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第 2 讲 随机变量及其分布
[考情分析] 离散型随机变量的分布列、均值、方差和概率的计算问题常常结合在一起进行
考查，重点考查超几何分布、二项分布及正态分布，以解答题为主，中等难度．
考点一 分布列的性质及应用
核心提炼
离散型随机变量X的分布列为
X x x … x … x
1 2 i n
P p p … p … p
1 2 i n
则(1)p≥0，i＝1,2，…，n.
i
(2)p＋p＋…＋p＝1.
1 2 n
(3)E(X)＝xp＋xp＋…＋xp＋…＋xp.
1 1 2 2 i i n n
(4)D(X)＝[x－E(X)]2p＋[x－E(X)]2p＋…＋[x－E(X)]2p.
1 1 2 2 n n
(5)若Y＝aX＋b，
则E(Y)＝aE(X)＋b，
D(Y)＝a2D(X)．
例1 (1)(2022·保定模拟)若离散型随机变量X的分布列为P(X＝k)＝alog (1≤k≤7，k∈Z)，
2
则P(2<X≤5)等于( )
A. B.
C. D.log
2
(2)(2022·烟台模拟)已知随机变量ξ的分布列如下表所示，且满足E(ξ)＝0，则下列方差值中
最大的是( )
ξ －1 0 2
P a b
A.D(ξ) B．D(|ξ|)
C．D(2ξ＋1) D．D(3|ξ|－2)
规律方法 分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为1的性质可求参数的值及检查分布列的正确性．
(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率．
跟踪演练1 (1)(多选)(2022·广州调研)投资甲、乙两种股票，每股收益的分布列分别如表 1
和表2所示．
表1 股票甲收益的分布列
收益X/元 －1 0 2
概率 0.1 0.3 0.6
表2 股票乙收益的分布列
收益Y/元 0 1 2
概率 0.3 0.4 0.3
则下列结论中正确的是( )
A．投资股票甲的期望收益较小
B．投资股票乙的期望收益较小
C．投资股票甲比投资股票乙的风险高
D．投资股票乙比投资股票甲的风险高
(2)(2022·河南三市联考)甲、乙、丙三人参加2022年冬奥会北京、延庆、张家口三个赛区志
愿服务活动，若每人只能选择一个赛区，且选择其中任何一个赛区是等可能的．记 X为三
人选中的赛区个数，Y为三人没有选中的赛区个数，则( )
A．E(X)＝E(Y)，D(X)＝D(Y)
B．E(X)＝E(Y)，D(X)≠D(Y)
C．E(X)≠E(Y)，D(X)≠D(Y)
D．E(X)≠E(Y)，D(X)＝D(Y)
考点二 随机变量的分布列
核心提炼
1．二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件
A发生的次数，则X的分布列为
P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.
E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
2．超几何分布
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，
用X表示抽取的n件产品中的次品数，则 X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．E(X)
＝n·.
考向1 相互独立事件
例2 (2022·全国甲卷)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得
10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲
学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
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考向2 超几何分布
例3 (2022·漳州质检)北京冬奥会某个项目招募志愿者需进行有关专业、礼仪及服务等方面
知识的测试，测试合格者录用为志愿者．现有备选题10道，规定每次测试都从备选题中随
机抽出3道题进行测试，至少答对2道题者视为合格，已知每位参加笔试的人员测试能否合
格是相互独立的．若甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题．求：
(1)甲、乙两人至多一人测试合格的概率；
(2)甲答对的试题数X的分布列和均值．
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考向3 二项分布
例4 (2022·湖北联考)某中学将立德树人融入到教育的各个环节，开展“职业体验，导航人
生”的社会实践教育活动，让学生站在课程“中央”．为了更好地了解学生的喜好情况，根
据学校实际将职业体验分为：救死扶伤的医务类、除暴安良的警察类、百花齐放的文化类、
公平正义的法律类四种职业体验类型，并在全校学生中随机抽取100名学生调查意向选择喜
好类型，统计如下：
类型 救死扶伤的医务类 除暴安良的警察类 百花齐放的文化类 公平正义的法律类
人数 30 20 20 30
在这100名学生中，随机抽取了3名学生，并以统计的频率代替职业意向类型的概率(假设
每名学生在选择职业类型时仅能选择其中一类，且不受其他学生选择结果的影响)．
(1)求救死扶伤的医务类、除暴安良的警察类这两种职业类型在这3名学生中都有选择的概
率；(2)设这3名学生中选择除暴安良的警察类的随机数为X，求X的分布列与均值．
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规律方法 求随机变量X的均值与方差的方法及步骤
(1)理解随机变量X的意义，写出X可能的全部取值；
(2)求X取每个值时对应的概率，写出随机变量X的分布列；
(3)由均值和方差的计算公式，求得均值E(X)，方差D(X)；
(4)若随机变量X的分布列为特殊分布列(如：两点分布、二项分布、超几何分布)，可利用特
殊分布列的均值和方差的公式求解．
跟踪演练2 (2022·广东联考)如图，某市有南、北两条城市主干道，在出行高峰期，北干道
有N ，N ，N ，N ，四个交通易堵塞路段，它们被堵塞的概率都是，南干道有S ，S ，两个
1 2 3 4 1 2
交通易堵塞路段，它们被堵塞的概率分别为，.某人在高峰期驾车从城西开往城东，假设以
上各路段是否被堵塞互不影响．
(1)求北干道的N ，N ，N ，N 四个易堵塞路段至少有一个被堵塞的概率；
1 2 3 4
(2)若南干道被堵塞路段的个数为X，求X的分布列及均值E(X)；
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(3)若按照“平均被堵塞路段少的路线是较好的高峰期出行路线”的标准，则从城西开往城
东较好的高峰期出行路线是哪一条？请说明理由．
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考点三 正态分布
核心提炼
解决正态分布问题的三个关键点
(1)对称轴x＝μ.
(2)样本标准差σ.(3)分布区间：利用3σ原则求概率时，要注意利用μ，σ分布区间的特征把所求的范围转化为
3σ的特殊区间．
例5 (1)(2022·太原模拟)已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，若P(X≥1＋a)＝P(X≤1－
a)，则μ等于( )
A．0 B．1 C．2 D．－1
(2)(多选)(2022·长春质检)国家质量监督检验标准中，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据
长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率X～N(0.937 2，
0.013 92).若生产状态正常，则下列结论正确的是( )
A．P(X≤0.9)<0.5
B．X的取值在(0.93,0.943 9)内的概率与在(0.937 2，0.951 1)内的概率相等
C．P(X<0.9)＝P(X>0.974 4)
D．记ξ表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于μ＋2σ的数量，则P(ξ≥1)>0.6
(参考数据：若 X～N(μ，σ2) (σ>0)，则 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋
2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3；0.9850≈0.364)
规律方法 利用正态曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线
x＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1，注意下面三个结论的灵活运用：
(1)对任意的a，有P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)．
(2)P(X<x)＝1－P(X≥x)．
0 0
(3)P(a<X<b)＝P(X<b)－P(X≤a)．
跟踪演练3 (1)(2022·株洲质检)某工厂有甲、乙两条生产线生产同一型号的机械零件，产品
的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，X～N(μ ，σ)，Y～N(μ ，σ)，其正态分
1 2
布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是( )
A．甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性
B．甲生产线产品的稳定性低于乙生产线产品的稳定性
C．甲生产线的产品尺寸均值大于乙生产线的产品尺寸均值
D．甲生产线的产品尺寸均值小于乙生产线的产品尺寸均值
(2)(2022·哈尔滨模拟)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线
上随机抽取，并测量零件的直径尺寸，根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下
生产的零件直径尺寸X(单位：cm)服从正态分布N(18,4)，若X落在[20,22]内的零件个数为2
718，则可估计所抽取的这批零件中直径X高于22的个数大约为(附：若随机变量服从正态分布 N(μ，σ2)，则 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－
3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3)( )
A．27 B．40 C．228 D．455
