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第 3 讲 均值不等式及其应用
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.均值不等式
如果a，b都是正数，那么≥，当且仅当 a ＝ b 时，等号成立.数称为 a，b的算术平均值；数
称为 a，b的几何平均值.
2.两个重要的不等式
(1)a2＋b2≥ 2 ab (a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
3.利用均值不等式求最值
(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值 2 .
(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值 S 2 .
二、考点和典型例题
1、利用均值不等式求最值
【典例1-1】（2022·辽宁鞍山·二模）已知正实数a、b满足 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C．5 D．9
【答案】B
【详解】
，当且仅当 时等号成立.
故选：B.
【典例1-2】（（2022·山东潍坊·二模）已知正实数a，b满足 ，则 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【详解】
因为 ，所以 ，当且仅当 时等号成立，因为 ，
所以 ，即 ，所以 ，
即 ，因为 为正实数，所以 ，因此 ，故 的最大值为 ，此
时 ，
故选：B.
【典例1-3】（（2022·天津红桥·一模）设 ， ，若 ，则 的最小值为（ ）
A．6 B．9 C． D．18
【答案】B
【详解】
解： ， ，且 ，
且 ，
，
当且仅当 ，即 且 时取等号，
故 的最小值为9；
故选：B
【典例1-4】（（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学模拟预测）已知 ， ， ，则
的最小值为__．【答案】
【详解】
，当且仅当析 ， 时，等号成立.
故答案为：
【典例1-5】（（2022·天津南开·一模）若 ， ， ， ，则 的最小值为
______．
【答案】 ##
【详解】
由题意， ， ， ， 得： ，
设 ，则 ，
故
，
当且仅当 ，即 时取得等号，
故 的最小值为 ，
故答案为：
2、均值不等式的综合应用
【典例2-1】（2022·江苏·涟水县第一中学高三期中）已知 分别为双曲线 的左､右焦点，
为双曲线右支上任一点，则 最小值为（ ）
A．19 B．23 C．25 D．85
【答案】B【详解】
令 且 ，则 ，而 ，
所以 ，令 ，
则 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 ，即最小值为23.
故选：B
【典例2-2】（2022·陕西渭南·二模（理））若对 x， 都有 成立，则实数a
的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由 ，得 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，
，
，
由 ，得 ，当且仅当 时等号成立，
所以 的最大值为 ；由题意知， 恒成立，所以 ，
故a的最小值为 .
故选：B.
【典例2-3】（2022·河北·高三阶段练习）已知实数a，b满足条件 ，则 的最小值为
（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】D
【详解】
因为 ，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 ，
所以 ， ， ，
当且仅当 时等号成立，
所以 的最小值为2
故选：D.
【典例2-4】（2022·安徽黄山·二模（理））设 的内角 的对边分别为 ，且满足
，其中 ，若 ，则 面积的取值范围为
______________.
【答案】
【详解】
，
化简得： ，由正弦定理可得： ,
， ，
即 ， , 或 ，
即 或 ，又 ， ，即 ,
，又 ， ，当仅当
时等号成立，
，即 ， .
故答案为：
【典例2-5】（2022·浙江·高三开学考试）已知正实数a，b，c， ，则 的最小值为
_______________．
【答案】 ##
【详解】
由正实数a，b， ，可得 ，
所以
而 ，当且仅当 即 时取等号，
故
，
当且仅当 时，即 时取等号，故答案为：
3、均值不等式的实际应用
【典例3-1】两直立矮墙成 二面角，现利用这两面矮墙和篱笆围成一个面积为 的直角梯形菜园
墙足够长 ，则所用篱笆总长度的最小值为（ ）
A．16m B．18m
C． D．
【答案】B
【详解】
设 ，设篱笆长度为y，则 ， ，
梯形的面积为 ，
整理得 ，当 ，即 时等号成立，
所以篱笆总长度最小为18m．
故选：B
【典例3-2】如图，镇江金山的江天禅寺是历史悠久的佛教圣地，其周围的金山湖公园也成为市民休闲旅
游的最佳选择.为了扩大对家乡旅游的宣传，现对江天禅寺进行无人机拍照.已知慈寿塔DE的右侧是金山
湖，我们选择了三个点，分别是宝塔左侧一点A与湖对岸B，F点，设宝塔底部E点和这三个点在同一直
线上，无人机从A点沿AD直线飞行200米到达宝塔顶部D点后，然后再飞到F点的正上方，对山脚的江天禅寺EB区域进行拍照.现测得从A处看宝塔顶部D的仰角为60°， ， 米.若无人
机在C点处获得最佳拍照角度时（即 最大），该无人机离地面的高度为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D．200米
【答案】C
【详解】
在 中，由正弦定理得 ，
∴ ，
再由余弦定理： ，
∴ ，又 ，
所以 ， ，
设该无人机离地面的高度为 米，则
，
当且仅当： ，即 取等号，
此时无人机获得最佳拍照角度，该无人机离地面的高度为 米.
故选：C
【典例3-3】某校生物兴趣小组为开展课题研究，分得一块面积为32 的矩形空地，并计划在该空地上设
置三块全等的矩形试验区（如图所示）.要求试验区四周各空0.5 ，各试验区之间也空0.5 .则每块试验区的面积的最大值为___________ .
【答案】6
【详解】
设矩形空地的长为 m，则宽为 m，
依题意可得，试验区的总面积 ，
当且仅当 即 时等号成立，
所以每块试验区的面积的最大值为 .
故答案为：6
【典例3-4】蕲春县内有一路段A长325米，在某时间内的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千
米/小时）之间的函数关系为 ，交通部门利用大数据，采用“信号灯不再固定长短，交通
更加智能化”策略，红灯设置时间T（秒）＝路段长× ，那么在车流量最大时，路段A的
红灯设置时间为___________秒.
【答案】87.75##
【详解】
不妨设 ，
，
当且仅当 时等号成立.
千米/小时 米/秒此时红灯设置时间为 秒.
故答案为：
【典例3-5】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，建筑物的外墙需要建造隔热层，现某建筑物要
建造可使用20年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为6万元，该建筑物每年的能源消耗费用
（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系 ，若不建隔热层，则
该建筑物每年的能源消耗费为8万元．设 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)请写出 的表达式；
(2)隔热层建多厚时， 达到最小，并求出最小值．
【答案】(1)
(2)当隔热层修建为 厚时，总费用 达到最小值为70万元．
【解析】(1)
解：由题意， ，得 ，所以 ，
所以 ；
(2)
解：由（1）知， ，
所以 ，当且仅当 ，即
时取等号，
所以当隔热层修建为 厚时，总费用 达到最小值为70万元．
