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6.7 均值与方差在生活中的运用（精练）（基础版）
题组一 均值与方差的性质
1．（2020·浙江·磐安县第二中学）已知随机变量 的分布列如下表所示：
0 1 2
若 ，则（ ）
A． > ， > B． < ， >
C． > ， < D． < ， <
【答案】A
【解析】 ，
，
由于 ，所以 .
，
同理可得 .
，所以 .
故选：A
2．（2023·全国·高三专题练习）设 ，随机变量 的分布列为
X 0 1 2
b
P
则当 在 内增大时（ ）
A． 增大 B． 减小 C． 先减小后增大 D． 先增大后减小
【答案】A
【解析】根据随机变量分布列的性质可知 ，
，
，
因为 ，所以 单调递增，
故选：A
3．（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）设 ，随机变量X的分布列是（ ）
X 0 1
P b
则当a在 内增大时，（ ）
A． 增大 B． 减小 C． 先增大再减小 D． 先减小再增大
【答案】C【解析】因为 ，所以 ，
因为 ，
所以
所以当 时， 增大 增大，当 时， 减小 减小.
故选：C.
4．（2022·全国·高三专题练习）从装有 个白球和 个黑球的袋中无放回任取 个球，每个球取到的概率
相同，规定：
（1）取出白球得 分，取出黑球得 分，取出 个球所得分数和记为随机变量
（2）取出白球得 分，取出黑球得 分，取出 个球所得分数和记为随机变量
则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【解析】根据题意 ， ， ， ，分布列如
下：
根据题意 ， ， ， ，分布列如下：，
，
，
，
可得 ，
故选：C.
5．（2022·浙江·三模）随机变量 的分布列如下所示，其中 ，则下列说法中正确的
是（ ）
0 1
P
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据分布列可得： ，
则 ，
因为 ，故 ，即 ．令 （ ）
则
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减
又因为
所以 与 大小无法确定
故选：D．
6．（2022·浙江绍兴·模拟预测）设 ，随机变量 的分布列分别如下，则( )
0 1 2
P
0 1 2
P
A．若 ，则 B．若 ，则C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】A
【解析】设随机变量为X，其可能的取值是 ，对应概率为 ，
则其数学期望(均值)为 ，
其方差为：
，
则 ， ，
；
， ，
；
∴ ，
若 ，则 ， ，故 ，即 ，故A正确，B错误；
若 ，则 ，但无法判断 与1的大小，故无法判断 的大小，故CD错
误．故选：A．
7．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知某商场销售一种商品的单件销售利润为 ，a，2，根据
以往销售经验可得 ，随机变量X的分布列为
X 0 a 2
P b其中结论正确的是（ ）A．
B．若该商场销售该商品5件，其中3件销售利润为0的概率为
C．
D．当 最小时，
【答案】ABC
【解析】由题意， ， ，故选项A正确；该商场销售该商品5件，其中3件销售利润为0
的概率为 ，故选项B正确；随机变量X的期望值 ，可
知方差
，当 时， ，故选项C正确；当 时，
，故选项D错误.
故选：ABC.
题组二 利用均值做决策
1．（2023·全国·高三专题练习）某学校组织“纪念共青团成立100周年”知识竞赛，有A，B，C三类问题，
每位参加比赛的同学需要先选择一类并从中随机抽取一个问题回答，只有答对当前的问题才有资格从下一
类问题中再随机抽取一个问题回答．A类问题中的每个问题回答正确得10分，否则得0分；B类问题中的
每个问题回答正确得20分，否则得0分，C类问题中的每个问题回答正确得30分，否则得0分．已知小
康同学能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，能正确回答C类问题的概率为0.4，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
(1)若小康按照 的顺序答题，记X为小康的累计得分，求X的分布列；
(2)相比较小康自选的 的答题顺序，小康的朋友小乐认为按照 的顺序答题累计得分期望更大，小
乐的判断正确吗？并说明理由．
【答案】(1)答案见解析;
(2)小乐的判断正确；理由见解析
【解析】（1）由题可知，X的所有可能取值为0，30，50，60
所以
X的分布列为
X 0 30 50 60
P 0.6 0.16 0.048 0.192
（2）由（1）知， ．若小康按照 顺序答题，记
Y为小康答题的累计得分，则Y的所有可能取值为0，10，30，60,
所以
故小乐的判断正确.
2．（2022·全国·高三专题练习）甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为：应聘者从6道备选题中一
次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完
成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是 ，且每题正确完成与否互不影响.
(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列；
(2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大？
【答案】(1)答案见解析
(2)甲通过面试的概率较大
【解析】(1)设 为甲正确完成面试题的数量， 为乙正确完成面试题的数量，
由题意可得 的可能取值为： ， ，所以 ， ， ，
所以 的分布列为：
1 2 3
由题意可得 ，
所以 ， ，
， ，
所以 的分布列为：
0 1 2 3
(2) ， .
，
，
因为 ，所以甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的概率较大.
3．（2022·全国·模拟预测（理））污水处理厂同时对两套污水处理系统进行改造升级，现进入到系统调试
阶段，受各种因素影响，经测算，污水处理量变化情况的分布如下．
系统甲：
日污水处理量 增加 保持不变 降低系统乙：
日污水处理量 增加 保持不变 降低
(1)若至少有一套系统的日污水处理量增加的概率大于 ，求 的取值范围．
(2)已知改造前甲、乙两套系统的日污水处理量分别为 万吨和 万吨．若 ，你认为改造后哪套系统
的日污水处理量的期望更大？请说明理由．
【答案】(1)
(2)乙系统的日污水处理量的期望更大，理由见解析
【解析】(1)若至少有一套系统的日污水处理量增加的概率大于 ，则两套系统的日污水处理量都不增加的
概率小于 ， ，解得： ，
又 ， ， ；
的取值范围为 .
(2)记 为改造后甲系统的日污水处理量； 为改造后乙系统的日污水处理量；
则 所有可能的取值为 ， ， ； 所有可能的取值为 ， ， ；
， ， ； ， ， ；
， ，
， 乙系统的日污水处理量的期望更大.
4．（2023·全国·高三专题练习）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含 ）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙
以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；
(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
【答案】(1)0.4(2) (3)丙
【解析】(1)由频率估计概率可得
甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，丙获得优秀的概率为0.5，故答案为0.4
(2)设甲获得优秀为事件A,乙获得优秀为事件A，丙获得优秀为事件A
1 2 3
，
，
，
.
∴X的分布列为
X 0 1 2 3
P
∴
(3)丙夺冠概率估计值最大.
因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为 ，甲获得9.80的概率为 ，
乙获得9.78的概率为 .并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利.5．（2022·内蒙古·海拉尔）甲，乙两队进行篮球比赛，已知甲队每局赢的概率为 ，乙队每局赢
的概率为 ．每局比赛结果相互独立．有以下两种方案供甲队选择：
方案一：共比赛三局，甲队至少赢两局算甲队最终获胜；
方案二：共比赛两局，甲队至少赢一局算甲队最终获胜．
(1)当 时，若甲队选择方案一，求甲队最终获胜的概率；
(2)设方案一、方案二甲队最终获胜的概率分别为 ，讨论 的大小关系；
(3)根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
【答案】(1) (2) (3)答案见解析
【解析】(1)设甲队选择方案一最终获胜为事件A .
(2)若甲队选择方案一，则甲队最终获胜的概率为
若甲队选择方案二，则甲队最终获胜的概率为
因为 所以 .
(3)在方案一中，若甲队第一局赢，则甲队最终获胜概率会变大，此时继续比赛即为方案二，故方案二甲最
终获胜的概率会变大．
题组三 均值与其他知识综合
1．（2022·江苏·苏州市第六中学校三模）2022年冬奥会刚刚结束，比赛涉及到的各项运动让人们津津乐道．
高山滑雪（Alpine Skiing）是以滑雪板、雪鞋、固定器和滑雪杖为主要用具，从山上向山下，沿着旗门设
定的赛道滑下的雪上竞速运动项目，冬季奥运会高山滑雪设男子项目、女子项目、混合项目．其中，男子
项目设滑降、回转、大回转、超级大回转、全能5个小项，其中回转和大回转属技术项目，现有90名运动
员参加该项目的比赛，组委会根据报名人数制定如下比赛规则：根据第一轮比赛的成绩，排名在前30位的运动员进入胜者组，直接进入第二轮比赛，排名在后60位的运动员进入败者组进行一场加赛，加赛排名在
前10位的运动员从败者组复活，进入第二轮比赛，现已知每位参赛运动员水平相当．
(1)从所有参赛的运动员中随机抽取5人，设这5人中进入胜者组的人数为X，求X的分布列和数学期望；
(2)从败者组中选取10人，其中最有可能有多少人能复活？试用你所学过的数学和统计学理论进行分析．
【答案】(1)分布列见解析，数学期望为 ;(2)最有可能有1人能复活．
【解析】(1)每位运动员进入胜者组的概率为 ，且 ，
所以 ，其中 ．
所以 ，
，
，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4 5
P
其数学期望为 ．
(2)设从败者组选取的10人中有k人复活．
因为每位败者组运动员复活的概率为 ，所以 ，
所以 ．
当 最大时，应满足即 解得 ，
又因为 ，所以 ，即最有可能有1人能复活．
2．（2022·湖北·鄂南高中模拟预测）已知 两个投资项目的利润率分别为随机变量 和 ，根据市场
分析， 和 的分布列如下：
(1)在 两个项目上各投资200万元， 和 （单位：万元）表示投资项目 和 所获得的利润，求
和 ；
(2)将 万元投资 项目， 万元投资 项目， 表示投资 项目所得利润的方差与
投资 项目所得利润的方差之和.则当 为何值时， 取得最小值？
【答案】(1) =24， =36；(2) .
【解析】(1)依题意得：
10 20
4 16 24
，.
(2)设投资 项目所获利润为 ，投资 项目所获利润为 .
，
故当 时， 取得最小值.
3．（2022·安徽·蚌埠二中模拟预测（理））某从事智能教育技术研发的科技公司开发了一个“AI作业”项
目，并且在甲、乙两个学校的高一学生中做用户测试．经过一个阶段的试用，为了解“AI作业”对学生学
习的促进情况，该公司随机抽取了200名学生，对他们“向量数量积”知识点掌握情况进行调查，样本调
查结果如下表：
甲校 乙校
使用AI作业 不使用AI作业 使用AI作业 不使用AI作业
基本掌握 32 28 50 30
没有掌握 8 14 12 26
用样本频率估计概率，并假设每位学生是否掌据“向量数量积”知识点相互独立．
(1)从两校高一学生中随机抽取1人，估计该学生对“向量数量积”知识点基本掌握的概率；
(2)从样本中没有掌握“向量数量积”知识点的学生中随机抽取2名学生，以 表示这2人中使用AI作业的
人数，求 的分布列和数学期望；
(3)从甲校高一学生中抽取一名使用“Al作业”的学生和一名不使用“AI作业”的学生，用“ ”表示
该使用“AI作业”的学生基本掌握了“向量数量积”，用“ ”表示该使用“AI作业”的学生没有掌
握“向量数量积”，用“ ”表示该不使用“AI作业”的学生基本掌握了“向量数量积”，用“
”表示该不使用“AI作业”的学生没有掌握“向量数量积”．直接写出方差DX和DY的大小关系．（结论不要求证明）
【答案】(1) ；
(2)分布列见解析，期望为 ；
(3) ；
【解析】(1)在两所学校被调查的200名学生中，
对“向量数量积”知识点基本掌握的学生有140人，
所以估计从两校高一学生中随机抽取1人．
该学生对“向量数量积”知识点基本掌握的概率为
(2)
依题意， ，1，2，且 ，
， ，
所以 的分布列为：
0 1 2
P
故
(3)
由题意，易知 服从二项分布 ， ，
服从二项分布 ， ，故 .
4．（2022·广东佛山·模拟预测）甲、乙两队进行一轮篮球比赛，比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队
先胜3局即获胜，比赛结束）．在每一局比赛中，都不会出现平局，甲每局获胜的概率都为 ．(1)若 ，比赛结束时，设甲获胜局数为X，求其分布列和期望 ；
(2)若整轮比赛下来，甲队只胜一场的概率为 ，求 的最大值．
【答案】(1)分布列见解析；期望为 (2)
【解析】(1)由题意可知，随机变量X的可能取值为0、1、2、3，
则 ， ， ，
随机变量X的分布列如下：
X 0 1 2 3
P
则
(2)甲队只胜一场的概率为 ，
则 ．
故当 时， ， 递增；
当 时， ， 递增；
则
5．（2022·江苏·南京市江宁高级中学模拟预测）2022年2月6日，中国女足在两球落后的情况下，以3比
2逆转击败韩国女足，成功夺得亚洲杯冠军，在之前的半决赛中，中国女足通过点球大战 惊险战胜日
本女足，其中门将朱钰两度扑出日本队员的点球，表现神勇．
(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有 的可能
性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑出点球的个数X的分布列和期望；
(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙、丁4名女足队员在某次传接球的训练中，球从甲脚
下开始，等可能地随机传向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外3人中的1人，
如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为 ，易知
．
①试证明 为等比数列；
②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为 ，比较 与 的大小．
【答案】(1)分布列见解析，
(2)①证明见解析；②
【解析】(1)解析1：分布列与期望
依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为 ，
门将在前三次扑出点球的个数X可能的取值为0，1，2，3，
， ，
， ，X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
期望 ．
（1）解析2：二项分布依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为 ，门将在前三次扑出点球的个数X可能的
取值为0，1，2，3，易知 ， ， ．X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
期望 ．
(2)
解析：递推求解
①第n次传球之前球在甲脚下的概率为 ，则当 时，第 次传球之前球在甲脚下的概率为 ，
第 次传球之前球不在甲脚下的概率为 ，则 ，
从而 ，又 ，∴ 是以 为首项．公比为 的等比数列．
②由①可知 ， ， ，故 ．
6．（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中达到笔
试优秀才能进入面试环节．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否达到优秀
相互独立．若某考生报考甲大学，每门科目达到优秀的概率均为 ，若该考生报考乙大学，每门科目达到
优秀的概率依次为 ， ， ，其中 ．
(1)若 ，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好有一门科目达到优秀的概率；
(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中达到优秀科目个数的期望为依据作出决
策，该考生更希望进入甲大学的面试环节，求 的范围．【答案】(1)该考生报考甲大学恰好有一门笔试科目优秀概率为 ；该考生报考乙大学恰好有一门笔试科目
优秀概率为 ；
(2) .
【解析】(1)设该考生报考甲大学恰好有一门笔试科目优秀为事件 ，则 ；
该考生报考乙大学恰好有一门笔试科目优秀为事件 ，则 ．
(2)该考生报考甲大学达到优秀科目的个数设为 ，
依题意， ，则 ，
该同学报考乙大学达到优秀科目的个数设为 ，随机变量 的可能取值为：0，1，2，3．
，
， ，
随机变量 的分布列：
0 1 2 3
，
因为该考生更希望进入甲大学的面试，则 ，即 ，解得 ，
所以 的范围为： .
