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6.6 分布列基础（精练）（基础版）
题组一 超几何分布
1．（2022·云南·昆明市第一中学西山学校）国家“双减”政策落实之后，某市教育部门为了配合“双减”
工作，做好校园课后延时服务，特向本市小学生家长发放调查问卷了解本市课后延时服务情况，现从中抽
取100份问卷，统计了其中学生一周课后延时服务总时间(单位：分钟)，并将数据分成以下五组：
，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)根据如图估计该市小学生一周课后延时服务时间的众数、平均数、中位数(保留小数点后一位)；
(2)通过调查分析发现，若服务总时间超过160分钟，则学生有不满情绪，现利用分层随机抽样的方法从样
本问卷中随机抽取8份，再从抽取的8份问卷中抽取3份，记其中有不满情绪的问卷份数为 ，求 的分
布列及均值.
2．（2022·北京·高三专题练习）为迎接 年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核.记 表示学生的考核成绩，并规定 为考核优秀.为了了解本次培训
活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了 名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：.
(1)从参加培训的学生中随机选取 人，请根据图中数据，估计这名学生考核为优秀的概率；
(2)从图中考核成绩满足 的学生中任取 人，设 表示这 人中成绩满足 的人数，求
的分布列和数学期望；
(3)根据以往培训数据，规定当 时培训有效.请你根据图中数据，判断此次冰雪培训活动
是否有效，并说明理由.
3．（2022·宁夏中卫·三模（理））共享电动车（sharedev）是一种新的交通工具，通过扫码开锁，实现循
环共享.某记者来到中国传媒大学探访，在校园喷泉旁停放了10辆共享电动车，这些电动车分为荧光绿和
橙色两种颜色，已知从这些共享电动车中任取1辆，取到的是橙色的概率为 ，若从这些共享电动车中任意抽取3辆.
(1)求取出的3辆共享电动车中恰好有一辆是橙色的概率；
(2)求取出的3辆共享电动车中橙色的电动车的辆数X的分布列与数学期望.
4．（2022·广东·华南师大附中三模）“双减”政策实施后，为了解某地中小学生周末体育锻炼的时间，某
研究人员随机调查了600名学生，得到的数据统计如下表所示：
周末体育锻炼时间
频率 0.1 0.2 0.3 0.15 0.15 0.1
(1)估计这600名学生周末体育锻炼时间的平均数 ；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
(2)在这600人中，用分层抽样的方法，从周末体育锻炼时间在 内的学生中抽取15人，再从这15人
中随机抽取3人，记这3人中周末体育锻炼时间在 内的人数为X，求X的分布列以及数学期望
.
5．（2022·云南保山·模拟预测（理））某高中学校为了解学生的课外体育锻炼时间情况，在全校学生中随
机抽取了200名学生进行调查，并将数据分成六组，得到如图所示的频率分布直方图．将平均每天课外体
育锻炼时间在 上的学生评价为锻炼达标，将平均每天课外体育锻炼时间在 上的学生评价为锻炼不达标
(1)根据频率分布直方图估计这200名学生每天课外体育锻炼时间的众数、中位数；
(2)为了了解学生课外体育锻炼时间不达标的原因，从上述锻炼不达标的学生中按分层抽样的方法抽取10
人，再从这10人中随机抽取3人，记这三人中每天课外体育锻炼时间在 的人数为 ，求 的分布列
和数学期望．
6．（2022·北京市朝阳区人大附中朝阳分校模拟预测）自“新型冠状肺炎”疫情爆发以来，科研团队一直
在积极地研发“新冠疫苗”.在科研人员不懈努力下，我国公民率先在 年年末开始使用安全的新冠疫
苗，使我国的“防疫”工作获得更大的主动权.研发疫苗之初，为了测试疫苗的效果，科研人员以白兔为实
验对象，进行了一些实验：(1)实验一：选取 只健康白兔，编号 至 号，注射一次新冠疫苗后，再让它们暴露在含有新冠病毒的环
境中，实验结果发现：除 号､ 号､ 号和 号四只白兔仍然感染了新冠病毒，其他白兔未被感染.现从这
只白兔中随机抽取 只进行研究，将仍被感染的白兔只数记作 ，求 的分布列和数学期望.
(2)实验二：疫苗可以再次注射第二针､加强针，但两次疫苗注射时间间隔需大于三个月.科研人员对白兔多
次注射疫苗后，每次注射的疫苗对白兔是否有效互相不影响.试问：若将实验一中未被感染新冠病毒的白兔
的频率当做疫苗的有效率，那么一只白兔注射两次疫苗后的有效率能否保证达到 ？如若可以，请说明
理由；若不可以，请你参考上述实验给出注射疫苗后有效率在 以上的建议.
7．（2022·全国·高三专题练习（理））高二年级某班学生在数学校本课程选课过程中，已知第一小组与第
二小组各有六位同学.每位同学都只选了一个科目，第一小组选《数学运算》的有1人，选《数学解题思想
与方法》的有5人，第二小组选《数学运算》的有2人，选《数学解题思想与方法》的有4人，现从第一、
第二两小组各任选2人分析选课情况.
(1)求选出的4 人均选《数学解题思想与方法》的概率；
(2)设 为选出的4个人中选《数学运算》的人数，求 的分布列和数学期望．题组二 二项分布
1．（2022·北京·人大附中三模）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小
时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：
组
分组 频数
号
1 6
2 8
3 17
4 22
5 25
6 12
7 6
8 2
9 2合计 100
每周课外阅读时间小于 小时的学生我们称之为“阅读小白”，大于等于 小时且小于 小时的学生称之
为“阅读新手”，阅读时间大于等于 小时的学生称之为“阅读达人”.
(1)从样本中随机选取一名学生，已知这名学生的阅读时间大于等于 小时，问这名学生是“阅读达人”概
率；
(2)从该校学生中选取 人，用样本的频率估计概率，记这 人中“阅读新手和阅读小白”的人数和为 ，
求 的分布列和数学期望；
(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的 名学生该周课外阅读时间的
平均数在第几组.（只需写出结论）
2．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（理））《关于加快推进生态文明建设的意见》，正式把“坚持
绿水青山就是金山银山”的理念写进中央文件，成为指导中国加快推进生态文明建设的重要指导思想．为
响应国家号召，某市2020年植树节期间种植了一批树苗，2022年市园林部门从这批树苗中随机抽取100
棵进行跟踪检测，得到树高的频率分布直方图如图所示：(1)求树高在225-235cm之间树苗的棵数，并求这100棵树苗树高的平均值；
(2)若将树高以等级呈现，规定：树高在185-205cm为合格，在205-235为良好，在235-265cm为优秀．视
该样本的频率分布为总体的频率分布，若从这批树苗中机抽取3棵，求树高等级为优秀的棵数 的分布列
和数学期望．
3．（2022·新疆克拉玛依·三模（理））第 届北京冬季奥林匹克运动会于 年 月 日至 月 日在
北京和张家口联合举办.这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，它掀起了中国人民参与冬季运动的大热潮.
某市举办了中学生滑雪比赛，从中抽取40名学生的测试分数绘制成茎叶图和频率分布直方图如下，后来茎
叶图受到了污损，可见部分信息如图.(1)求频率分布直方图中的 值，并根据直方图估计该市全体中学生的测试分数的中位数和平均数（同一组
中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，结果保留一位小数）；
(2)将频率作为概率，若从该市全体中学生中抽取4人，记这4人中测试分数不低于90分的人数为X，求X
的分布列及数学期望.
4．（2022·全国·模拟预测）为了中国经济的持续发展制定了从2021年2025年发展纲要，简称“十四五”
规划，为了普及“十四五”的知识，某党政机关举行“十四五”的知识问答考试，从参加考试的机关人员
中，随机抽取100名人员的考试成绩的部分频率分布直方图，其中考试成绩在 上的人数没有统计出
来．(1)估算这次考试成绩的平均分数；
(2)把上述的频率看作概率，把考试成绩的分数在 的学员选为“十四五”优秀宣传员，若从党政机
关所有工作人员中，任选3名工作人员，其中可以作为优秀宣传员的人数为 ，求 的分布列与数学期望．
5．（2022·江苏苏州·模拟预测）如图，在数轴上，一个质点在外力的作用下，从原点 出发，每次等可能
地向左或向右移动一个单位，质点到达位置的数字记为 ．
(1)若该质点共移动2次，位于原点 的概率；
(2)若该质点共移动6次，求该质点到达数字 的分布列和数学期望．
6．（2022·北京通州·模拟预测）第 届冬季奥林匹克运动会，于 年 月在北京市和张家口市联合举
行．某校寒假期间组织部分滑雪爱好者参加冬令营集训．训练期间，冬令营的同学们都参加了“单板滑
雪”这个项目相同次数的训练测试，成绩分别为 、 、 、 、 五个等级，分别对应的分数为 、 、
、 、 ．甲、乙两位同学在这个项目的测试成绩统计结果如图所示．(1)根据上图判断，甲、乙两位同学哪位同学的单板滑雪成绩更稳定？（结论不需要证明）
(2)求甲单板滑雪项目各次测试分数的众数和平均数；
(3)若甲、乙再同时参加两次测试，设甲的成绩为 分并且乙的成绩为 分或 分的次数为 ，求 的分布
列（频率当作概率使用）．
题组三 独立重复实验
1．（2022·全国·高三专题练习（理））冰壶是2022年2月4日至2月20日在中国举行的第24届冬季奥运
会的比赛项目之一．冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线 的左侧）有一个发球区，运动员在
发球区边沿的投掷线 将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终
静止时距离营垒区圆心 的远近决定胜负，甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定冰壶的重心落在圆 中，得3分，冰壶的重心落在圆环 中，得2分，冰壶的重心落在圆环 中，得1分，其余情况均得0分．已
知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响，甲、乙得3分的概率分别为 ， ；甲、乙得2分的概率分别为 ，
；甲、乙得1分的概率分别为 ， ．
(1)求甲所得分数大于乙所得分数的概率；
(2)设甲、乙两人所得的分数之差的绝对值为 ，求 的分布列和期望．
2．（2022·全国·高三专题练习（理））为弘扬奥运精神，某校开展了“冬奥”相关知识趣味竞赛活动.现有
甲､乙两名同学进行比赛，共有两道题目，一次回答一道题目.规则如下：①抛一次质地均匀的硬币，若正
面向上，则由甲回答一个问题，若反面向上，则由乙回答一个问题.②回答正确者得10分，另一人得0分；
回答错误者得0分，另一人得5分.③若两道题目全部回答完，则比赛结束，计算两人的最终得分.已知甲答
对每道题目的概率为 ，乙答对每道题目的概率为 ，且两人每道题目是否回答正确相互独立.(1)求乙同学最终得10分的概率；
(2)记X为甲同学的最终得分，求X的分布列和数学期望.
3．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））“民族要复兴，乡村必振兴”，为了加强乡村振兴宣传
工作，让更多的人关注乡村发展，某校举办了有关城乡融合发展、人与自然和谐共生的知识竞赛.比赛分为
初赛和复赛两部分，初赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次答题机会，
选手累计答对3题或答错3题即终止比赛，答对3题者直接进入复赛，答错3题者则被淘汰.已知选手甲答
对每个题的概率均为 ，且相互间没有影响.
(1)求选手甲被淘汰的概率；
(2)设选手甲在初赛中答题的个数为X，试求X的分布列和数学期望.
4．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）某靶场有 ， 两种型号的步枪可供选用，其中甲使用 两种型
号的步枪的命中率分别为 , ；，
(1)若出现连续两次子弹脱靶或者子弹打光耗尽的现象便立刻停止射击，若击中标靶至少3次，则可以获得
一份精美礼品，若甲使用 型号的步枪，并装填5发子弹，求甲获得精美礼品的概率；
(2)现在 两把步枪中各装填3发子弹，甲打算轮流使用 两种步枪进行射击，若击中标靶，则继续
使用该步枪，若未击中标靶，则改用另一把步枪，甲首先使用 种型号的步枪，若出现连续两次子弹脱靶或者其中某一把步枪的子弹打光耗尽的现象便立刻停止射击，记 为射击的次数，求 的分布列与数学期
望．
5．（2022·全国·二模（理））“百年征程波澜壮阔，百年初心历久弥坚”．为庆祝中国建党一百周年，哈
市某高中举办了“学党史、知党情、跟党走”的党史知识竞赛．比赛分为初赛和决赛两个环节，通过初赛
选出两名同学进行最终决赛．若该高中A，B两名学生通过激烈的竞争，取得了初赛的前两名，现进行决
赛．规则如下：设置5轮抢答，每轮抢到答题权并答对则该学生得1分，答错则对方得1分．当分差达到2
分或答满5轮时，比赛结束，得分高者获胜．已知A，B每轮均抢答且抢到答题权的概率分别为 ， ，
A，B每一轮答对的概率都为 ，且两人每轮是否回答正确均相互独立．
(1)求经过2轮抢答A赢得比赛的概率；：(2)设经过抢答了X轮后决赛结束，求随机变量X的分布列和数学期望．
6．（2022·湖南·长沙市明德中学二模）沙滩排球是一项每队由两人组成的两队在由球网分开的沙地上进行
比赛的运动．它有多种不同的比赛形式以适应不同人、不同环境下的比赛需求．国家沙滩排球队为备战每
年一次的世界沙滩排球巡回赛，在文昌高隆沙湾国家沙滩排球训练基地进行封闭式训练．在某次训练中，
甲、乙两队进行对抗赛，每局依次轮流发球（每队不能连续发球），连续赢得 个球的队获胜并结束该局
比赛，并且每局不得超过 个球．通过对甲、乙两队过去对抗赛记录的数据分析，甲队发球甲队赢的概率
为 ，乙队发球甲队赢的概率为 ，每一个球的输赢结果互不影响，已知某局甲先发球．
(1)求该局第二个球结束比赛的概率；
(2)若每赢 个球记 分，每输一个球记 分，记该局甲队累计得分为 ，求 的分布列及数学期望．
题组四 正态分布
1．（2022·江苏省木渎高级中学模拟预测）2012年国家开始实施法定节假日高速公路免费通行政策，某收
费站统计了2021年中秋节前后车辆通行数量，发现该站近几天车辆通行数量 ，若
，则当 时下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．2．（2022·江苏·高三专题练习）随机变量 ，已知其概率分布密度函数 在
处取得最大值为 ，则 （ ）
附： ．
A．0.6827 B．0.84135 C．0.97725 D．0.9545
3．（2022·河南安阳·模拟预测（理））某房产销售公司有800名销售人员，为了了解销售人员上一个季度
的房屋销量，公司随机选取了部分销售人员对其房屋销量进行了统计，得到上一季度销售人员的房屋销量
，则全公司上一季度至少完成22套房屋销售的人员大概有（ ）
附：若随机变量X服从正态分布 ，则 ，
， ．
A．254人 B．127人 C．18人 D．36人
4．（2022·广东·大埔县虎山中学高三阶段练习）（多选）已知某校高三年级有1000人参加一次数学模拟
考试，现把这次考试的分数转换为标准分，标准分的分数转换区间为 ，若使标准分 服从正态分
布N ， ， ，
，则（ ）
A．这次考试标准分超过180分的约有450人
B．这次考试标准分在 内的人数约为997
C．甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为
D．
5．（2022·江苏无锡·模拟预测）（多选）老杨每天17：00下班回家，通常步行5分钟后乘坐公交车再步行到家，公交车有 两条线路可以选择．乘坐线路 所需时间（单位：分钟）服从正态分布 ，
下车后步行到家要5分钟；乘坐线路 所需时间（单位：分钟）服从正态分布 ，下车后步行到家
要12分钟．下列说法从统计角度认为合理的是（ ）
已知 时，有 ， ， ．
A．若乘坐线路 ，18：00前一定能到家
B．乘坐线路 和乘坐线路 在17：58前到家的可能性一样
C．乘坐线路 比乘坐线路 在17：54前到家的可能性更大
D．若乘坐线路 ，则在17：48前到家的可能性超过1%
6．（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量 ， ， ，
______.
7．（2022·山东·德州市教育科学研究院三模）已知某种袋装食品每袋质量 ，则随机抽取
10000袋这种食品，袋装质量在区间 的约___________袋（质量单位： ）.（附： ，
则 ， ， ）.
8．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（理））某市高一招生，对初中毕业学生进行体育测试，是激发
学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施．该市2022年初中毕业升学体育考试
规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳等三项测试，三项考试总分为50分，其中立定跳远
15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分．该市一初中学校为了在初三上学期开始时掌握全年级学生每分
钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到每段人数的频率分布直方图（如图），且规定计分
规则如表：每分钟跳绳个数
得分 17 18 19 20
若该初中学校初三年级所有学生的跳绳个数X服从正态分布 ，用样本数据的平均值和方差估计总
体的期望和方差，已知样本方差 （各组数据用中点值代替）．根据往年经验，该初中学校初三年
级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设今年正式测试时每人每分钟
跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个，现利用所得正态分布模型：
(1)预估全年级恰好有2000名学生时，正式测试每分钟跳182个以上的人数；（结果四舍五入到整数）
(2)若在全年级所有学生中任意选取3人，记正式测试时每分钟跳195个以上的人数为 ，求随机变量 的
分布列和期望．附：若随机变量X服从正态分布 ，则 ，
， ．9．（2022·海南海口·二模）为落实体育总局和教育部发布的《关于深化体教融合，促进青少年健康发展的
意见》，某校组织学生加强100米短跑训练．在某次短跑测试中，抽取100名男生作为样本，统计他们的
成绩（单位：秒），整理得到如图所示的频率分布直方图（每组区间包含左端点，不包含右端点）．
(1)若规定男生短跑成绩小于13.5秒为优秀，求样本中男生短跑成绩优秀的概率．
(2)估计样本中男生短跑成绩的平均数．（同一组的数据用该组区间的中点值为代表）
(3)根据统计分析，该校男生的短跑成绩X服从正态分布 ，以（2）中所求的样本平均数作为
的估计值．若从该校男生中随机抽取10人，记其中短跑成绩在 以外的人数为Y，求 ．
附：若 ，则 ． ．10．（2022·海南·模拟预测）每年4月15口为全民国家安全教育日，某地教育部门组织大学生“国家安
全”知识竞赛．已知当地只有甲、乙两所大学，且两校学生人数相等，甲大学学生的竞赛成绩 服从正态
分布 ，乙大学学生的竞赛成绩 服从正态分布 ．
(1)从甲大学中随机抽取5名学生，每名学生的竞赛成绩相互独立，设其中竞赛成绩在 内的学生人数
为 ，求 的数学期望；
(2)从两所大学所有学生中随机抽取1人，求该学生竞赛成绩在 内的概率；
(3)记这次竞赛所有大学生的成绩为随机变量 ，并用正态分布 来近似描述 的分布，根据（2）
中的结果，求参数 和 的值．（ 的值精确到0.1）
附：若随机变量 ，则 ， ．11．（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）教育部门最近出台了“双减”政策，即有效减轻义务教育阶段学生
过重作业负担和校外培训负担，持续规范校外培训（包括线上培训和线下培训）．“双减”政策的出台对
校外的培训机构经济效益产生了严重影响．某大型校外培训机构为了规避风险，寻求发展制定科学方案，
工作人员对2021年前200名报名学员的消费金额进行了统计整理，其中数据如表．
消费金额（千元）
人数 30 50 60 20 30 10
以频率估计概率，假设该大型校外培训机构2021年所有学员的消费金额可视为服从正态分布 ，
， 分别为报名前200名学员消费的平均数 以及方差 （同一区间的花费用区间的中点值替代）．
(1)求 和 的值；
(2)试估计该机构学员2021年消费金额为 的概率（保留一位小数）；
(3)若从该机构2021年所有学员中随机抽取4人，记消费金额为 的人数为 ，求 的期望和方差．
参考数据： ；若随机变量 ，则 ，
， ．
