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2.2 基本不等式（精练）（基础版）
题组一 直接型
1．（2022·全国·课时练习）设x，y满足 ，且x，y都是正数，则 的最大值是( )
A．400 B．100 C．40 D．20
【答案】A
【解析】∵ ，当且仅当 时，等号成立，∴ 的最大值为400故选：A．
2．（2021·重庆）已知两个正数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A．3 B．6 C． D．
【答案】B
【解析】 ，当且仅当 时取等号，所以 的最小值为6，故选：
3．（2021·云南·砚山县第三高级中学）已知正实数 、 满足 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由基本不等式可得 ，当且仅当 时，等号成立.因此， 的最小值
是 .故选：B.
4．（2022·河南濮阳）若a>0，b>0，a，b的等差中项是1，且 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】利用等差中项性质，得 ，
由均值不等式得 （当且仅当 时，等号成立），所以 ，所以 ，
所以 最小值为1.故选：A.5．（2022·河南南阳）已知 ， 且 ，则 的最大值为（ ）
A．2 B．5 C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，当且仅当 时，等号成立.
所以 的最大值为 .故选：D
6．（2022·河南）已知公差不为0的等差数列 中， （m， ），则mn的最大值为
（ ）
A．6 B．12
C．36 D．48
【答案】C
【解析】由题设及等差数列的性质知： ，又m， ，
所以 ，即 ，当且仅当 时等号成立.所以mn的最大值为 .故选：C
7．（2022·广东茂名）若a，b都为正实数且 ，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ， 都为正实数， ，所以 ，
当且仅当 ，即 时， 取最大值 .故选：D
8．（2022·山西）已知 ， ， ，则 的最大值为（ ）
A．0 B． C． D．1
【答案】A
【解析】∵ ， ， ，∴ ，当且仅当a＝b＝1时，取等号.故选：A.
9．（2022·广东·深圳市高级中学）设正实数 满足 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由基本不等式可得 ，即 ，解得 ，当且仅当 ，即 ，
时，取等号，故选：C.
10．（2022·北京大兴）当 时， 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ， ，又 ，当且仅当 ，即
时等号成立，所以 的最大值为 故选：B
题组二 常数替代型
1．（2022·安徽·高三阶段练习）已知 ， ， ，则 的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】C
【解析】因为 ， ， ，所以
，当且仅当 ，即 ， 时
取等号；故选：C
2．（2022·河南·许昌高中）已知a，b为正实数，且 ，则 的最小值为（ ）A．1 B．6 C．7 D．
【答案】B
【解析】由已知条件得， ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，∴ 的最小值为6；故选：B.
3．（2022·辽宁·沈阳二中二模）已知a，b为正实数，且 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】D
【解析】因为a，b为正实数，且 ，
所以 .
当且仅当 ，即 时取等号.故选：D
4．（2022·福建·模拟预测）已知 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A．13 B．19 C．21 D．27
【答案】D
【解析】 ，当且仅当 ，即 ，b＝
6时，等号成立，故 的最小值为27故选：D
5．（2022·天津·高三专题练习）若正实数 ， 满足 ，则 的最小值是（ ）
A．4 B． C．5 D．9
【答案】B
【解析】因为 ， 是正实数，所以 故有 ，当且仅当 ，即 ， 时取到等号.故选：B.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，
当且仅当 时，等号成立.故选：B
7．（2022·全国·高三专题练习）实数 ， 且满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 ， ，则 ，由 ，则 ，
∴ ，当
且仅当 时等号成立.∴ 的最小值为 .故选：C.
8．（2022·全国·高三专题练习）若 ，则 的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】D
【解析】由题意得 ，则 ，所以 ，即 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，所以 的最小值为4.故选：D
9．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 可得 ，所以 ，
因为 ， ，则 ，
当且仅当 即 时等号成立，所以 的最小值为 ，故选：A.
10．（2022·广东珠海·高三期末）非负实数x，y满足 ，则 的最小值为______．
【答案】0
【解析】当 时， ；当x， 时，由 得 ，
所以 （当且仅当 时，等号成立）．所以 的
最小值为0．故答案为：
11．（2022·重庆长寿·高三期末）已知 ，则 的最小值为______．
【答案】9
【解析】因为 ，所以x＋2y＝xy，x＞0，y＞0，所以 ，则 ，当且仅当 且 ，即x＝y＝3时
取等号．故答案为：9
题组三 配凑型
1．（2022·全国·高三专题练习）函数 的最大值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．-1
【答案】D
【解析】 ，
当且仅当 ,即 等号成立.故选：D.
2．（2022·全国·高三专题练习）若函数 在 处取最小值，则 （ ）
A． B．2 C．4 D．6
【答案】C
【解析】由题意， ，而
，当且仅当 ，即 时，等号成立，所以 .故选：C.
3．（2022·全国·高三专题练习）若 ，则 有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2
【答案】D
【解析】∵ ，∴ ，∴ ，当且仅当 ，即 时，等号成立，即 有最小值2.故选：D.
4．（2022·安徽省蚌埠第三中学）已知x>3，则对于 ，下列说法正确的是（ ）
A．y有最大值7 B．y有最小值7 C．y有最小值4 D．y有最大值4
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，所以 ，当且仅当
，即 时取等号，所以 有最小值 ；故选：B
5．（2022·安徽省舒城中学）若 ，则 的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，
∴ ，
当且仅当 时，即 时取等号，所以 的最小值为1.故选：D.
6．（2022·甘肃·兰州市第二中学）若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ， ，
因此 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.故选：B.
7．（2022·全国·高三专题练习）若 ，且 ，则 的最小值为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
，
当且仅当 时，取等号，所以 的最小值为 .故选：C.
8．（2022·江西新余）已知正实数x，y满足4x+3y＝4，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由正实数x，y满足4x+3y＝4，可得2(2x+1)+(3y+2)＝8，
令a＝2x+1，b＝3y+2，可得2a+b＝8，
∴ ，即 ，当且
仅当 时取等号，∴ 的最小值为 .故选：A．
9．（2022·全国·高三专题练习）设 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】A
【解析】 ， ，，
当且仅当 ，即 时取等号故选：A
题组四 消元型
1．（2022·河南·郑州四中）已知a＞0，且a2－b＋4＝0，则 （ ）
A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 时取等号，∴ 有最小值 故选：D.
2．（2022·辽宁丹东）已知 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，
则 ，
因为 ，
当且仅当 ，即 时，取等号，所以 的最小值为 .故选：B.3．（2022·山东临沂）已知 ，且 ，则 有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 ，当且仅当 时等号成立.故选：A.
4．（2022·全国·高三专题练习）设正实数 ， ， 满足 ，则当 取得最大值时，
的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由正实数 ， ， 满足 ，
． ，
当且仅当 时取等号，此时 ．
，当且仅当 时取等号，即 的最大值是1．故选：D
5．（2021·江苏·常州市北郊高级中学）已知 ，且 ，则 最大值为______．
【答案】【解析】由 且 ，可得 ，代入 ，
又 ，
当且仅当 ，即 ，
又 ，可得 ， 时，不等式取等，即 的最大值为 ，故答案为： ．
题组五 求参范围
1．（2022·浙江·高三专题练习）若关于x的不等式 对任意实数x＞0恒成立，则实数a的取值
范围为（ ）
A．{a|﹣1≤a≤4} B．{a|a≤﹣2或a≥5} C．{a|a≤﹣1或a≥4} D．{a|﹣2≤a≤5}
【答案】A
【解析】∵x＞0，∴不等式x 2 4，当且仅当x＝2时，表达式取得最小值为4，
由关于x的不等式x a2﹣3a对任意实数x＞0恒成立，可得 4≥a2﹣3a，解得﹣1≤a≤4，故选：A．
2．（2022·山西·怀仁市第一中学校）已知 ，且 ，若 有解，则实数m的
取值范围为（ ）
A．（∞，1）∪（9，+∞） B．（9，1） C．[9，1] D．（1，9）
【答案】A
【解析】因为 ，且 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，此时 的最小值为9，
因为 有解，所以 ，即 ，解得 或 ，故选：A3．（2022·全国·高三专题练习）已知不等式 对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的
最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】由已知可得若题中不等式恒成立，则只要 的最小值大于等于9即可，
，
，
当且仅当 即 时等号成立， ，
或 舍去 ，即
所以正实数a的最小值为4.
故选：B.
4．（2022·全国·高三专题练习）若不等式 对 恒成立，则实数m的最大值为
（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【解析】将不等式化为 ，只需当 时， 即可，
由
，
当且仅当 时取等号，故 ,故m的最大值为9.故选：C5．（2022·全国·高三专题练习）（多选）若不等式 对 恒成立，则实数
的值可以为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】ABC
【解析】 ， 即 恒成立，
，则 ，
，
当且仅当 ，即 时等号成立， ．故选：ABC．
6．（2021·湖北·襄阳四中一模）已知 ， ，且 ，若 恒成立，则实数 的
取值范围是_______．
【答案】
【解析】∵ ， ，且 ，∴ ，
当且仅当 ，即 时等号成立，∴ 的最小值为8，
由 解得 ，∴ 实数 的取值范围是 故答案为： ．
7．（2022·山西晋中·二模（理））若对任意 ， 恒成立，则实数 的取值范围是
___________.
【答案】
【解析】因为对任意 ， 恒成立，只需满足 ，因为 ，所以 ，当且仅当 ，即 时取等号.
故实数 的取值范围是 .故答案为：
8．（2022·新疆·乌市八中）若不等式 对任意的 ， 恒成立，则m的最大值等于
___________．
【答案】9
【解析】 ， ， 恒成立， ，
．等号成立，当且仅当 ，∴m的最大值等于9．
故答案为：9
9．（2021·山东·牟平一中）若存在 ，使 成立，则 的取值范围是___________.
【答案】
【解析】依题意存在 ，使 成立，即存在 ，使得 ，即
，因为 ，所以 ，当且仅当 ，即 时取等号，所以
，即 的最大值为 ，所以 ，即 ；
故答案为：
