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第 02 讲 用样本估计总体 (精练）
A 夯实基础 B 能力提升 C 综合素养
A 夯实基础
一、单选题
1．（2022·全国·高一单元测试）新莽铜嘉量是由王莽国师刘歆等人设计制造的标准量器，它包括了龠
（yuè）､合､升､斗､斛这五个容量单位.每一个量又有详细的分铭，记录了各器的径､深､底面积和容积.现根
据铭文计算，当时制造容器时所用的圆周率分别为3.1547，3.1992，3.1498，3.2031，比《周髀算经》的
“径一而周三”前进了一大步，则上面4个数据与祖冲之给出的约率（ ）､密率（
）这6个数据的中位数与极差分别为（ ）
A．3.1429，0.0615 B．3.1523，0.0615 C．3.1498，0.0484 D．3.1547，0.0484
2．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知甲、乙两组按从小到大顺序排列的数据：甲组：
14，30，37， ，41，52，53，55，58，80；乙组：17，22，32， ，45，47，51，59．若甲组数据的第
30百分位数和乙组数据的中位数相等，则 等于（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．（2022·全国·高一课时练习）已知某6个数据的平均数为4，方差为8，现加入数据2和6，此时8个数
据的方差为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
4．（2022·新疆·和硕县高级中学高一期末）某班数学兴趣小组组织了线上“统计”全章知识的学习心得交
流：
甲同学说：“在频率分布直方图中，各小长方形的面积的总和小于1”；
乙同学说：“简单随机抽样因为抽样的随机性，可能会出现比较‘极端’的样本．相对而言，分层随机抽
样的样本平均数波动幅度更均匀”；
丙同学说：“扇形图主要用于直观描述各类数据占总数的比例”；
丁同学说：“标准差越大，数据的离散程度越小”．
以上四人中，观点正确的同学个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））为了解学生参加知识竞赛的情况，随机抽样了甲、乙
两个小组各 名同学的成绩，得到如图的两个频率分布直方图，记甲、乙的平均分分别为 、 ，标准
差分别为 、 ，根据直方图估计甲、乙小组的平均分及标准差，下列描述正确的是（ ）A． ， B． ，
C． ， D． ，
6．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校高一期末）关于用统计方法获取数据，分析数据，下列结论错误的
是（ ）
A．某食品加工企业为了解生产的产品是否合格，合理的调查方式为抽样调查
B．为了解高一学生的视力情况，现有高一男生480人，女生420人，按性别进行分层抽样，样本量按比
例分配，若从女生中抽取的样本量为63，则样本容量为135
C．若甲､乙两组数据的标准差满足 则可以估计乙比甲更稳定
D．若数据 的平均数为 ，则数据 的平均数为
7．（2022·河南·商丘市第一高级中学高一阶段练习）甲、乙、丙、丁四人各掷骰子5次（骰子每次出现的
点数可能为1，2，3，4，5，6），并分别记录每次出现的点数，四人根据统计结果对各自的试验数据分别
做了如下描述：①中位数为3，众数为5；②中位数为3，极差为3；③中位数为1，平均数为2；④平均数
为3，方差为2；可以判断一定没有出现6点的描述共有（ ）
A．1人 B．2人 C．3人 D．4人
8．（2022·山东烟台·高一期末）某零件加工厂认定工人通过试用期的方法为：随机选取试用期中的5天，
再从每天生产的零件中分别随机抽取25件，要求每天合格品均不低于22件．若甲、乙、丙三人在其5天
抽检样本中的合格品件数统计如下，甲：中位数为24，极差不超过2；乙：平均数为23，方差不超过1；
丙：众数为23，方差不超过1，则一定能通过试用期的有（ ）
A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丙 D．甲、乙、丙
二、多选题
9．（2022·全国·高一单元测试）已知一组样本数据 ， ，…， ，由这组数据得到新样本数据 ， ，
…， ，其中 （ ）， 为非零常数，则这两组样本数据的数字特征相同的是（ ）
A．平均数 B．方差 C．众数 D．极差
10．（2022·广东茂名·高二期末）冬季奥林匹克运动会，是世界规模最大的冬季综合性运动会.自1924年起，
每四年举办一届.2022年2月在北京举办了第24届冬季奥林匹克运动会，为了宣传奥运精神，红星实验学
校组织了甲乙两个社团，利用一周的时间对外进行宣传，将每天宣传的次数绘制成如下频数分布折线图，
则（ ）A．甲社团宣传次数的众数小于乙社团宣传次数的众数
B．甲社团宣传次数的极差大于乙社团宣传次数的极差
C．甲社团宣传次数的平均数大于乙社团宣传次数的平均数
D．甲社团宣传次数的方差大于乙社团宣传次数的方差
三、填空题
11．（2022·全国·高一单元测试）已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是3，3，5，3，6，
11，若这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则丢失的数据可能是___________.（答案不唯一，
写出一个即可）
12．（2022·全国·高一单元测试）佩香囊是端午节传统习俗之一，香囊内通常填充一些中草药，有清香、
驱虫的功效．经研究发现一批香囊中一种草药甲的含量x（单位：克）与香囊功效y之间满足 ，
现从中随机抽取了6个香囊，得到香囊中草药甲的含量的平均数为6克，香囊功效的平均数为15，则这6
个香囊中草药甲含量的标准差为______克．
四、解答题
13．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校高一期末）从某校高一年级新生中随机抽取一个容量为20的身高
样本，数据如下（单位： ，数据间无大小顺序要求）：
(1)若 为这组数据的一个众数，求 的取值集合；
(2)若样本数据的第90百分位数是173，求 的值；
(3)若 ，试估计该校高一年级新生的平均身高.
14．（2022·陕西渭南·高一期末）某职业学校的甲、乙两学生到某工厂实习加工某种零件，并且每天甲、
乙两人都进行比赛，规定一天内平均每小时加工的合格零件数多者胜出.如下统计表是甲、乙两人在5天的
比赛中，每天平均每小时加工的合格零件数的统计表.已知甲、乙两学生这5天的比赛中，每天平均每小时加工的合格零件数的平均数都是10.
1
甲 7 m 10 12
2
乙 8 8 9 n 12
(1)求m，n的值；
(2)用 ，s分别表示一天内平均每小时加工的合格零件数的平均值和标准差，规定：一天内平均每小时加
工的合格零件数为x，若满足 ，则当天的工作状态视为超常发挥；若满足 ，则当天
的工作状态视为稳定发挥；若满足 ，则当天的工作状态视为失常发挥.计划从甲、乙两人中选一人
参加技术比赛，现有两个方案：
方案一：根据甲、乙两人加工的合格零件数的平均数和方差，选择参加技术比赛的选手；
方案二：根据甲、乙两人在5天的比赛中超常发挥的天数，选择参加技术比赛的选手.
当选用两个不同方案时，分别判断应选择谁参加技术比赛.
参考数据： ， .
B 能力提升
1．（2022·全国·高一课时练习）已知A，B两家公司的员工月均工资（单位：万元）情况分别如图1，图2
所示：
(1)以每组数据的区间中点值为代表，根据图1估计A公司员工月均工资的平均数、中位数，你认为用哪个
数据更能反映该公司普通员工的工资水平？请说明理由．
(2)小明拟到A，B两家公司中的一家应聘，以公司普通员工的工资水平作为决策依据，他应该选哪个公司？
2．（2022·山东济宁·高一期末）一水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去30天苹果的
日销售量（单位：千克），得到频率分布表（图①）和频率分布直方图（图2）如下：频
分组 频率
数
[50，60） 1
[60，70） 0 0
[70，80） 4
[80，90） a b
[90，100） 8
[100，110） c
[110，120] 1
合计 30 1
图①
(1)求频率分布表中a，b，c的值，并求过去30天内苹果的日平均销售量（单位：kg）（同组数据用该组区
间中点值代表，结果精确到个位数）；
(2)一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求，店长希望每天的苹果尽量新鲜，
又能80%地满足顾客的需求（在100天中，大约有80天可以满足顾客的需求.）请根据频率分布表或频率
分布直方图，估计每天应该进多少千克苹果？（结果精确到个位数）
(3)店长每天进的苹果中有一等果和二等果两种苹果等级，根据以往30天的销售记录，两种等级的苹果按
售价销售的日销售率（某等次的苹果当天销量与该等次苹果进货量的比值）和进价､售价如下表：
进
销售率 售价 占当日进货量的比值
价一等
5元 8元 m
果
二等
4元 6元
果
根据以往销售方案，当日未售出的苹果统一按照原销售价的50%全部处理完.假设未来一段时间，每天进的
苹果总量为（2）中估计的每天苹果的进货量，根据以往30天销售记录，若该店每日销售苹果的利润不低
于200元，求m的最小值.
C 综合素养
1．（2022·山东淄博·高一期末）将某市20到80岁的居民按年龄分组为 ， ， ，
， ， ，并制作频率分布直方图如下：
(1)根据频率分布直方图，估计该市20到80岁居民年龄的第80百分位数；
(2)为了解该市居民参与“健步走”活动的实际情况，从该市20到80岁的居民中随机抽取若干人作问卷调
查．我们把年龄段 的居民参与“健步走”活动的人数与该年龄段居民数之比称为年龄段 居民“健步
走”活动参与指数（简称健参指数），用 表示．被调查居民各年龄段的健参指数如下：
年龄段
0.4 0.5 0.6 0.7 0.75 0.4
假若该市20到80岁的常住居民有100万人，利用样本估计总体的思想，解决下面的问题：
（i）估算该市20到80岁的居民中“健步走”活动的参与人数；
（ii）据权威部门对全国“健步走”活动参与人群调查发现，如果排除20岁以下和80岁以上的居民，60岁以下的人比60岁及以上的人更喜爱“健步走”活动．通过计算 与 的值，判断本次调查所得
结果是否与权威部门给出的结论相符？若不相符，请你从统计学的角度分析产生差异的原因（结论开放，
写出其中一条原因即可）．
2．（2022·黑龙江齐齐哈尔·高一期末）某学校为了了解高二年级学生数学运算能力，对高二年级的200名
学生进行了一次测试.已知参加此次测试的学生的分数 全部介于45分到95分之间（满分
100分），该校将所有分数分成5组： ， ，…， ，整理得到如下频率分布直方图（同
组数据以这组数据的中间值作为代表）．
(1)求 的值，并估计此次校内测试分数的平均值 ；
(2)学校要求按照分数从高到低选拔前20名的学生进行培训，试估计这20名学生的最低分数；
(3)试估计这200名学生的分数 的方差 ，并判断此次得分为52分和94分的两名同学的成
绩是否进入到了 范围内？
（参考公式： ，其中 为各组频数；参考数据： ）
