文档内容
考点 32 平面向量的数量积（3 种核心题型+基础保分练+综
合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义.
2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.
3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.
4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题
【知识点】
1．向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝b，则 ＝
θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．
2．平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量 叫做向量a与b的数
量积，记作 .
3．平面向量数量积的几何意义
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，AB＝a，CD＝
b，过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A ，B ，得到A1B1，
1 1
我们称上述变换为向量a向向量b ，A1B1叫做向量a在向量b上的 ．记为
.
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝ .
(2)(λa)·b＝ ＝ ．
(3)(a＋b)·c＝ .
5．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x，y)，b＝(x，y)，a与b的夹角为θ.
1 1 2 2
几何表示 坐标表示数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝__________
模 |a|＝_______ |a|＝_________
夹角 cos θ＝_____ cos θ＝___________
a⊥b的充要条件 a·b＝0
|a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |xx＋yy|≤
1 2 1 2
常用结论
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
2．有关向量夹角的两个结论
(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.
(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.
【核心题型】
题型一 平面向量数量积的基本运算
计算平面向量数量积的主要方法
(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)利用坐标运算，若a＝(x，y)，b＝(x，y)，则a·b＝xx＋yy.
1 1 2 2 1 2 1 2
(3)利用基底法求数量积．
(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义
【例题1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知平行四边形 中，
，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2024·浙江金华·三模）已知 ， ， ，则
（ ）
A． B．16 C． D．9
【变式2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知向量 的夹角为 ，若
，则 .
【变式3】（2024·辽宁丹东·一模）记 内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知面积为S，且 ．
(1)求C；
(2)若 ， ，求S．
题型二 平面向量数量积的应用
(1)求平面向量的模的方法
①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2；
②几何法：利用向量的几何意义．
(2)求平面向量的夹角的方法
①定义法：cos θ＝；
②坐标法．
(3)两个向量垂直的充要条件
a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)
命题点1 向量的模
【例题2】（2024·江苏扬州·模拟预测）已知向量 ， 满足 ， ，且 与 的
夹角为 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．13
【变式1】（2024·河北·三模）已知非零向量 ， 的夹角为 ， ， ，
则 （ ）
A．1 B． C． D．
【变式2】（2024·河南·三模）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，
， ，若 为 中点，则 ．【变式3】（2023·福建福州·模拟预测）在 中，角 的对边分别是 ，且
．
(1)求 ；
(2)若 面积为 ，求 边上中线的长．
命题点2 向量的夹角
【例题3】（2024·北京·三模）若 ，则向量 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2024·江苏南通·三模）已知三个单位向量 满足 ，则向量 的夹
角为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024·江西·模拟预测）已知平面内非零向量 在向量 上的投影向量为 ，
且 ，则 与 夹角的余弦值为 ．
【变式3】（2024·江西·模拟预测）如图，在正三棱柱 中， 是棱 的中点，
是棱 上一点，且 ， .(1)求证： ；
(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值.
命题点3 向量的垂直
【例题4】（2024·江苏连云港·模拟预测）若向量 ， 满足 ， ，且
，则 （ ）
A．1 B． C． D．2
【变式1】（2024·重庆·模拟预测）已知 ，且 与 不共线，若向量 与
互相垂直，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024·宁夏银川·三模）已知 是单位向量，且 与 垂直， 与 的夹角为
135°，则 在 上的投影数量为 .
【变式3】（2023高三·全国·专题练习）四面体 中， ，求证：．
题型三 平面向量的实际应用
用向量方法解决实际问题的步骤
【例题5】（2024·广东梅州·二模）如图，两根绳子把物体M吊在水平杆子AB上.已知物体
M的重力大小为20牛，且 ，在下列角度中，当角 取哪个值时，绳 承受
的拉力最小.（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2020·宁夏中卫·二模）加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．
某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为 ，每只胳
膊的拉力大小均为 ，则该学生的体重（单位： ）约为（ ）（参考数据：取重力加速度大小为 ）
A．63 B．69 C．75 D．81
【变式2】（2024·全国·模拟预测）如图，某物体作用于同一点 的三个力 使物
体处于平衡状态，已知 ， ， 与 的夹角为 ，则 的大小为
．（牛顿 是物理的力学单位）
【变式3】（2022·内蒙古赤峰·三模）如图所示，把一个物体放在倾斜角为 的斜面上，
物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力 ，垂直斜面向上的弹力 ，沿着斜面
向上的摩擦力 .已知： ，则 的大小为 .【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2024·山西太原·模拟预测）已知单位向量 ， 满足 ，则 与 的夹
角为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·四川眉山·三模）已知向量 满足 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·安徽合肥·模拟预测）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，
， ，则 可能是（ ）
A． B． C．1 D．2
4．（2024·重庆·模拟预测）如图，圆O内接边长为1的正方形 是弧 （包括端
点）上一点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．二、多选题
5．（2024·江西宜春·模拟预测）已知向量 ， ，则（ ）
A． B．
C． 与 的夹角为 D． 在 上的投影向量为
6．（2024·浙江温州·模拟预测）已知单位向量 共面，则下列说法中正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
三、填空题
7．（2024·辽宁丹东·二模）设向量 ， 的夹角为 ，且 ， ，则
．
8．（2021·云南昆明·三模）两同学合提一捆书，提起后书保持静止，如图所示，则 与
大小之比为 ．
9．（2024·重庆·模拟预测）已知非零向量 、 满足 ，则向量 与 的
夹角为 ．
四、解答题
10．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ，
，向量 ， 且 ．
(1)求角 的大小(2)若 的面积为 ， ，求 ．
11．（2024·江苏南通·模拟预测）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，
已知 ， ，其中 为 的面积.
(1)求角 的大小；
(2)设 是边 的中点，若 ，求 的长.
【综合提升练】
一、单选题
1．（2024·宁夏固原·一模）已知向量 ，若 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
2．（2024·福建泉州·模拟预测）已知 ， ， ，则向量 与 的夹
角为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·吉林长春·模拟预测）已知两个向量 满足 ， ，则
（ ）
A．1 B． C． D．2
4．（2024·浙江绍兴·二模）已知 ， 是单位向量，且它们的夹角是 ，若 ，，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2024·河北衡水·模拟预测）在 中，
，则 （ ）
A． B． C．9 D．18
6．（2024·河南·模拟预测）已知向量 满足 ，又非零向量 满足
，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
7．（2024·湖北黄冈·二模）已知 为单位向量，向量 满足 ，则 的最
大值为（ ）
A．9 B．3 C． D．10
8．（2024·云南曲靖·二模）已知 是 的外心， ， ，则向量
在向量 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2024·全国·模拟预测）已知向量 ．若 ，则（ ）
A． B．
C． 在 方向上的投影向量为 D．与 反向的单位向量是
10．（23-24高三下·山东菏泽·开学考试）已知单位向量 ， 的夹角为 ，则下列结论正
确的有（ ）
A．
B． 在 方向上的投影向量为
C．若 ，则
D．若 ，则
11．（2024·贵州黔东南·二模）拋物线 的焦点 到准线的距离为1，经
过点 的直线 与 交于 两点，则（ ）
A．当 时，直线 斜率的取值范围是
B．当点 与点 重合时，
C．当 时， 与 的夹角必为钝角
D．当 时， 为定值（ 为坐标原点）
三、填空题
12．（2024·辽宁沈阳·三模）已知向量 满足 ， ，则
.
13．（2020·河北张家口·二模）如图，某班体重为70kg的体育老师在做引体向上示范动作，
两只胳膊的夹角为 ，拉力大小均为 ，若使身体能向上移动，则拉力 的最小整数值为 N．（取重力加速度大小为 ， ）
14．（2024·吉林长春·模拟预测）在 中，已知 ，当边BC的中线
时， 的面积为 ．
四、解答题
15．（2024·贵州·模拟预测）在 中， ， ， ， 为 的中点，
的角平分线 交 于点 .
(1)求 的长；
(2)求 的面积.
16．（22-23高三上·河南安阳·阶段练习）已知
(1)若 且 时， 与 的夹角为钝角，求 的取值范围；
(2)若 函数 ，求 的最小值.
17．（2024·全国·模拟预测）在 中，内角 所对的边分别为
．(1)试判断 的形状，并说明理由；
(2)若 ，点 在 内， ， ，求 ．
18．（2024·福建宁德·三模）在 中，角 的对边分别为 .已知
，且 .
(1)若 ，垂足为 ，求BD的长;
(2)若 ，求 的长.
19．（2024·湖北·二模）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b， ，
．
(1)求A；
(2)者 ， ，求 的取值范围．
【拓展冲刺练】
一、单选题1．（2024·江苏·模拟预测）已知向量 ， 满足 ， ， ，则
与 的夹角等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江·三模）已知单位向量 满足 ，则 （ ）
A．0 B． C． D．1
3．（2024·陕西·模拟预测）已知两个向量 ，且 ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023高三·全国·专题练习）已知椭圆 ， 为两个焦点，O为原点，P为
椭圆上一点， ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2024·贵州·模拟预测）已知 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C． 与 的夹角为
D． 在 方向上的投影向量是6．（2022·湖北·模拟预测）已知向量 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 的值为
B．若 ，则 的值为
C．若 ，则 与 的夹角为锐角
D．若 ，则
三、填空题
7．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知非零向量 满足 ，且 ，则 的
夹角大小为 ．
8．（2024·安徽合肥·三模）在 中，若 ，则 .
9．（2023·上海闵行·二模）平面上有一组互不相等的单位向量 ， ，…， ，若存
在单位向量 满足 ，则称 是向量组 ， ，
…， 的平衡向量．已知 ，向量 是向量组 ， ， 的平衡向
量，当 取得最大值时， 值为 ．
四、解答题
10．（2024·山东枣庄·一模）在 中，角 的对边分别为 ，且 ．
(1)求 ；
(2)若 是边 上的高，且 ，求 ．11．（2023·河北衡水·模拟预测）已知 ，D为边AC上一点， ， .
(1)若 ， ，求 ；
(2)若直线BD平分 ，求 与 内切圆半径之比的取值范围.
