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第 34 练 随机变量及其分布列
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、单选题
1．已知 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
因为 ，所以 ，又 ，
所以 ，所以 ，
故选：B.
2．随机变量 的概率分别为 ， ，其中 是常数，则 的值为
（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【详解】
， ， ，解得 ，
，
.
故选：C.
3．已知随机变量 ， ， ，且 ，又
，则实数 （ ）
A．0 B． C． D．【答案】A
【详解】
由题意， ，则 ，
又 ，则 ，解得
故选：A
4．假设某校高二年级全体同学的数学竞赛成绩服从正态分布 ，如果规定竞赛成
绩大于或等于90分为 等，那么在参加竞赛的学生中随机选择一名，他的竞赛成绩为 等
的概率为（ ）（附：若 ，则 ，
， ）
A．0.0455 B．0.0214 C．0.0428 D．0.02275
【答案】D
【详解】
由题意，正态分布 的标准差为5，故 ，故在参加竞赛的学生中随机选
择一名，他的竞赛成绩为 等的概率为
故选：D
5．在四次独立重复试验中，事件A在每次试验中发生的概率相同，若事件A至少发生一次
的概率为 ，则事件A发生次数 的期望是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
设事件A在每次试验中发生的概率为p，由题意知，事件A一次也没发生的概率为 ，则 ，解得 ．
事件A发生的次数 服从二项分布 ，故 ．
故选:A．
6．已知在体能测试中，某校学生的成绩服从正态分布 ，其中60分为及格线，则
下列结论中正确的是（ ）
附：随机变量 服从正态分布 ，则
A．该校学生成绩的均值为25 B．该校学生成绩的标准差为
C．该校学生成绩的标准差为70 D．该校学生成绩及格率超过95%
【答案】D
【详解】
由正态分布 的定义， 为期望值， 为方差，
选项A：该校学生成绩的均值为70.判断错误；
选项B：该校学生成绩的标准差为 .判断错误；
选项C：该校学生成绩的标准差为 .判断错误；
选项D：该校学生成绩及格率 ，判断正确.
故选：D.
7．在某独立重复实验中，事件 ， 相互独立，且在一次实验中，事件 发生的概率为 ，
事件 发生的概率为 ，其中 .若进行 次实验，记事件 发生的次数为 ，事
件 发生的次数为 ，事件 发生的次数为 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【详解】
因为 ， ，所以 .故A错误；
因为 ， ， .故B错误；
因为 ， 独立，所以 ，所以 .故C正确；
因为 ， ，所以
.故D错误.
故选：C.
8．小明班的语文老师昨天报了一次听写，语文老师给了小明满分 分，但实际上小明有
一处写了个错别字，告诉了小王和小丁，错一处扣 分，但小明自己不会给老师说，小王
有 的可能告诉老师，小丁有 的可能告诉老师，他们都不会告诉其他同学，老师知道后
就会把分扣下来，则最后小明的听写本上的得分期望 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
由题意可知 的可能取值为： 、 ，
则 ， ，
因此， .
故选：D.
9．冬奥会的两个吉祥物是“冰墩墩”和“雪容融”．“冰墩墩”将熊猫形象与富有超能量
的冰晶外壳相结合，体现了冰雪运动和现代科技特点．冬残奥会吉祥物“雪容融”以灯笼
为原型进行设计创作，顶部的如意造型象征吉祥幸福．小明在纪念品商店买了6个“冰墩
墩”和3个“雪容融”，随机选了3个寄给他的好朋友小华，则小华收到的“冰墩墩”的个数的平均值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．1.5
【答案】B
【详解】
解：设小华收到的“冰墩墩”的个数为 ，则 .
则 ； ；
； .
所以 .
故选：B
10．下列说法正确的是（ ）
A．随机变量X服从两点分布，若 ，则
B．随机变量 ，若 ， ，则
C．随机变量X服从正态分布 ，且 ，则
D．随机变量X服从正态分布 ，且满足 ，则随机变量Y服从正态分布
【答案】D
【详解】
随机变量X服从两点分布，由 ，得 ，则 ，A错误；
随机变量 ，有 ， ，解得 ，B错误；
随机变量 ，则 ，，C错误；
随机变量X，Y满足 ，则 ， ，
，因此 ，D正确．
故选：D
二、多选题
11．下列说法中正确的有（ ）
A．将一组数据中的每个数据都乘以 后，平均数也变为原来的 倍
B．若一组数据的方差越大，则该组数据越集中
C．由样本数据点 、 、 、 所得到的回归直线 至少经过其
中的一个点
D．在某项测量中，若测量结果 ，则
【答案】AD
【详解】
对于A选项，设数据 、 、 、 的平均数为 ，即 ，
则数据 、 、 、 的平均数为 ，A对；
对于B选项，若一组数据的方差越大，则该组数据越分散，B错；
对于C选项，由样本数据点 、 、 、 所得到的回归直线
必过样本中心点 ，
但不一定过样本点，C错；
对于D选项，在某项测量中，若测量结果 ，则 ，
由方差的性质可得 ，D对.故选：AD.
12．袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变
量X为其中白球的个数，随机变量Y为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一
个黑球得1分，随机变量Z为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【详解】
由题意知X，Y均服从于超几何分布，且 ， ，
故 ；
从而 ，故选项A正确；
， ， ，故选项B错误，C正确；
，故选项D正确；
故选：ACD.
13．已知某校高三年级有1000人参加一次数学模拟考试，现把这次考试的分数转换为标准
分，标准分的分数转换区间为 ，若使标准分 服从正态分布N ，
， ，
，则（ ）
A．这次考试标准分超过180分的约有450人
B．这次考试标准分在 内的人数约为997
C．甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为
D．【答案】BC
【详解】
依题意得 ， ， ，
因为 ，
所以这次考试标准分超过180分的约有 人，故A不正确；
，
所以这次考试标准分在 内的人数约为 人，故B正确；
依题意可知，每个人的标准分超过180分的概率为 ，
所以甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为 ，故C正
确；
，故D不正确.
故选：BC
三、解答题
14．为落实教育部的双减政策，义务教育阶段充分开展课后特色服务.某校初中部的篮球特
色课深受学生喜爱，该校期末将进行篮球定点投篮测试，规则为：每人至多投3次，先在
M处投一次三分球，投进得3分，未投进不得分，以后均在N处投两分球，每投进一次得
2分，未投进不得分.测试者累计得分高于3分即通过测试，并终止投篮.甲､乙两位同学为
了通过测试，进行了五轮投篮训练，每人每轮在M处和N处各投10次，根据他们每轮两
分球和三分球的命中次数情况分别得到如下图表：若以每人五轮投篮训练命中频率的平均值作为其测试时每次投篮命中的概率.
(1)已知该校有300名学生的投篮水平与甲同学相当，求这300名学生通过测试人数的数学
期望；
(2)在甲､乙两位同学均通过测试的条件下，求甲得分比乙得分高的概率.
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)
甲同学两分球投篮命中的概率为 ，
甲同学三分球投篮命中的概率为 ，
设甲同学累计得分为 ，
则 ，
则 ，
所以甲同学通过测试的概率为 .
设这300名学生通过测试的人数为 ，由题设 ，
所以 .
(2)乙同学两分球投篮命中率为 ，
乙同学三分球投篮命中率为 .
设乙同学累计得分为 ，则 ，
.
设“甲得分比乙得分高”为事件 ，“甲､乙两位同学均通过了测试”为事件 ，
则 ，
，
由条件概率公式可得 .
15．经过全国上下的共同努力，我国的新冠疫情得到很好的控制，但世界一些国家的疫情
并没有得到有效控制，疫情防控形势仍然比较严峻，为扎紧疫情防控的篱笆，提高疫情防
控意识，某市宣传部门开展了线上新冠肺炎世界防控现状及防控知识竞赛，现从全市的参
与者中随机抽取了1000名幸运者的成绩进行分析，他们的得分（满分100分）情况如下表：
得分
频数 25 150 200 250 225 100 50
(1)若此次知识竞赛得分X整体服从正态分布，用样本来估计总体，设 ， 分别为抽取的
1000名幸运者得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值代替），求 ， 的值；
（结果保留整数）
(2)在（1）的条件下，为感谢市民的积极参与，对参与者制定如下奖励方案：得分不超过
79分的可获得1次抽奖机会，得分超过79分的可获得2次抽奖机会.假定每次抽奖，抽到
10元红包的概率为 ，抽到20元红包的概率为 .已知胡老师是这次活动中的参与者，估
算胡老师在此次活动中所获得红包的数学期望.（结果保留整数）参考数据： ； ；
， .
【答案】(1) ， (2) （元）
【解析】(1)
，
，
所以 .
(2)
设随机变量N表示胡老师的抽奖次数，则N的可能取值为1，2.
，
，
其分布列为
N 1 2
P 0.8413 0.1587
所以 .
设随机变量T为胡老师一次抽奖获得的红包金额，则T的可能取值为10，20，
由题意知 ， ，
所以随机变量T的分布列为
T 10 20
P.
所以胡老师此次活动所获得红包的数学期望为 （元）.
