文档内容
专题19.5 二次根式（高频易错题题型训练）
【原卷版】
题型一 求二次根式的值
题型十一 同类二次根式
题型二 求二次根式中的参数
题型十二 二次根式的加减运算
题型三 二次根式有意义的条件
题型十三 二次根式的混合运算
题型四 利用二次根式的性质化筍
题型十四 分母有理化
题型五 二次根式的乘法
题型十五 已知字母的值，化简求值
二次根式
题型六 二次根式的除法
题型十六 已知条件式，化简求值
题型七 二次根式的乘除混合运算
题型十七 比较二次根式的大小
题型八 最简二次根式的判断
题型十八 二次根式的应用
题型九 化为最简二次根式
题型十九 复合二次根式的化简
题型十 已知最简二次根式求参数
题型一 求二次根式的值
1．（23-24八年级下·宁夏吴忠·月考）观察分析下列各数：0，❑√3，❑√6，3，❑√12，❑√15，❑√18，⋯
根据其中的规律，则第10个数是（ ）
A．❑√21 B．❑√24 C．❑√27 D．❑√28
2．代数式 的最小值为 ．
❑√n2+4
题型二 求二次根式中的参数
3．（2023·河南洛阳·二模）代数式❑√3−x的值为0时，x的值为 ．4．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法．
(1)【回顾旧知，类比求解】
解方程：❑√x+1=2．
解：去根号，两边同时平方得一元一次方程 ，解这个方程，得x= ．经检验，x= 是原方程的解．
(2)【学会转化，解决问题】
①运用上面的方法解方程： ；
❑√9x2−5x+3x=1
②代数式 的值能否等于7？若能，求出 的值；若不能，请说明理由．
❑√x2+4+❑√(7−x) 2+4 x
题型三 二次根式有意义的条件
5．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知x，y是实数，且满足y=❑√x−2026+❑√2026−x，则xy的
值为 ．
6．（1）已知x、y为实数，且y=❑√x−9−❑√9−x+4，求❑√x+❑√y的值；
（2）实数a，b，c在数轴上的对应点如图，化简： ．
❑√(c−b) 2+❑√c2−❑√(b−a) 2
题型四 利用二次根式的性质化筍
7．（25-26八年级下·全国·周测）实数 ， 对应的点在数轴上的位置如图所示，则化简 2
a b a−(❑√|a+b))
的结果是（ ）
A．2a+b B．−2a+b C．b D．2a−b
8．（25-26八年级下·全国·课后作业） 在学完“二次根式的乘除”后，老师给同学们留下这样一道思√ y √ x
考题：已知x+ y=−6，xy=4，求❑ +❑ 的值．
x y
小刚是这样解的：
√ y √ x ❑√y ❑√x 第一步
❑ +❑ = +
x y ❑√x ❑√y
❑√xy ❑√xy
= + 第二步
x y
❑√xy(x+ y)
= 第三步
xy
…
小刚在第____________步出现错误．请你写出正确的解题过程．
题型五 二次根式的乘法
9．（25-26八年级下·全国·周测）计算：
(1) (−8❑√35)× ( − 1 ❑ √ 1 3)． (2)2 ❑√ab3 ⋅ ( − 3 ❑√ab )（ a≥0 ， b≥0 ）．
4 7 3 4
√ 1 ❑√2a
(3) ❑√75×❑√32÷❑√12． (4)a❑√8a2÷a2❑ ⋅ ．
2a a
10．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算下列各题：
(1) 1 ． (2)1 ( 1 )．
❑√5×❑√10× ❑√2 ❑√10×(−❑√15)× − ❑√6
3 2 3(4) 1 ❑√xy⋅ ( − 1 ❑√x3y ) ⋅3❑ √ y (x>0,y>0) ．
x 3 x
题型六 二次根式的除法
11．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，
√ l
以字母T（单位：s）表示周期，l（单位：m）表示摆长，则计算公式为T=2π❑ ，其中g=9.8m/s2．
g
（❑√5≈2.24，π取3，结果保留小数点后两位）
(1)若一台座钟的摆长为0.49m，求摆针摆动一个来回所需的时间．
(2)为使摆针摆动一个来回所需的时间恰好为1s，座钟的摆长应设计为多少米？
12．（24-25八年级下·全国·期末）计算：
(1)( √1 ) ； (2) (√1 )．
❑√12−2❑ +❑√48 ÷2❑√3 (4❑√3−3❑√2)(4❑√3+3❑√2)−6❑√2 ❑ −❑√6
3 8题型七 二次根式的乘除混合运算
13．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：
√ x 1 √ x
（1）5❑√xy÷3❑ ⋅ ❑ = ．
y 3 y
（2）3 ❑√x y5÷ ( − 4 ❑ √ y) ⋅ ( − 5 ❑√x3y ) = ．
5 15 x 6
14．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：
(1) √1 2 √ 2． (2) √2 ( 1 ) 1 √2．
3❑√45÷❑ × ❑2 3❑ × − ❑√15 ÷ ❑
5 3 3 3 8 2 5
题型八 最简二次根式的判断
15．（25-26八年级下·全国·课后作业）有下列二次根式：① ；② ；③ ；④
❑√0.1 ❑√3a(a>0) ❑√a2+b2
√2
❑ ．其中是最简二次根式的有（ ）
5
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．（23-24八年级下·云南德宏·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
√1
A．❑ B．❑√0.3 C．❑√5 D．❑√8
2
题型九 化为最简二次根式
17．（25-26八年级下·全国·周测）请观察式子： √ 1 √ 92 ， √1 √22 ．
9❑ =❑ =❑√3 −2❑ = −❑ =−❑√2
27 27 2 2
仿照上面的方法解决下列问题：
√2 √3 √ 1
(1)化简：①5❑ ；②−7❑ ；③a❑− ．
5 7 a
√ 1
(2)把(a−1)❑ 中根号外的因式移到根号内，求化简后的结果．
1−a18．（24-25八年级下·山西阳泉·期末）下列式子是最简二次根式的是（ ）
√1
A．❑√3 B．❑ C．❑√0.2 D．❑√4
2
题型十 已知最简二次根式求参数
19．如果最简根式b−√a3b和❑√2b−a+2是同类二次根式，则b=
20．若最简二次根式3a−√b 4a+3b和❑√2a−b+6能合并，则a、b的值分别是（ ）
A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1
题型十一 同类二次根式
3
21．当m= 时，两个最简二次根式 ❑√2m+1和4❑√2+m可以合并．
2
22．（24-25八年级下·浙江金华·月考）计算：
(1)❑√18−❑
√1
+❑√8； (2)(❑√2−❑√3) 2+(2❑√2+❑√3)(2❑√2−❑√3)．
2
题型十二 二次根式的加减运算
23．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：
√3
(1)❑√12−4❑ +❑√18． (2)❑√8+2❑√3−(❑√27−❑√2)．
4
(3) ❑√50+❑√45−❑√18+4❑√2． (4)❑√12+❑√24+❑√36+❑√48．
24．（25-26八年级下·全国·周测）计算：(1) ． (2)( √1 ) ．
❑√45+❑√18−❑√8+❑√125 3❑√12−2❑ +❑√48 ÷2❑√3
3
题型十三 二次根式的混合运算
25．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，数轴上A，B，C，D四个点所表示的数中，与
最接近的数对应的点是（ ）
(2❑√2−❑√3)÷❑√2
A．A B．B C．C D．D
26．（24-25八年级下·河南信阳·月考）计算：
1 −2
(1)❑√8+|1−❑√2)+( ) −(π−2020) 0； (2)(3+2❑√2)(3−2❑√2)−❑√54÷❑√6．
2
题型十四 分母有理化
27．（25-26八年级下·全国·期中）计算：
(1) 1−❑√3−❑√2×❑√6+ 1 − (2) −2； (2) (2−❑√3) 2+(3❑√27−2❑√48)÷ √ 3 1；
2−❑√3 3 8
(4) 。
(❑√3+1) 2027 −2(❑√3+1) 2026 −2(❑√3+1) 2025+❑√3+1
28．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）数学课上，邱老师在黑板上给出了如下等式．第1个等式：
1 ❑√2−1 ❑√2−1 ；
= = =❑√2−1
❑√2+1 (❑√2+1)(❑√2−1) 2−1
第2个等式：
1 ❑√3−❑√2 ❑√3−❑√2 ；…
= = =❑√3−❑√2
❑√3+❑√2 (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2) 3−2
请你根据上述方法完成下列题目：
1
(1)计算： =______________；
❑√10+❑√9
1
(2)计算： =______________；
❑√n+❑√n−1
(3)计算：( 1 1 1 1 ) ．
+ + +⋯+ (❑√2025+1)
❑√2+1 ❑√3+❑√2 ❑√4+❑√3 ❑√2025+❑√2024
题型十五 已知字母的值，化简求值
1 1
29．（24-25八年级下·湖北黄冈·期中）已知 a= ，b= ．
❑√3+❑√2 ❑√3−❑√2
(1)求a+b的值；
a❑√b+b❑√a
(2)求 ⋅❑√ab的值．
❑√a+❑√b
30．（24-25八年级下·广东中山·期中）在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题：
1
已知a= ，求2a2−8a+1的值．他们是这样解答的：
2+❑√3
1 2−❑√3 ，
a= = =2−❑√3
2+❑√3 (2+❑√3)(2−❑√3)
∴a−2=−❑√3，即 ，
∴(a−2) 2=3 a2−4a+4=3
∴a2−4a=−1，
．
∴2a2−8a+1=2(a2−4a)+1=2×(−1)+1=−1
请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题：
1
(1) = ．
❑√3+❑√2
1 1 1 1 1
(2)化简： + + +⋯+ + ．
❑√2+1 ❑√3+❑√2 ❑√4+❑√3 ❑√120+❑√119 ❑√121+❑√120
1
(3)若a= ，
❑√5−2
①求a2−4a的值，
②求2a4−8a3−8a+4的值．
题型十六 已知条件式，化简求值
1
31．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·月考）问题：已知a= ，求2a2−8a+1的值．
2+❑√3
小明是这样分析与解答的： 1 2−❑√3 ， ，
∵a= = =2−❑√3 ∴a−2=−❑√3
2+❑√3 (2+❑√3)(2−❑√3)
， ， ，
∴(a−2) 2=3 ∴a2−4a+4=3 ∴a2−4a=−1
．
∴2a2−8a+1=2(a2−4a)+1=2×(−1)+1=−1
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
1
(1)计算： =________；
❑√2025+❑√2024
1
(2)若a= ，求3a2−18a+5的值．
❑√10−332．（23-24八年级下·山东·期末）计算∶
√1
(1)(❑√40÷❑√5)+❑√5−❑ ×❑√15+❑√24；
3
(2)先化简，再求值∶ ，其中 ．
(a+❑√5)(a−❑√5)−a(2a−1) a=❑√2−1
题型十七 比较二次根式的大小
33．比较大小：❑√7−❑√6 ❑√6−❑√5．
1 √ 1
34．（24-25八年级下·云南临沧·月考）（1）比较大小：4+3______2❑√4×3，1+ ______2❑1× ，
6 6
5+5______2❑√5×5（填“>”，“<”或“=”）；
（2）由（1）中各式猜想2❑√mn(m≥0,n≥0)与m+n的大小关系，并说明理由；
（3）请利用上述结论解决下面问题：
某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃，如图所示，花圃恰好
可以借用一段墙体，为了围成面积为200m2的花圃，所用的篱笆至少需要多少米？
题型十八 二次根式的应用
35．（22-23九年级上·河南新乡·期末）如图，张大伯家有一块长方形空地ABCD，长方形空地的长BC为❑√72m，宽AB为❑√32m，现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植
蔬菜，长方形养鸡场的长为 ，宽为 ．
(❑√10+1)m (❑√10−1)m
(1)长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
(2)若市场上某种蔬菜8元/千克，张大伯种植该种蔬菜，且每平方米可以产15千克的该种蔬菜．如果张大
伯将所种的蔬菜全部销售完，那么销售收入为多少元？
36．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方
形的面积分别为S =45，S =32，重叠部分的面积为8，则空白部分的面积为（ ）
1 2
A．12❑√10−16 B．8❑√10−6 C．12❑√10−8 D．6❑√10+8
题型十九 复合二次根式的化简
37．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如
．善于思考的小明进行了以下探索：
3+2❑√2=2+2❑√2+1=(❑√2) 2+2❑√2+12=(1+❑√2) 2
形如 的化简，只要我们找到两个数a，b使 ，这样 ，
❑√m±2❑√n a+b=m,ab=n (❑√a) 2+(❑√b) 2=m
，那么便有 ．
❑√a⋅❑√b=❑√n ❑√m±2❑√n=❑√(❑√a±❑√b) 2=|❑√a±❑√b)例如：化简❑√6+4❑√2，首先把❑√6+4❑√2化为❑√6+2❑√8，这里m=6，n=8；
由于 ，即 ，
4+2=6,4×2=8 (❑√4) 2+(❑√2) 2=6 ❑√4⋅❑√2=❑√8
∴❑√6+4❑√2=❑√6+2❑√8=❑√4+2❑√8+2=❑√(❑√4) 2+2❑√8+(❑√2) 2=❑√(❑√4+❑√2) 2=|❑√4+❑√2)
∵❑√4+❑√2>0
∴原式=❑√4+❑√2=2+❑√2
由上述例题的方法，化简下列各式：
(1)❑√3−2❑√2；
(2)❑√7−❑√40；
(3)❑√2−❑√3．
38．（2024八年级下·江西上饶·竞赛）像❑√4−2❑√3，❑√❑√48−❑√45…这样的根式叫做复合二次根式，
有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：
再如：
❑√4−2❑√3=❑√3−2❑√3+1 ❑√5+2❑√6=❑√3+2❑√6+2
=❑√ (❑√3) 2 −2×❑√3×1+12
=❑√ (❑√3) 2+2×❑√3×❑√2+(❑√2) 2
=❑√ (❑√3−1) 2
=❑√ (❑√3+❑√2) 2
=❑√3−1
=❑√3+❑√2
根据上述方法解决下列问题：
(1)化简：①❑√12+2❑√35；②❑√16−4❑√15；
(2)化简： ；
❑√3+❑√5+2❑√3+❑√3−❑√5+2❑√3
(3)化简：❑√ 3+❑√5−❑√13+❑√48．
❑√6+❑√2
