文档内容
第 03 讲 一元二次方程的实际应用
知识点1：一元二次方程应用-变化率
知识点2：一元二次方程应用-传染，枝干率
知识点3：一元二次方程应用-单循环和双循环问题
知识点4：一元二次方程应用-销售利润问题
知识点5：一元二次方程应用-几何面积
知识点5：一元二次方程应用-动点与几何问题
设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一
次增长（或下降）后 为 ；第二次增长（或下降）后为 ²．可
列方程为 ²=b
【题型1一元二次方程应用-变化率问题】
【单例1】某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均
为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，
乙种商品2024年每件的进价为80元．
(1)求乙种商品每件进价的年平均下降率；
(2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，
求最少购进多少件甲种商品．【变式1】“要致富，先修路”，某地区为了大力发展乡镇经济，推进乡村道
路建设，计划用三年时间对整个地区的乡村公路进行全面改造，已知2024
年省政府已拨原款4亿元人民币，若每年拨款的增长率相同，预计2026年
拨款6.25亿元人民币，则每年拨款的增长率为多少？
【变式2】小刘开了一家奶茶店，八月份盈利5000元，十月份盈利6050元，且
从八月到十月，每月盈利的平均增长率都相同．
(1)求每月盈利的平均增长率；
(2)按照这个增长率，请你预计这家奶茶店今年十一月的利润将达到多少元．
【变式3】某商场在五一期间将单价400元的某种商品经过两次降价后，以324
元的价格出售．
(1)求平均每次降价的百分率；
(2)售货员向经理建议：先公布降价5%，然后再降价15%，这样更有吸引力，
请问售货员的方案对顾客是否更优惠？为什么？
有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人
传染了几个人? 设每轮传染中平均一个人传染了x个人：【题型2一元二次方程应用传染问题】
【典例2】有一个人患了某种传染病，经过两轮传染后共有81人患病．
(1)每轮平均1个人会感染几人？
(2)若病毒得不到有效控制，三轮感染后，患病的人数会不会超过700人？
【变式1】有一人患了流感，经过两轮传染后，共有216 人患了流感，则可列
方程（ ）
A．x+x·x=216 B．x−x(1−x)=216
C．1+x+x(1+x)=216 D．1−x−(1−x)(1−x)=216
【变式2】若一人患上流感，经过两轮传染后，共有144人被传染上流感，这
时引起有关部门注意，加以控制，以后每轮传染少5人，问第四轮传染后
共有多少人患流感？
【变式3】“埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的
烈性传染病毒，传染性极强．一个美国人在非洲旅游时不慎感染了“埃博
拉”病毒，经过两轮传染后，共有64人受到感染．
(1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？
(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
【题型3一元二次方程应用枝干问题】
【典例3】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的
小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支：设
每个支干长出x小分支，那么根据题意可以列方程为（ ）
A．1+x+x2=91 B．1+x+x(1+x)=91C． D．
1+x+(1+x) 2=91 1+(1+x)+(1+x) 2=91
【变式1】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的
小分支，主干、支干和小分支的总数为57，设每个支干长出x个小分支，则
x的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【变式2】双十一将至，某人将打折活动发在自己的朋友圈，并邀请x个好友转
发，每个好友转发后，由各组邀请x个好友转发，经此两轮转发后，已知共
有241人次参与了转发，则可列方程为 ．
【变式3】某种植物的主干长出若干个分支，每个支干又长出同样个数的小分
支，主干、支干、小分支的总数是241，设每个支干长出小分支的个数是
x，则可列方程为 ．
握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握 次手。
赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送
n(n−1)张卡片。
【题型4一元二次方程应用双循环问题】
【典例4】今天是个特别的日子，我们班有好多人都在今天过生日，为庆祝生
日，凡是今天过生日的都要制作生日贺卡相互赠送，结果一共赠送了56个
生日贺卡，那么，谁知道我们班一共有多少人今天过生日？（用一元二次
方程解决）
【变式1】某赛季篮球职业联赛，采用双循环制（每两队之间都进行两场比
赛），比赛总场数为240场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（ ）
1
A．x(x+1)=240 B． x(x+1)=240
21
C．x(x−1)=240 D． x(x−1)=240
2
【变式2】某学习小组同学在元旦互相赠贺年卡一张，全组共赠贺年卡90张，
设这个小组共有同学x个．根据题中的条件，列出关于x的方程为： ．
【变式3】要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场
比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为
．
【题型5一元二次方程应用单循环问题】
【典例5】国庆节老同学聚会，每两个人都握一次手，所有人共握手78次，则
参加聚会的有 人．
【变式1】若干个好朋友除夕夜打电话互相问候，两个朋友之间都通话交流一
次，一共通话21次，设这些朋友一共x人，则可列方程： ．
【变式2】在一次聚餐上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯66次，则参加
聚餐的人数为（ ）
A．9人 B．10人 C．11人 D．12人
（1）常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量；
（2）每每问题中，单价每涨a元，少买b件。若涨价y元，则少
买的数量为
【题型6 一元二次方程应用-销售利润问题】
【典例6】列方程（组）解应用题2024年“国庆”假期期间，拉萨某景区某特
产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．
已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B
类特产需540元．
(1)求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？(2)A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每
降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．则每件A类特产
定价多少元时，A类特产利润能达到640元．
【变式1】某商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，规定销售单价不低于
进价，且不高于进价的2倍，日销量y（台）与销售单价x（元）之间的关
系如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当护眼灯销售单价定为多少元时，该商店每日出售这种护眼灯所获得的
利润为160元？
【变式2】“当你背单词的时候，阿拉斯加的鲟鱼正跃出水面；当你算数学的
时候，南太平洋的海鸥掠过海岸；当你晚自习的时候，地球的极圈正五彩
斑斓．但少年，梦要你亲自实现，那些你觉得看不到的人，和遇不到的风
景，都终将在生命里出现……”这是某直播平台推销某本书时的台词，所
推销书的成本为每套20元，当售价为每套40元时，每天可销售100套．为
了吸引更多的顾客，平台采取降价措施，据市场调查反映：销售单价每降1
元，则每天多销售10套．设每套辅导书的售价为x元，每天的销售量为y
套．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)不忘公益初心，热心教育事业，公司决定从每天利润中捐出200元帮助
云南贫困山区的学生，为了保证捐款后每天利润达到1800元，且要最大限
度让利消费者，求此时每套书的售价为多少元？【变式3】．
背 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影
景 院积极推送．
素 某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，
材 正月初三的票房收入达到8.64万元．
1
随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办进行销售，已知一个
素
“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该款手办
材
售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天
2
多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元．
问题解决
任 求从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率．
务
1
任 根据素材2，为了推广该款“哪吒”手办，且尽可能多的减少库存，求
务 下调后每个手办的售价．
2
任 根据素材2，平均每天能否获利2100元？若能，请求出每个手办应降价
务 多少元；若不能，请说明理由．
3
（1）如图①，设空白部分的宽为x,则 ；
（2）如图②，设阴影道路的宽为x,则
（3）如图③，栏杆总长为a，BC的长为b,则【题型7 一元二次方程应用-几何面积问题】
【典例7】某社区计划将一个长12米、宽8米的长方形花坛扩建为公共休息区．
扩建方案是在花坛四面修建一条宽度相同的小道，使扩建后的长方形公共
休息区的总面积为192平方米．
(1)求这条小道的宽度；
(2)如果用篱笆围住扩建后的休息区，需要多少米篱笆？
【变式1】实践活动：某中学“田园梦工厂”社团准备围建一个长方形菜园
ABCD（如图）．
素材1：要围建的菜园边上有一堵墙，长为28m，菜园的一边靠墙，另外三
边用总长为60m的铝合金材料围建．
素材2：与墙平行的一边上要预留2m宽的入口．
任务1：当长方形菜园ABCD的长BC为多少米时，菜园的面积为300m2？
任务2：能否围成500m2的长方形菜园？若能，求出BC的长；若不能，请说明理由．
【变式2】如图，有一面墙EF长为25米，现在要用长为48米的铁丝，一面用
墙，围成中间有一道铁丝的长方形ABCD
(1)当AB的长是多少时，围成的长方形ABCD的面积为180 m2？
(2)能围成总面积为240 m2的长方形吗？请说明原因
【变式3】新能源汽车如今已成为越来越多人购车的首选．某停车场为了解决
充电难的问题，现将长为140米，宽为90米的矩形停车场进行改造．如图，
将矩形停车场的AB边和AD边分别减少相等的长度，减少的这部分区域用于
修建充电桩，剩余停车场的面积为8400平方米，求AB和AD减少的长度是
多少？键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据
关
面积或体积公式列出方程.
【题型8 一元二次方程应用-动点与几何问题】
【典例8】如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A开始以
1cm/s的速度沿AB边向B移动，点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC边向点C
移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，设移动的时间为t． 求：
(1)当t为多少时，△PQD的面积等于8cm2？
(2)当t为多少时，△PQD是以PD为斜边的直角三角形？
【变式1】在矩形ABCD中，AB=10cm，BC=12cm，点P从点A开始沿边AB向
终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C
以4cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒（t>0）．
(1)当t为何值时，PQ的长度等于10cm？
(2)是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于104cm2？若存在，请求
出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【变式2】如图，矩形ABCD中，AB=16cm，AD=6cm，动点P从点A出发，
以每秒3cm的速度向点B匀速移动，同时，点Q从点C出发，以每秒2cm的
速度向点D匀速移动，当其中一点到达终点时停止，同时另一点也随之停
止移动．
(1)经过多少时间时，四边形APQD为矩形；
(2)经过多少时间时，四边形PBCQ的面积为33cm2；
(3)经过多少时间时，点P和点Q之间的距离是10cm．
【变式3】如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A开始沿边
AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终
点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．(0
