文档内容
6.6 分布列基础（精练）（基础版）
题组一 超几何分布
1．（2022·云南·昆明市第一中学西山学校）国家“双减”政策落实之后，某市教育部门为了配合“双减”
工作，做好校园课后延时服务，特向本市小学生家长发放调查问卷了解本市课后延时服务情况，现从中抽
取100份问卷，统计了其中学生一周课后延时服务总时间(单位：分钟)，并将数据分成以下五组：
，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)根据如图估计该市小学生一周课后延时服务时间的众数、平均数、中位数(保留小数点后一位)；
(2)通过调查分析发现，若服务总时间超过160分钟，则学生有不满情绪，现利用分层随机抽样的方法从样
本问卷中随机抽取8份，再从抽取的8份问卷中抽取3份，记其中有不满情绪的问卷份数为 ，求 的分
布列及均值.
【答案】(1)150，151，150.9；(2)分布列见解析， .
【解析】(1)众数：150；
第1到5组频率分别为：0.05，0.15，0.55，0.2，0.05，
平均数： ，
设中位数为 ，则中位数在第3组，则 ， ；(2)用分层随机抽样抽取8份问卷，其中学生有不满情绪的有8×(0.2＋0.05)＝2份，
∴ 的可能取值为0，1，2，
∴ ， ， ，
∴ 的分布列为：
0 1 2
∴ .
2．（2022·北京·高三专题练习）为迎接 年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并
在培训结束后对学生进行了考核.记 表示学生的考核成绩，并规定 为考核优秀.为了了解本次培训
活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了 名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：.
(1)从参加培训的学生中随机选取 人，请根据图中数据，估计这名学生考核为优秀的概率；
(2)从图中考核成绩满足 的学生中任取 人，设 表示这 人中成绩满足 的人数，求
的分布列和数学期望；
(3)根据以往培训数据，规定当 时培训有效.请你根据图中数据，判断此次冰雪培训活动
是否有效，并说明理由.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)有效，理由见解析
【解析】
(1)解：设该名学生的考核成绩优秀为事件 ，由茎叶图中的数据可知， 名同学中，有 名同学的考核成绩为优秀，故 .
(2)解：由 可得 ，
所以，考核成绩满足 的学生中满足 的人数为 ，
故随机变量 的可能取值有 、 、 、 ，
， ， ， ，
所以，随机变量 的分布列如下表所示：
因此， .
(3)解：由 可得 ，由茎叶图可知，满足 的成绩有 个，
所以 ，因此，可认为此次冰雪培训活动有效.
3．（2022·宁夏中卫·三模（理））共享电动车（sharedev）是一种新的交通工具，通过扫码开锁，实现循
环共享.某记者来到中国传媒大学探访，在校园喷泉旁停放了10辆共享电动车，这些电动车分为荧光绿和
橙色两种颜色，已知从这些共享电动车中任取1辆，取到的是橙色的概率为 ，若从这些共享电动车
中任意抽取3辆.
(1)求取出的3辆共享电动车中恰好有一辆是橙色的概率；
(2)求取出的3辆共享电动车中橙色的电动车的辆数X的分布列与数学期望.
【答案】(1) ；
(2)分布列见解析，数学期望为 .
【解析】(1)因为从10辆共享电动车中任取一辆，取到橙色的概率为0.4，所以橙色的电动车有4辆，荧光绿的电动车有6辆.记A为“从中任取3辆共享单车中恰好有一辆是橙色”，则 .
(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
所以 ， ，
， .
所以分布列为
0 1 2 3
数学期望 .
4．（2022·广东·华南师大附中三模）“双减”政策实施后，为了解某地中小学生周末体育锻炼的时间，某
研究人员随机调查了600名学生，得到的数据统计如下表所示：
周末体育锻炼时间
频率 0.1 0.2 0.3 0.15 0.15 0.1
(1)估计这600名学生周末体育锻炼时间的平均数 ；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
(2)在这600人中，用分层抽样的方法，从周末体育锻炼时间在 内的学生中抽取15人，再从这15人
中随机抽取3人，记这3人中周末体育锻炼时间在 内的人数为X，求X的分布列以及数学期望
.
【答案】(1) ；(2)分布列答案见解析，数学期望： .
【解析】(1)估计这600名学生周末体育锻炼时间的平均数
.
(2)依题意，周末体育锻炼时间在 内的学生抽6人，在 内的学生抽9人，则 ， ， ， ，
故X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
则 .
5．（2022·云南保山·模拟预测（理））某高中学校为了解学生的课外体育锻炼时间情况，在全校学生中随
机抽取了200名学生进行调查，并将数据分成六组，得到如图所示的频率分布直方图．将平均每天课外体
育锻炼时间在 上的学生评价为锻炼达标，将平均每天课外体育锻炼时间在 上的学生评价为锻
炼不达标
(1)根据频率分布直方图估计这200名学生每天课外体育锻炼时间的众数、中位数；
(2)为了了解学生课外体育锻炼时间不达标的原因，从上述锻炼不达标的学生中按分层抽样的方法抽取10
人，再从这10人中随机抽取3人，记这三人中每天课外体育锻炼时间在 的人数为 ，求 的分布列
和数学期望．
【答案】(1)中位数为 ，众数等于25(2)分布列见解析，0.9
【解析】(1)众数就是直方图中最高矩形底边中点的横坐标，则样本众数等于25．
由频率分布直方图可得，在 上的频率为0.08，在 上的频率为0.16，在 上的频率为0.32，
，则中位数在区间 上．
设中位数为 ，则 ， ，即样本中位数为 ．(2)根据题意，在 ， ， ， 上抽取的人数分别为1，2，4，3，其中在 上抽取
的人数为3，则 ，1，2，3． ，
．
从而得到随机变量 的分布列如下表：
0 1 2 3
P
随机变量 的期望
6．（2022·北京市朝阳区人大附中朝阳分校模拟预测）自“新型冠状肺炎”疫情爆发以来，科研团队一直
在积极地研发“新冠疫苗”.在科研人员不懈努力下，我国公民率先在 年年末开始使用安全的新冠疫
苗，使我国的“防疫”工作获得更大的主动权.研发疫苗之初，为了测试疫苗的效果，科研人员以白兔为实
验对象，进行了一些实验：
(1)实验一：选取 只健康白兔，编号 至 号，注射一次新冠疫苗后，再让它们暴露在含有新冠病毒的环
境中，实验结果发现：除 号､ 号､ 号和 号四只白兔仍然感染了新冠病毒，其他白兔未被感染.现从这
只白兔中随机抽取 只进行研究，将仍被感染的白兔只数记作 ，求 的分布列和数学期望.
(2)实验二：疫苗可以再次注射第二针､加强针，但两次疫苗注射时间间隔需大于三个月.科研人员对白兔多
次注射疫苗后，每次注射的疫苗对白兔是否有效互相不影响.试问：若将实验一中未被感染新冠病毒的白兔
的频率当做疫苗的有效率，那么一只白兔注射两次疫苗后的有效率能否保证达到 ？如若可以，请说明
理由；若不可以，请你参考上述实验给出注射疫苗后有效率在 以上的建议.
【答案】(1)分布列见解析；数学期望 ；
(2)无法保证；建议：需要将注射一次疫苗的有效率提高到 以上.
【解析】(1)由题意得： 所有可能的取值为 ， ， ， ，
； ；； ；
的分布列为：
数学期望 ；
(2)由已知数据知：实验一中未被感染新冠病毒的白兔的频率为 ，则注射一次疫苗的有效率为 ，
一只白兔注射两次疫苗的有效率为： ，
无法保证一只白兔注射两次疫苗后的有效率达到 ；
设每支疫苗有效率至少达到 才能满足要求，
，解得： ，
需要将注射一次疫苗的有效率提高到 以上才能保证一只白兔注射两次疫苗后的有效率达到 .
7．（2022·全国·高三专题练习（理））高二年级某班学生在数学校本课程选课过程中，已知第一小组与第
二小组各有六位同学.每位同学都只选了一个科目，第一小组选《数学运算》的有1人，选《数学解题思想
与方法》的有5人，第二小组选《数学运算》的有2人，选《数学解题思想与方法》的有4人，现从第一、
第二两小组各任选2人分析选课情况.
(1)求选出的4 人均选《数学解题思想与方法》的概率；
(2)设 为选出的4个人中选《数学运算》的人数，求 的分布列和数学期望．
【答案】(1) (2)分布列见解析，期望为
【解析】(1)解：设“从第一小组选出的2人选《数学解题思想与方法》”为事件 ，“从第二小组选出的
2人选《数学解题思想与方法》”为事件 ,
由于事 件 、 相互独立，且 ，
所以选出的4人均选《数学解题思想与方法》的概率为 .
(2)解：由题意，随机变量 可能的取值为0，1，2，3，可得 ， ，
， ，
所以随机变量 的分布列为：
0 1 2 3
P
所以随机变量 的数学期望 .
题组二 二项分布
1．（2022·北京·人大附中三模）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小
时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：
组
分组 频数
号
1 6
2 8
3 17
4 22
5 25
6 127 6
8 2
9 2
合计 100
每周课外阅读时间小于 小时的学生我们称之为“阅读小白”，大于等于 小时且小于 小时的学生称之
为“阅读新手”，阅读时间大于等于 小时的学生称之为“阅读达人”.
(1)从样本中随机选取一名学生，已知这名学生的阅读时间大于等于 小时，问这名学生是“阅读达人”概
率；
(2)从该校学生中选取 人，用样本的频率估计概率，记这 人中“阅读新手和阅读小白”的人数和为 ，
求 的分布列和数学期望；
(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的 名学生该周课外阅读时间的
平均数在第几组.（只需写出结论）
【答案】(1) (2)分布列答案见解析， (3)第 组
【解析】(1)解：从样本中随机选取一名学生，其中阅读时间大于等于 小时的学生人数为 ，
“阅读达人”的学生人数为 ，故所求概率为 .(2)解：从该校学生中任选一人，该学生是“阅读小白”或“阅读新人”的概率为 ，
所以， ，则 ， ，
， ，
所以，随机变量 的分布列如下表所示：
.
(3)解：样本中的 名学生该周课外阅读时间的平均数为
.因此，样本中的 名学生该周课外阅读时间的平均数在第 组.
2．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（理））《关于加快推进生态文明建设的意见》，正式把“坚持
绿水青山就是金山银山”的理念写进中央文件，成为指导中国加快推进生态文明建设的重要指导思想．为
响应国家号召，某市2020年植树节期间种植了一批树苗，2022年市园林部门从这批树苗中随机抽取100
棵进行跟踪检测，得到树高的频率分布直方图如图所示：
(1)求树高在225-235cm之间树苗的棵数，并求这100棵树苗树高的平均值；
(2)若将树高以等级呈现，规定：树高在185-205cm为合格，在205-235为良好，在235-265cm为优秀．视
该样本的频率分布为总体的频率分布，若从这批树苗中机抽取3棵，求树高等级为优秀的棵数 的分布列
和数学期望．
【答案】(1) ； (2)分布列见解析；期望为【解析】(1)树高在225-235cm之间的棵数为： ．
树高的平均值为：
(2)由（1）可知，树高为优秀的概率为： ，
由题意可知 ，则 的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
故 的分布列为：
0 1 2 3
P 0.512 0.384 0.096 0.008
因为 ，所以
3．（2022·新疆克拉玛依·三模（理））第 届北京冬季奥林匹克运动会于 年 月 日至 月 日在
北京和张家口联合举办.这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，它掀起了中国人民参与冬季运动的大热潮.
某市举办了中学生滑雪比赛，从中抽取40名学生的测试分数绘制成茎叶图和频率分布直方图如下，后来茎
叶图受到了污损，可见部分信息如图.
(1)求频率分布直方图中的 值，并根据直方图估计该市全体中学生的测试分数的中位数和平均数（同一组
中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，结果保留一位小数）；(2)将频率作为概率，若从该市全体中学生中抽取4人，记这4人中测试分数不低于90分的人数为X，求X
的分布列及数学期望.
【答案】(1) ，中位数为 ，平均数为74.5；(2)分布列见解析， .
【解析】(1)由频率分布直方图和茎叶图知，测试分数在 的频率依次为：
，
因此，测试分数位于 的频率为 ，则 ，
显然测试分数的中位数t在区间 内，则有： ，解得： ，
测试分数的平均数为： .
(2)测试分数不低于90分的频率为 ， 的所有可能值是：0，1，2，3，4，
显然 ， ，
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
数学期望 .
4．（2022·全国·模拟预测）为了中国经济的持续发展制定了从2021年2025年发展纲要，简称“十四五”
规划，为了普及“十四五”的知识，某党政机关举行“十四五”的知识问答考试，从参加考试的机关人员
中，随机抽取100名人员的考试成绩的部分频率分布直方图，其中考试成绩在 上的人数没有统计出
来．(1)估算这次考试成绩的平均分数；
(2)把上述的频率看作概率，把考试成绩的分数在 的学员选为“十四五”优秀宣传员，若从党政机
关所有工作人员中，任选3名工作人员，其中可以作为优秀宣传员的人数为 ，求 的分布列与数学期望．
【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为
【解析】(1)设分数在 内的频率为x，根据频率分布直方图得，
，解得 ，
可知分数在 内的频率为0.25，则考试成绩的平均分数为
．
(2)根据频率分布直方图可知考试成绩在 的频率为 ，则 ．
，
， ，
故随机变量 的分布列为
0 1 2 3
P
因为该分布为二项分布，所以该随机变量的数学期望为 ．
5．（2022·江苏苏州·模拟预测）如图，在数轴上，一个质点在外力的作用下，从原点 出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，质点到达位置的数字记为 ．
(1)若该质点共移动2次，位于原点 的概率；
(2)若该质点共移动6次，求该质点到达数字 的分布列和数学期望．
【答案】(1) ;(2)分布列见解析， .
【解析】(1)质点移动2次，可能结果共有 种，
若质点位于原点 ，则质点需要向左、右各移动一次，共有 种，故质点位于原点 的概率 .
(2)质点每次移动向左或向右，设事件A为“向右”，则 为“向左”，故 ,
设Y表示6次移动中向左移动的次数，则 ，质点到达的数字 ,
所以 ,
， ，
， ，
， ，
所以 的分布列为：
2 4 6
.
6．（2022·北京通州·模拟预测）第 届冬季奥林匹克运动会，于 年 月在北京市和张家口市联合举
行．某校寒假期间组织部分滑雪爱好者参加冬令营集训．训练期间，冬令营的同学们都参加了“单板滑
雪”这个项目相同次数的训练测试，成绩分别为 、 、 、 、 五个等级，分别对应的分数为 、 、
、 、 ．甲、乙两位同学在这个项目的测试成绩统计结果如图所示．(1)根据上图判断，甲、乙两位同学哪位同学的单板滑雪成绩更稳定？（结论不需要证明）
(2)求甲单板滑雪项目各次测试分数的众数和平均数；
(3)若甲、乙再同时参加两次测试，设甲的成绩为 分并且乙的成绩为 分或 分的次数为 ，求 的分布
列（频率当作概率使用）．
【答案】(1)乙比甲的单板滑雪成绩更稳定
(2)众数为 分，平均数为 分
(3)分布列答案见解析
【解析】(1)解：由图可知，乙比甲的单板滑雪成绩更稳定.
(2)解：因为甲单板滑雪项目测试中 分和 分成绩的频率之和为 ，
分成绩的频率为 ，所以，甲单板滑雪项目各次测试分数的众数为 分，
测试成绩 分的频率为 ，
所以，甲单板滑雪项目各次测试分数的平均数为 .
(3)解：由题意可知，在每次测试中，甲的成绩为 分，并且乙的成绩为 分或 分的概率为
，
依题意， ，所以， ，
， ，
所以，随机变量 的分布列如下表所示：题组三 独立重复实验
1．（2022·全国·高三专题练习（理））冰壶是2022年2月4日至2月20日在中国举行的第24届冬季奥运
会的比赛项目之一．冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线 的左侧）有一个发球区，运动员在
发球区边沿的投掷线 将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终
静止时距离营垒区圆心 的远近决定胜负，甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定冰壶的重心落在圆 中，
得3分，冰壶的重心落在圆环 中，得2分，冰壶的重心落在圆环 中，得1分，其余情况均得0分．已
知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响，甲、乙得3分的概率分别为 ， ；甲、乙得2分的概率分别为 ，
；甲、乙得1分的概率分别为 ， ．
(1)求甲所得分数大于乙所得分数的概率；
(2)设甲、乙两人所得的分数之差的绝对值为 ，求 的分布列和期望．
【答案】(1) (2)分布列见解析，期望为：
【解析】(1)由题意知甲得0分的概率为 ，乙得0分的概率为 ，
甲所得分数大于乙所得分数分为：甲得3分乙得2或1或0分，甲得2分乙得1或0分，甲得1分乙得0分
所以所求概率为 ．
(2) 可能取值为0，1，2，3，所以，随机变量 的分布列为：
X 0 1 2 3
P
所以
2．（2022·全国·高三专题练习（理））为弘扬奥运精神，某校开展了“冬奥”相关知识趣味竞赛活动.现有
甲､乙两名同学进行比赛，共有两道题目，一次回答一道题目.规则如下：①抛一次质地均匀的硬币，若正
面向上，则由甲回答一个问题，若反面向上，则由乙回答一个问题.②回答正确者得10分，另一人得0分；
回答错误者得0分，另一人得5分.③若两道题目全部回答完，则比赛结束，计算两人的最终得分.已知甲答
对每道题目的概率为 ，乙答对每道题目的概率为 ，且两人每道题目是否回答正确相互独立.
(1)求乙同学最终得10分的概率；
(2)记X为甲同学的最终得分，求X的分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，X的数学期望为
【解析】(1)记“乙同学最终得10分”为事件A，
则可能情况为甲回答两题且错两题；甲､乙各答一题且各对一题；乙回答两题且对一题错一题，
则 ，所以乙同学得10分的概率是 .
(2)甲同学的最终得分X的所有可能取值是0，5，10，15，20.
，
，，
，
.
X的分布列为
X 0 5 10 15 20
P
，所以X的数学期望为 .
3．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））“民族要复兴，乡村必振兴”，为了加强乡村振兴宣传
工作，让更多的人关注乡村发展，某校举办了有关城乡融合发展、人与自然和谐共生的知识竞赛.比赛分为
初赛和复赛两部分，初赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次答题机会，
选手累计答对3题或答错3题即终止比赛，答对3题者直接进入复赛，答错3题者则被淘汰.已知选手甲答
对每个题的概率均为 ，且相互间没有影响.
(1)求选手甲被淘汰的概率；
(2)设选手甲在初赛中答题的个数为X，试求X的分布列和数学期望.
【答案】(1) (2)分布列见解析，
【解析】(1)设“选手甲被淘汰”为事件A，
因为甲答对每个题的概率均为 ，所以甲答错每个题的概率均为 .
则甲答了3题都错，被淘汰的概率为 ；
甲答了4个题，前3个1对2错，被淘汰的概率为 ；
甲答了5个题，前4个2对2错，被淘汰的概率为 .所以选手甲被海的概率 .
(2)易知X的可能取值为3，4，5，对应甲被淘汰或进入复赛的答题个数，
则 ，
，
.
X的分布列为
X 3 4 5
P(X)
则 .
4．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）某靶场有 ， 两种型号的步枪可供选用，其中甲使用 两种型
号的步枪的命中率分别为 , ；，
(1)若出现连续两次子弹脱靶或者子弹打光耗尽的现象便立刻停止射击，若击中标靶至少3次，则可以获得
一份精美礼品，若甲使用 型号的步枪，并装填5发子弹，求甲获得精美礼品的概率；
(2)现在 两把步枪中各装填3发子弹，甲打算轮流使用 两种步枪进行射击，若击中标靶，则继续
使用该步枪，若未击中标靶，则改用另一把步枪，甲首先使用 种型号的步枪，若出现连续两次子弹脱靶
或者其中某一把步枪的子弹打光耗尽的现象便立刻停止射击，记 为射击的次数，求 的分布列与数学期
望．
【答案】(1) (2)分布列见解析； 的数学期望为 .
【解析】(1)甲击中5次的概率为 ，甲击中4次的概率为 ，
甲击中3次的概率为 ，所以甲获得精美礼品的概率为 .
(2) 的所有可能取值为2,3,4,5,
，
，
，
，
所以 的分布列为：
2 3 4 5
所以 .
5．（2022·全国·二模（理））“百年征程波澜壮阔，百年初心历久弥坚”．为庆祝中国建党一百周年，哈
市某高中举办了“学党史、知党情、跟党走”的党史知识竞赛．比赛分为初赛和决赛两个环节，通过初赛
选出两名同学进行最终决赛．若该高中A，B两名学生通过激烈的竞争，取得了初赛的前两名，现进行决
赛．规则如下：设置5轮抢答，每轮抢到答题权并答对则该学生得1分，答错则对方得1分．当分差达到2
分或答满5轮时，比赛结束，得分高者获胜．已知A，B每轮均抢答且抢到答题权的概率分别为 ， ，
A，B每一轮答对的概率都为 ，且两人每轮是否回答正确均相互独立．
(1)求经过2轮抢答A赢得比赛的概率；：
(2)设经过抢答了X轮后决赛结束，求随机变量X的分布列和数学期望．
【答案】(1) (2)分布列见解析；期望为
【解析】(1)记事件C为“经过2轮抢答A赢得比赛”
A学生每轮得一分的概率 ，
B学生每轮得一分的概率 ，，所以经过2轮抢答A赢得比赛的概率为 ．
(2)X的可能取值为2，4，5．
2轮比赛甲赢或乙赢的概率为 ，
4轮比赛甲赢或乙赢的概率为 ，
5轮比赛甲赢或乙赢的概率为 ．
X的分布列为：
X 2 4 5
P
，数学期望为 ．
6．（2022·湖南·长沙市明德中学二模）沙滩排球是一项每队由两人组成的两队在由球网分开的沙地上进行
比赛的运动．它有多种不同的比赛形式以适应不同人、不同环境下的比赛需求．国家沙滩排球队为备战每
年一次的世界沙滩排球巡回赛，在文昌高隆沙湾国家沙滩排球训练基地进行封闭式训练．在某次训练中，
甲、乙两队进行对抗赛，每局依次轮流发球（每队不能连续发球），连续赢得 个球的队获胜并结束该局
比赛，并且每局不得超过 个球．通过对甲、乙两队过去对抗赛记录的数据分析，甲队发球甲队赢的概率
为 ，乙队发球甲队赢的概率为 ，每一个球的输赢结果互不影响，已知某局甲先发球．
(1)求该局第二个球结束比赛的概率；
(2)若每赢 个球记 分，每输一个球记 分，记该局甲队累计得分为 ，求 的分布列及数学期望．
【答案】(1) (2)分布列见解析，
【解析】(1)记：“甲队发球甲队赢”为事件 ，“乙队发球甲队赢”为事件 ，“第二个球结束比赛”为
事件 ，则 ， ， ， ，
因为事件 与 互斥，所以，
所以该局第二个球结束比赛的概率为 .
(2)依题意知随机变量 的所有可能取值为
；
；
；
.
所以 的分布列为
0 2 4 6
故数学期望 .
题组四 正态分布
1．（2022·江苏省木渎高级中学模拟预测）2012年国家开始实施法定节假日高速公路免费通行政策，某收
费站统计了2021年中秋节前后车辆通行数量，发现该站近几天车辆通行数量 ，若，则当 时下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因 ，且 ，则有 ，即 ，
不等式 为： ，则 ， ，
所以 ， ，A，B，D均不正确，C正确.故选：C
2．（2022·江苏·高三专题练习）随机变量 ，已知其概率分布密度函数 在
处取得最大值为 ，则 （ ）
附： ．
A．0.6827 B．0.84135 C．0.97725 D．0.9545
【答案】B
【解析】由题意 ， ， ，所以 ，
，所以 ，
．故选：B．
3．（2022·河南安阳·模拟预测（理））某房产销售公司有800名销售人员，为了了解销售人员上一个季度
的房屋销量，公司随机选取了部分销售人员对其房屋销量进行了统计，得到上一季度销售人员的房屋销量
，则全公司上一季度至少完成22套房屋销售的人员大概有（ ）
附：若随机变量X服从正态分布 ，则 ，
， ．
A．254人 B．127人 C．18人 D．36人
【答案】B【解析】因为 ，所以 ， ，所以
所以全公司上一季度至少完成22套房屋销售的
人员大概有 （人）；故选：B
4．（2022·广东·大埔县虎山中学高三阶段练习）（多选）已知某校高三年级有1000人参加一次数学模拟
考试，现把这次考试的分数转换为标准分，标准分的分数转换区间为 ，若使标准分 服从正态分
布N ， ， ，
，则（ ）
A．这次考试标准分超过180分的约有450人
B．这次考试标准分在 内的人数约为997
C．甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为
D．
【答案】BC
【解析】依题意得 ， ， ，因为 ，
所以这次考试标准分超过180分的约有 人，故A不正确；
，
所以这次考试标准分在 内的人数约为 人，故B正确；
依题意可知，每个人的标准分超过180分的概率为 ，
所以甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为 ，故C正确；，故D不正确.故选：BC
5．（2022·江苏无锡·模拟预测）（多选）老杨每天17：00下班回家，通常步行5分钟后乘坐公交车再步
行到家，公交车有 两条线路可以选择．乘坐线路 所需时间（单位：分钟）服从正态分布 ，
下车后步行到家要5分钟；乘坐线路 所需时间（单位：分钟）服从正态分布 ，下车后步行到家
要12分钟．下列说法从统计角度认为合理的是（ ）
已知 时，有 ， ， ．
A．若乘坐线路 ，18：00前一定能到家
B．乘坐线路 和乘坐线路 在17：58前到家的可能性一样
C．乘坐线路 比乘坐线路 在17：54前到家的可能性更大
D．若乘坐线路 ，则在17：48前到家的可能性超过1%
【答案】BC
【解析】若乘坐线路 ，18：02前能到家的可能性为
∴乘坐线路 ，18：00前不可能一定能到家，A错误；
乘坐线路 在17：58前到家的可能性
乘坐线路 在17：58前到家的可能性
∴乘坐线路 和乘坐线路 在17：58前到家的可能性一样，B正确；
乘坐线路 在17：54前到家的概率
乘坐线路 在17：54前到家的可能性
∴乘坐线路 比乘坐线路 在17：54前到家的可能性更大，C正确；
乘坐线路 ，则在17：48前到家的可能性 ，D错误；故选：BC．
6．（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量 ， ， ，
______.
【答案】【解析】已知随机变量 ， 知 ，
因为 ,所以 .故答案为： .
7．（2022·山东·德州市教育科学研究院三模）已知某种袋装食品每袋质量 ，则随机抽取
10000袋这种食品，袋装质量在区间 的约___________袋（质量单位： ）.（附： ，
则 ， ， ）.
【答案】8186
【解析】由题意得： ，
，
则 ，
故 ，
则袋装质量在区间 的约有 袋.
故答案为：8186
8．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（理））某市高一招生，对初中毕业学生进行体育测试，是激发
学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施．该市2022年初中毕业升学体育考试
规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳等三项测试，三项考试总分为50分，其中立定跳远
15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分．该市一初中学校为了在初三上学期开始时掌握全年级学生每分
钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到每段人数的频率分布直方图（如图），且规定计分
规则如表：每分钟跳绳个数
得分 17 18 19 20
若该初中学校初三年级所有学生的跳绳个数X服从正态分布 ，用样本数据的平均值和方差估计总
体的期望和方差，已知样本方差 （各组数据用中点值代替）．根据往年经验，该初中学校初三年
级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设今年正式测试时每人每分钟
跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个，现利用所得正态分布模型：
(1)预估全年级恰好有2000名学生时，正式测试每分钟跳182个以上的人数；（结果四舍五入到整数）
(2)若在全年级所有学生中任意选取3人，记正式测试时每分钟跳195个以上的人数为 ，求随机变量 的
分布列和期望．附：若随机变量X服从正态分布 ，则 ，
， ．
【答案】(1)1683(2)分布列见解析，1.5
【解析】(1)
又 所以正式测试时， ．
（人）
(2)由正态分布模型，全年级所有学生中任取1人，每分钟跳绳个数195以上的概率为0.5，
即 ，
的分布列为．
0 1 2 3
0.125 0.375 0.375 0.125
所以，
9．（2022·海南海口·二模）为落实体育总局和教育部发布的《关于深化体教融合，促进青少年健康发展的
意见》，某校组织学生加强100米短跑训练．在某次短跑测试中，抽取100名男生作为样本，统计他们的
成绩（单位：秒），整理得到如图所示的频率分布直方图（每组区间包含左端点，不包含右端点）．(1)若规定男生短跑成绩小于13.5秒为优秀，求样本中男生短跑成绩优秀的概率．
(2)估计样本中男生短跑成绩的平均数．（同一组的数据用该组区间的中点值为代表）
(3)根据统计分析，该校男生的短跑成绩X服从正态分布 ，以（2）中所求的样本平均数作为
的估计值．若从该校男生中随机抽取10人，记其中短跑成绩在 以外的人数为Y，求 ．
附：若 ，则 ． ．
【答案】(1) (2) (3)
【解析】(1)由频率分布直方图可得 ，解得 ，
所以样本中男生短跑成绩优秀的概率为 ．
(2)估计样本中男生短跑成绩的平均数为
．
(3)由（2）知 ，所以 ，
所以该校男生短跑成绩在 以外的概率为
根据题意 ，
所以 ．
10．（2022·海南·模拟预测）每年4月15口为全民国家安全教育日，某地教育部门组织大学生“国家安
全”知识竞赛．已知当地只有甲、乙两所大学，且两校学生人数相等，甲大学学生的竞赛成绩 服从正态
分布 ，乙大学学生的竞赛成绩 服从正态分布 ．(1)从甲大学中随机抽取5名学生，每名学生的竞赛成绩相互独立，设其中竞赛成绩在 内的学生人数
为 ，求 的数学期望；
(2)从两所大学所有学生中随机抽取1人，求该学生竞赛成绩在 内的概率；
(3)记这次竞赛所有大学生的成绩为随机变量 ，并用正态分布 来近似描述 的分布，根据（2）
中的结果，求参数 和 的值．（ 的值精确到0.1）
附：若随机变量 ，则 ， ．
【答案】(1) (2) (3) ， ．
【解析】(1) ，根据题意 ，
故 ．
(2)因为两所大学的学生人数相等，所以随机抽取1名学生，该学生来自两所大学的概率均为 ．设该学生
竞赛成绩为 ．则 ．
(3)由于两所大学的学生人数相等， 、 的方差也相等．根据正态曲线的对称性，可知 ．
由（2）可知 ．又根据参考数据 ，
所以 ，得 ．
11．（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）教育部门最近出台了“双减”政策，即有效减轻义务教育阶段学生
过重作业负担和校外培训负担，持续规范校外培训（包括线上培训和线下培训）．“双减”政策的出台对
校外的培训机构经济效益产生了严重影响．某大型校外培训机构为了规避风险，寻求发展制定科学方案，
工作人员对2021年前200名报名学员的消费金额进行了统计整理，其中数据如表．
消费金额（千元）
人数 30 50 60 20 30 10以频率估计概率，假设该大型校外培训机构2021年所有学员的消费金额可视为服从正态分布 ，
， 分别为报名前200名学员消费的平均数 以及方差 （同一区间的花费用区间的中点值替代）．
(1)求 和 的值；
(2)试估计该机构学员2021年消费金额为 的概率（保留一位小数）；
(3)若从该机构2021年所有学员中随机抽取4人，记消费金额为 的人数为 ，求 的期望和方差．
参考数据： ；若随机变量 ，则 ，
， ．
【答案】(1)8；8(2)0.8(3)
【解析】(1)由题意得 ，
；
(2)由（1）得 ，所以 ．
(3)由题意及（2）得 ， ， ，所以 ，
．
