文档内容
专题19.6 二次根式（压轴题型训练）
【解析版】
题型一 求二次根式的值
题型十一 同类二次根式
题型二 求二次根式中的参数
题型十二 二次根式的加减运算
题型三 二次根式有意义的条件
题型十三 二次根式的混合运算
题型四 利用二次根式的性质化筍
题型十四 分母有理化
题型五 二次根式的乘法
题型十五 已知字母的值，化简求值
二次根式
题型六 二次根式的除法
题型十六 已知条件式，化简求值
题型七 二次根式的乘除混合运算
题型十七 比较二次根式的大小
题型八 最简二次根式的判断
题型十八 二次根式的应用
题型九 化为最简二次根式
题型十九 复合二次根式的化简
题型十 已知最简二次根式求参数
题型一 求二次根式的值
1．已知x，y均为实数，y=❑√x−2+❑√4−2x+3，则xy的值为 ．
【答案】8
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x的值，进而得出y的值，进而得出答案．
【详解】解：∵y=❑√x−2+❑√4−2x+3，
∴¿，
∴x=2，
∴y=3，
∴xy=23=8，故答案为：8
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
2．计算：
（1）
(1) −1
+(π−2019) 0+(−3) −2−❑√4
2
（2）(−a−3b−2) −2 ⋅(ab3) −3 （结果用正整数指数幂表示）
10 a3
【答案】（1） ；（2）
9 b5
【分析】（1）根据负整数指数幂、零指数幂、二次根式的性质计算，即可得到答案；
（2）根据积的乘方、同底数幂乘法的性质计算，即可得到答案．
【详解】（1）
(1) −1
+(π−2019) 0+(−3) −2−❑√4
2
1
=2+1+ −2
9
10
= ；
9
（2）(−a−3b−2) −2 ⋅(ab3) −3
=a6b4 ⋅a−3b−9
=a3b−5
a3
= ．
b5
【点睛】本题考查了负整数指数幂、零指数幂、二次根式、积的乘方、同底数幂乘法的知识；解题的关键
是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、积的乘方、同底数幂乘法的性质，从而完成求解．
题型二 求二次根式中的参数
3．若❑√60n是整数，则正整数n的最小值是（ ）
A．15 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【分析】先根据二次根式性质将❑√60n化简成2❑√15n，再根据2❑√15n是整数，需要让15n能开方为整数，
即可求出n的最小值．【详解】解：❑√60n=❑√4×15n=2❑√15n，
∵❑√60n是整数，
∴❑√15n是整数，
∴正整数n的最小值是15，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，正确分解因式是解答本题的关键．
4．已知❑√12n是正整数，则满足条件的最小整数n为 ．
【答案】3
【分析】先变形得到❑√12n=❑√4×3n，根据题意n必须是3的完全平方数倍，所以最小正整数n为3．
【详解】解：∵❑√12n=❑√4×3n，而❑√12n是整数，
∴最小正整数n为3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，一般利用❑√a2=|a)化简二次根式．
题型三 二次根式有意义的条件
5．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知❑√m−10+3❑√10−m=n−6，求m，n的值及m2−n2的平方
根．
【答案】m=10，n=6，m2−n2的平方根是±8．
【分析】首先根据二次根式有意义的条件确定m的值，再代入求出n的值，最后计算m2−n2的平方根．
【详解】解：根据二次根式的被开方数非负，可得：
{m−10≥0)
10−m≥0
解得：m=10．
将m=10代入原式，得：
❑√10−10+3❑√10−10=n−6
0+0=n−6
解得：n=6．
m2−n2=102−62=100−36=64．
∵64的平方根是±8，
∴m2−n2的平方根是±8．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件、平方根的计算，解题关键是利用二次根式被开方数非负的性
质确定m的值，进而求出其他量．√ 1
6．（25-26八年级下·全国·课后作业）若式子❑− 有意义，则点(x,❑√−x)的坐标在（ ）
x
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件与平面直角坐标系中象限的符号特征，掌握二次根式有意义的
条件及各象限内点的坐标符号特征是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件，确定x的取值范围，再判断点的坐标符号，从而确定所在象限．
√ 1
【详解】解：∵式子❑− 有意义，
x
1 1
∴− ≥0，即 ≤0，
x x
∴x<0，
∴点(x,❑√−x)中，x<0，且−x>0，故❑√−x>0，
∴点的横坐标为负，纵坐标为正，
∴点在第二象限．
故选：B．
题型四 利用二次根式的性质化筍
7．（25-26八年级下·全国·周测）阅读下列解题过程：
√ 3 √1 √ (1) 2 1
❑1− =❑ =❑ = ；
4 4 2 2
√ 5 √4 √ (2) 2 2
❑1− =❑ =❑ = ；
9 9 3 3
√ 7 √ 9 √ (3) 2 3
❑1− =❑ =❑ = ；
16 16 4 4
…
√ 9 √ 15
(1)❑1− =__________，❑1− =__________．
25 64
√ 3 √ 5 √ 7 √ 99
(2)利用这一规律计算：❑1− ×❑1− ×❑1− ×⋅⋅⋅×❑1− ．
4 9 16 2500
√ 2n+1
(3)观察上面的解题过程，计算：❑1− （n为正整数）．
(n+1) 24 7
【答案】(1)
5 8
1
(2)
50
n
(3)
n+1
【分析】（1）通过观察已知例子，总结被开方数的规律，再利用二次根式的性质化简；
（2）先根据规律将每个根式转化为分数形式，再通过约分计算乘积；
（3）先对被开方数通分，再结合完全平方公式和二次根式性质化简．
√ 9
【详解】（1）解：对于❑1− ：
25
9 16 (4) 2
∵1− = = ，
25 25 5
√ 9 4
∴❑1− = ．
25 5
√ 15
对于❑1− ：
64
15 49 (7) 2
∵1− = = ，
64 64 8
√ 15 7
∴❑1− = ．
64 8
√ 3 √ 5 √ 7 √ 99
（2）解：❑1− ×❑1− ×❑1− ×⋅⋅⋅×❑1−
4 9 16 2500
1 2 3 49
= × × ×⋅⋅⋅×
2 3 4 50
1
= ．
50
（3）解：对被开方数通分并化简：
√ 2n+1
❑1−
(n+1) 2
√(n+1) 2−(2n+1)
=❑
(n+1) 2√n2+2n+1−2n−1
=❑
(n+1) 2
√ n2
=❑
(n+1) 2
|n)
=
|n+1)
∵n为正整数
|n) n √ 2n+1 n
∴ = ，即❑1− = ．
|n+1) n+1 (n+1) 2 n+1
【点睛】本题考查了二次根式的化简与规律探究，解题关键是通过观察例子总结出根式的化简规律，再利
用分式约分、完全平方公式等知识进行计算．
8．（25-26八年级下·全国·周测）已知三角形的三条边的长分别为5，m，13，化简
❑√(8−m) 2−❑√(m−18) 2的结果是 ．
【答案】2m−26
【分析】先根据三角形三边关系确定m的取值范围，再利用二次根式的性质将根号转化为绝对值，结合m
的范围化简绝对值，最后计算式子结果．
根据三角形三边关系确定m的取值范围，再利用绝对值的性质化简表达式．
【详解】解：由三角形三边关系，得80，
a
∴a<0，√ 1
∴❑√−a3 ⋅a❑−
a
=a❑ √ −a3 ⋅ ( − 1)
a
=a❑√a2
=a·|a)
∵a<0，
∴|a)=−a，
√ 1
∴❑√−a3 ⋅a❑− =−a2．
a
题型六 二次根式的除法
❑√b2
11．（2026八年级下·全国·专题练习）若❑√a−2与❑√b+4互为相反数，则 的值为 ．
❑√a
【答案】2❑√2
【分析】本题考查了二次根式的非负性，掌握几个非负数的和为0，则每个非负数都为0是解题的关键．
先根据互为相反数的两个数和为0列出等式，再结合二次根式的非负性，得到关于a、b的方程，求解出
a、b的值，最后代入式子计算结果．
【详解】解：∵❑√a−2与❑√b+4互为相反数，
∴❑√a−2+❑√b+4=0
∵二次根式具有非负性（❑√a−2≥0，❑√b+4≥0），
∴只有当❑√a−2=0且❑√b+4=0时，和为0，
解得：a=2，b=−4
❑√b2
将a=2、b=−4代入 ：
❑√a
❑√(−4) 2 ❑√16
= =❑√8=2❑√2．
❑√2 ❑√2
故答案为：2❑√2．
12．（25-26八年级下·全国·课后作业）有下列各式：①√a √b ；②√a ❑√a；③
❑ ⋅❑ =1 ❑ =
b a b ❑√b√a
❑√ab÷❑ =−b．如果ab>0，a+b<0，那么等式成立的是（ ）
b
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质化简，掌握二次根式乘除法的运算法则是解题的
关键．
由 ab>0 和a+b<0可知 a和b均为负数，根据二次根式的乘除法法则、二次根式的性质逐一化简即可判
断等式是否成立．
【详解】解：∵ ab>0 ，a+b<0，
∴a<0，b<0．
√a √b √a b
对于①：❑ ⋅❑ =❑ · =❑√1=1，成立，符合题意；
b a b a
√a a
对于②：❑ 中 >0，但❑√a和❑√b在实数范围内无定义，故不成立，不符合题意；
b b
√a √ a √ b
对于③：❑√ab÷❑ =❑ab÷ =❑ab× =❑√b2=|b)，
b b a
∵b<0，
∴|b)=−b，成立，符合题意；
∴等式成立的是①③．
故选：B．
题型七 二次根式的乘除混合运算
1
13．（25-26八年级下·全国·课后作业）化简：(2❑√3+4)÷(❑√3+1)×
．
2(❑√3+1)
1
【答案】
2
【分析】本题考查了二次根式的乘除运算与分母有理化，解题关键是通过完全平方公式、分母有理化简化
式子，逐步计算得出结果．
先将除法转化为乘法，再通过分母有理化化简式子，逐步计算得出结果．
1 1
【详解】解：原式 =(2❑√3+4)× ×
❑√3+1 2(❑√3+1)
1
=(2❑√3+4)×
2(❑√3+1) 2
1
=(2❑√3+4)×
2(2❑√3+4)1
= ．
2
14．（24-25八年级下·北京海淀·期中）小君想到了一种证明等式❑√x⋅❑√y=❑√x⋅y(x≥0,y≥0)成立
的方法．
证明过程如下：
设❑√x=m，❑√y=n(m≥0,n≥0)，则x=m2，y=n2．
等号左边=mn，等号右边=❑√m2 ⋅n2=❑√(mn) 2；
∵m≥0，n≥0，
∴mn≥0，
∴等号右边=mn，
∴等号左边=等号右边，
∴等式❑√x:❑√y=❑√x⋅y(x≥0,y≥0)成立．
(1)小艳利用同样的方法求出方程❑√25−x2+❑√17−x2=4的解．她的想法是：将一个无理方程转化为一个
整式方程（组），再利用乘法公式和二元一次方程组的解法求出方程的解．请你帮助小艳完成她的求解过
程．
解：设❑√25−x2=m，❑√17−x2=n(m≥0,n≥0)，则25−x2=________，17−x2=________．将原无理方
程转化为用m、n表示的整式方程（组），并完成原无理方程的求解过程如下：
(2)请直接写出方程❑√x+6−❑√3x+2=❑√3x+7−❑√x+1的解为________．
【答案】(1)9；1；x=±4．
(2)x=−0.5
【分析】本题主要考查了无理方程、二次根式的性质与化简、二次根式的乘除法、二元一次方程组的解等
知识点，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
（1）依据题意，由❑√25−x2=m、❑√17−x2=n(m≥0,n≥0)，则m+n=4，m2−n2=8，又
m2−n2=(m+n)(m−n)=8，则m−n=2可求出m，n，进而完成解答；
（2）解法一：依据题意，由❑√x+6−❑√3x+2=❑√3x+7−❑√x+1，从而
x+6+3x+2−2❑√(x+6)(3x+2)=3x+7+x+1−2❑√(3x+7)(x+1)，则❑√(x+6)(3x+2)=❑√(3x+7)(x+1)，故3x2+20x+12=3x2+10x+7，然后整理后求解即可．
解法二：设a=❑√x+5,b=❑√x+1,c=❑√3x+7,d=❑√3x+2，由题意得，a+b=c+d，计算可得
a2−b2=c2−d2，进而可得a=c，据此求解即可．
【详解】（1）解：设❑√25−x2=m，❑√17−x2=n(m≥0,n≥0)，m2=25−x2，n2=17−x2
∴m2−n2=8，
∵❑√25−x2+❑√17−x2=4，
∴m+n=4，
∵m2−n2=(m+n)(m−n)=8，
∴m−n=2．
{m+n=4) {m=3)
联立 ，解得：
m−n=2 n=1
∴25−x2=9，17−x2=1．
∴x=±4．
故答案为：9；1．
（2）解法一：∵❑√x+6−❑√3x+2=❑√3x+7−❑√x+1，
∴x+6+3x+2−2❑√(x+6)(3x+2)=3x+7+x+1−2❑√(3x+7)(x+1)，
∴❑√(x+6)(3x+2)=❑√(3x+7)(x+1)，
∴3x2+20x+12=3x2+10x+7．
∴10x=−5，解得：x=−0.5．
经检验：x=−0.5是原方程的解．
解法二：设a=❑√x+5,b=❑√x+1,c=❑√3x+7,d=❑√3x+2，
∵❑√x+6−❑√3x+2=❑√3x+7−❑√x+1，
∴a+b=c+d，
∵a2−b2=x+6−(x+1)=5，c2−d2=3x+7−(3x+2)=5，
∴a2−b2=c2−d2，即(a+b)(a−b)=(c+d)(c−d)，
∴a−b=c−d，
∴(a+b)+(a−b)=(c+d)+(c−d)，∴2a=2c，即a=c，
∴❑√x+5=❑√3x+7，
解得：x=−0.5．
经检验：x=−0.5是原方程的解．
故答案为：x=−0.5．
题型八 最简二次根式的判断
15．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
1 √1
A． B．❑ C．❑√0.3 D．❑√30
❑√3 3
【答案】D
【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式必须满足①被开方数的因数不含能开得
尽方的数；②被开方数不含分母．
根据二次根式必须满足的条件逐项判断即可．
1 ❑√3
【详解】解：A． 分母含根号，需有理化为 ，不符合最简二次根式条件；
❑√3 3
√1 ❑√3
B．❑ ，被开方数为分数，需化为 ，不符合最简二次根式条件；
3 3
√ 3 ❑√30
C．❑√0.3=❑ 被开方数含分母10，需化为 ，不符合最简二次根式条件；
10 10
D．❑√30，被开方数30分解质因数为2×3×5，无平方数因子且不含分母，符合最简二次根式条件．
故选D．
16．（23-24八年级下·山东济宁·月考）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
√1 √12
A．❑ B．❑ C．❑√8 D．❑√13
2 7
【答案】D
【分析】本题考查了最简二次根式的识别，熟练掌握二次根式的化简以及最简二次根式的概念是解题的关
键.化简后根据最简二次根式的概念逐一进行判断即可.
√1 ❑√2
【详解】A. ❑ = ，故选项不符合题意；
2 2
√12 2❑√21
B. ❑ = ，故选项不符合题意；
7 7
C. ❑√8=2❑√2，故选项不符合题意；
D. ❑√13是最简二次根式，符合题意，
故选D.题型九 化为最简二次根式
17．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在矩形ABCD中无重叠地放入面积分别为16cm2和12cm2的
两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）
A．(8−4❑√3)cm2 B．(4−2❑√3)cm2
C．(16−8❑√3)cm2 D．(8❑√3−12)cm2
【答案】D
【分析】本题考查了算术平方根的应用，化简二次根式．根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而
求出AB，BC的长，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解．
【详解】解：∵两张正方形纸片的面积分别为16cm2和12cm2
∴它们的边长分别为❑√16=4cm,❑√12=2❑√3cm
∴AB=4cm,BC=(2❑√3+4)cm，
∴空白部分的面积=4(2❑√3+4)−12−16
=(8❑√3−12)cm2．
故选：D．
√ 1 √ 92 √1 √22
18．（25-26八年级下·全国·周测）请观察式子：9❑ =❑ =❑√3，−2❑ = −❑ =−❑√2．
27 27 2 2
仿照上面的方法解决下列问题：
√2 √3 √ 1
(1)化简：①5❑ ；②−7❑ ；③a❑− ．
5 7 a
√ 1
(2)把(a−1)❑ 中根号外的因式移到根号内，求化简后的结果．
1−a
【答案】(1)①❑√10 ②−❑√21 ③−❑√−a
(2)−❑√1−a
【分析】（1）仿照例子，将根号外的数平方后移入根号内，再结合二次根式的性质化简；
（2）先根据二次根式有意义的条件确定a的范围，再将根号外的因式变形后移入根号内化简．√2 √52×2
【详解】（1）解：①5❑ =❑ =❑√10．
5 5
√3 √72×3
②−7❑ =−❑ =−❑√21．
7 7
③a❑ √ − 1 =−❑ √ (−a) 2× ( − 1) =−❑ √ a2× ( − 1) =−❑√−a．
a a a
√ 1
（2）解：把(a−1)❑ 中根号外的因式移到根号内：
1−a
√ 1
由❑ 有意义，得1−a>0，即a−1<0．
1−a
将a−1变形为−(1−a)，再平方移入根号内：
√ 1
原式=−(1−a)❑
1−a
√ 1
=−❑(1−a) 2×
1−a
=−❑√1−a．
【点睛】本题考查了二次根式的化简（根号外因式移入根号内），解题关键是先根据二次根式有意义的条
件确定字母的取值范围，再将根号外的因式平方后（注意符号）移入根号内化简．
题型十 已知最简二次根式求参数
19．若最简二次根式3a−√b 4a+3b和❑√2a−b+6能合并，则a、b的值分别是（ ）
A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1
【答案】D
【分析】由二次根式的定义可知3a−b=2，由最简二次根式3a−√b 4a+3b和❑√2a−b+6能合并，可得
4a+3b=2a−b+6，由此即可求解．
【详解】解：∵最简二次根式3a−√b 4a+3b和❑√2a−b+6能合并，
{ 3a−b=2 )
∴ ，
4a+3b=2a−b+6
{3a−b=2)
∴ ，
a+2b=3
{a=1)
解得 ，
b=1
故选D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的定义和最简二次根式的定义，熟知定义是解题的关键．20．（22-23八年级下·安徽·月考）已知A=2❑√2x+1，B=3❑√x+3，C=❑√10x+3 y，其中A，B为最
简二次根式，且A+B=C，则2y−x的值为 ．
【答案】68
【分析】根据题意得出2x+1=x+3，求出x=2，进而得出10x+3 y=(5❑√5) 2=125，求出y=35，再代入
求值即可．
【详解】∵A，B为最简二次根式，且A+B=C，
∴2x+1=x+3，
解得x=2，
∴A=2❑√5，B=3❑√5，A+B=5❑√5=C，
∴10x+3 y=(5❑√5) 2=125，
解得y=35，
∴2y−x=2×35−2=68．
故答案为：68．
【点睛】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义得出x=2是解题的关键．
题型十一 同类二次根式
21．（25-26八年级下·全国·课后作业）规定：若a+b=2，则称a与b是关于1的“平衡数”．
(1)若3与x是关于1的“平衡数”，5−❑√2与y也是关于1的“平衡数”，求x，y的值．
(2)若m+2n−2❑√3−❑√3m=0，m，n至少有一个是有理数，判断m+❑√3与5n−❑√3是否是关于1的“平
衡数”，并说明理由．
【答案】(1)x=−1，y=−3+❑√2
(2)不是，理由见解析
【分析】（1）根据所给的例子，可得出平衡数的求法，由此可得出答案；
（2）分两种情况，①当m和n均为有理数时，然后对所给的m+2n−2❑√3−❑√3m=0进行处理，求出m，
n，进行验证即可；②当m和n中一个是有理数，另一个是无理数时，有m+❑√3+5n−❑√3=m+5n，而此
时m+5n为无理数，与“平衡数”的概念矛盾，由此可得到结论．
【详解】（1）解：根据题意，知3+x=2，5−❑√2+ y=2，
∴x=−1，y=−3+❑√2．
（2）解：m+❑√3和5n−❑√3不是关于1的“平衡数”．
理由如下：①当m和n均为有理数时，
∵m+2n−2❑√3−❑√3m=0，即m+2n−(2+m)❑√3=0∴m+2n=0，−(2+m)=0，
解得m=−2，n=1．
当m=−2，n=1时，m+❑√3+5n−❑√3=−2+❑√3+5−❑√3=3≠2，
∴m+❑√3与5n−❑√3不是关于1的“平衡数”．
②假设m+❑√3与5n−❑√3是关于1的“平衡数”，则有m+5n=2，即m=2−5n，
将m=2−5n代入m+2n−(m+2)❑√3=0中，得：(2−3n)−(4−5n)❑√3=0，
再根据“m，n至少有一个是有理数”的条件分类讨论： ①若n为有理数，则m=2−5n也为有理数，
2 4
此时必有2−3n=0且4−5n=0，分别解得n= 和n= ，产生矛盾，
3 5
②若n为无理数，则m必为有理数，
但从m=2−5n来看，一个有理数等于一个无理数，产生矛盾．
综上，假设不成立．
故m+❑√3与5n−❑√3不是关于1的“平衡数”．
【点睛】本题考查了二次根式的加减法，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．
22．（24-25八年级下·重庆·期中）若a和b都是正整数且a0)，由等式❑ = 成立，可得：
❑√b b x−3 ❑√x−3
{5−x≥0)
，解得：30
化简|x−6) +❑√(x−2) 2：①|x−6)：
∵x≤5，
∴x−6<0，故|x−6)=6−x．
②❑√(x−2) 2
∵x>3，
∴❑√(x−2) 2=x−2．
∴|x−6) +❑√(x−2) 2=(6−x)+(x−2)=4．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的除法法则、绝对值与二次根式的性质，解题关键是先根据二次根式有意义
的条件确定x的取值范围，再结合性质化简式子．
1
32．在数学课外学习活动中，嘉琪遇到一道题：已知a= ，求2a2﹣8a+1的值．他是这样解答的：
2+❑√3
1 2−❑√3
∵a= = =2−❑√3，
2+❑√3 (2+❑√3)(2−❑√3)
∴a−2=−❑√3．
∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．
∴a2﹣4a＝﹣1．
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据嘉琪的解题过程，解决如下问题：
1 2
（1）试化简 和 ；
❑√3+❑√2 ❑√5+❑√3
1 1 1 1
（2）化简 + + +⋯+ ；
❑√2+1 ❑√3+❑√2 ❑√4+❑√3 ❑√2022+❑√2021
1
（3）若a= ，求4a2﹣8a+1的值．
❑√2−1
【答案】（1）❑√3−❑√2，❑√5−❑√3；（2）❑√2022−1；（3）5
【分析】（1）利用分母有理化计算；
（2）先分母有理化，然后合并即可；
（3）先将a的值化简为a=❑√2+1，进而可得到a−1=❑√2，两边平方得到a2−2a=1，然后利用整体代入
的方法计算．1
【详解】解：（1）
❑√3+❑√2
❑√3−❑√2
=
(❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2)
=❑√3−❑√2
2
❑√5+❑√3
2(❑√5−❑√3)
=
(❑√5+❑√3)(❑√5−❑√3)
=❑√5−❑√3
故答案为：❑√3−❑√2，❑√5−❑√3；
（2）原式=❑√2−1+❑√3−❑√2+❑√4−❑√3+…+❑√2022−❑√2021
=−1+❑√2−❑√2+❑√3−❑√3+❑√4−…−❑√2021+❑√2022
=❑√2022−1；
1
（3）∵a= =❑√2+1，
❑√2−1
∴a−1=❑√2，
∴(a−1) 2=2，
即a2−2a+1=2．
∴a2−2a=1．
∴4a2−8a+1=4(a2−2a)+1
=4×1+1
=5．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运
算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
题型十七 比较二次根式的大小
33．（24-25八年级下·云南红河·期末）在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的
效果．例如，比较a=5❑√6和b=6❑√5的大小，我们可以把a和b分别平方．
∵a2=150、b2=180，
∴a20、b>0，∴a，<或者=）
(2)猜想m=2❑√5+❑√13，n=2❑√7+❑√5之间的大小关系，并证明．
【答案】(1)<
(2)m>n，证明见解析
【分析】本题考查二次根式比较大小，准确计算是解题的关键．
利用平方法将根式比较转化为整数比较，注意平方后的大小关系与原值大小关系一致的前提是原值为正数．
【详解】（1）∵ c=2❑√3，d=3❑√2，
∴c2=(2❑√3) 2=12，d2=(3❑√2) 2=18，
∵12<18，
∴cn，理由如下：
∵ m=2❑√5+❑√13，n=2❑√7+❑√5，
∴m2=(2❑√5+❑√13) 2=4×5+2×2❑√5×❑√13+13=20+4❑√65+13=33+4❑√65，
n2=(2❑√7+❑√5) 2=4×7+2×2❑√7×❑√5+5=28+4❑√35+5=33+4❑√35，
∵❑√65>❑√35，
∴4❑√65>4❑√35，
∴33+4❑√65>33+4❑√35，即m2>n2，
∵m>0，n>0，
∴m>n．
34．（23-24八年级下·河南漯河·月考）观察下列一组等式，解答后面的问题：
2 2×(❑√3−1)
= =❑√3−1，
❑√3+1 (❑√3+1)(❑√3−1)
2 2(❑√5−❑√3)
= =❑√5−❑√3．
❑√5+❑√3 (❑√5+❑√3)(❑√5−❑√3)
2 2
(1)化简： =_______， =______（n为正整数）
❑√7+❑√5 ❑√n+2+❑√n
(2)比较大小：❑√21−❑√19_______❑√19−❑√17（填“>”，“<”或“=”）(3)请根据上面的结论，找规律，计算下列算式的结果：
1 1 1 1
+ + +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ ．
❑√3+1 ❑√5+❑√3 ❑√7+❑√5 ❑√2023+❑√2021
【答案】(1)❑√7−❑√5；❑√n+2−❑√n
(2)<
17❑√7−1
(3)
2
【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的加减计算，正确理解题意并掌握分母有理化的方法是解
题的关键．
（1）根据分母有理化的方法求解即可；
2 2
（2）根据（1）所求可得❑√21−❑√19= ，❑√19−❑√17= ，再由
❑√19+❑√21 ❑√19+❑√17
❑√19+❑√21>❑√17+❑√19>0可得答案；
1 ❑√n+2−❑√n
（3）根据（1）所求可得 = ，据此把所求式子裂项分母有理化后计算求解即可．
❑√n+2+❑√n 2
2 2(❑√7−❑√5) 2(❑√7−❑√5) 2(❑√7−❑√5)
【详解】（1）解： = = = =❑√7−❑√5；
❑√7+❑√5 (❑√7+❑√5)×(❑√7−❑√5) 7−5 2
2 2(❑√n+2−❑√n) 2(❑√n+2−❑√n)
= = =❑√n+2−❑√n；
❑√n+2+❑√n (❑√n+2+❑√n)(❑√n+2−❑√n) n+2−n
2 2
（2）解：由（1）可得❑√21−❑√19= ，❑√19−❑√17= ，
❑√19+❑√21 ❑√19+❑√17
∵❑√17<❑√19<❑√21，
∴❑√19+❑√21>❑√17+❑√19>0，
2 2
∴ > ，
❑√19+❑√17 ❑√19+❑√21
∴❑√21−❑√19<❑√19−❑√17；
2
（3）解：∵ =❑√n+2−❑√n，
❑√n+2+❑√n
1 ❑√n+2−❑√n
∴ = ，
❑√n+2+❑√n 2
1 1 1 1
∴ + + +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+
❑√3+1 ❑√5+❑√3 ❑√7+❑√5 ❑√2023+❑√2021❑√3−1 ❑√5−❑√3 ❑√7−❑√5 ❑√2023−❑√2021
= + + +⋯+
2 2 2 2
❑√2023−1
=
2
17❑√7−1
= ．
2
题型十八 二次根式的应用
35．（25-26八年级下·全国·周测）现将一个面积为300cm2的正方形的一组对边缩短8❑√3cm，就成为
一个长方形，这个长方形的面积为 cm2．
【答案】60
【分析】本题考查了正方形及长方形的面积公式、二次根式的混合运算，熟练掌握上述知识点是解答本题
的关键．
先求出正方形的边长，再根据缩短后的对边长度计算长方形的面积．
【详解】解：正方形的面积为300cm2，故边长为❑√300 = 10❑√3 cm．
将一组对边缩短8❑√3 cm，
则缩短后的对边长度为10❑√3−8❑√3 = 2❑√3 cm．
另一组对边长度不变，仍为10❑√3 cm．
因此长方形的面积为2❑√3×10❑√3
= 2×10×(❑√3×❑√3)
= 20×3
= 60 cm²．
故答案为：60．
36．（23-24九年级上·福建漳州·期中）阅读材料：
已知a,b为非负实数，∵a+b−2❑√ab=(❑√a) 2+(❑√b) 2 −2❑√a⋅❑√b=(❑√a−❑√b) 2 ≥0，
∴a+b≥2❑√ab，当且仅当“a=b”时，等号成立．
这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用．
4
例：已知x>0，求函数y=x+ 的最小值．
x
4 4 √ 4
解：令a=x，b= ，则由a+b≥2❑√ab，得y=x+ ≥2❑ x⋅ =4．
x x x
4
当且仅当x= ，即x=2时，函数取到最小值，最小值为4．
x
根据以上材料解答下列问题：3
(1)已知x>0，则当x=______时，函数y=x+ 取到最小值，最小值为______；
x
(2)用篱笆围一个面积为100m2的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最
短的篱笆的长度是多少米？
x
(3)已知x>0，则自变量x取何值时，函数y=
取到最大值？最大值为多少？
x2−2x+9
【答案】(1)❑√3，2❑√3
(2)这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米
x 1
(3)自变量x=3时，函数y=
取最大值，最大值为
x2−2x+9 4
【分析】本题主要考查了“均值不等式”的应用，解题关键是理解例题，借助例题求解．
3 √ 3 3 3
（1）根据例题，可得y=x+ ≥2❑ x⋅ =2❑√3，故当且仅当x= 时，函数y=x+ 取到最小值，最小
x x x x
值为2❑√3，即可获得答案；
100
（2）设这个矩形的长为x米，篱笆周长为y米，可得函数解析式为y=2(x+ )，根据例题，即可获得
x
答案；
1
y= 9
（3）将原函数变形为 9 ，由(x+ )取最小值，即可确定自变量x取何值时，函数
x+ −2 x
x
x
y=
取到最大值，并求得最大值．
x2−2x+9
【详解】（1）解：∵x>0，
3 √ 3
∴y=x+ ≥2❑ x⋅ =2❑√3，
x x
3
当且仅当x= 时，取等号，
x
3
∴当x=❑√3时，函数y=x+ 取到最小值，最小值为2❑√3．
x
故答案为：❑√3，2❑√3；
（2）设这个矩形的长为x米，篱笆周长为y米，
根据题意，用篱笆围一个面积为100m2的矩形花园，
100
则矩形的宽为 米，
x100 √ 100
∴y=2(x+ )≥4❑ x⋅ =40，
x x
100
当且仅当x= 时，取等号，即当x=10时，函数有最小值，最小值为40，
x
∴这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米；
（3）∵x>0，
x 1 1
y= = =
∴ x2−2x+9 9 9 ，
x−2+ x+ −2
x x
9 √ 9
又∵x+ ≥2❑ x⋅ =6，
x x
9 9
当且仅当x= 时，即当x=3时，(x+ )取最小值，最小值为6，
x x
1 1
∴此时y有最大值，最大值为y= = ，
6−2 4
x 1
∴自变量x=3时，函数y=
取最大值，最大值为 ．
x2−2x+9 4
题型十九 复合二次根式的化简
37．（24-25八年级下·甘肃武威·月考）阅读材料：把根式❑√x±2❑√y进行化简，若能找到两个数m,n，
使m2+n2=x，mn=❑√y，即把x±2❑√y变成m2+n2±2mn=(m±n) 2，从而可以对根式❑√x±2❑√y进行化简．
例如：化简：❑√5−2❑√6．
解：∵5−2❑√6=3−2❑√6+2=(❑√3) 2 −2×❑√3×❑√2+(❑√2) 2=(❑√3−❑√2) 2 ，
∴❑√5−2❑√6=❑√(❑√3−❑√2) 2=❑√3−❑√2．
根据上述材料，解答下列问题．
(1)化简：❑√11+6❑√2．
(2)化简：❑√m+2❑√m−1．
(3)计算：❑√12+6❑√3−❑√16−8❑√3．
【答案】(1)3+❑√2
(2)❑√m−1+1
(3)5−❑√3
【分析】本题考查了二次根式的性质，将被开方数化为平方的形式是解题的关键．
（1）仿照例题即可求解；（2）将m+2❑√m−1化为(❑√m−1+1) 2 ，再利用二次根式的性质化简计算；
（3）将❑√12+6❑√3−❑√16−8❑√3变形为❑√(3+❑√3) 2 −❑√(2❑√3−2) 2，再利用二次根式的性质化简计算．
【详解】（1）解：∵11+6❑√2=32+2×3×❑√2+(❑√2) 2=(3+❑√2) 2 ，
∴❑√11+6❑√2=3+❑√2；
（2）解：∵m+2❑√m−1=m−1+2×❑√m−1×1+1=(❑√m−1) 2+2×❑√m−1×1+12=(❑√m−1+1) 2 ，
而❑√m−1≥0，则❑√m−1+1>0
∴❑√m+2❑√m−1=❑√(❑√m−1+1) 2=❑√m−1+1
（3）解：❑√12+6❑√3−❑√16−8❑√3
=❑√(3+❑√3) 2 −❑√(2❑√3−2) 2
=|3+❑√3)−|2❑√3−2)
=3+❑√3−2❑√3+2
=5−❑√3．
38．先阅读材料，然后回答问题．
（1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简❑√5−2❑√6
经过思考，小张解决这个问题的过程如下：
❑√5−2❑√6=❑√2−2❑√2×3+3①
=❑√ (❑√2) 2 −2❑√2×❑√3+(❑√3) 2②
=❑√ (❑√2−❑√3) 2③
=❑√2−❑√3④
在上述化简过程中，第________步出现了错误，化简的正确结果为________；
（2）化简❑√9+2❑√18；
（3）请根据你从上述材料中得到的启发，化简：❑√8+4❑√3．
【答案】（1）④，❑√3−❑√2；（2）❑√6+❑√3；（3）❑√6+❑√2
【分析】（1）第④步出现了错误，❑√ (❑√2−❑√3) 2=|❑√2−❑√3)=❑√3−❑√2；
（2）类比例题，将9分别拆为两个二次根式的平方的和，再用完全平方公式变形，计算求值即可；（3）类比例题，将8分别拆为两个二次根式的平方的和，再用完全平方公式变形，计算求值即可．
【详解】解：（1）第④步出现了错误，正确解答如下：
❑√5−2❑√6=❑√2−2❑√2×3+3
=❑√ (❑√2) 2 −2❑√2×❑√3+(❑√3) 2
=❑√ (❑√2−❑√3) 2
=|❑√2−❑√3)
=❑√3−❑√2；
（2）❑√9+2❑√18=❑√6+2❑√6×3+3
=❑√ (❑√6) 2+2❑√6×❑√3+(❑√3) 2
=❑√ (❑√6+❑√3) 2
=|❑√6+❑√3)
=❑√6+❑√3；
（3）❑√8+4❑√3=❑√6+2❑√6×2+2
=❑√ (❑√6) 2+2❑√6×❑√2+(❑√2) 2
=❑√ (❑√6+❑√2) 2
=|❑√6+❑√2)
=❑√6+❑√2．
【点睛】本题考查了二次根式的化简和完全平方公式的运用，能够将数据拆为正确的完全平方公式是解题
的关键．
