文档内容
第 06 讲 二元一次方程组与消元—解二元一次方程组（6 个
知识点+6 种题型+强化训练）
知识导图
知识清单
知识点1．二元一次方程的定义
（1）二元一次方程的定义
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．
（2）二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．
③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
知识点2．二元一次方程的解
（1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程
的解．
（2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确
定的值，所以二元一次方程有无数解．
（3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出
其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．
知识点3．解二元一次方程
二元一次方程有无数解．求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”
的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个
的对应值．知识点4．二元一次方程组的定义
（1）二元一次方程组的定义：
由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．
（2）二元一次方程组也满足三个条件：
①方程组中的两个方程都是整式方程．
②方程组中共含有两个未知数．
③每个方程都是一次方程．
知识点5．二元一次方程组的解
（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到
有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方
程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．
知识点6．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，
将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式
代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求
出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的
值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知
数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系
数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个
一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入
原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在
一起，就得到原方程组的解，用 的形式表示．
知识复习
一．二元一次方程的定义（共6小题）
1．（2023春•绍兴期中）下列各方程中，是二元一次方程的是A． B． C． D．
2．（2023春•威县月考）已知 是关于 ， 的二元一次方程，则
．
3．（2023春•高港区期中）若关于 、 的方程 是二元一次方程，则
的值等于 ．
4．（2023春•乌鲁木齐期中）若 是关于 ， 的二元一次方程，则 ，
的值分别是
A． ， B． ， C． ， D． ，
5．（2023春•中山区期中）定义：若点 满足 ，则称点 为二元一次方程
的坐标点．
（1）若点 为方程 的坐标点，则 ；
（2）若 为方程 的坐标点，且 ， 为正整数，求 ， 的值．
6．（2023春•东丽区期末）在平面直角坐标系中， 为原点，点 ， ， 的坐标分别为
， ， ，且 ， 满足关于 ， 的二元一次方程 ．
（Ⅰ）求 ， 的坐标．
（Ⅱ）若点 为 轴负半轴上的一个动点．如图， ，当
时， 与 的平分线交于点 ，求 的度数．二．二元一次方程的解（共6小题）
7．（2023春•南通期末）若 ，是关于 和 的二元一次方程 的解，则
的值等于
A．3 B．6 C． D．
8．（2023春•朝阳区校级期中） 是二元一次方程 的一个解，则 的值为
．
9．（2023春•黔江区期末）下列哪对 ， 的值是二元一次方程 的解
A． B． C． D．
10．（2023春•朝阳区期末）写出二元一次方程 的一组整数解 ．
11．（2023春•姜堰区期末）若关于 、 的二元一次方程变形为 的形式 、
是常数， ，则其中一对常数 、 称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为
．例如二元一次方程 变形为 ，则二元一次方程 的“相伴系数对”为 ， ．
（1）二元一次方程 的“相伴系数对”为 ；
（2）已知 是关于 、 的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为
，写出这个二元一次方程；
（3）关于 、 的二元一次方程 ，已知该方程的“相伴系数对”
之和为2，求 的值．
12．（2023春•泰兴市期末）定义：若有序数对 满足二元一次方程 、
为不等于0的常数），则称 为二元一次方程 的数对解．例如：有序数
对 满足 ，则称 为 的数对解．
（1）下列有序数对，是二元一次方程 的数对解的是 ；（填序号）
① ，② ，③ ．
（2）若有序数对 为方程 的一个数对解，且 、 为正整数，求
、 的值；
（3）若有序数对 是二元一次方程 的一个数对解，且
求 的取值范围．
三．解二元一次方程（共6小题）
13．（2023春•潢川县期末）已知二元一次方程 ，用含 的代数式表示 ，则
．
14．（2023春•朝阳区期末）把方程 改写成用含 的式子表示 的形式，正确的是
A． B． C． D．
15．（2022秋•五华县期末）将方程 写成用含 的代数式表示 ，则 ．
16．（2023春•桐柏县期末）二元一次方程 的非负整数解有
A．5个 B．6个 C．7个 D．无数个
17．（2023春•凤台县期中）若一个两位数十位、个位上的数字分别为 、 ，我们可将
这个两位数记为 ，即： ．
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求 的值．
18．（2017春•姜堰区期中）已知： ．
（1）用 的代数式表示 ；
（2）如果 、 为自然数，那么 、 的值分别为多少？
（3）如果 、 为整数，求 的值．
四．二元一次方程组的定义（共6小题）
19．（2023春•川汇区月考）下列方程组中，二元一次方程组的个数是
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．
A．1 B．2 C．3 D．4
20．（2023春•徐州期末）观察所给的4个方程组：
① ；② ；
③ ；
④ ．
其中，符合二元一次方程组定义的是 （写出所有正确的序号）
21．（2023春•邻水县期末）下列方程组中，属于二元一次方程组的是
A． B．
C． D．
22．（2023春•江北区期中）若方程组 是二元一次方程组，则“ ”可以是
．
23．（2023春•滨州期末）在人教版七年级上、下册分别学习了《一元一次方程》和《二
元一次方程组》，请叙述学习“方程”的研究路径，并猜想在以后学习，我们还将学习哪
些方程？请举例．
24．（2023春•泸县校级期中）判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由．
（1） ；
（2） ．
五．二元一次方程组的解（共6小题）
25．（2023春•岳池县期末）若关于 ， 的二元一次方程组 的解满足，则 的值为
A．0 B．1 C．2 D．
26．（2022秋•宝安区期末）请写出一个二元一次方程组，使该方程组无解．你写的方程
组是 ．
27．（2023 春•确山县期中）若 是关于 、 的方程组 的解，则
的值为 ．
28．（2023春•沧州期末）数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方
程组的问题：
已知关于 ， 的二元一次方程组 的解满足 ③，求 的值．
请结合他们的对话，解答下列问题：
（1）按照小云的方法， 的值为 ， 的值为 ．
（2）老师说小辉的方法体现了整体代入的思想，请按照小辉的思路求出 的值．
29．（2023春•开州区期末）已知关于 ， 的方程组 ，给出下列说法：
①当 时，方程组的解也是 的解；
②若 ，则 ；
③无论 取何值， ， 的值不可能互为相反数；
④ ， 都为自然数的解有5对．
以上说法中正确的个数为A．1 B．2 C．3 D．4
30．（2023春•东海县期中）已知关于 ， 的二元一次方程 ， 均为
常数，且 ．
（1）当 ， 时，用 的代数式表示 ；
（2）若 是该二元一次方程的一个解，
①探索 与 关系，并说明理由；
②无论 、 取何值，该方程有一个固定解，请求出这个解．
六．解二元一次方程组（共6小题）
31．（2023 春•高青县期末）已知关于 ， 的二元一次方程组 的解满足
，则 的值为
32．（2024•西城区校级开学）解方程（组
（1） ；
（2） ；
（3） ．
33．（2023春•绿园区校级月考）关于 、 的二元一次方程组， 用代入法消去
后所得到的方程，正确的是
A． B． C． D．
34．（2023春•凤山县期末）用加减法解方程组 时，下列四种变形中正确的是A． B．
C． D．
35．（2023春•济南期中）定义一种运算“◎”，规定 ◎ ，其中 、 为常数．
若2◎ ，3◎ ，则 的值是 ．
36．（2023春•永定区期中）小鑫、小童两人同时解方程组 时，小鑫看错
了方程②中的 ，解得 ，小童看错了①中的 ，解得 ．
（1）求正确的 ， 的值；
（2）求原方程组的正确解．
强化训练
一、单选题
1．（22-23七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）下列方程组是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23七年级下·贵州铜仁·阶段练习）下列各组数中，不是二元一次方程 的
解的是（ ）
A． B． C． D．
3．（22-23七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解是 ，则关于m，n的二元一次方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24七年级上·吉林长春·期末）下列方程中是二元一次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（22-23七年级下·贵州铜仁·阶段练习）在方程 中，当 时， ；当
时， ；则当 时， （ ）
A．8 B．10 C． D．12
6．（22-23七年级下·黑龙江绥化·期末）若 是方程组 的解，则a、b的
值分别是（ ）
A．1， B． ，1 C． ， D． ，
7．（22-23七年级下·河北廊坊·期中）若二元一次方程组 的解为 ，则
表示的方程可以是（ ）
A． B． C． D．
8．（22-23七年级下·河北石家庄·阶段练习）已知方程组 则
的值为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
9．（22-23七年级下·甘肃天水·期末）已知 ，则 、 的值分别是( )
A． ， B． ， C． ， D． ，
10．（22-23七年级下·河南新乡·阶段练习）下面是老师在黑板上展示的某同学用代入消元
法方程组的步骤，其中开始出现错误的是（ ）
A．步骤一 B．步骤二 C．步骤三 D．步骤四
二、填空题
11．（21-22七年级下·湖南娄底·期中）请任写一个方程与方程 －2 =10组成一个二元一
次方程组 ．
12．（22-23七年级下·辽宁大连·期末）已知方程 ，用含 的代数式表示 ，则
13．（22-23七年级下·全国·课时练习）（1）若 是关于x，y的二元一次
方程，则a的值是 ；
（2）若方程组 是关于x，y的二元一次方程组，则 的值是 ．
14．（22-23七年级下·贵州铜仁·阶段练习）若 是二元一次方程 的一个解，
则 的值为 ．
15．（22-23七年级下·辽宁葫芦岛·期末）若 是二元一次方程，那么a、
b的值分别是 ．
16．（22-23七年级下·湖南衡阳·阶段练习）下列说法：①二元一次方程组的解都是唯一的；
②含有两个未知数的方程一定是二元一次方程；③方程 的解有无数个；④解为的方程组是唯一的；其中正确是 ．
17．（22-23七年级下·重庆·阶段练习） 是关于 的二元一次方程，则
．
18．（22-23七年级下·云南昆明·期末）已知 满足方程组 ，则
．
三、解答题
19．（22-23七年级下·河南周口·阶段练习）已知关于 ， 的二元一次方程
．
(1)求 ， 的值；
(2)判断下列各数对哪些是该二元一次方程的解，请填写下表（直接填写“是”或“不
是”）．
数对
判断数对是否是方程 的解20．（22-23七年级下·海南海口·阶段练习）解方程．
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ．
21．（16-17七年级下·四川宜宾·阶段练习）已知方程组 是二元一次
方程组，求m的值．22．（22-23七年级下·广西桂林·期中）如图，直线a、b被c所截， ，
，求∠1和∠2的度数．
23．（22-23七年级下·河北沧州·期中）按一定规律排列方程组和它的解的对应关系如下：
．……
．……
(1)依据方程组和它的解的变化规律，将第4个方程组和它的解直接填入横线处．
(2)猜想第n个方程组和它的解并验证．
(3)若方程组 的解是 ，求m的值，并判断该方程组是否符合（1）中的规
律．24．（22-23七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）阅读材料：善于思考的小军在解方程组
时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形，得 ，
即 ． ③
把①代入③，得 ，解得y=-1．
把 代入①，得 ，
解得 ．
所以方程组的解为：
请你模仿小军的“整体代换”法解方程组25．（22-23七年级下·吉林长春·期末）阅读下列材料，解答下面的问题．
我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如 ， ， ……都是方
程 的解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解即可．
我们在求一个二元一次方程的正整数解时通常采用如下方法：
例：求 这个二元一次方程的正整数解．
解： ，得： ，
根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道
方程 的正整数解为 或 ．
问题：
(1)若 为非负整数，则满足条件的整数x的值有______个．
(2)直接写出满足方程 的正整数解______．
(3)若要把一根长为 的绳子截成长为 和 两种规格的绳子若干段（两种规格都有），
请你在不浪费材料的情况下，通过计算来设计几种不同的截法．
26．（17-18七年级下·江苏·课时练习）判断 是否是二元一次方程组
的解.
