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24.3 正多边形和圆
【提升训练】
一、单选题
1．如图，六边形 是正六边形，点 是边 的中点， ， 分别与 交于点 ， ，
则 的值为（ ）．
A． B． C． D．
2．如图， 与正五边形 的两边 相切于 两点，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点 为正六边形 对角线 上一点， ， ，则 的值
是（ ）A．20 B．30
C．40 D．随点 位置而变化
4．在圆内接正六边形ABCDEF中，正六边形的边长为2，则这个正六边形的中心角和边心距分别是
（ ）
A． B． C． D．
5．如图，点 ， ， 在 上，若 ， ， 分别是 内接正三角形．正方形，正 边形的
一边，则 （ ）
A．9 B．10 C．12 D．15
6．尺规作图是初中数学学习中一个非常重要的内容．小明按以下步骤进行尺规作图：①将半径为 的
六等分，依次得到 六个分点；②分别以点 为圆心， 长为半径画弧，两弧交
于点 ；③连结 ．则 的长是（ ）A． B． C． D．
7．如图，正方形 内接于 ．点 为 上一点，连接 、 ，若 ， ，
则 的长为（ ）
A． B． C． D．
8．正六边形的边心距为 ，则该正六边形的外接圆半径为（ ）
A． B．2 C．3 D．
9．若正方形的外接圆半径为2，则其边长为（ ）
A． B．2 C． D．1
10．如图，有公共顶点O的两个边长为3的正五边形（不重叠），以O点为圆心，半径为3作圆，构成一
个“蘑菇”形图案，则这个“蘑菇”形图案（阴影部分）的面积为（ ）A． B． C． D．
11．下列命题正确的是（ ）
A．正三角形的内切圆的半径与外接圆半径之比为2﹕1
B．正六边形的边长等于其外接圆的半径
C．圆的外切正多边形的边长等于其边心距的2倍
D．各边相等的圆的外切四边形是正方形
12．如图，等边三角形ABC的边长为4，点O是△ABC的中心，∠FOG＝120°，绕点O旋转∠FOG，分别
交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD＝OE；②S ＝S ；③四边形
△ODE △BDE
ODBE的面积始终等于 ；④△BDE周长的最小值为6．上述结论中不正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
13．如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度b＝3cm，则螺帽边长a等于
（ ）
A． cm B．2 cm C．2cm D． cm14．如图，正三角形PMN的顶点分别是正六边形ABCDEF三边的中点，则三角形PMN与六边形
ABCDEF的面积之比（ ）
A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．3：8
15．边长为2的正六边形的边心距为（ ）
A．1 B．2 C． D．2
16．如图， 是正六边形ABCDEF的外接圆，P为 上除C，D外的任意一点，则 的值
为（ ）
A． B．1 C． D．
17．如图，在面积为135cm2的正六边形ABCDEF中有两个等边三角形组成的菱形AMDN．则剪掉这个菱
形后剩余部分的面积为（ ）
A．75cm2 B．70cm2 C．65cm2 D．60cm2
18．下列关于正多边形的叙述，正确的是（ ）
A．正七边形既是轴对称图形又是中心对称图形B．存在一个正多边形，它的外角和为
C．任何正多边形都有一个外接圆
D．不存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形
19．如图所示， 为 的内接三角形， ，则 的内接正方形的面积（ ）
A． B． C． D．
20．已知正六边形 内接于 ，若 的直径为 ，则该正六边形的周长是（ ）
A． B． C． D．
21．如图，圆内接正方形的边长为2，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4 B．
C． D．
22．如图，有一个半径为 的圆形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大正六边形纸片，则这个正六边
形纸片的边心距是（ ）．
A． B． C． D．
23．如图，正六边形 内接于 ，连接 ，则 的度数是（ ）A． B． C． D．
24．正多边形的内切圆与外接圆的半径之比为 ，则这个正多边形为（ ）
A．正十二边形 B．正六边形 C．正四边形 D．正三角形
25．⊙O内有一个内接正三角形和一个内接正方形，则内接三角形与内接正方形的边长之比为（ ）
A．1∶ B． ∶ C．3∶2 D．1∶2
26．如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，⊙O的半径长为a，下列说法中不正确的是（ ）
A．正六边形ABCDEF的中心角等于60°
B．正六边形ABCDEF的周长等于6a
C．正六边形ABCDEF的边心距等于
D．正六边形ABCDEF的面积等于3
27．公元3世纪，刘徽发现可以用圆内接正多边形的周长近似地表示圆的周长．如图所示，他首先在圆内
画一个内接正六边形，再不断地增加正多边形的边数；当边数越多时，正多边形的周长就越接近于圆的周
长．刘徽在《九章算术》中写道：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无
所失矣．”我们称这种方法为刘徽割圆术，它开启了研究圆周率的新纪元．小牧通过圆内接正 边形，使
用刘徽割圆术，得到π的近似值为（ ）A． B． C． D．
28．图，已知正五边形 内接于 ，连接 ， 相交于点 ，则 的度数（ ）
A． B． C． D．
29．如图，在⊙O中，点B是弧AC上的一点，∠AOC=140°，则∠ABC的度数为（ ）
A．70° B．110° C．120° D．140°
30．如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一
个内接正n边形的一边，则n的值为（ ）A．8 B．10 C．12 D．15
二、填空题
31．如图，直线 经过正五边形 的中心 ，与 、 边分别交于点 、 ，点 是点
关于直线 的对称点，连接 ， ，则 的度数为______°．
32．如图是四个全等的正八边形和一个正方形拼成的图案，已知正方形的面积为4，则一个正八边形的面
积为____．
33．如图，点 为正八边形 的中心，则 的度数为______．34．下图是某经营摄影器材公司的 （公司的徽标）它由六个全等的直角三角形拼成，根据所学知识求
出 是______．
35．如图，已知AB为⊙O直径，若CD是⊙O内接正n边形的一边，AD是⊙O内接正（n+4）边形的一边，
BD＝AC，则n＝__．
三、解答题
36．如图，正方形 内接于 ， 为 上的一点，连接 ， ．
（1）求 的度数；
（2）当点 为 的中点时， 是 的内接正 边形的一边，求 的值．
37．如图，六边形ABCDEF是 的内接正六边形．（1）求证：在六边形ABCDEF中，过顶点A的三条对角线四等分 ．
（2）设 的面积为 ，六边形ABCDEF的面积为 ，求 的值．
38．如图正六边形 的边长为1，请分别在图1，图2中使用无刻度的直尺按要求画图．
（1）在图1中，画出一条长度为0.5的线段，
（2）在图2中，画一个边长与正六边形的边长不相等的菱形．
39．已知：如图，A为⊙O上一点；求作：⊙O的内接正方形ABCD．
40．如图，正五边形 内接于 ， 为 上的一点（点 不与点 重合），求 的余
角的度数．41．如图M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形
ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON
（1）求图1中∠MON的度数
（2）图2中∠MON的度数是 ，图3中∠MON的度数是
（3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系是____
42．已知四边形ABCD是圆内接四边形，∠1＝112°，求∠CDE．
43．如图，正方形 内接于 ， 为 任意一点，连接 、 ．
（1）求 的度数．
（2）如图2，过点 作 交 于点 ，连接 ， ， ，求 的长度．44．已知，如图，四边形ABCD的顶点都在同一个圆上，且∠A：∠B：∠C＝2：3：4．
（1）求∠A、∠B的度数；
（2）若D为 的中点，AB＝4，BC＝3，求四边形ABCD的面积．
45．如图， 是 的外接圆， ．点D在 上，连结AD，BD，延长CD至点E．
求证：AD平分 ．
46．如图，A，B是⊙O上两点，∠AOB=120°，C为弧AB上一点．
（1）求∠ACB的度数；
（2）若C是弧AB的中点，求证：四边形OACB是菱形．
47．已知已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．（1）在图①中，以AB为边作等边三角形；
（2）在图②中，作一个含30°的直角三角形．
48．如图，已知圆内接四边形 的边长分别为 ， ， ，求四边形
的面积．
49．如图，已知 是 的直径，弦 于点 是 上的一点， 的延长线相交于点
．
（1）若 的半径为 ，且 ，求弦 的长．
（2）求证： ．
50．如图，已知A、B、C、D四点都在⊙O上．
（1）若∠ABC=120°，求∠AOC的度数；
（2）在（1）的条件下，若点B是弧AC的中点，求证：四边形OABC为菱形．51．如图，四边形 内接于 ， ， ，垂足为 ．
（1）若 ，求 的度数；
（2）求证： ．
52．如图， 的内接四边形 两组对边的延长线分别交于点 ， ．
（1）当 时，求证 ；
（2）当 时，求 的度数；
（3）若 且 ，请你用含有 、 的代数式表示 的度数．53．如图，已知A､B､C､D､E是 上五点， 的直径 ，A为 的中点，延长 到点P，
使 ，连接 ．
（1）求证：直线 是 的切线．
（2）若 ，求线段 的长．
54．已知：如图， 是 的直径，弦 于点 ， 是 上一点， 与 的延长线交于
点 ．
（1）求证： ．
（2）当 ， 时，求 的半径．
55．如图， 的直径 为10，弦 为6， 是 的中点，弦 和 交于点 ，且 ．
（1）求证： ；
（2）求 的长．56．如图，在 中的内接四边形 中， ， 为弧 上一点．
（1）若 ，求 和 的度数；
（2）若 ，求证： 为等边三角形．
57．如图，四边形ABCD内接于圆，AD，BC的延长线交于点E，F是BD延长线上任意一点，AB=AC．
（1）求证：DE平分∠CDF；
（2）求证：∠ACD=∠AEB．
58．如图，四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接四边形， BC 与 AD 的延长线相交于点 E ， 且 DC DE ．
（1）求证： A AEB；
（2）连接 OE，交 CD 于点 F， DC OE ，求证：△ ABE 是等边三角形．
59．如图①， 的内切圆 与 、 、 分别相切于点D、E、F， 、 、 的延
长线分别交 于点G、H、I，过点G、H、I分别作 、 、 的平行线，从 上截得六边形 ．通常，在六边形中，我们把相间两个内角的内角称为六边形的对角，把相邻两角的夹边和
它们的对角的夹边称为六边形的对边．
（1）求证：六边形 的对角相等；
（2）小明在完成（1）的证明后继续探索，如图②，连接 、 、 、 ，他发现
、 ，于是猜想六边形 的对边也相等．请你证明他的发现与猜
想．
60．（阅读理解）如图1， 为等边 的中心角，将 绕点O逆时针旋转一个角度
， 的两边与三角形的边 分别交于点 ．设等边 的面积为
S，通过证明可得 ，则 ．
（类比探究）如图2， 为正方形 的中心角，将 绕点O逆时针旋转一个角度
， 的两边与正方形的边 分别交于点 ．若正方形 的面积为
S，请用含S的式子表示四边形 的面积（写出具体探究过程）．
（拓展应用）如图3， 为正六边形 的中心角，将 绕点O逆时针旋转一个角度， 的两边与正六边形的边 分别交于点 ．若四边形 面积为
，请直接写出正六边形 的面积．
