑√2=❑√(❑√2−1) 2即可求出答案；
（2）根据题中的方法变化为❑√7−❑√40=❑√(❑√5−❑√2) 2即可求出答案；
1
（3）先得到❑√2−❑√3= ❑√8−2❑√12，再求出❑√8−2❑√12=❑√6−❑√2即可得到答案．
2
【详解】（1）解：❑√3−2❑√2中，m=3，n=2，
由于1+2=3,1×2=2，即(❑√2) 2+12=3，❑√2×1=❑√2，
∴❑√3−2❑√2=❑√(❑√2) 2 −2❑√2+12=❑√(❑√2−1) 2=❑√2−1，
（2）在❑√7−❑√40=❑√7−2❑√10中，这里m=7，n=10，由于5+2=7,5×2=10，即(❑√5) 2+(❑√2) 2=7，❑√5⋅❑√2=❑√10，
∴❑√7−❑√40=❑√7−2❑√10=❑√5−2❑√10+2=❑√(❑√5) 2 −2❑√10+(❑√2) 2=❑√(❑√5−❑√2) 2=❑√5−❑√2；
√8−4❑√3 1 1
（3）❑√2−❑√3=❑ = ❑√8−4❑√3= ❑√8−2❑√12中，这里m=8，n=12，
4 2 2
由于6+2=8,6×2=12，即(❑√6) 2+(❑√2) 2=8，❑√6⋅❑√2=❑√12，
∴❑√8−2❑√12=❑√6−2❑√12+2=❑√(❑√6) 2 −2❑√12+(❑√2) 2=❑√(❑√6−❑√2) 2=❑√6−❑√2，
❑√6−❑√2
∴❑√2−❑√3= ．
2
38．（2024八年级下·江西上饶·竞赛）像❑√4−2❑√3，❑√❑√48−❑√45…这样的根式叫做复合二次根式，
有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：
再如：
❑√4−2❑√3=❑√3−2❑√3+1 ❑√5+2❑√6=❑√3+2❑√6+2
=❑√ (❑√3) 2 −2×❑√3×1+12
=❑√ (❑√3) 2+2×❑√3×❑√2+(❑√2) 2
=❑√ (❑√3−1) 2
=❑√ (❑√3+❑√2) 2
=❑√3−1
=❑√3+❑√2
根据上述方法解决下列问题：
(1)化简：①❑√12+2❑√35；②❑√16−4❑√15；
(2)化简：❑√3+❑√5+2❑√3+❑√3−❑√5+2❑√3；
❑√ 3+❑√5−❑√13+❑√48
(3)化简： ．
❑√6+❑√2
【答案】(1)①❑√7+❑√5；②❑√10−❑√6
(2)❑√3+1
1
(3)
2
【分析】本题考查了完全平方公式，利用二次根式的性质进行化简．熟练掌握完全平方公式，利用二次根
式的性质是解题的关键．
（1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；
（2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；（3）先将13+❑√48凑成完全平方式(2❑√3+1) 2 ，逐步对内部被开方数化简，计算即可．
【详解】（1）解：①❑√12+2❑√35=❑√ (❑√7+❑√5) 2=❑√7+❑√5．
②❑√16−4❑√15=❑√2×❑√8−2❑√15=❑√2×❑√ (❑√5−❑√3) 2=❑√2(❑√5−❑√3)=❑√10−❑√6．
（2）解：设x=❑√3+❑√5+2❑√3+❑√3−❑√5+2❑√3，两边平方可得：
2 2
x2=(❑√3+❑√5+2❑√3) +(❑√3−❑√5+2❑√3) +2❑√ (3+❑√5+2❑√3)(3−❑√5+2❑√3)
x2=3+❑√5+2❑√3+3−❑√5+2❑√3+2❑√9−(5+2❑√3)
x2=6+2❑√4−2❑√3
4−2❑√3=(❑√3−1) 2 ，
所以❑√4−2❑√3=❑√3−1．
则x2=6+2(❑√3−1)=6+2❑√3−2=4+2❑√3．
又因为x>0，
所以x=❑√4+2❑√3=❑√ (❑√3+1) 2=❑√3+1．
（3）∵13+❑√48=(2❑√3) 2+12+4❑√3=(2❑√3+1) 2 ，
∴❑√13+❑√48=2❑√3+1．
∴❑√5−❑√13+❑√48=❑√5−(2❑√3+1)=❑√4−2❑√3，
∵4−2❑√3=(❑√3−1) 2 ，
∴❑√5−❑√13+❑√48=❑√3−1．
∴❑√ 3+❑√5−❑√13+❑√48=❑√3+❑√3−1=❑√2+❑√3，
(❑√3+1) 2
∵2+❑√3= ，
2
❑√3+1 ❑√6+❑√2
∴❑√2+❑√3= = ．
❑√2 2❑√6+❑√2
∴原式 2 ❑√6+❑√2 1．
= = =
❑√6+❑√2 2(❑√6+❑√2) 2
