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第 2 讲 随机变量及其分布
[考情分析] 离散型随机变量的分布列、均值、方差和概率的计算问题常常结合在一起进行
考查，重点考查超几何分布、二项分布及正态分布，以解答题为主，中等难度．
考点一 分布列的性质及应用
核心提炼
离散型随机变量X的分布列为
X x x … x … x
1 2 i n
P p p … p … p
1 2 i n
则(1)p≥0，i＝1,2，…，n.
i
(2)p＋p＋…＋p＝1.
1 2 n
(3)E(X)＝xp＋xp＋…＋xp＋…＋xp.
1 1 2 2 i i n n
(4)D(X)＝[x－E(X)]2p＋[x－E(X)]2p＋…＋[x－E(X)]2p.
1 1 2 2 n n
(5)若Y＝aX＋b，
则E(Y)＝aE(X)＋b，
D(Y)＝a2D(X)．
例1 (1)(2022·保定模拟)若离散型随机变量X的分布列为P(X＝k)＝alog (1≤k≤7，k∈Z)，
2
则P(20.974 4)
D．记ξ表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于μ＋2σ的数量，则P(ξ≥1)>0.6
(参考数据：若 X～N(μ，σ2) (σ>0)，则 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋
2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3；0.9850≈0.364)
规律方法 利用正态曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线
x＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1，注意下面三个结论的灵活运用：
(1)对任意的a，有P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)．
(2)P(X
