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专题 15.4 分式（满分 100）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
评卷人 得 分
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1 x−2y 1 1 7 1 x b+c 4x
1．（2022春•梁溪区期中）下列各式中： ， ， x− y， ， ， ， ， 分式有（
m 3 2 3 5 x 2 a π−3
）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【思路点拨】
A
根据分式定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式进行分析即
B
可．
【解题过程】
x−2y 1 1 7 x 4x
解： ， x− y， ， ， 的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．
3 2 3 5 2 π−3
1 1 b+c
， ， 是分式，共3个，
m x a
故选：B．
2．（2021秋•顺城区期末）下列分式中，是最简分式的是（ ）
6 4−x2
A． B．
15x x+2
x2+ y2 2+a
C． D．
x+ y −a2−4a−4
【思路点拨】
根据最简分式的概念逐一判断即可．
【解题过程】
6 2
解：A． = ，不是最简分式，不符合题意；
15x 5x4−x2 −(x+2)(x−2)
B． = =−（x﹣2）＝﹣x+2，不是最简分式，不符合题意；
x+2 x+2
x2+ y2
C． 是最简分式，符合题意；
x+ y
2+a a+2 1
D．
= =−
，不是最简分式，不符合题意；
−a2−4a−4 −(a+2) 2 a+2
故选：C．
0.2x+0.3 y
3．（2022春•镇平县月考）在分式 中，把x，y的值都扩大到原来100倍，则分式的值（
0.5x−0.02y
）
A．扩大到原来的100倍 B．扩大到原来的50倍
1
C．不变 D．缩小到原来的
100
【思路点拨】
20x+30 y 0.2x+0.3 y
通过分式的基本性质，将分子分母同时乘以100得到 ，分式的值不变，然后将 中，
50x−2y 0.5x−0.02y
20x+30 y
把x，y的值都扩大到原来100倍，得到 ，所以分式的值不变．
50x−2y
【解题过程】
解：根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
0.2x+0.3 y
∴将 中的分子和分母同时乘以100，分式的值不变，
0.5x−0.02y
20x+30 y
∴原式= ，
50x−2y
0.2x+0.3 y
∵ 中，把x，y的值都扩大到原来100倍，
0.5x−0.02y
20x+30 y
∴原式= ，
50x−2y
∴分式的值不变，
故选：C．
4．（2022春•宛城区校级月考）下列运算正确的是（ ）
6ac 2 a2+b2
A． = B． =a+b
9a3c 3a a+b
c c 0.5a+b 5a+10b
C．− = D． =
−a+b a+b 0.2a−0.3b 2a−3b【思路点拨】
根据分式的基本性质逐一处理即可．
【解题过程】
6ac 2
解：A、 = ，故A选项不符合题意；
9a3c 3a2
a2+b2
B、 是最简分式，不能继续化简，故B选项不符合题意；
a+b
c c
C、− = ，故C选项不符合题意；
−a+b a−b
0.5a+b 5a+10b
D、 = ，故D选项符合题意．
0.2a−0.3b 2a−3b
故选：D．
5．（2021秋•任丘市期末）下列各分式运算结果正确的是（ ）
① 5a3b2 10c5 25c4； ② b2c3 a2 bc3； ③ 1 1 1 ； ④
⋅ = ⋅ = ÷(x−3)⋅ =
2c a3b4 b2 a3 b a x2+1 x−3 x2+1
x−1 x+1
xy⋅ ÷ =1．
x2−1 xy
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
【思路点拨】
利用分式的乘法与除法的法则对各式进行运算，即可得出结果．
【解题过程】
解：①5a3b2 10c5 25c4，故①正确；
⋅ =
2c a3b4 b2
②b2c3 a2 bc3，故②正确；
⋅ =
a3 b a
1 1 1 1 1 1
③ ÷(x−3)⋅ = ⋅ ⋅ = ，故③错误；
x2+1 x−3 x2+1 x−3 x−3 x4−6x3+10x2−6x+9
④ x−1 x+1 x−1 xy x2y2 ，故④错误，
xy⋅ ÷ =xy⋅ ⋅ =
x2−1 xy (x−1)(x+1) x+1 x2+2x+1
故选：C．
6．（2021秋•房县期末）小明通常上学时走上坡路，途中平均速度为 m千米/时，放学回家时，沿原路返回，通常的平均速度为n千米/时，则小明上学和放学路上的平均速度为（ ）千米/时．
m+n mn 2mn m+n
A． B． C． D．
2 m+n m+n mn
【思路点拨】
总路程
设从家到学校的单程为1，那么总路程为2，根据平均速度= ，列分式并化简即可得出答案．
总时间
【解题过程】
1 1
解：设上学路程为1，则往返总路程为2，上坡时间为 ，下坡时间为 ，
m n
2 2mn
= =
则平均速度 1 1 m+n（千米/时）．
+
m n
故选：C．
7．（2022•昆明模拟）某工程队要对一条长3千米的人行道进行改造，为尽量减少施工对交通造成的影响，
施工时，每天比原计划多改造10米，结果所用时间比原计划少十分之一，求实际每天改造多少米？设实际
每天改造x米，则可列方程为（ ）
3000 3000 1 3000 3000
A． = (1− ) B． = ×10
x x−10 10 x x+10
3000 3000 1 3000 1 3000
C． = × D． ×(1− )=
x x−10 10 x 10 x+10
【思路点拨】
由实际每天比原计划多改造10米，可得出原计划每天改造（x﹣10）米，利用工作时间＝工作总量÷工作效
率，结合实际所用时间比原计划少十分之一，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解题过程】
解：∵施工时，每天比原计划多改造10米，且实际每天改造x米，
∴原计划每天改造（x﹣10）米．
3000 3000 1
依题意得： = （1− ）．
x x−10 10
故选：A．
x−a a−b a−b
8．（2021秋•鼓楼区校级期末）计算 + + 所得的结果是（
(x−b)(x−c) (b−c)(x−b) (c−b)(x−c)
）
1 1 1 1
A． B． C． D．
x−a x−b x−c a−b【思路点拨】
原式进行通分计算．
【解题过程】
(x−a)(b−c) (a−b)(x−c) (a−b)(x−b)
解：原式= + −
(x−b)(x−c)(b−c) (x−b)(x−c)(b−c) (x−b)(x−c)(b−c)
xb−xc−ab+ac+ax−ac−bx+bc−ax+ab+bx−b2
=
(x−b)(x−c)(b−c)
−xc+bc+bx−b2
=
(x−b)(x−c)(b−c)
b(x−b)−c(x−b)
=
(x−b)(x−c)(b−c)
(b−c)(x−b)
=
(x−b)(x−c)(b−c)
1
= ，
x−c
故选：C．
1 6
9．（2022•景县校级模拟）有一道题目：已知（ + ）•A＝1，若代数式A＜2，求a的取值范围．
a+3 a2−9
嘉嘉认为a＜5；淇淇说嘉嘉的结论不对．关于两人的说法，下列判断正确的是（ ）
A．嘉嘉的说法正确
B．淇淇的说法正确，a＜5，且a≠3
C．淇淇的说法正确，a＜5，且a≠﹣3
D．淇淇的说法正确，a＜﹣3或﹣3＜a＜3或3＜a＜5
【思路点拨】
1 6
根据（ + ）•A＝1，可以计算出A，然后根据A＜2和（a+3）（a﹣3）≠0，即可得到a的取值
a+3 a2−9
范围，从而可以判断哪个选项是正确的．
【解题过程】
1 6
解：∵（ + ）•A＝1，
a+3 a2−9
1 6
∴A＝1÷（ + ）
a+3 a2−9
a−3+6
＝1÷
(a+3)(a−3)(a+3)(a−3)
＝1•
a+3
＝a﹣3，
∵A＜2，
∴a﹣3＜2，
解得a＜5，
又∵（a+3）（a﹣3）≠0，
∴a≠±3，
由上可得，当A＜2时，a的取值范围是a＜﹣3或﹣3＜a＜3或3＜a＜5，
故选：D．
{3(3−x)−1＜x
10．（2022•渝中区校级模拟）已知关于x的一元一次不等式组 的解集为x＞2，且关于y
x+2≥a
ay−5 4
的分式方程 =1− 的解为正整数，则所有满足条件的所有整数a的和为（ ）
y−3 3−y
A．2 B．5 C．6 D．9
【思路点拨】
利用不等式组的解为x＞2，确定a的取值范围，解分式方程，当解为正整数时求得 a值，将符合条件的a
值相加即可得出结论．
【解题过程】
{3(3−x)−1＜x
解：∵不等式组 的解集为x＞2，
x+2≥a
∴a﹣2≤2．
∴a≤4．
ay−5 4 6
关于y的分式方程 =1− 的解为y= ．
y−3 3−y a−1
∵y＝3是原分式方程的增根，
6
∴ ≠3．
a−1
∴a≠3．
ay−5 4
∵关于y的分式方程 =1− 的解为正整数，
y−3 3−y
6
∴ 为正整数．
a−1∴a＝2，4，7．
∵a≤4，
∴a＝2，4．
∴所有满足条件的所有整数a的和为：2+4＝6．
故选：C．
评卷人 得 分
二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
2 x2−1
11．（2022春•宜兴市校级月考）当x ≠ 1 时，分式 有意义；如果分式 的值为0，那么x的
x−1 x+1
值是 1 ．
【思路点拨】
根据分式有意义的条件，分母不为0；分式值为0，即分子为0，分母不为0，进行计算即可解答．
【解题过程】
解：当x﹣1≠0时，
2
即当x≠1时，分式 有意义，
x−1
x2−1
∵分式 的值为0，
x+1
∴x2﹣1＝0且x+1≠0，
∴x＝±1且x≠﹣1，
∴x＝1，
故答案为：≠1，1．
2 mx 3
12．（2021秋•交城县期末）若关于x的分式方程 + = 会产生增根，则m的值为 ﹣ 4 或 6
x−2 x2−4 x+2
．
【思路点拨】
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．
【解题过程】
解：去分母得：2（x+2）+mx＝3（x﹣2），
∵分式方程会产生增根，∴（x+2）（x﹣2）＝0，
解得：x＝﹣2或x＝2，
把x＝﹣2代入整式方程得：﹣2m＝﹣12，
解得：m＝6；
把x＝2代入整式方程得：8+2m＝0，
解得：m＝﹣4，
则m的值是﹣4或6．
故答案为：﹣4或6．
13．（2021秋•江北区期末）已知 x 1，则 x2 1 ．
= =
x2+1 3 x4−x2+1 6
【思路点拨】
根据已知可得x2+1 3，从而得x 1 3，然后先求出x4−x2+1的值即可解答．
= + =
x x x2
【解题过程】
x 1
解：∵ = ，
x2+1 3
x2+1
∴ =3，
x
1
∴x+ =3，
x
x4−x2+1 x2﹣1 1
= +
x2 x2
1
＝x2+ −1
x2
1
＝（x+ ）2﹣2﹣1
x
＝32﹣3
＝6，
∴ x2 1，
=
x4−x2+1 61
故答案为： ．
6
xy yz 4 zx 4
14．（2021秋•思明区校级期末）已知三个数，x，y，z满足 =−3， = ， =− ，则y
x+ y y+z 3 z+x 3
12
的值是 ．
7
【思路点拨】
已知等式左边分子分母都除以分子，得到关系式，联立求出y的值即可．
【解题过程】
xy yz 4 zx 4
解：∵三个数，x，y，z满足 =−3， = ， =− ，
x+ y y+z 3 z+x 3
1 1 4 1 4
=− = =− 1 1 1 1 1 3 1 1 3
∴1 1 3， 1 1 3，1 1 3，即 + =− ①， + = ②， + =− ③，
+ + + x y 3 y z 4 z x 4
x y y z z x
1 1 3
②﹣③得： − = ④，
y x 2
2 7
①+④得： = ，
y 6
12
解得：y= ．
7
12
故答案为： ．
7
15．（2022•绵阳模拟）为落实“美丽科技城新区”的工作部署，市政府计划对新区道路进行改造，现安排
甲、乙两个工程队完成，已知甲队的工作效率是乙队工作效率的1.5倍，甲队改造720米的道路比乙队改
造同样长的道路少用4天．若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，如需改造的
道路全长2400米，改造总费用不超过195万元，至少安排甲队工作 1 0 天．
【思路点拨】
设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为1.5x米．由题意：甲队改
造720米的道路比乙队改造同样长的道路少用4天．列出分式方程，得出x＝60，则1.5x＝90，再设安排甲
2400−90m
队工作m天，则安排乙队工作 天，然后由题意：若甲队工作一天需付费用 7万元，乙队工作
60
一天需付费用5万元，如需改造的道路全长2400米，改造总费用不超过195万元，列出一元一次不等式，
解不等式即可．【解题过程】
解：设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为1.5x米．
720 720
根据题意得： − =4，
x 1.5x
解得：x＝60，
经检验，x＝60是原分式方程的解，且符合题意，
则1.5x＝90．
即乙工程队每天能改造道路的长度为60米，甲工程队每天能改造道路的长度为90米．
2400−90m
设安排甲队工作m天，则安排乙队工作 天，
60
2400−90m
根据题意得：7m+ ×5≤195．
60
解得：m≥10．
即至少安排甲队工作10天，
故答案为：10．
评卷人 得 分
三．解答题（本大题共8小题，满分55分）
16．（2022春•镇平县月考）计算下列各题：
（1）a2−ab （a b）；
+ −
a2 b a
（2）（ a3−2a2 4 ）• 1 ．
+
a2−4a+4 2−a a2+2a
【思路点拨】
（1）先化简第一个分式，再通分、计算分式的加减法；
（2）先计算括号内分式的减法，再计算乘法即可．
【解题过程】
a(a−b) a b
解：（1）原式= + −
a2 b a
a−b a b
= + −
a b aab−b2 a2 b2
= + −
ab ab ab
a2+2ab−2b2
= ；
ab
（2）原式＝[a2 (a−2) 4 ]• 1
−
(a−2) 2 a−2 a(a+2)
a2 4 1
＝（ − ）•
a−2 a−2 a(a+2)
(a+2)(a−2) 1
= •
a−2 a(a+2)
1
= ．
a
17．（2022春•靖江市校级月考）解方程：
x+2 4
（1） − =1；
x−2 x2−4
5x−4 4x+10
（2） = −1．
x−2 3x−6
【思路点拨】
（1）方程两边都乘（x+2）（x﹣2）得出（x+2）2﹣4＝（x+2）（x﹣2），求出方程的解，再进行检验即
可；
（2）方程两边都乘3（x﹣2）得出3（5x﹣4）＝2（2x+5）﹣3（x﹣2），求出方程的解，再进行检验即可．
【解题过程】
x+2 4
解：（1） − =1，
x−2 x2−4
x+2 4
− =1，
x−2 (x+2)(x−2)
方程两边都乘（x+2）（x﹣2），得（x+2）2﹣4＝（x+2）（x﹣2），
解得：x＝﹣1，
检验：当x＝﹣1时，（x+2）（x﹣2）≠0，
所以x＝﹣1是原方程的解，
即原方程的解是x＝﹣1；
5x−4 4x+10
（2） = −1，
x−2 3x−65x−4 2(2x+5)
= −1，
x−2 3(x−2)
方程两边都乘3（x﹣2），得3（5x﹣4）＝2（2x+5）﹣3（x﹣2），
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，3（x﹣2）＝0，
所以x＝2是增根，
即原方程无实数根．
x+2 x−2 x−4
18．（2022•济宁一模）化简：（ − ）÷ 并从0≤x≤4中选取合适的整数代入求值．
x2−2x x2−4x+4 x
【思路点拨】
先算括号内的，将除化为乘，化简后将有意义的x的值代入计算即可．
【解题过程】
x+2 x−2 x
解：原式＝[ − ]•
x(x−2) (x−2) 2 x−4
x+2−x x
= •
x(x−2) x−4
2 x
= •
x(x−2) x−4
2
=
(x−2)(x−4)
2
= ，
x2−6x+8
∵x＝0，x＝2和x＝4时原式无意义，
∴当x＝1时，
2
原式=
12−6×1+8
2
=
1−6+8
2
= ．
3
19．（2020秋•丰台区期末）小刚在学习分式的运算时，探究出了一个分式的运算规律：
1 1 n+1 n 1
− = − = ．
n n+1 n(n+1) n(n+1) n(n+1)
1 1 1
反过来，有 = − ．
n(n+1) n n+1运用这个运算规律可以计算：
1 1 1 1 1 1 1 1 1 3
+ + =1− + − + − =1− = ．
1×2 2×3 3×4 2 2 3 3 4 4 4
1 1 1 3
（1）请你运用这个运算规律计算： + + = ；
2×3 3×4 4×5 10
（2）小刚尝试应用这个数学运算规律解决下面的问题：
1 1 1
一个容器装有1L水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出 L水，第2次倒出的水量是 L的 ，第3次倒
2 2 3
1 1 1 1 1 1
出的水量是 L的 ，第4次倒出的水量是 L的 ⋯第m次倒出的水量是 L的 ⋯按照这种倒水的
3 4 4 5 m m+1
方法，这1L水能倒完吗？
请你补充解决过程：
①列出倒m次水倒出的总水量的式子并计算；
②根据①的计算结果回答问题“按照这种倒水的方法，这1L水能倒完吗”，并说明理由．
【思路点拨】
（1）利用拆项方法变形即可得到结果；
1 1 1 1 1 1
（2）①由第1次倒出 L水，第2次倒出的水量是 L的 ，得出倒2次水倒出的总水量是 + × ，第3
2 2 3 2 2 3
1 1 1 1 1 1 1
次倒出的水量是 L的 ，那么倒3次水倒出的总水量是 + × + × ，同理得出倒m次水倒出的总水
3 4 2 2 3 3 4
1 1 1 1 1 1 1
量的式子是 + × + × +⋯+ × ，利用得出的拆项方法计算即可得到结果；
2 2 3 3 4 m m+1
②将①的计算结果与1比较即可求解．
【解题过程】
1 1 1
解：（1） + +
2×3 3×4 4×5
1 1 1 1 1 1
= − + − + −
2 3 3 4 4 5
1 1
= −
2 5
3
= ．
103
故答案为： ；
10
1 1 1 1 1 1 1
（2）① + × + × +⋯+ ×
2 2 3 3 4 m m+1
1 1 1 1 1 1 1
＝1− + − + − +⋯+ −
2 2 3 3 4 m m+1
1
＝1−
m+1
m
= （L）；
m+1
②这1L水不能倒完，理由如下：
m
∵ ＜1，
m+1
∴无论倒水次数m有多大，倒出的总水量总小于1L，
因此，按照这种倒水的方法，这1L水不能倒完．
20．（2022春•靖江市月考）阅读：在一杯水中，加入了食盐，搅拌均匀，就称作盐水．早在古代，人们
就已经发现了这种水的存在．盐水可以消毒，是我们生活中常用物品，而且我们生病时所用的也是盐水
含盐质量
（生理盐水），如果一容器内有a克盐水，其中含盐b克，则盐水的浓度= ×100%．
盐水质量
公式应用：若容器中有80克盐水，其中含水60克，则盐水的浓度为 25% ．
拓展延伸：若容器中有50克盐水，其中含盐5克，则需要蒸发多少克水，使该容器内的盐水浓度提高到原
来的2倍．
解决问题：若在装有盐水的容器中加入若干盐，食盐水的浓度怎么变化，为什么？（设该容器内原有 a克
盐水，其中含盐b克，再加入c克盐，用数学的方法书写过程）
【思路点拨】
公式应用：直接应用公式代入求值即可；
拓展延伸：设需蒸发m克，根据题意列分式方程，解方程并且检验即可；
解决本题：先表示出原来盐水的浓度，再表示加入 c克盐后的盐水浓度，由于现在盐水浓度﹣原来盐水浓
度大于0，可知盐水浓度变化．
【解题过程】
(80−60)
解：公式应用：盐水浓度为： ×100%=25%，
80
故答案为：25%；拓展延伸：设需蒸发m克，根据题意，
5 5
得 ×100%=2× ×100%，
50−m 50
解得m＝25，
经检验，m＝25是原方程的根，
∴需要蒸发25克水，使该容器内的盐水浓度提高到原来的2倍．
解决问题：食盐水的浓度变大了，理由如下：
b b+c
∵原来盐水的浓度： ×100%，现在盐水的浓度： ×100%，
a a+c
b+c b c(a−b)
∴现在盐水的浓度﹣原来盐水的浓度= ×100%− ×100%= ，
a+c a a(a+c)
∵a＞0，c＞0，且a＞b，
∴a+c＞0，a﹣b＞0，
c(a−b)
∴ ＞0，
a(a+c)
∴现在盐水的浓度﹣原来盐水的浓度＞0，
∴现在盐水浓度大于原来盐水的浓度，食盐水的浓度变大了．
21．（2022•蓬安县校级开学）某商贩用960元从批发市场购进某种水果销售，由于春节临近，几天后他又
用1800元以每千克比第一次高出2元的价格购进这种水果，第二次购进水果的数量是第一次购进数量的
1.5倍，设第一次购进水果的数量为x千克．
960
（1）用含x的式子表示：第二次购进水果为 1. 5 x 千克，第一次购进水果的单价为 元/千克；
x
（2）该商贩两次购进水果各多少千克？
（3）若商贩将两次购进的水果均按每千克15元的标价进行销售，为了在春节前将水果全部售完，在按标
价售出m（100≤m≤200）千克后将余下部分每千克降价a（a为正整数）元全部售出，共获利为1440元，
则a的值为 2 或 3 （直接写出结果）．
【思路点拨】
960
（1）设第一次购进水果的数量为x千克，则第二次购进水果为1.5x千克，第一次购进水果的单价为
x
元/千克，
（2）由题意：第二次购进水果的价格比第一次高出2元，列出分式方程，解方程即可；
（3）由题意：共获利为1440元，列出方程，求出符合题意的a的正整数解即可．
【解题过程】解：（1）设第一次购进水果的数量为x千克，则第二次购进水果为1.5x千克，第一次购进水果的单价为
960
元/千克，
x
960
故答案为：1.5x， ；
x
960 1800
（2）由题意得： +2= ，
x 1.5x
解得：x＝120，
经检验，x＝120是原方程的解，且符合题意，
则1.5x＝1.5×120＝180，
答：第一次购进水果120千克，第二次购进水果180千克；
（3）由题意得：15m+（15﹣a）（120+180﹣m）﹣960﹣1800＝1440，
300
解得：a= ，
300−m
∵a为正整数，100≤m≤200，
∴当a＝1时，m＝0，不合题意舍去；
当a＝2时，m＝150，符合题意；
当a＝3时，m＝200，符合题意；
当a＝4时，m＝225超过范围；
综上所述，a的值为2或3，
故答案为：2或3．
22．（2022春•海陵区校级月考）已知等式xy﹣2y﹣2＝0．
（1）①用含x的代数式表示y；
②若x、y均为正整数，求x、y的值；
4 y + y 2
（2）设p = ，q= 1 2，y 、y 分别是分式 中的x取x 、x （x ＞x ＞2）时所对应
(x −2)+(x −2) 2 1 2 x−2 1 2 2 1
1 2
的值，试比较p、q的大小，说明理由．
【思路点拨】
（1）将已知等式变形即可求出y；
（2）由于x、y均为正整数，所以x﹣2是2的正约数2或1，即可求出x和y的值；
（3）先将p和q化简，然后换元m＝x ﹣2，n＝x ﹣2，得出p﹣q −(m−n) 2，可知p﹣q＜0，从而得
1 2 ==
mn(m+n)出p和q的大小关系．
【解题过程】
解：（1）∵xy﹣2y﹣2＝0，
∴（x﹣2）y＝2，
2
∴y= ；
x−2
（2）∵x、y均为正整数，
∴x﹣2＝2或1，
∴x＝4或3，
∴当x＝4时，y＝1，
当x＝3时，y＝2．
（3）p＜q，理由如下：
2 2
∵y = ，y = ，
1 x −2 2 x −2
1 2
∴q y + y 1 1 ，
= 1 2= +
2 x −2 x −2
1 2
令m＝x ﹣2，n＝x ﹣2，
1 2
4 4 1 1
则p = = ，q= + ，
(x −2)+(x −2) m+n m n
1 2
∴p﹣q 4 （1 1） 4mn−(m+n) 2 −(m−n) 2，
= − + = =
m+n m n mn(m+n) mn(m+n)
∵x ＞x ＞2，
2 1
∴m＞0，n＞0，
∴mn＞0，m+n＞0，（m﹣n）2＞0，
∴p﹣q＜0，
∴p＜q．
23 ． （ 2021• 武 进 区 校 级 自 主 招 生 ） 已 知 正 实 数 x ， y ， z 满 足 ： xy+yz+zx≠1 ， 且
(x2−1)(y2−1) (y2−1)(z2−1) (z2−1)(x2−1)
+ + =4．
xy yz zx
1 1 1
（1）求 + + 的值．
xy yz zx（2）证明：9（x+y）（y+z）（z+x）≥8xyz（xy+yz+zx）．
【思路点拨】
（1）先去分母、去括号，重新分组后分解因式可得[xyz﹣（x+y+z）]（xy+yz+zx﹣1）＝0，从而得xyz＝
x+y+z，将所求分式通分后代入可得结论；
（2）计算两边的差，把（1）中：xyz＝x+y+z，代入并计算可得差≥0，从而得结论．
【解题过程】
(x2−1)(y2−1) (y2−1)(z2−1) (z2−1)(x2−1)
解：（1）由等式 + + =4，
xy yz zx
去分母得z（x2﹣1）（y2﹣1）+x（y2﹣1）（z2﹣1）+y（z2﹣1）（x2﹣1）＝4xyz，
x2y2z+xy2z2+x2yz2﹣[x（y2+z2）+y（z2+x2）+z（x2+y2）+3xyz]+（x+y+z）﹣xyz＝0，
xyz（xy+yz+zx）﹣（x+y+z）（xy+yz+zx）+（x+y+z）﹣xyz＝0，
∴[xyz﹣（x+y+z）]（xy+yz+zx﹣1）＝0，
∵xy+yz+zx≠1，
∴xy+yz+zx﹣1≠0，
∴xyz﹣（x+y+z）＝0，
∴xyz＝x+y+z，
x+ y+z
∴原式= =1．
xyz
（2）证明：由（1）得：xyz＝x+y+z，
又∵x，y，z为正实数，
∴9（x+y）（y+z）（z+x）﹣8xyz（xy+yz+zx）
＝9（x+y）（y+z）（z+x）﹣8（x+y+z）（xy+yz+zx）
＝x（y2+z2）+y（z2+x2）+z（x2+y2）﹣6xyz
＝x（y﹣z）2+y（z﹣x）2+z（x﹣y）2≥0．
∴9（x+y）（y+z）（z+x）≥8xyz（xy+yz+zx）．
注：（x+y）（y+z）（z+x）＝x2y+xy2+y2z+yz2+z2x+zx2+2xyz＝x（y2+z2）+y（z2+x2）+z（x2+y2）+2xyz；
（x+y+z）（xy+yz+zx）＝x2y+xy2+y2z+yz2+z2x+zx2+3xyz＝x（y2+z2）+y（z2+x2）+z（x2+y2）+3xyz．
