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8.4 均值与方差在生活中的运用（精练）（提升版）
题组一 均值与方差
1．（2020·浙江·磐安县第二中学）已知随机变量 的分布列如下表所示：
0 1 2
若 ，则（ ）
A． > ， > B． < ， >
C． > ， < D． < ， <
2．（2023·全国·高三专题练习）设 ，随机变量 的分布列为
X 0 1 2
b
P
则当 在 内增大时（ ）
A． 增大 B． 减小 C． 先减小后增大 D． 先增大后减小
3．（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）设 ，随机变量X的分布列是（ ）
X 0 1
P b
则当a在 内增大时，（ ）A． 增大 B． 减小 C． 先增大再减小 D． 先减小再增大
4．（2022·全国·高三专题练习）从装有 个白球和 个黑球的袋中无放回任取 个球，每个球取到的概率
相同，规定：
（1）取出白球得 分，取出黑球得 分，取出 个球所得分数和记为随机变量
（2）取出白球得 分，取出黑球得 分，取出 个球所得分数和记为随机变量
则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
5．（2022·浙江·三模）随机变量 的分布列如下所示，其中 ，则下列说法中正确的
是（ ）
0 1
P
A． B． C． D．
6．（2022·浙江绍兴·模拟预测）设 ，随机变量 的分布列分别如下，则( )
0 1 2
P
0 1 2P
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
7．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知某商场销售一种商品的单件销售利润为 ，a，2，根据
以往销售经验可得 ，随机变量X的分布列为
X 0 a 2
P b
其中结论正确的是（ ）A．
B．若该商场销售该商品5件，其中3件销售利润为0的概率为
C．
D．当 最小时，
题组二 利用均值做决策
1．（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）真人密室逃脱将玩家关在一间密闭的房间中，主持人讲述相关
的故事背景和注意事项，不同的主题有不同的故事背景，市面上较多的为电影主题，宝藏主题，牢笼主题
等．由甲、乙、丙三个人组成的团队参加真人密室逃脱，第一关解密码锁，3个人依次进行，每人必须在5
分钟内完成，否则派下一个人．3个人中只要有一人能解开密码锁，则该团队进入下一关，否则淘汰出局．
甲在5分钟内解开密码锁的概率为0.8，乙在5分钟内解开密码锁的概率为0.6，丙在5分钟内解开密码锁
的概率为0.5，各人是否解开密码锁相互独立．
(1)求该团队能进入下一关的概率；
(2)该团队以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目 的数学期望达到最小？并说明理由．2．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（理））核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾
液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质，如果有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为
阴性．某检测点根据统计发现，该处疑似病例核酸检测呈阳性的概率为 ．现有4例疑似病例，分别对其
取样检测，多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验．混合样本中只要有
病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性．若混合样本呈阳性，则再将该组中每一个备份的样本逐一进行化
验；若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再检验．现有以下两种方案：
方案一：逐个化验；
方案二：平均分成两组，每组两个样本混合在一起，再分组化验．
在新冠肺炎爆发初期，由于检查能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优”．
(1)求4个疑似病例中至少有1例呈阳性的概率；
(2)现将该4例疑似病例样本进行化验，请问：方案一、二中哪个较“优”？做出判断并说明理由．3．（2022·惠州模拟）惠州市某高中学校组织航天科普知识竞赛，分小组进行知识问题竞答.甲乙两个小组
分别从6个问题中随机抽取3个问题进行回答，答对题目多者为胜.已知这6个问题中，甲组能正确回答其
中4个问题，而乙组能正确回答每个问题的概率均为 .甲､乙两个小组的选题以及对每题的回答都是相互
独立，互不影响的.
（1）求甲小组至少答对2个问题的概率；
（2）若从甲乙两个小组中选拔一组代表学校参加全市决赛，请分析说明选择哪个小组更好？
4．（2022·福建模拟）冬季两项是第24届北京冬奥会的比赛项目之一，它把越野滑雪和射击两种特点不同
的竞赛项目结合在一起.其中 男子个人赛的规则如下：
①共滑行5圈（每圈 ），前4圈每滑行1圈射击一次，每次5发子弹；
②射击姿势及顺序为：第1圈滑行后卧射，第2圈滑行后立射，第3圈滑行后卧射，第4圈滑行后立射，
第5圈滑行直达终点；
③如果选手有 发子弹未命中目标，将被罚时 分钟；
④最终用时为滑雪用时、射击用时和被罚时间之和，最终用时少者获胜.
已知甲、乙两人参加比赛，甲滑雪每圈比乙慢36秒，甲、乙两人每发子弹命中目标的概率分别为 和
.假设甲、乙两人的射击用时相同，且每发子弹是否命中目标互不影响.
（1）若在前三次射击中，甲、乙两人的被罚时间相同，求甲胜乙的概率；
（2）若仅从最终用时考虑，甲、乙两位选手哪个水平更高？说明理由.5．（2022·湛江模拟）中医药传承数千年，治病救人济苍生.中国工程院院士张伯礼在接受记者采访时说：
“中医药在治疗新冠肺炎中发挥了核心作用，能显著降低轻症病人发展为重症病人的几率.对改善发热､咳
嗽､乏力等症状，中药起效非常快，对肺部炎症的吸收和病毒转阴都有明显效果.”2021年12月某地爆发了
新冠疫情，医护人员对确诊患者进行积极救治.现有6位症状相同的确诊患者，平均分成A，B两组，A组
服用甲种中药，B组服用乙种中药.服药一个疗程后，A组中每人康复的概率都为 ，B组3人康复的概率
分别为 ， ， .
（1）设事件C表示A组中恰好有1人康复，事件D表示B组中恰好有1人康复，求 ；
（2）若服药一个疗程后，每康复1人积2分，假设认定：积分期望值越高药性越好，请问甲､乙两种中药
哪种药性更好？题组三 均值与其他知识综合
1．（2022·平江模拟）新冠疫情在西方国家大流行，国际卫生组织对某国家进行新型冠状病毒感染率抽样
调查．在某地抽取n人，每人一份血样，共 份，为快速有效地检验出感染过新型冠状病毒者，
下面给出两种方案：
方案甲：逐份检验，需要检验n次；
方案乙：混合检验，把受检验者的血样分组，假设某组有 份，分别从k份血样中取出
一部分血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，则说明这k个人全部为阴性，因而这k个人的血样只要
检验这一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确这k个人中究竟哪些人感染过新型冠状病毒，就要对这
k个人的血样再逐份检验，因此这k个人的总检验次数就为 ．
假设在接受检验的人中，每个人血样检验结果是阳性还是阴性是相互独立的，且每个人血样的检验结果是
阳性的概率为 ．
（1）若 ， ，用甲方案进行检验，求5人中恰有2人感染过新型冠状病毒的概率；
（2）记 为用方案乙对k个人的血样总共需要检验的次数．
①当 ， 时，求 ；
②从统计学的角度分析，p在什么范围内取值，用方案乙能减少总检验次数？（参考数据：
）2．（2022·武昌模拟）接种新冠疫苗，可以有效降低感染新冠肺炎的几率，某地区有A、B、C三种新冠疫
苗可供居民接种，假设在某个时间段该地区集中接种第一针疫苗，而且这三种疫苗的供应都很充足.为了节
省时间和维持良好的接种秩序，接种点设置了号码机，号码机可以随机地产生A、B、C三种号码(产生每
个号码的可能性都相等)，前去接种第一针疫苗的居民先从号码机上取一张号码，然后去接种与号码相对应
的疫苗(例如：取到号码A，就接种A种疫苗，以此类推).若甲、乙、丙、丁四个人各自独立的去接种第一
针新冠疫苗.
（1）记甲、乙、丙、丁四个人中接种疫苗A的人数为 ，求随机变量 的数学期望；
（2）记甲、乙、丙、丁四个人中接种疫苗的种数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望.3（2022·黄山模拟）“红五月”将至，学校文学社拟举办“品诗词雅韵，看俊采星驰”的古诗词挑战赛，
挑战赛分为个人晋级赛和决赛两个阶段.个人晋级赛的试题有2道“是非判断”题和 道“信息连线”题，
其中4道“信息连线”题是由电脑随机给出错乱排列的四句古诗词和四条相关的诗词背景（如诗词题名、
诗词作者等），要求参赛者将它们一一配对，每位参赛选手只有一次挑战机会.比赛规则为：电脑随机同时
给出 道“是非判断”和4道“信息连线”题，要求参赛者全都作答，若有四道或四道以上答对，则该选
手晋级成功.
（1）设甲同学参加个人晋级赛，他对电脑给出的2道“是非判断”题和4道“信息连线”题都有且只有一
道题能够答对，其余的4题只能随机作答，求甲同学晋级成功的概率；
（2）已知该校高三（1）班共有 位同学，每位同学都参加个人晋级赛，且彼此相互独立.若将（1）中甲
同学晋级的概率当作该班级每位同学晋级的概率，设该班晋级的学生人数为 .
①问该班级成功晋级的学生人数最有可能是多少？说明理由；
②求随机变量 的方差.4．（2022·江西·南昌二中高三开学考试（理））某商场为吸引顾客，增加顾客流量，决定开展一项有奖游
戏．参加一次游戏的规则如下：连续抛质地均匀的硬币三次（每次抛硬币结果相互独立），若正面朝上多
于反面朝上的次数，则得 分，否则得 分．一位顾客可最多连续参加 次游戏．
(1)求顾客甲在一次游戏中正面朝上次数 的分布列与期望；
(2)若连续参加游戏获得的分数总和不小于 分，即可获得一份大奖．顾客乙准备连续参加 次游戏，则他
获得这份大奖的概率多大？
5．（2022·北京市第五中学三模）2022 年春节后，新冠肺炎的新变种奥密克戎在我国部分地区爆发. 该病毒是一种人传人，不易被人们直接发现，潜伏期长且传染性极强的病毒. 我们把与该病毒感染者有过密切
接触的人群称为密切接触者. 一旦发现感染者，社区会立即对其进行流行性病医学调查，找到其密切接触
者进行隔离观察. 调查发现某位感染者共有 10 位密切接触者，将这 10 位密切接触者隔离之后立即进行
核酸检测. 核酸检测方式既可以采用单样本检测，又可以采用 “ 合 1 检测法”. “ 合 1 检测法”
是将 个样本混合在一起检测，若混合样本呈阳性，则该组中各个样本再全部进行单样本检测; 若混合
样本呈阴性，则可认为该混合样本中每个样本都是阴性. 通过病毒指标检测，每位密切按触者为阴性的概
率为 ，且每位密切接触者病毒指标是否为阴性相互独立.
(1)现对 10 个样本进行单样本检测，求检测结果最多有1个样本为阳性的概率 的表达式;
(2)若对 10 个样本采用 “5合1检测法” 进行核酸检测. 用 表示以下结论:
①求某个混合样本呈阳性的概率;
②设总检测次数为 ，求 的分布列和数学期望 .
6（2022·泰安二模）为提升教师的命题能力，某学校将举办一次教师命题大赛，大赛分初赛和复赛，初赛
共进行3轮比赛，3轮比赛命制的题目分别适用于高一，高二，高三年级，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：每一轮比赛，限时60分钟，参赛教师要在指定的知识范围内，命制非解答题，解答题各2道，
若有不少于3道题目入选，将获得“优秀奖”，3轮比赛中，至少获得2次“优秀奖”的教师将进入复赛．
为能进入复赛，教师甲赛前多次进行命题模拟训练，指导老师从教师甲模拟训练命制的题目中，随机抽取
了4道非解答题和4道解答题，其中有3道非解答题和2道解答题符合入选标准．
（1）若从模拟训练命制的题目中所抽取的8道题目中，随机抽取非解答题，解答题各2道，由此来估计教
师甲在一轮比赛中的获奖情况，试预测教师甲在一轮比赛中获“优秀奖”的概率；
（2）若以模拟训练命制的题目中所抽取的8道题目中两类题目各自入选的频率作为每道该类题目入选的概
率，经指导老师对教师甲进行赛前强化训练后，每道非解答题入选的概率不变，每道解答题入选的概率比
强化训练前大 ，以获得“优秀奖”次数的期望作为判断依据，试预测教师甲能否进入复赛？
