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第 03 讲 位似
课程标准 学习目标
1. 掌握位似图形的概念与位似图形的性质，并且能够
①位似的定义与性质 熟练的应用其性质解决相关题目。
②平面直角坐标系中的位似 2. 掌握平面直角坐标系中的位似，能够利用位似的性
质进行求解坐标与作图等。
知识点01 位似图形的概念
1. 位似图形的概念：
如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线 ，对应边 或在同一
直线上，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做 。
题型考点：①位似图形的概念理解。②位似关系的判断；③确定位似中心
【即学即练1】
1．下列命题不正确的是（ ）
A．两个位似图形一定相似
B．位似图形的对应边若不在同一条直线上，那么一定平行
C．两个位似图形的位似比就是相似比
D．两个相似图形一定是位似图形
【即学即练2】
2．已知：△ABC∽△A′B′C′，下列图形中，△ABC与△A′B′C′不存在位似关系的是（ ）A． B．
C． D．
【即学即练3】
3．图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是（ ）
A．点M B．点N C．点O D．点P
【即学即练4】
3. 用直尺画出下面位似图形的位似中心．
知识点02 位似图形的性质
1. 位似图形的性质：①位似图形的特殊的 图形，它具有 图形的所有性质。
②位似图形的对应点连线交于一点，即 。对应边 或 上。
③位似图形任意一组对应点到位似中心的距离的比值等于 。
题型考点：①利用位似图形的性质求值。
【即学即练1】
5．如图，△ABC与△DEF位似，点O是位似中心，若OE＝3OB，S△ABC ＝4，则S△DEF ＝（ ）
A．9 B．12 C．16 D．36
【即学即练2】
6．如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，若OA：AD＝1：2，△ABC的周长为3，则△DEF的周
长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．27
【即学即练3】
7．如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且OC：OF＝3：2，则△ABC的周长与△DEF周
长之比为（ ）
A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．9：5
【即学即练4】
8．如图，△A′B′C和△ABC是位似三角形，位似中心为点O，OA'＝2AA'，则
△A′B′C和△ABC的相似比为（ ）
A．1：4 B．1：3 C．4：9 D．2：3
知识点03 用坐标表示位似
1. 用坐标表示位似：
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标
的比等于k或﹣k。即若A（x，y），以原点为位似中心，相似比为k的对应点的坐标为 。
题型考点：①求对应点的坐标。②求位似中心的坐标。
【即学即练1】
9．如图，在平面直角坐标系中的第一象限内，△ABC的顶点坐标分别是A（1，2），B（1，1），C（3，
1），以原点O为位似中心，作出△ABC的位似图形△DEF．若△DEF与△ABC的相似比为2：1．则点
F的坐标为（ ）
A．（2，4） B．（2，2） C．（6，2） D．（7，2）
【即学即练2】
10．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（3，4），B（6，2），以原点O为位似中心，相似比为2，把
△OAB放大，则点A的对应点A'的坐标是（ ）
A．（6，8） B．（4，4）或（﹣4，﹣4）
C．（﹣6，﹣8） D．（6，8）或（﹣6，﹣8）
【即学即练3】
11．如图所示，在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（8，
0），B（0，6），以某点为位似中心，作出△AOB的位似图形
△CED，则位似中心的坐标为（ ）
A．（0，0） B．（1，1）
B．C．（2，2） D．（0，6）
【即学即练4】
12．如图，在平面直角坐标系中，△AOB与△COD是以点O为位似中心的位似图形，若A（3，0），B
（2，﹣1），C（6，0），则点B的对应点D的坐标为（ ）A．（4，﹣2） B．（6，﹣3） C．（4，2） D．（6，3）
知识点04 位似作图
1. 位似作图：
利用位似，可以将一个图形 或 ，画位似图形的一般步骤为：
①确定 和 。分别作他们所在的直线。
②根据 ，确定能代表所作的位似图形的关键点。
③顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形。
题型考点：①进行位似作图。
【即学即练1】
13．如图所示，在平面直角坐标系中，有两点A（4，2），B（3，0），以原点为位似中心，A′B′与AB
的相似比为 ，得到线段A′B′．正确的画法是（ ）
A． B．
C． D．
【即学即练2】
14．如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣1，1），C（﹣3，2）．在平面直角坐标系中，
以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍得到的图形画出来．【即学即练3】
15．在平面直角坐标系内，△ABC的位置如图所示．
（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A B C ．
1 1 1
（2）以原点O为位似中心，在第四象限内作出△ABC的位似图形△A B C ，且△A B C 与△ABC的相
2 2 2 2 2 2
似比为2：1．
【即学即练4】
16．在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）以原点O为位似中心，在网格中y轴右侧作出△ABC的位似图形△A B C ，使△ABC与△A B C
1 1 1 1 1 1的相似比为1：2；
（2）作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A B C．
2 2
题型01 利用位似的性质求值
【典例1】如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若OA：AD＝2：3，则△ABC与△DEF的周长比
是（ ）
A．2：3 B．4：9 C．2：5 D．4：25
【典例2】
如图，△ABC与△DEF关于点O位似，且相似比为3：4，则AB与DE的比为（ ）
A．3：4 B．2：7 C．9：16 D．4：3
【典例3】
如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为O，且△ABC与△DEF的周长之比是4：3，则AO：DO的
值为（ ）
A．4：7 B．4：3 C．3：4 D．16：9
【典例4】
如图，四边形ABCD和A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形，若OB：OB'＝1：2，则四边形ABCD与
A'B'C'D'的周长比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1： D．1：3
【典例5】
如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若A（﹣2，0），
D（3，0），且AC＝ ，则线段DF的长度为（ ）A． B． C． D．
题型02 坐标表示位似
【典例1】
如图，在直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，已知点A（2，1），则位似中心的坐标是（ ）
A．（1，5） B．（4，2） C．（1，4） D．（5，2）
【典例2】
如图，将视力表中的两个“E”放在平面直角坐标系中，两个“E”字是位似图形，位似中心点O，①号
“E”与②号“E”的相似比为2：1．点P与Q为一组对应点，若点Q坐标为（﹣2，3），则点P的坐
标为（ ）
A． B．（﹣6，4） C． D．（﹣4，6）
【典例3】
如图，若△ABC与△A B C 是位似图形，则位似中心的坐标为（ ）
1 1 1A．（0，0） B．（0，1） C．（﹣1，0） D．（0，﹣1）
【典例4】
在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为2，把
△ABO放大，则点B的对应点B'的坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣2） B．（﹣3，﹣2）或（3，2）
C．（﹣12，﹣8） D．（﹣12，﹣8）或（12，8）
【典例5】
如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点A的坐标为（﹣2，4）．若以原点O为位似中心，相似比为 ，
把△AOB缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A． B． 或
C．（﹣8，16） D．（﹣8，16）或（8，﹣16）
题型03 位似规律题
【典例1】
如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，1），点B的坐标为（1，2），以点O为位似中心，在点O的异侧作△OAB的位似图形△OA B ，使△OAB与△OA B 的相似比为1：2；再以点O为位似中心，
1 1 1 1
在点O的异侧作△OA
1
B
1
的位似图形△OA
2
B
2
，使△OA
1
B
1
与△OA
2
B
2
的相似比为1：2⋯⋯以此类推，则
点B 的坐标为 ．
2023
典例1 典例2
【典例2】
如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，且OA＝2．OC＝1，则矩
形AOCB的对称中心的坐标是 ；在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为
原来的 倍，得到矩形 A OC B ，再将矩形 A OC B 以原点 O 为位似中心放大 倍，得到矩形
1 1 1 1 1 1
A OC B ，…，按此规律，则矩形A OC B 的对称中心的坐标是 ．
2 2 2 4 4 4
题型04 位似作图
【典例1】
如图，点P（﹣6，6）和△ABC在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，4）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A'B'C'；
（2）以点P为位似中心作△DEF，使△DEF与△A'B'C'位
似，且这两个三角形在点P的同侧，相似比为2，并写出
点A'的对应点D的坐标．
【典例2】
如图，△ABC在平面直角坐标系内三顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，3），C（﹣3，1）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A B C ；
1 1 1
（2）以B为位似中心，在B的下方画出△A BC ，使△A BC 与△ABC位似且相似比为2：1；
2 2 2 2
（3）直接写出点A 和点C 的坐标．
2 2【典例3】
如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（2，1），B（1，﹣2）．
（1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的一个位似△OA B ，使它与△OAB的位似比为
1 1
2：1；
（2）画出将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的△O A B ；
2 2 2
（3）判断△OA B 和△O A B 是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点M，并写出点M的坐标．
1 1 2 2 2
【典例4】
如图，已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1）、（2，﹣1）．（1）画出△OAB绕点O顺时针旋转180°后得到的图形．
（2）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似三角形OCD，使新图与原图的相似比为2：1，并分
别写出A、B的对应点C、D的坐标．
1．若两个直角三角形都有一个30°的内角，则这两个直角三角形一定（ ）
A．全等 B．相似 C．位似 D．无法确定
2．如图，在正方形网格中，以点O为位似中心，△ABC的位似图形可以是（ ）A．△DEF B．△DHF C．△GEH D．△GDH
3．如图所示△DEF是△ABC位似图形的几种画法，其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝3，AC＝5，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
5．如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，相似比为2：3，则△DEF和△ABC的面积比
是（ ）
A．4：9 B．9：4 C．2：3 D．3：2
6．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，位似比为1：2，BC＝2，则EF的长度为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．87．如图，点O是五边形ABCDE和五边形A B C D E 的位似中心，若OA：OA ＝3：4，则五边形ABCDE
1 1 1 1 1 1
和五边形A B C D E 的面积比是（ ）
1 1 1 1 1
A．2：3 B．3：4 C．3：7 D．9：16
8．如图，矩形EFGO的两边在坐标轴上，点O为平面直角坐标系的原点，以y轴上的某一点为位似中心，
作位似图形ABCD，且点B，F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1），则位似中心的坐标为（ ）
A．（0，3） B．（0，2.5） C．（0，2） D．（0，1.5）
9．如图，△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA′上．若OA：AA′＝1：2，
则△ABC与△A'B'C'的周长之比为 ．
10．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为 ，
把△ABO缩小，则点B对应点B'的坐标是 ．
11．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，画△A′B′O，
使它与△ABO位似，且相似比为1：2，则点B的对应点B′的坐标是 ．
12．如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为 1个单位长度，以点P为位似中心作正方形
PA A A ，正方形PA A A ，…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形PA A A
1 2 3 4 5 6 1 2 3
的顶点坐标分别为P（﹣3，0），A （﹣2，1），A （﹣1，0），A （﹣2，﹣1），则顶点A 的坐标
1 2 3 2023
为 ．13．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（4，4），C（6，0）．
（1）请以原点O为位似中心，画出△A′B′C′，使它与△ABC的相似比为1：2，变换后点A、B的
对应点分别为点A′、B′，点B′在第一象限；
（2）若P（a，b）为线段BC上的任一点，则变换后点P的对应点P′的坐标为 ．
14．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣2），B（2，﹣1），C（4，﹣3）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A B C ；
1 1 1
（2）以点O为位似中心，在网格中画出△A B C 的位似图形△A B C ，使△A B C 与△A B C 的相似
1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1
比为2：1；
（3）设点P（a，b）为△ABC内一点，则依上述两次变换后点P在△A B C 内的对应点P 的坐标是
2 2 2 2
．15．如图，每一个小方格的边长均为一个单位长度，△ABC的顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣2），B（﹣
5，﹣4）C（﹣1，﹣5）．
（1）请在网格中画出△ABC关于y轴对称的图形△A B C ；
1 1 1
（2）以点O为位似中心，把△ABC按2：1放大，在y轴右侧得△A B C ，请在网格中画出△A B C ；
2 2 2 2 2 2
（3）求经过点C与A 的一次函数解析式．
2
