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第 03 讲 二次根式的加减
【题型1 同类二次根式的相关概念】
【题型2 二次根式的加减】
【题型3 二次根式的混合运算】
【题型4 二次根式的化简求值】
【题型5 二次根式的实际应用】
【题型6 分母有理化】
考点1： 同类二次根式
1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合
并的依据式乘法分配律，如
【题型1 同类二次根式的相关概念】
【典例1】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）下列各式中，与❑√3是同类二次根式的是
（ ）
A．❑√9 B．❑√12 C．❑√15 D．❑√18
【答案】B
【分析】本题主要考查了利用二次根式的性质化简，同类二次根式的定义等知识点，熟
练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
根据同类二次根式的定义，化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式是同类二次根
式，据此逐项分析判断即可．
【详解】解：∵❑√9=3，❑√12=2❑√3，❑√15是最简二次根式，❑√18=3❑√2，
∴四个数中，只有❑√12与❑√3是同类二次根式，
故选：B．
【变式1-1】（24-25八年级上·全国·期末）与❑√5可以合并的二次根式是（ ）
A．❑√10 B．❑√15 C．❑√20 D．❑√25【答案】C
【分析】本题考查同类二次根式，先对各个选项中的二次根式化简为最简二次根式（被
开方数中不含分母且被开方数中不含有开得尽方的因数或因式），再在其中找−❑√5的
同类二次根式（化成最简二次根式后的被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根
式）．
【详解】解：A、❑√10为最简二次根式，且与−❑√5不是同类二次根式，不能合并，故本
选项不符合题意；
B、❑√15为最简二次根式，且与−❑√5不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题
意；
C、❑√20=2❑√5，与−❑√5是同类二次根式，可以合并，故本选项符合题意；
D、❑√25=5为，与−❑√5不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意；
故选：C．
【变式1-2】（24-25八年级上·四川成都·期中）若❑√3和最简二次根式❑√7−2m是同类二次
根式，则m的值为（ ）
A．m=2 B．m=3 C．m=5 D．m=6
【答案】A
【分析】本题考查的是同类二次根式的概念：把几个二次根式化为最简二次根式后，如
果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，根据同类二次根式的
概念列出方程，解方程即可．
【详解】解：由题意得，7−2m=3，
解得m=2．
故选：A．
【变式1-3】（24-25八年级上·贵州毕节·期中）若❑√18与最简二次根式❑√m−1能合并同类
项，则m的值为 ．
【答案】3
【分析】本题考查最简二次根式与同类二次根式，解题关键是理解同类二次根式的概念．
根据两个根式能够合并，化简后它们的被开方数相同解答即可．
【详解】解：∵❑√18=3❑√2，最简二次根式❑√m−1能与❑√18合并，
∴m−1=2，
解得m=3，
故答案为：3．考点2：二次根式的加减
1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式
进行合并。
2. 二次根式加减运算的步骤：
①化：将各个二次根式化成最简二次根式；
②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；
③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开
方数保持不变。
【题型2 二次根式的加减运算】
【典例2】（24-25八年级上·全国·期中）计算：
(1)2❑√3+3❑√12−❑√48
√1 1 ❑√3
(2)❑√8+3❑ − +
3 ❑√2 2
1 ❑√2
(3)❑√50− +2❑√20−❑√45+
❑√5 2
√ 3 √1
(4)❑√108+❑ +❑ −❑√32
25 2
【答案】(1)4❑√3
3❑√2 3❑√3
(2) +
2 2
11❑√2 4❑√5
(3) +
2 5
31❑√3 7❑√2
(4) −
5 2
【分析】本题主要考查二次根式的加减混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的
掌握．
（1）利用二次根式的化简的法则，二次根式的加减法的法则，对各项进行运算即可．
（2）利用二次根式的化简的法则，二次根式的加减法的法则，对各项进行运算即可．（3）利用二次根式的化简的法则，二次根式的加减法的法则，对各项进行运算即可．
（4）利用二次根式的化简的法则，二次根式的加减法的法则，对各项进行运算即可．
【详解】（1）解：2❑√3+3❑√12−❑√48
=2❑√3+6❑√3−4❑√3
=4❑√3;
√1 1 ❑√3
（2）解：❑√8+3❑ − +
3 ❑√2 2
❑√2 ❑√3
=2❑√2+❑√3− +
2 2
3❑√2 3❑√3
= + ;
2 2
1 ❑√2
（3）解：❑√50− +2❑√20−❑√45+
❑√5 2
❑√5 ❑√2
=5❑√2− +4❑√5−3❑√5+
5 2
11❑√2 4❑√5
= + ;
2 5
√ 3 √1
（4）解：❑√108+❑ +❑ −❑√32
25 2
❑√3 ❑√2
=6❑√3+ + −4❑√2
5 2
31❑√3 7❑√2
= − .
5 2
【变式2-1】（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）计算：
(1)❑√8+❑√32−❑√2
√1
(2)❑ +❑√27−❑√9
3
【答案】(1)5❑√2
10❑√3
(2) −3
3
【分析】本题考查了二次根式的加减混合运算．
（1）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可．
【详解】（1）解：原式=2❑√2+4❑√2−❑√2=5❑√2；
❑√3
（2）解：原式= +3❑√3−3
3
10❑√3
= −3．
3
【变式2-2】（24-25八年级上·四川达州·期中）计算：
√2 √1
(1)❑ −❑√216+42❑
3 6
(2)|❑√7−3)+❑√(−2) 2+√38+❑√7
4
【答案】(1) ❑√6
3
(2)7
【分析】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，
和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，
有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）先去绝对值，化简二次根式及立方根，再合并同类二次根式即可．
√2 √1
【详解】（1）解：❑ −❑√216+42❑
3 6
❑√6
= −6❑√6+7❑√6
3
4
= ❑√6
3
（2）解：|❑√7−3)+❑√(−2) 2+√38+❑√7
=3−❑√7+2+2+❑√7
=7
【变式2-3】（24-25八年级上·江西九江·期中）计算：
√ 1
(1)|❑√9−5|+❑2 +√3−0.125；
4
√1 1
(2)❑√27+5❑ −❑√12+ ❑√45；
5 2
【答案】(1)35❑√5
(2)❑√3+
2
【分析】本题考查了实数的运算及二次根式的加减运算．
（1）根据化简绝对值，算术平方根以及立方根的定义进行计算即可求解；
（1）先化简二次根式，再计算加减即可求解．
√9
【详解】（1）解：原式=|3−5)+❑ +(−0.5)
4
3 1
=2+ −
2 2
=3；
❑√5 1
（2）解：原式=3❑√3+5× −2❑√3+ ×3❑√5
5 2
3❑√5
=3❑√3+❑√5−2❑√3+
2
5❑√5
=❑√3+ ．
2
考点3：二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有
括号的先算括号里面的（或先去掉括号）
【题型3 二次根式的混合运算】
【典例3】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）计算：
(1)(2+❑√3) 2 −(3−2❑√2)(3+2❑√2)；
( √1 )
(2) 2❑√12−2❑ +❑√27 ÷2❑√3．
3
【答案】(1)6+4❑√3
19
(2)
6
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，平方差公式，完全平方公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先根据平方差公式，完全平方公式进行展开再合并同类项，即可作答．
（2）先根据二次根式的性质化简括号内，再运算除法，即可作答．
【详解】（1）解：(2+❑√3) 2 −(3−2❑√2)(3+2❑√2)
=4+4❑√3+3−(9−8)
=4+4❑√3+3−1
=6+4❑√3；
( √1 )
（2）解： 2❑√12−2❑ +❑√27 ÷2❑√3
3
( 2❑√3 )
= 4❑√3− +3❑√3 ÷2❑√3
3
19❑√3
= ÷2❑√3
3
19❑√3 1
= ×
3 2❑√3
19
= ．
6
【变式3-1】（24-25八年级上·江西宜春·阶段练习）计算：
(1)❑√18×❑√2−❑√25+❑√(−3) 2
(2)(❑√6−❑√5)(❑√6+❑√5)+(2❑√3−3❑√2) 2
【答案】(1)4
(2)31−12❑√6
【分析】本题考查了二次根式的混合计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）先计算二次根式的乘法和化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即
可；
（2）利用平方差公式及完全平方公式进行求解即可．
【详解】（1）解：❑√18×❑√2−❑√25+❑√(−3) 2
=6−5+3
=4；（2）解：(❑√6−❑√5)(❑√6+❑√5)+(2❑√3−3❑√2) 2
=6−5+12+18−12❑√6
=31−12❑√6．
【变式3-2】24-25八年级上·江西宜春·阶段练习）计算：
(1)(❑√3+❑√2) 2 −(❑√5−2)(❑√5+2)；
√2 √1
(2)❑ −4❑√216+42❑ ．
3 3
【答案】(1)4+2❑√6
71❑√6
(2)14❑√3−
3
【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质、二次根式的混合
运算法则是解题的关键．
（1）根据二次根式的混合运算法则及平方差公式、完全平方公式计算．
（2）先化简再合并同类二次根式即可．
【详解】（1）(❑√3+❑√2) 2 −(❑√5−2)(❑√5+2)
=3+2❑√6+2−(5−4)
=3+2❑√6+2−1
=4+2❑√6；
√2 √1
（2）❑ −4❑√216+42❑
3 3
❑√6 ❑√3
= −4×6❑√6+42×
3 3
❑√6
= −24❑√6+14❑√3
3
71❑√6
=14❑√3− ．
3
【变式3-3】（24-25八年级上·辽宁本溪·期中）计算．
1 √1
(1)3❑√18− ❑√32+4❑ +√3−8
2 8
(2)(❑√5−❑√6)(❑√5+❑√6)−(❑√5−1) 2
【答案】(1)8❑√2−2(2)−7+2❑√5
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）先根据二次根式性质、立方根化简，然后再合并同类二次根式即可；
（2）先运用完全平方公式、平方差公式计算，然后再计算即可．
1 √1
【详解】（1）解：3❑√18− ❑√32+4❑ +√3−8
2 8
=9❑√2−2❑√2+❑√2−2
=8❑√2−2；
（2）解：(❑√5−❑√6)(❑√5+❑√6)−(❑√5−1) 2
=5−6−5+2❑√5−1
=−7+2❑√5．
【题型4 二次根式的化简求值】
【典例4】（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）先化简，再求值：
3 1
(❑√2x+❑√y)(❑√2x−❑√y)−(❑√2x−❑√y) 2 ，其中x= ，y= ．
4 2
【答案】2❑√2xy−2y，❑√3−1
【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，根据平方差公式、完全平方公式、合并
同类项把原式化简，把x、y的值代入计算得到答案．
【详解】解：原式=(❑√2x) 2 −(❑√y) 2 −(❑√2x−❑√y) 2
=2x−y−2x+2❑√2xy−y
=2❑√2xy−2y，
3 1 √ 3 1 1
当x= ，y= 时，原式=2❑2× × −2× =❑√3−1．
4 2 4 2 2
【变式4-1】（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）已知x=❑√5+1，y=❑√5−1，求下列各
代数式的值：
(1)x2y−x y2；
(2)x2−xy+ y2
【答案】(1)8
(2)8【分析】本题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质是解题的关键．
（1）先求出xy和x−y的值，再分解因式，最后代入求出即可；
（2）先求出xy和x−y的值，再根据完全平方公式变形，最后代入求出即可．
【详解】（1）解：∵ x=❑√5+1，y=❑√5−1，
∴xy=(❑√5+1)(❑√5−1)=4，x−y=(❑√5+1)−(❑√5−1)=2，
∴x2y−x y2=xy(x−y)=4×2=8；
（2）∵x−y=(❑√5+1)−(❑√5−1)=2，xy=(❑√5+1)(❑√5−1)=4
∴x2−xy+ y2=(x−y) 2+xy=22+4=8．
【变式4-2】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）先化简，再求值：
(x+ y)(x−y)+(x+ y) 2−2y(x−y)，其中x=−1，y=❑√3．
【答案】2x2+2y2；8
【分析】本题主要考查了整式化解求值，二次根式混合运算，先根据整式混合运算法
则，结合平方差公式和完全平方公式进行化简，再代入数据进行计算即可．
【详解】解：(x+ y)(x−y)+(x+ y) 2−2y(x−y)
=x2−y2+x2+2xy+ y2−2xy+2y2
=2x2+2y2，
把x=−1，y=❑√3代入得：
原式=2×(−1) 2+2×(❑√3) 2=2×1+2×3=2+6=8．
【变式4-3】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知x=❑√3+1，y=❑√3−1，求
x2−xy+ y2的值；
【答案】6
【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的运算法法则是解题的关
键．先将x2−xy+ y2化为(x−y) 2+xy，再代入计算得到答案．
【详解】解：∵x=❑√3+1，y=❑√3−1，∴原式=(x−y) 2+xy，
=22+2，
=6
【题型5 二次根式的实际应用】
【典例5】（23-24八年级下·陕西延安·期末）如图，从一个大正方形中裁去面积分别为
12cm2和27cm2的两个小正方形，求剩余部分（阴影部分）的面积．
【答案】36cm2
【分析】此题考查了二次根式的应用，先分别求出两个小正方形的边长，得到大正方
形的边长，即可得到阴影部分的面积，熟练掌握算术平方根的意义是解题的关键．
【详解】解：由题意得，两个小正方形的边长分别为❑√12=2❑√3(cm)，
❑√27=3❑√3(cm)，
∴大正方形的边长为2❑√3+3❑√3=5❑√3(cm)，
∴剩余部分的面积是(5❑√3) 2 −12−27=36(cm2)．
【变式5-1】（23-24八年级下·安徽合肥·期中）有一块长方形木板，木工采用如图的方式
在木板上截出两个面积分别为27dm2和75dm2的正方形木板．
(1)求原长方形木板的面积；
(2)如果木工想从剩余的木块中(阴影部分)截出长为2dm，宽为1.5dm的长方形木条，
估计最多能裁出 块这样的木条？请你直接写出答案.(参考数据：
❑√2≈1.414，❑√3≈1.732)
【答案】(1)120 dm2
(2)4
【分析】本题考查的是二次根式的应用；
（1）根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，结合图形计算得到答案；（2）求出3❑√3和2❑√3的近似数，再根据题意解答．
【详解】（1）解：∵两个正方形的面积分别为27dm2和75 dm2，
∴这两个正方形的边长分别为3❑√3dm和5❑√3dm，
∴原长方形木板的面积=5❑√3(3❑√3+5❑√3)=120( dm2 )；
（2）最多能裁出3块这样的木条．理由如下：
∵3❑√3≈5.196，2❑√3≈3.464，
3.46÷1.5≈2(块)，
5.196÷2≈2(块)，
2×2=4(块)．
∴从剩余的木块(阴影部分)中截出长为2dm，宽为1.5dm的长方形木条，最多能裁出4
块这样的木条．
故答案为：4．
【变式5-2】（23-24八年级下·重庆开州·阶段练习）已知三角形三边之长能求出三角形的
面积吗？
海伦公式告诉你计算的方法是：S=❑√p(p−a)(p−b)(p−c)，其中S表示三角形的面
a+b+c
积，a,b,c分别表示三边之长，p表示周长之半，即p= ．
2
我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所有这个公式也
叫“海伦-秦九韶公式”．
请你利用公式解答下列问题．
(1)在△ABC中，已知AB=9,BC=10,CA=11，求△ABC的面积；
(2)计算（1）中△ABC的BC边上的高．
【答案】(1)△ABC的面积是30❑√2
(2)BC边的高是6❑√2
【分析】本题考查了二次根式的应用，二次根式的乘法运算，属于新定义题型，重点
是掌握题目中给出的公式，代入相应值．
（1）根据公式求得p=15，然后将AB、AC、BC和p的值代入公式即可求解；
1
（2）设△ABC的BC边上的高为h，根据三角形面积公式S= BC⋅ℎ，且已知BC的
2
长和三角形的面积，代入即可求解．9+10+11
【详解】（1）解：∵ p= =15，
2
∴ S=❑√15×(15−9)×(15−10)×(15−11)=30❑√2，
答：△ABC的面积是30❑√2；
（2）解：设△ABC的BC边上的高为h，
1
∴ S= BC⋅ℎ =30❑√2，
2
2S 60❑√2
∴ ℎ = = =6❑√2，
BC 10
答：BC边的高是6❑√2．
【变式5-3】（23-24八年级下·安徽池州·阶段练习）高空抛物是一种不文明的危险行为，
据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间t(s)和高度ℎ(m)近似满足公式t=❑
√ℎ
（不
5
考虑阻力的影响）．
(1)求物体从40m的高空落到地面的时间．
(2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）E=10×物体质量(kg)×高度(m)，某质
量为0．05kg的鸡蛋经过6s落在地上，这个鸡蛋在下落过程中所带能量有多大？你能
得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要65J的能量）
【答案】(1)2❑√2s
(2)90J；严禁高空抛物
√ℎ
【分析】（1）根据公式t=❑ ，代入计算即可．
5
（2）先根据根t=❑
√ℎ
，求得高度，再根据公式E=10×物体质量(kg)×高度(m)，计算
5
能量即可．本题考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的计算法则是解题的关键．
【详解】（1）∵t=❑
√ℎ
，h=40m,
5
√ℎ √40
∴t=❑ =❑ =2❑√2(s)．
5 5
（2）∵t=❑
√ℎ
，t=6s,
5
∴t2= ℎ
，
5∴ℎ =5t2=180(m)，
∴E=10×0.05×180=90(J)，
∴90J＞65J，
对人构成伤害，
故严禁高空抛物．
考点5：分母有理化
分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。
方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的
根号。
【题型6 分母有理化】
【典例6】（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）在进行二次根式运算时，我们有时会碰
5 √2 2
到形如 ，❑ ， 的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
❑√3 3 ❑√3+1
5 5×❑√3 5
= = ❑√3①；
❑√3 ❑√3×❑√3 3
√2 √2×3 ❑√6
❑ =❑ = ②；
3 3×3 3
2 2(❑√3−1) 2(❑√3−1)
= = =❑√3−1③；
❑√3+1 (❑√3+1)(❑√3−1) (❑√3) 2 −12
2
以上这种化简的步骤叫做分母有理化， 还可以用以下方法化简：
❑√3+1
2 3−1 (❑√3) 2 −12 (❑√3+1)(❑√3−1)
= = = =❑√3−1④；
❑√3+1 ❑√3+1 ❑√3+1 ❑√3+1
2
(1)请用不同的方法化简： ：
❑√5+❑√3
2
a：参照③式得 = ；
❑√5+❑√32
b：参照④式得 = ；
❑√5+❑√3
2 1
(2)化简 + ；
❑√10+3 3+2❑√2
1 1 1 1
(3)化简： + + +⋯+ （n为正整数）．
❑√3+1 ❑√5+❑√3 ❑√7+❑√5 ❑√2n+1+❑√2n−1
【答案】(1)a：❑√5−❑√3；b：❑√5−❑√3
(2)2❑√10−3−2❑√2
❑√2n+1−1
(3)
2
【分析】（1）参照③式，④式，进行计算即可解答；
（2）利用分母有理化先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（3）利用分母有理化先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【详解】（1）解：a：参照③式得
2 2(❑√5−❑√3) 2(❑√5−❑√3)
= = =❑√5−❑√3，
❑√5+❑√3 (❑√5+❑√3)(❑√5−❑√3) (❑√5) 2 −(❑√3) 2
故答案为：❑√5−❑√3；
2 5−3 (❑√5) 2 −(❑√3) 2 (❑√5+❑√3)(❑√5−❑√3)
b：参照④式得 = = = =❑√5−❑√3，
❑√5+❑√3 ❑√5+❑√3 ❑√5+❑√3 ❑√5+❑√3
故答案为：❑√5−❑√3；
2 1
（2）解： +
❑√10+3 3+2❑√2
2(❑√10−3) 3−2❑√2
= +
(❑√10+3)(❑√10−3) (3+2❑√2)(3−2❑√2)
=2❑√10−6+3−2❑√2
=2❑√10−3−2❑√2；
1 1 1 1
（3）解： + + +⋯+
❑√3+1 ❑√5+❑√3 ❑√7+❑√5 ❑√2n+1+❑√2n−1
❑√3−1 ❑√5−❑√3 ❑√7−❑√5 ❑√2n+1−❑√2n−1
= + + +⋯+
2 2 2 2
1
= (❑√3−1+❑√5−❑√3+❑√7−❑√5+⋯+❑√2n+1−❑√2n−1)
2❑√2n+1−1
= ．
2
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，分母有理化，准确熟练地进
行计算是解题的关键．
【变式6-1】（24-25八年级上·福建宁德·期中）我们已经知道(4+❑√5)(4−❑√5)=11，因此
3 3(4+❑√5) 12+3❑√5
= = 像这样通过分子、分母同乘一个式子，把无理
4−❑√5 (4−❑√5)(4+❑√5) 11
数的分母化成有理数的变形叫做分母有理化．请你通过分母有理化完成以下各小题
1
(1)计算： ；
❑√6−❑√5
2 3
(2)比较： 与 的大小；
❑√2026−❑√2024 ❑√2028−❑√2025
1 1 1 1
(3)化简： + + +⋅⋅⋅+ ．
❑√9+❑√10 ❑√10+❑√11 ❑√11+❑√12 ❑√24+❑√25
【答案】(1)❑√6+❑√5
2 3
<
(2)
❑√2026−❑√2024 ❑√2028−❑√2025
(3)2
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键．
（1）分子、分母同时乘以(❑√6+❑√5)，进行分母有理化即可求解；
2
（2）根据材料提示，将 的分子、分母同时乘以(❑√2026+❑√2024)分
❑√2026−❑√2024
3
母有理化得(❑√2026+❑√2024)，将 的分子、分母同时乘以
❑√2028−❑√2025
(❑√2028+❑√2025)分母有理化得(❑√2028+❑√2025)，再将两数作差进行比较即可；
（3）根据材料提示，分别进行分母有理化，再根据二次根式的加减运算法则即可求解．
1
【详解】（1）解：
❑√6−❑√5(❑√6+❑√5)
=
(❑√6−❑√5)(❑√6+❑√5)
(❑√6+❑√5)
=
(❑√6) 2 −(❑√5) 2
(❑√6+❑√5)
=
6−5
=❑√6+❑√5；
2 3
（2）解： −
❑√2026−❑√2024 ❑√2028−❑√2025
2(❑√2026+❑√2024) 3(❑√2028+❑√2025)
= −
(❑√2026−❑√2024)(❑√2026+❑√2024) (❑√2028−❑√2025)(❑√2028+❑√2025)
2(❑√2026+❑√2024) 3(❑√2028+❑√2025)
= −
2 3
=(❑√2026+❑√2024)−(❑√2028+❑√2025)<0
2 3
∴ < ；
❑√2026−❑√2024 ❑√2028−❑√2025
1 1 1 1
（3）解： + + +⋅⋅⋅+
❑√9+❑√10 ❑√10+❑√11 ❑√11+❑√12 ❑√24+❑√25
(❑√9−❑√10) (❑√10−❑√11) (❑√11−❑√12)
= + +
(❑√9+❑√10)(❑√9−❑√10) (❑√10+❑√11)(❑√10−❑√11) (❑√11+❑√12)(❑√11−❑√12)
(❑√24−❑√25)
+⋅⋅⋅+
(❑√24+❑√25)(❑√24−❑√25)
=−(❑√9−❑√10)−(❑√10−❑√11)−(❑√11−❑√12)−⋅⋅⋅−(❑√24−❑√25)
=−(❑√9−❑√10+❑√10−❑√11+❑√11−❑√12+⋅⋅⋅+❑√24−❑√25)
=−(❑√9−❑√25)
=2．
1 1
【变式6-2】（24-25八年级上·全国·期末）已知x= ，y= ，
❑√3−❑√2 ❑√3+❑√2(1)求xy及x+ y的值；
(2)求x2−3xy+ y2的值．
【答案】(1)xy=1，x+ y=2❑√3
(2)7
【分析】本题考查了分母有理化、二次根式的化简求值的知识，掌握分母有理化、二
次根式的运算法则是关键．
（1）先求出x= ❑√3+❑√2, y =❑√3−❑√2,再代入求值即可；
（2）先计算x2−3xy+ y2=(x+ y) 2−5xy，再代入求值即可．
1 ❑√3+❑√2
【详解】（1）解：x= = =❑√3+❑√2,
❑√3−❑√2 (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2)
1 ❑√3−❑√2
y= = =❑√3−❑√2,
❑√2+❑√3 (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2)
∴xy=(❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2)=3−2=1，
x+ y=❑√3−❑√2+❑√3+❑√2=2❑√3；
（2）解：x2−3xy+ y2=(x+ y) 2−5xy，
将x= ❑√3+❑√2, y =❑√3−❑√2,代入得：
(2❑√3) 2 −5×1=12−5=7
【变式6-3】（24-25八年级上·山西运城·期中）阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务．
我们知道平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2，当a≥0,b≥0时，有
(❑√a+❑√b)(❑√a−❑√b)=a−b．
在二次根式的计算或化简中灵活地应用平方差公式可使运算过程更简便．例如
1 ❑√5−2 ❑√5−2
= = =❑√5−2．
❑√5+2 (❑√5+2)×(❑√5−2) (❑√5) 2 −22
任务：
1
(1)化简： = ________．
❑√2−1
1 1
(2)计算： + ．
❑√3−2 2+❑√31 1 1
(3)计算： + +...+ ．
❑√2+❑√4 ❑√4+❑√6 ❑√48+❑√50
【答案】(1)❑√2+1
(2)−2❑√3
(3)2❑√2
【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的混合运算，掌握运算方法与运算顺序
是解本题的关键；
（1）把分子分母都乘以❑√2+1即可得到答案；
（2）把每一项都分母有理化，再计算二次根式的加减运算即可；
（3）把每一项都分母有理化，再结合分配律计算二次根式的加减运算即可；
1 ❑√2+1
【详解】（1）解： = =❑√2+1；
❑√2−1 (❑√2−1)(❑√2+1)
1 1
（2）解： +
❑√3−2 2+❑√3
(❑√3+2) (2−❑√3)
= +
(❑√3−2)(❑√3+2) (2+❑√3)(2−❑√3)
=−❑√3−2+2−❑√3
=−2❑√3；
1 1 1
（3）解： + +...+
❑√2+❑√4 ❑√4+❑√6 ❑√48+❑√50
❑√4−❑√2 ❑√6−❑√4 ❑√50−❑√48
= + +...+
(❑√2+❑√4)(❑√4−❑√2) (❑√4+❑√6)(❑√6−❑√4) (❑√48+❑√50)(❑√50−❑√48)
1 1 1
= ×(❑√4−❑√2)+ ×(❑√6−❑√4)+⋅⋅⋅+ ×(❑√50−❑√48)
2 2 2
1
= ×(❑√4−❑√2+❑√6−❑√4++⋅⋅⋅+❑√50−❑√48)
2
1
= ×(❑√50−❑√2)
2
1
= ×(5❑√2−❑√2)
2
1
= ×4❑√2
2
=2❑√2；一、单选题
1．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）下列根式中能与❑√3合并的二次根式是（ ）
A．❑√8 B．❑√9 C．❑√12 D．❑√18
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次根式的化简以及同类二次根式的知识，熟练掌握二次根式
化简的基本方法，灵活运用同类二次根式的定义判断解题是求解的关键．
先把每个二次根式进行化简，化成最简二次根式，后比较被开方数即可．
【详解】解：A. ❑√8=2❑√2，与❑√3不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；
B. ❑√9=3，与❑√3不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；
C. ❑√12=2❑√3，与❑√3是同类二次根式，能合并，符合题意；
D. ❑√18=3❑√2，与❑√3不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；
故选：C．
2．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）下列计算正确的是（ ）
A．❑√20=2❑√10 B．❑√2+❑√3=❑√5
C．❑√2×❑√3=❑√6 D．❑√12÷❑√2=2❑√3
【答案】C
【分析】根据二次根式加法，乘除运算法计算，以及二次根式的性质化简等知识，根据
各自的运算法则计算即可得出答案．
本题考查了二次根式加减乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：∵❑√20=2❑√5，
∴A选项错误；
∵❑√2、❑√3不是同类二次根式，无法计算，
∴B选项错误；
∵❑√2×❑√3=❑√6
∴C选项正确；
∵❑√12÷❑√2=❑√6，
∴D选项错误；
故选C．3.（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，在一个长方形中无重叠的放入面积为
32cm2和2cm2的两个正方形，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6cm2 B．8cm2 C．6❑√2cm2 D．12cm2
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的混合运算的应用，先求出阴影部分的长和宽，再根据长
方形的面积公式计算即可得解．
【详解】解：由图可得，阴影部分的长为❑√32−❑√2=4❑√2−❑√2=3❑√2cm，
阴影部分的宽为：❑√2cm，
∴图中阴影部分的面积为3❑√2×❑√2=6cm2，
故选：A．
二、填空题
4．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）化简：❑√27−❑√12= ．
【答案】❑√3
【分析】本题考查二次根式的运算，先化简，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：原式=3❑√3−2❑√3=❑√3；
故答案为：❑√3
5．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）比较大小：2❑√3 ❑√11（填“>”、“=
”、“<”）．
【答案】>
【分析】本题考查了比较二次根式的大小，掌握二次根式的性质是解题的关键．
先把2❑√3化成❑√12，再进行比较即可．
【详解】解：∵2❑√3=❑√12，
∴❑√12>❑√11，
∴2❑√3>❑√11，
故答案为： >．
6．（24-25八年级上·四川甘孜·期中）❑√2与最简二次根式4❑√a−2是同类二次根式，则a=
．
【答案】4【分析】本题主要考查了最简二次根式，同类二次根式，化简二次根式，根据同类二
次根式的定义可得出a−2=2，求解即可．
【详解】解：∵❑√2与最简二次根式4❑√a−2是同类二次根式，
∴a−2=2，
解得：a=4，
故答案为：4．
7．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）若最简二次根式❑ 2a−4❑√3a+b与❑√a−b是同类
根式，则2a−b= ．
【答案】9
【分析】本题考查了同类二次根式，以及最简二次根式，熟练掌握以上知识点是解题
的关键．根据同类二次根式的概念进行解答即可．
【详解】解：由题意可知，2a−4=2，3a+b=a−b，
解得a=3，b=−3，
∴2a−b=2×3−(−3)=9；
故答案为：9．
三、解答题
x2−4 (x2+4x 4)
8．（24-25八年级上·上海·期中）计算：先化简，再求值： ÷ + ，其中
x2−2x x x
x=❑√2−1．
1
【答案】 ，❑√2−1
x+2
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，熟知相关计算法则是解题的
关键．先计算小括号内的分式加法，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即
可得到答案．
(x+2)(x−2) x2+4x+4
【详解】解：原式= ÷
x(x−2) x
x+2 x
= ×
x (x+2) 2
1
= ，
x+2
当x=❑√2−1时，1
原式= =❑√2−1．
❑√2+1
9．（24-25八年级上·福建三明·期中）计算：
(1)√3 (−8)+❑√4−❑√(−3) 2+|1−❑√2)
(2)(❑√5−1) 2 −(5+2❑√5)÷❑√5．
【答案】(1)−4+❑√2
(2)4−3❑√5
【分析】本题考查二次根式的运算，
（1）根据立方根，二次根式的性质，绝对值将原式化简，再进行合并即可；
（2）利用完全平方公式和二次根式的性质及除法将原式化简，再进行合并即可；
掌握相应的运算法则、性质和公式是解题的关键．
【详解】（1）解：√3 (−8)+❑√4−❑√(−3) 2+|1−❑√2)
=−2+2−3+❑√2−1
=−4+❑√2；
（2）(❑√5−1) 2 −(5+2❑√5)÷❑√5
=5−2❑√5+1−[(❑√5) 2+2❑√5)÷❑√5
=5−2❑√5+1−(❑√5+2)
=5−2❑√5+1−❑√5−2
=4−3❑√5．
10.（24-25九年级上·四川宜宾·期中）如图是学校的一块正方形绿地，其边长为(❑√50+2)
m，现要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的矩形花坛，每个花坛的长为
(❑√6+1)m，宽为(❑√6−1)m，并将花坛以外的地方全部修建成通道，且通道上要铺上
造价为每平方米8元的地砖．若要铺完整个通道，则购买地砖大约需要多少元？（参
考数据：❑√2≈1.41）【答案】497.6元
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算的实际应用，根据题意求出通道的面积是
解题的关键．先用正方形面积减去4个矩形的面积，计算出通道的面积，再根据“通
道上要铺上造价为8元/平方米的地砖”即可求出购买地砖需要的花费．
【详解】解：通道的面积为(❑√50+2) 2 −4(❑√6+1)(❑√6−1)
=50+4❑√50+4−4×(6−1)
=50+20❑√2+4−4×5
=34+20❑√2
≈34+20×1.41
=62.2（平方米），
∴购买地砖需要花费62.2×8=497.6元．
