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专题 03 一元二次方程的判别式与系数（四大类
型）
【题型1 根据一元二次方程判断根的情况】
【题型2 根据一元二次方程的实数根求含参数的取范围】
【题型3 一元二次方程根与系数的关系-直接运用】
【题型4 一元二次方程根与系数的关系-拓展运用】
【题型1 根据一元二次方程判断根的情况】
1．（2023•新郑市模拟）一元二次方程2x2﹣mx﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．无法确定
2．（2023•内黄县二模）一元二次方程x2+x﹣12＝0的两根的情况是（ ）
A．有两个相同的实数根 B．有两个不相等的实数
C．没有实数根 D．不能确定
3．（2023•镇平县模拟）一元二次方程x2﹣x＝﹣2的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
4．（2023•中原区校级一模）关于一元二次方程 x2+3x＝4根的情况，下列说法
中正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
5．（2023•伊川县一模）一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝2x+3的根的情况是
（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
6．（2023•嘉定区二模）下列关于x的方程一定有实数解的是（ ）A．x2+1＝0 B．x2﹣x+1＝0
C．x2﹣bx+1＝0（b为常数） D．x2﹣bx﹣1＝0（b为常数）
【题型2 根据一元二次方程的实数根求含参数的取范围】
7．（2023春•蜀山区校级期中）若一元二次方程（m﹣2）x2﹣4x+2＝0有解，
则m的取值范围是（ ）
A．m＜4 B．m≤4 C．m≤4且m≠2 D．m＜4且m≠2
8．（2023•中原区校级二模）关于x的一元二次方程x2﹣kx+2＝0有实数根，则
k可能是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．
9．（2023•扶沟县一模）一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，
则m满足（ ）
A．m＞﹣1 B．m＞1 C．m＜﹣1 D．m＜1
10．（2023春•涡阳县期中）若关于 x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2+3＝
0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．（2023•文山市一模）关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有两个实数根，
则k的取值范围是（ ）
A．k＞4 B．k≤2 C．k＜4且k≠0 D．k≤2且k≠0
12．（2023•白碱滩区一模）已知一元二次方程（k﹣3）x2+2x+1＝0有解，则k
的取值范围是（ ）
A．k≤4且k≠3 B．k＜4且k≠3 C．k＜4 D．k≥4
13．（2023•浠水县二模）若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣k＝0没有实数根，
则k的值可以是（ ）
A．﹣5 B．﹣4 C．﹣3 D．2
14．（2023•梁园区校级一模）若关于 x的一元二次方程x2﹣x+2k＝0有两个不
相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．15．已知关于x的方程ax2+2x-3=0有两个不相等的实数根．
（1）求a的取值范围；．
（2）若此方程的一个实数根为1，求a的值及方程的另一个实数根．
16．已知关于x的一元二次方程x2-4x+k-1=0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x ，x 满足x 2+x 2=10，求k的值．
1 2 1 2
【题型3 一元二次方程根与系数的关系-直接运用】
17．（2023•东莞市二模）已知方程 x2﹣3x+1＝0 的两个根分别为 x 、x ，则
1 2
x +x ﹣x •x 的值为（ ）
1 2 1 2
A．7 B．5 C．3 D．2
18．（2023春•涡阳县期中）若 ， 是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的两个根，
则 + 的值为（ ）
α β
A．﹣4 B．4 C．﹣3 D．3
α β
19．（2023春•西湖区校级期中）已知一元二次方程x2﹣5x+4＝0有两个实数根
x ，x ，则x +x ＝（ ）
1 2 1 2
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
20．（2023•遵义模拟）设m，n是方程x2+3x﹣2023＝0的两个不相等实数根，
则m+n的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．2023 D．﹣2023【题型4 一元二次方程根与系数的关系-拓展运用】
21．（2023•东胜区模拟）已知 x ，x 是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个实数根，则
1 2
的值为（ ）
A．﹣10 B．﹣7 C．﹣5 D．3
22．（2023春•江都区月考）已知一元二次方程 x2﹣3x+1＝0有两个实数根x ，
1
x ，则x +x ﹣x x 的值为（ ）
2 1 2 1 2
A．6 B．2 C．4 D．3
23．（2023•鄱阳县一模）设m，n是方程x2﹣4x﹣6＝0的两个实数根，则（m
﹣2）（n﹣2）的值为（ ）
A．﹣12 B．﹣10 C．12 D．10
24．（2022秋•顺德区期末）若方程x2＝4x的两根为x ，x ，则 的值是
1 2
（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
25.（2022•珠海二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+k﹣1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x ，x 满足x 2+x 2＝10，求k的值．
1 2 1 2
26．（2023春•蜀山区校级期中）已知关于 x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x﹣k
﹣1＝0．
（1）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根x 、x ，且x +x ﹣4x x ＝2，求k的值．
1 2 1 2 1 2
27．（2023•茅箭区一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为x 、x ，且 ，求m的值．
1 2
28．（2022秋•曲靖期末）已知关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数
根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k＝﹣1时，原方程有两个实数根x ，x ，求 的值．
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29．（2022秋•绵阳期末）已知关于 x的一元二次方程 有两
个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若原方程的两个实数根为 x ，x ，是否存在实数k，使得x +x ＝﹣2成
1 2 1 2
立，若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．
30．（2022秋•大丰区期末）已知关于x的一元二次方程ax2﹣（2a﹣2）x+a﹣2
＝0（a≠0）
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数a的值．
31．（2022秋•潜江期末）关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣m＝0有两个实数根．（1）求实数m的取值范围；
（2）设该方程的两个实数根分别为x ，x ，若 ，求m的值．
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