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第 02 讲 配方法
课程标准 学习目标
①用直接开方法解一元二次方程 1. 掌握直接开方法解一元二次方程并能够熟练应用。
②用配方法解一元二次方程 2. 掌握配方法解一元二次方程，并能够对配方法熟练的应用。
知识点01 直接开方法解一元二次方程
1. 直接开方法求 的一元二次方程：
由平方根的定义可知：
① 时，一元二次方程 有 个 的实数根，分别是 或 。
他们互为 。
②当 时，一元二次方程 有 个 的实数根，即 。
③当 时，一元二次方程 实数根。2. 直接开方法解 的一元二次方程：
同样由平方根的定义可知：
①当 时，一元二次方程 有 个 的实数根。方程开方降次得到一
元一次方程 或 。所以它的两个实数根分别是 或 。
②当 时，一元二次方程 有 个 的实数根。方程开方降次得到一元
一次方程 ，所以一元二次方程的两个实数根为 。
时，一元二次方程 实数根。
③当
【即学即练1】
1．方程x2﹣4＝0的两个根是（ ）
A．x ＝2，x ＝﹣2 B．x ＝x ＝﹣2
1 2 1 2
C．x ＝x ＝2 D．x ＝2，x ＝0
1 2 1 2
【即学即练2】
2．若关于x的方程（x﹣2）2＝m+1有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞1 B．m＞﹣1 C．m≥1 D．m≥﹣1
【即学即练3】
3．关于 x 的方程 a（x+m）2+b＝0 的解是 x ＝﹣3，x ＝2（a，m，b 均为常数，a≠0），则方程 a
1 2
（x+m+2）2+b＝0的解是（ ）
A．x ＝﹣3，x ＝2 B．x ＝﹣5，x ＝0
1 2 1 2
C．x ＝﹣1，x ＝﹣4 D．无法求解
1 2
【即学即练4】
4．若一元二次方程ax2＝1（a＞0）的两根分别是m+1与2m﹣4，则这两根分别是（ ）
A．1，4 B．1，﹣1 C．2，﹣2 D．3，0
知识点02 配方法解一元二次方程
1. 配方法的定义：
将一元二次方程化成 的形式在利用直接开方法解一元二次方程的方法。
2. 配方法解一元二次方程的具体步骤：
①将方程化成 。
②将 系数化为 。方程的左右两边同时除以 或乘以二次项
系数的 。且将 移到等号的右边。
③方程的左右两边同时加上 。④把方程的左边写成 ，右边是一个常数。
⑤根据直接开方法解方程。
3. 配方法求二次三项式的最值：
（1）利用配方法将二次三项式化成 的形式判断二次三项式的最值为 。若 ，则
为二次三项式的 ；若 ，则 为二次三项式的 。
（2）具体步骤：
①提公因式：即提 。
②配方：在一次项后面加上 ，为了式子的值不发生变化，再减
去 。
③将式子写成 的形式。注意拿到括号外的常数项一定要先乘以 再拿出来。
【即学即练1】
5．用配方法解方程x2+8x+7＝0，变形后的结果正确的是（ ）
A．（x+4）2＝﹣7 B．（x+4）2＝9 C．（x+4）2＝23 D．（x+4）2＝﹣9
【即学即练2】
6．方程x2﹣2x﹣3＝0配方后可化成（x+m）2＝n的形式，则m+n的值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．1
【即学即练3】
7．用配方法解方程：x2﹣2x﹣35＝0．
【即学即练4】
8．代数式x2﹣4x+8的最小值为 ．
【即学即练5】
9．若M＝2x2﹣12x+15，N＝x2﹣8x+11，则M与N的大小关系为（ ）
A．M≥N B．M≤N C．M＝N D．不能确定题型01 直接开方法解一元二次方程
【典例1】一元二次方程x2＝3的根为（ ）
A．x＝ B．x ＝ ，x ＝0
1 2
C．x ＝x ＝ D．x ＝ ，x ＝﹣
1 2 1 2
【变式1】方程（x+1）2＝4的解为（ ）
A．x ＝1，x ＝﹣3 B．x ＝﹣1，x ＝3
1 2 1 2
C．x ＝2，x ＝﹣2 D．x ＝1，x ＝﹣1
1 2 1 2
【变式2】解方程
（1）x2﹣25＝0； （2）（x+1）2＝49
【变式3】解方程组（组）：
（1）4x2＝9 （2）3（x+1）2＝27
【变式4】（3x﹣1）2＝（x+1）2．
题型02 利用完全平方公式的特点求值
【典例1】若x2+mx+16是完全平方式，则m的值是 ．
【变式1】若x2﹣2mx+16是完全平方式，则m＝ ．
【变式2】若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值等于 ．【变式3】若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值为（ ）
A．3 B．9 C．±3 D．±9
题型03 利用配方法解一元二次方程
【典例1】用配方法解一元二次方程x2﹣8x+7＝0，方程可变形为（ ）
A．（x+4）2＝9 B．（x﹣4）2＝9 C．（x﹣8）2＝16 D．（x+8）2＝57
【变式1】将方程3x2+6x﹣1＝0配方，变形正确的是（ ）
A．（3x+1）2﹣1＝0 B．（3x+1）2﹣2＝0
C．3（x+1）2﹣4＝0 D．3（x+1）2﹣1＝0
【变式2】一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0，用配方法解该方程，配方后的方程为（ ）
A．（x﹣1）2＝m2+1 B．（x﹣1）2＝m﹣1
C．（x﹣1）2＝1﹣m D．（x﹣1）2＝m+1
【变式3】用配方法将方程x2+10x﹣11＝0化成（x+m）2＝n的形式（m、n为常数），则m+n＝ ．
【变式4】若一元二次方程x2﹣ax+b＝0配方后为（x﹣4）2＝3，则ab＝ ．
【变式5】如果方程x2+4x+n＝0可以配方成（x+m）2＝3，那么（n﹣m）2020＝ ．
【变式6】用配方法解下列方程
（1）3x2﹣4x﹣2＝0； （2）6x2﹣2x﹣1＝0；
（3）2x2+1＝3x； （4）（x﹣3）（2x+1）＝﹣5．
题型04 直接开方法的应用
【典例1】关于x的方程（x﹣2）2＝1﹣m无实数根，那么m满足的条件是（ ）
A．m＞2 B．m＜2 C．m＞1 D．m＜1
【变式1】若方程（x﹣m）2＝b有解，那么b的取值范围是 ．
【变式2】已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a，b，m为常数，a≠0）的解是x ＝2，x ＝﹣1，那么方
1 2程a（x+m+2）2+b＝0的解为（ ）
A．x ＝2，x ＝﹣3 B．x ＝4，x ＝1
1 2 1 2
C．x ＝0，x ＝﹣1 D．x ＝0，x ＝﹣3
1 2 1 2
【变式3】已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x ＝﹣2，x ＝1（a，m，b均为常数，a≠0），那么
1 2
方程a（2x+m+1）2+b＝0的解是（ ）
A．x ＝﹣2，x ＝1 B．x ＝0，
1 2 1
C．x ＝﹣3，x ＝3 D．无法求解
1 2
【变式4】若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个不相等的根分别是2m+1与m﹣7，则 为 ．
【变式5】若m和n是一元二次方程2（x﹣a）2＝8的两个解，且m＞n，则m﹣n的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
题型05 配方法的应用——求（最）值
【典例1】代数式 x2+8x+5的最小值是 ．
【变式1】不论x取何值，x﹣x2﹣1的值都（ ）
A．大于等于﹣ B．小于等于﹣
C．有最小值﹣ D．恒大于零
【变式2】若p＝x2+y2+2x﹣4y+2028，p的最小值是（ ）
A．2028 B．2023 C．2022 D．2020
【变式3】已知 ，则3a﹣ b的值为（ ）
A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣4
【变式4】已知a，b，c满足a2+b2+c2﹣4a﹣2b+2c+6＝0，则a+b﹣c的值是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【变式5】已知三角形的三条边为a，b，c，且满足a2﹣10a+b2﹣16b+89＝0，则这个三角形的最大边c的
取值范围是（ ）
A．c＞8 B．5＜c＜8 C．8≤c＜13 D．5＜c＜13
题型06 配方法的应用——比较大小
【典例1】若M＝2x2+x，N＝x2﹣3x﹣2，则M与N的大小关系为（ ）
A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．无法确定
【变式1】已知a、b满足等式x＝a2﹣6ab+9b2，y＝4a﹣12b﹣4，则x，y的大小关系是（ ）
A．x＝y B．x＞y C．x＜y D．x≥y
【变式2】已知a，b，c为实数，且b+c＝5﹣4a+3a2，c﹣b＝1﹣2a+a2，则a，b，c之间的大小关系是（）
A．a＜b≤c B．b＜a≤c C．b≤c＜a D．c＜a≤b
1．一元二次方程x2﹣9＝0的根为（ ）
A．3 B．﹣3 C．3或﹣3 D．0
2．已知x＝﹣2是关于x的方程ax2﹣12＝0的解，则a的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣6
3．现在定义一种运算，其规则为a*b＝a2﹣b2，根据此规则，如果x满足2（x+2）*5＝﹣1，那么x的值为
（ ）
A． B． C． D．4．用配方法解一元二次方程x2﹣8x+10＝0配方后得到的方程是（ ）
A．（x+8）2＝54 B．（x﹣8）2＝54 C．（x+4）2＝6 D．（x﹣4）2＝6
5．用配方法解一元二次方程x2+6x+3＝0时，将它化为（x+m）2＝n的形式，则m﹣n的值为（ ）
A．3 B．0 C．﹣1 D．﹣3
6．珍珍将方程x2﹣4x﹣2＝0化为（x+p）2＝q的形式时，得到p的值为2，q的值为6，则珍珍所得结果（
）
A．正确 B．不正确，p的值应为﹣2
C．不正确，q的值应为2 D．不正确，q的值应为4
7．无论a，b为何值，代数式a2+b2+4b+6﹣2a的值总是（ ）
A．非负数 B．正数 C．0 D．负数
8．已知关于y的多项式（n+2）y|n|+2+（n﹣1）y+3是四次三项式，关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m+n＝0
有实数根为a，则3a2﹣3a+m的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
9．已知△ABC的三边a，b，c满足a2+b2﹣6a﹣8b＝﹣25﹣|c﹣5|，则周长为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
10．如果一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美
数”．理由：因为5＝22+12，所以5是“完美数”．以下4个结论中，正确的有（ ）
（1）数61不是“完美数”；
（2）数100是“完美数”；
（3）已知x2+y2﹣4x+2y+5＝0，则x+y＝2；
（4）若S＝5x2+y2+2xy+12x+k（x、y是整数，k是常数），S为“完美数”，则k值是9．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．对于实数a，b，定义一种运算“ ”为：a b＝a2﹣2b，若关于x的方程（x+1） （3m）＝0没有实
数根，则实数m的取值范围为 ．
⊕ ⊕ ⊕
12．若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+a）2＝1，则a+c的值为 ．
13．已知m2+n2+3（m+n）＝10﹣2mn，则m+n＝ ．
14．已知代数式x2+2x+3可以利用完全平方公式变形为（x+1）2+2，根据这种变形方法，代数式y2﹣6y+10
的最小值是 ．
15．已知等腰三角形两边a，b，满足a2+b2﹣4a﹣10b+29＝0，则这个等腰三角形的周长为 ．
16．解下列方程：
（1）3（x﹣1）2﹣12＝0； （2）2x2﹣4x﹣7＝0．17．若x2+y2﹣8x+4y+20＝0，且（2x+m）（x+1）的展开式中不含x的一次项．
（1）求m的值； （2）代数式（x﹣y）m的值．
18．在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：
如：解方程x（x+8）＝4 我们称这种解法为“平均数法”．
解：原方程可变形，得[（x+4）﹣4][（x+4）+4] （1）下面是小明用“平均数法”解方程
＝4 （x+2）（x+8）＝40时写的解题过程：
（x+4）2﹣42＝4 解：原方程可变形，得[（x+a）﹣b][（x+a）+b]
（x+4）2＝20 ＝40
（x+a）2﹣b2＝40
直接开平方，得x ＝﹣4+2 ，x ＝﹣4﹣2
1 2
（x+a）2＝40+b2
．
直接开平方，得x ＝c，x ＝d．
1 2
上述解题过程中的a，b，c，d所表示的数分别是 ， ， ， ．
（2）请用“平均数法”解方程：（x﹣2）（x+6）＝4．
19．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当a＞0，b＞0时，
∵ ，
∴ ，当且仅当a＝b时取等号，
例如：当a＞0时，求 的最小值．
解：∵a＞0，
∴ ＝4
∴ ，即a＝2时取等号．∴ 的最小值为4．
请利用上述结论解决以下问题：
（1）当x＞0时，求 的最小值；
（2）当m＞0时，求 的最小值．
20．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或
几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
解决问题：（1）若x2﹣4x+3可配方成（x﹣m）2+n（m、n为常数），求m，n的值；
探究问题：（2）已知x2+y2﹣2x+6y+10＝0，求x+y的值；
（3）已知s＝x2+9y2+4x﹣12y+k（x、y都是整数，k是常数），要使s的最小值为2，试求出k的值．
