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4.4 求和方法（精练）（基础版）
题组一 裂项相消
1．（2022·安徽滁州·二模）已知数列 满足： ，设
， ．则 __________．
【答案】
【解析】依题意 ， ，
所以数列 是首项 ，公比为 的等比数列，所以 ， .
， 也满足，
所以 ， ，
所以 .故答案为：
2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{bn}的前n项和Sn＝2n2﹣n，设数列{ }的前n项和为Kn，
则K 的值为 __．
20
【答案】
【解析】当n＝1时，b＝S＝2﹣1＝1，
1 1
当n≥2时， ，
且当n＝1时，4n﹣3＝1＝b，故数列{bn}的通项公式为：bn＝4n﹣3，
1
则 ，则 ．故答案为： ．
3．（2022·宁夏石嘴山·一模）已知 为等比数列，前n项和为 ， ， .
(1)求 的通项公式及前n项和 ；
(2)若 ，求数列 的前100项和 .
【答案】(1) ； (2)
【解析】(1)解：设公比为 ，
∵ ， ，∴ ，∴ ，∴ ；
(2)解：∵ ，∴ ，
∴ .
4．（2022·陕西·西安工业大学附中）设数列 的前n项积为 ，且 .
(1)求证数列 是等差数列；
(2)设 ，求数列 的前n项和 .
【答案】(1)证明见解析；(2) .
【解析】(1)因为数列 的前n项积为 ，且 ，
∴当n=1时， ，则 ， .当n≥2时， ，∴ ，
所以 是以 为首项， 为公差的等差数列；
(2)由（1）知数列 ，则由 得 ，
所以 ，
所以 .
5．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，若 （ 为非零常数），且
.
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求 的前 项和 ，并证明： .
【答案】(1) (2)证明见解析
【解析】(1)数列 的前 项和为 时, ,解得 0 ①
当 时， ②①-②得 ,则 即 (常数)
所以数列 是以 为首项, 为公比的等比数列.则
又 ，则 ，所以 或 （舍）故 .
(2)由于 所以 =则
因为 ，所以 ，所以
又 所以 随 的增大而减小
所以当 时， 取得最大值 故
6．（2022·黑龙江·哈九中二模）已知数列 满足 ， ．
(1)证明：数列 是等差数列，并求数列 的通项公式；
(2)记 ，求 的前n项和
【答案】(1)证明见解析， (2)
【解析】(1)当 时， ，得 ，
当 时，有 ， ，相除得
整理为： ，即 ，
∴ 为等差数列，公差 ，首项为 ；
所以 ，整理为： .
(2) ，7．（2022·广东梅州·二模）已知 是数列 的前 项和， ，___________.
① ， ；②数列 为等差数列，且 的前 项和为 .从以上两个条件中任选一个
补充在横线处，并求解：
(1)求 ；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)条件选择见解析， (2)
【解析】(1)解：选条件①： ， ，得 ，所以，
，
即数列 、 均为公差为 的等差数列，
于是 ，
又 ， ， ，所以 ；
选条件②：因为数列 为等差数列，且 的前 项和为 ，
得 ，所以 ，
所以 的公差为 ，
得到 ，则 ，当 ， .
又 满足 ，所以，对任意的 ， .
(2)解：因为 ，
所以
.
8．（2022·全国·模拟预测）已知数列 满足 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求 的前n项和 .
【答案】(1) (2)
【解析】(1)解：由 ，可得 ，即 ，
所以当 时， ， ， ， ，
将上述式子进行累加得 ，-
将 代入可得 ，即 .
当 时也满足上式，
所以数列 的通项公式 .
(2)解：由（1）得 ，则 .
题组二 错位相减
1．（2022·安徽黄山·二模）已知等差数列 和等比数列 满足 ，若数列 的前 项和为 ，
且 .
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)若数列 满足： ，求数列 的前n项和 .
【答案】(1) ， ;(2) .
【解析】(1)由 ①，可得 （ ）②，
由① ②得 （ ）
又 也符合上式，所以 ，
由 得 ，设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，则有
，
令 ，有 ，
令 ，有
解得 ， 或者
取 ，有 ，检验得 （舍去）
所以 ， ；
(2)由 得 ，所以
则
两式相减得，
2．（2022·安徽黄山·二模）已知数列 、 满足 ，若数列 是等比数列，且
．
(1)求数列 、 的通项公式；
(2)令 ，求 的前 项和为 .
【答案】(1) ， (2)
【解析】(1)
当 时， ， ，又 ，∴
是以 为首项， 为公比的等比数列，
∴当 时，
由累加法可得： ，又当 时， 也适合上式，∴
(2)
∴ ①
∴ ②
①-②得：
∴
3．（2022·安徽合肥·二模）记 为数列 的前 项和，已知 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)已知数列 满足________，记 为数列 的前 项和，证明： ．
从① ② 两个条件中任选一个，补充在第（2）问中的横线上并作答.
【答案】(1) (2)证明见解析
【解析】(1) ①，
当 时， ， ；当 时， ②①-②得，即
又 ，∴数列 是从第2项起的等比数列，即当 时， ．
．(2)若选择①： ，
．
若选择② ，则 ③， ④，
③-④得 ， ．
4．（2022·江苏省昆山中学高三阶段练习）已知数列 ， ， ．
(1)求 ， ， ，并求出数列 的通项公式；
(2)记 为数列 的前 项和，求 ．
【答案】(1) ， ， ， ；(2)
【解析】(1)解：由题意，数列 中， ， ，
所以 ， ， ，
两边同除 ，可得 ，即 ，
设 ，可得 ，
令 ，解得 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，可得 ，
所以数列 的通项公式为 .
(2)解：由 ，可得 ，则 ，
可得 ，
两式相减得到 ，
所以 .
5．（2022·天津·芦台二中模拟预测）设数列 的前 项和为 ， 为等比数列，且
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)设 ，求数列 前 项和 .
【答案】(1) ， ；(2) .
【解析】（1）对数列 ，由 ， ，
当 时， ， 也满足，
对数列 ，设其公比为 ， ，由 可得 ，解得 ，故
.
(2)因为 ，
故
，故 ，
，
.
6．（2022·安徽宣城·二模）数列 的前n项和为 ，且 ，记 为等比数列 的前n项和，
且 ， ．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)设数列 满足 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1) ， ；(2) .
【解析】(1)解：当 时， ．
当 时， 也满足上式，故数列 的通项公式为 ．
设 的公比为q，当 时，由题意可知 ， ，显然不成立．
当 时，依题意得 ，解得 ，所以 ．
(2)解：由（1）得 ，则
①，②
①—②得：
，
所以
7．（2022·陕西·模拟预测）已知等比数列 为递增数列，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前n项和为 ，证明： ．
【答案】(1) (2)证明见解析
【解析】(1)解：由题意， ，解得 或 ，
因为等比数列 为递增数列，所以 ，所以 ；
(2)解：由（1）知 ，
所以数列 的前n项和为 ，①
，②① ② 得 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 .
8．（2022·海南·模拟预测）已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，公比为 的等比数列
满足 .
(1)求数列 、 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
【答案】(1) ， (2)
【解析】(1)解：设等差数列 的公差为 ，则 ，解得 ，
所以， ， ，则 .
(2)解：因为 ，则 ，①
，②
① ②得 ，
因此， .
9．（2022·云南·昆明一中）已知数列 的前n项和 .
(1)判断数列 是否为等比数列，说明理由；(2)若 ，求数列 的前n项和 .
【答案】(1) 不是等比数列，证明见解析(2)
【解析】(1)当 时， ，因为 ，
所以数列 的通项公式： ，
所以 ， ，所以 ，所以 不是等比数列.
(2)由（1）得： ，所以 ，
当 时，
当 时， ，①
，②
由①-②得： ，
所以 ，当 时，也满足所以
10．（2022·河南濮阳·一模（理））已知等差数列 中， ， ，数列 的前n项和 满
足 ．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1) ， (2)【解析】(1)设等差数列 的公差为d．
由 ，得 ．解得 .
故 ．
当 时， ，得 ．
当 时，由 ，得 ，两式相减得 ，
所以数列 是以3为首项，公比为3的等比数列，所以 ．
(2)依题意， ，所以 ， ，
两式相减，得 解得 ．
11．（2022·湖南常德·一模）设各项非负的数列 的前 项和为 ，已知 ，且
成等比数列.
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，数列 的前 项和 .
【答案】(1) (2)
【解析】(1)当 时， ，
当 时， ①， ②.
①-②得 ，即 ，∵ ，∴ ，
∴数列 从第2项起是公差为1的等差数列.
∴ ，
又 ， ， 成等比数列，∴ ，即 ，
解得 ，∴ ，
∵ ，∴ ，适合上式，
∴数列 的通项公式为 .
(2) ，
∴数列 的前 项的和为
③
④
③-④得 ，∴ .
题组三 分组求和
1．（2022·陕西商洛·一模）已知正项等比数列{ }满足
(1)求{ }的通项公式：
(2)求数列{ }的前n项和 .
【答案】(1) (2)【解析】(1)由 ，得 ，解得：
又 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以
(2)
2．（2022·广东·翠园中学）已知数列 是公比为2的等比数列， 是 和 的等差中项．
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1) ；(2) ．
【解析】(1)由题意 ，且公比 所以 ， ， ，
所以 ；
(2)由（1） ，
．
3．（2022·重庆巴蜀中学）已知等差数列 中，公差d为整数，其前n项和为 ．满足 ，且
是 和 的等比中项．
(1)求 的通项公式；
(2)设 的前n项和为 ，求 ．
【答案】(1) ， (2)
【解析】(1)由题： ，∴由于 是 和 的等比中项，故
则 ，又d为整数，解得 ，所以
∴ ， ；
(2) ；
∴ ．
4．（2022·河北唐山·二模）已知等比数列 满足 ， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)记 ， ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1) (2)
【解析】(1)解：因为等比数列 满足 ， ，设公比为 ，
所以 ，解得 ，
所以 ；
(2)解：由（1）知 ，
，
所以数列 的前n项和 .5．（2022·福建省福州第一中学）已知等差数列 中， ．
(1)求 ；
(2)设 ，求 的前 项和 ．
【答案】(1) (2)
【解析】(1)设等差数列 的公差为 ，∵ ，所以 ，
可得 ，两式相减可得： ，所以
所以 可得： ；
(2)由（1）知： ，所以 ，
6．（2022·浙江·杭州市余杭中学）已知 为等差数列， 为等比数列， ， ，
．
(1)求 和 的通项公式；
(2)记 的前 项和为 ，求证： ；
(3)对任意的正整数 ，设 ，求数列 的前 项和．【答案】(1) ， (2)证明见解析(3)
【解析】(1)设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ．
∵ ， ，可得 ．∴ ．
∵ ， ，且 ，可得 ，解得 ，∴ ．
(2)由题可知 ，
故 ， ，
作差得： ，因此， .
(3)由题可知 ，
故当 为奇数 时， ，
故记 .
当 偶数 时，
记 ， ，
故 ，
因此， ；故所求
.
7．（2022·广东韶关·二模）已知数列 前 项和为 ，
(1)证明：
(2)设 求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)解：由题可知 ，
当 时，解得 ，所以
又因为 ，
将其与 两式相减得： ，
因为 ，有 .
当 时，上式也成立，
综上， .
(2)解：当n为大于1的奇数时，
有 ， ， ，…，
累加得
又 满足上式，所以n为奇数时 ；
当n为大于2的偶数时，有 ， ， ，…，累加得 ， 满足上式，又 ，
综上可知
.
8．（2022·北京市房山区房山中学）已知数列 为等差数列， 是公比为 的等比数列，且满足
， ．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前 项的和 ．
【答案】(1) ， ；(2) .
【解析】(1)由题设 ，
所以 ，而 ，则 ，
由 ，则 ，故 .
综上， ， .
(2)由（1）知： ，
所以 .题组四 倒序相加
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，正项等比数列 满足 ，则
等于______．
【答案】
【解析】因为 ，所以 ．因为数列 是等比数列，所以
，即 ．设
①，又 ＋…＋ ②，
①+②，得 ，所以 ．
2．（2022·山西）设函数 ，数列 满足 ，则 ______.
【答案】
【解析】由题得 , ，
两式相加得 ，
考虑一般情况，设 ,
则所以
故答案为：
3．（2022·河南）已知 ，等差数列 的前 项和为 ，且 ，则
的值为___________.
【答案】
【解析】因为等差数列 的前 项和为 ，且 ，
所以 ，解得： ，
则 ，（ 且 ）
因为 ，则 ，
所以
设 ，
则 ，
由上述两式相加得：
，
则
故答案为：1009.
4（2022·陕西）已知函数 ，数列 满足 ，则数列 的前2019项和为______.
【答案】
【解析】依题意，函数 ， ，所以 ，数列 满足 ，
所以 ， . ，
设此数列前2019项的和 ，则有：
，
，
所以 ，即 .
故答案为： .
5．（2022·全国·高三专题练习）定义在 上的函数 , ,
,则 ______.
【答案】
【解析】函数 ， ，可得 ，
即有： ，
又 ，
可得： ， ，
即有 .故答案为： .
