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8.3 分布列（精讲）（提升版）
思维导图考点呈现例题剖析
考点一 超几何分布
【例1】（2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习）某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用A，B
两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市n（ ）个人数超过1000人的大集团和4个人数低于200
人的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是小集团的概率为 .
(1)在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为大集团的概率；
(2)若一次抽取3个集团，假设取出小集团的个数为X，求X的分布列和期望.
【答案】(1) (2)X的分布列见解析，
【解析】（1）由题意知共有 个集团，取出2个集团的方法总数是 ，其中全是小集团的情况有 ，
故全是小集团的概率是 ，
整理得到 即 ，解得 ．
若2个全是大集团，共有 种情况；若2个全是小集团，共有 种情况；
故在取出的2个集团是同一类集团的情况下，全为大集团的概率为 ．
（2）由题意知，随机变量 的可能取值为 ，
计算 ， ，
， ，
故 的分布列为：
0 1 2 3
数学期望为 ．
【一隅三反】
1．（2022·黑龙江哈尔滨·高三开学考试）中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，作
为国家战略性空间基础设施，我国北斗卫星导航系统不仅对国防安全意义重大，而且在民用领域的精准化
应用也越来越广泛.2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射标志着拥有全部知识产权的北斗
卫星导航系统全面建成．据统计，2019年卫星导航与位置服务产业总产值达到 亿元，较2018年约增
长 ．从全球应用北斗卫星的城市中选取了 个城市进行调研，上图是这 个城市北斗卫星导航系
统与位置服务产业的产值（单位：万元）的频率分布直方图．
(1)根据频率分布直方图，求产值小于 万元的调研城市个数；(2)在上述抽取的 个城市中任取 个，设 为产值不超过 万元的城市个数，求 的分布列及期望和方
差．
(3)把频率视为概率，从全球应用北斗卫星的城市中任取 个城市，求恰有 个城市的产值超过 万元的概
率．
【答案】(1)
(2) ，
(3)
【解析】（1）由频率分布直方图可知产值小于 万元的频率为 ，
所以产值小于 万元的调研城市个数为 （个）；
（2）由（1）得产值不超过 万元的调研城市有 个，超过 万元的调研城市有 （个），
所以随机变量 的取值可能为 ， ， ，
所以 ， ， ，
所以可得分布列
期望 ；
方差 ；
（3）由频率分布直方图可知城市的产值超过 万元的概率为 ，
设任取 个城市中城市的产值超过 万元的城市个数为 ，
可知随机变量 满足 ，
所以 .
2．（2022·全国·高三专题练习（理））高二年级某班学生在数学校本课程选课过程中，已知第一小组与第二小组各有六位同学.每位同学都只选了一个科目，第一小组选《数学运算》的有1人，选《数学解题思想
与方法》的有5人，第二小组选《数学运算》的有2人，选《数学解题思想与方法》的有4人，现从第一、
第二两小组各任选2人分析选课情况.
(1)求选出的4 人均选《数学解题思想与方法》的概率；
(2)设 为选出的4个人中选《数学运算》的人数，求 的分布列和数学期望．
【答案】(1) (2)分布列见解析，期望为
【解析】(1)解：设“从第一小组选出的2人选《数学解题思想与方法》”为事件 ，“从第二小组选出的
2人选《数学解题思想与方法》”为事件 ,
由于事 件 、 相互独立，且 ，
所以选出的4人均选《数学解题思想与方法》的概率为 .
(2)解：由题意，随机变量 可能的取值为0，1，2，3，
可得 ， ，
， ，
所以随机变量 的分布列为：
0 1 2 3
P
所以随机变量 的数学期望 .
考点二 二项分布
【例2】（2022·商丘模拟）大力开展体育运动，增强学生体质，是学校教育的重要目标之一．某校组织全
校学生进行立定跳远训练，为了解训练的效果，从该校男生中随机抽出 100人进行立定跳远达标测试，测
试结果（单位：米）均在 内，整理数据得到如下频率分布直方图．学校规定男生立定跳远2.05米及以上为达标，否则为不达标．
（1）若男生立定跳远的达标率低于60%，该校男生还需加强立定跳远训练．请你通过计算，判断该校
男学生是否还需加强立定跳远训练；
（2）为提高学生的达标率，该校决定加强训练，经过一段时间训练后，该校男生立定跳远的距离
（单位：米）近似服从正态分布 ，且 ．再从该校任选3名男生进行
测试，X表示这3人中立定跳远达标的人数，求X的分布列和数学期望E（X）．
【答案】见解析
【解析】（1）解：由频率分布直方图可知，男生立定跳远的达标率为
因为 ，所以该校男生还需加强立定跳远训练．
（2）解：因为 近似服从正态分布 ，且 ，
所以 ，
由题意可知，
， ．
， ，
所以X的分布列为X 0 1 2 3
P
则 ．
【一隅三反】
1．（2022·东城模拟）为了解某地区高中生的每天日间户外活动现状，分别在两所学校随机抽取了部分学
生，得到甲校抽取的学生每天日间户外活动时间（单位：h）的统计表和乙校抽取的学生每天日间户外活
动时间（单位：h）的频率分布直方图如下.
乙校抽取的学生每天日间户外活动时间频率分布直方图
每天日间户外活
组别 人数
动时间（单位：h）
1 120
2 250
3 60
4 70
甲校抽取的学生每天日间户外活动时间统计表
（1）根据图表中的数据，估计甲校学生每天日间户外活动时间的25%分位数在第几组；
（2）已知每天日间户外活动时间不低于2h可以对保护视力起到积极作用.现从乙校全体学生中随机选
抽取2人，记其中每天日间户外活动时间不低于2h的人数为X，求X的分布列和数学期望；
（3）根据上述数据，能否推断甲校抽取的学生每天日间户外活动时间的平均值一定低于乙校抽取的学
生每天日间户外活动时间的平均值？说明理由.
【答案】见解析【解析】（1）解：根据表中数据，估计甲校学生每天日间户外活动时间25%分位数在第2组.
（2）解：由频率分布直方图可知，乙校参与调查的学生每天日间户外活动时间不低于 的频率为
.
由此估计乙校全体学生每天日间户外活动时间不低于 的概率约为0.3.
X的所有可能取值为0，1，2.
，
，
，
所以X的分布列为
X 0 1 2
P 0.49 0.42 0.09
.
（3）解：不能.
若甲校参与调查的学生每组中的数据恰好都取区间中点值，则甲校参与调查的学生每天的日间户外活动时
间的平均值
.
若乙校参与调查的学生每组中的数据恰好都取相应区间的左端点值，则乙校参与调查的学生每天的日间户
外活动时间的平均值
.
此时， .
2．（2022·马鞍山模拟）从2021年10月16日起，中央广播电视总台陆续播出了3期《党课开讲啦》节目，
某校组织全校学生观看，并对党史进行了系统学习，为调查学习的效果，对全校学生进行了测试，并从中
抽取了100名学生的测试成绩（满分：100分），绘制了频率分布直方图．（1）求m的值；
（2）若学校要求“学生成绩的均值不低于85分”，若不低于要求，不需要开展“党史进课堂“活动，
每班配发党史资料，学生自由学习；若低于要求，需要开展“党史进课堂”活动，据以往经验，活动开展
一个月能使学生成绩平均分提高2分，达到要求后不再开展活动．请判断该校是否需要开展“党史进课
堂”活动，若需要开展，需开展几个月才能达到要求？
（3）以样本分布的频率作为总体分布的概率，从全校学生中随机抽取4人，记其中成绩不低于85分的
学生数为X，求X的分布列和数学期望．
【答案】见解析
【解析】（1）解：由 ，
解得 ；
（2）解：学生成绩的均值的估计值为：
因为 ，
所以需要开展“党史进课堂”活动，
又85－81.5＝3.5，所以需开展2个月才能达到要求；
（3）解：由频率分布直方图可知，从全校学生中随机抽取1人成绩不低于85分的概率为
．
X的取值可能为0，1，2，3，4，且 ．
，
，，
．
故X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P 0.2401 0.4116 0.2646 0.0756 0.0081
3．（2022·萍乡模拟）北京冬奥会于2022年2月4日至20日在北京市和张家口市联合举办，这是中国历史
上第一次举办冬奥会，也是中国继北京奥运会、南京青奥会之后第三次举办奥运赛事.北京冬奥会的成功举
办推动了我国冰雪运动的普及，让越来越多的青少年爱上了冰雪运动．某高校组织了20000名学生参加线
上冰雪运动知识竞赛活动，并抽取了100名参赛学生的成绩制作了如下表格：
竞赛得分
频率 0.05 0.25 0.45 0.20 0.05
（1）如果规定竞赛得分在 为“良好”，在 为“优秀”，以这100名参赛学生中竞赛得
分的频率作为全校知识竞赛中得分在相应区间的学生被抽中的概率．现从该校参加知识竞赛的学生中随机
抽取3人，记竞赛得分结果为“良好”及以上的人数为 ，求随机变量 的分布列及数学期望；
（2）已知此次知识竞赛全校学生成绩 近似服从正态分布 ，若学校要对成绩不低于 分的
学生进行表彰，请估计获得表彰的学生人数．
附：若随机变量 ，则
.
【答案】见解析
【解析】（1）解：由题意知， 的可能取值0，1，2，3．
由题可知，任意1名学生竞赛得分“良好”及以上的概率为 ，竞赛得分是“良好”以下的概率为．若以频率估计概率，则 服从二项分布 ．
； ；
； ．
所以 的分布列为：
0 1 2 3
．（或 ）
（2）解：
估计获得表彰的学生人数为 人.
考点三 独立事件
【例3】（2022·黑龙江哈尔滨·高三开学考试）甲乙丙三人进行竞技类比赛，每局比赛三人同时参加，有且
只有一个人获胜，约定有人胜两局（不必连胜）则比赛结束，此人直接赢得比赛．假设每局甲获胜的概率
为 ，乙获胜的概率为 ，丙获胜的概率为 ，各局比赛结果相互独立．
(1)求甲在 局以内（含 局）赢得比赛的概率；
(2)记 为比赛决出胜负时的总局数，求 的分布列和均值（数学期望）．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【解析】（1）示“第 局丙获胜”，
则.
（2）解：依题意 的可能取值为 、 、 ，
所以 ，
，
，
所以 的分布列为
所以
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习（理））冰壶是2022年2月4日至2月20日在中国举行的第24届冬季奥运
会的比赛项目之一．冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线 的左侧）有一个发球区，运动员在
发球区边沿的投掷线 将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终
静止时距离营垒区圆心 的远近决定胜负，甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定冰壶的重心落在圆 中，
得3分，冰壶的重心落在圆环 中，得2分，冰壶的重心落在圆环 中，得1分，其余情况均得0分．已
知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响，甲、乙得3分的概率分别为 ， ；甲、乙得2分的概率分别为 ，
；甲、乙得1分的概率分别为 ， ．(1)求甲所得分数大于乙所得分数的概率；
(2)设甲、乙两人所得的分数之差的绝对值为 ，求 的分布列和期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，期望为：
【解析】（1）
由题意知甲得0分的概率为 ，
乙得0分的概率为 ，
甲所得分数大于乙所得分数分为：甲得3分乙得2或1或0分，甲得2分乙得1或0分，甲得1分乙得0分
所以所求概率为 ．
（2）
可能取值为0，1，2，3，
所以，随机变量 的分布列为：X 0 1 2 3
P
所以
2．（2022·全国·高三专题练习（理））为弘扬奥运精神，某校开展了“冬奥”相关知识趣味竞赛活动.现有
甲､乙两名同学进行比赛，共有两道题目，一次回答一道题目.规则如下：①抛一次质地均匀的硬币，若正
面向上，则由甲回答一个问题，若反面向上，则由乙回答一个问题.②回答正确者得10分，另一人得0分；
回答错误者得0分，另一人得5分.③若两道题目全部回答完，则比赛结束，计算两人的最终得分.已知甲答
对每道题目的概率为 ，乙答对每道题目的概率为 ，且两人每道题目是否回答正确相互独立.
(1)求乙同学最终得10分的概率；
(2)记X为甲同学的最终得分，求X的分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，X的数学期望为
【解析】（1）记“乙同学最终得10分”为事件A，
则可能情况为甲回答两题且错两题；甲､乙各答一题且各对一题；乙回答两题且对一题错一题，
则 ，
所以乙同学得10分的概率是 .
（2）
甲同学的最终得分X的所有可能取值是0，5，10，15，20.
，
，
，
，.
X的分布列为
X 0 5 10 15 20
P
，
所以X的数学期望为 .
3．（2022·济宁模拟）某娱乐节目闯关游戏共有三关，游戏规则如下：选手依次参加第一、二、三关，每
关闯关成功可获得的奖金分别为600元、900元、1500元，奖金可累加；若某关闯关成功，选手可以选择
结束闯关游戏并获得相应奖金，也可以选择继续闯关；若有任何一关闯关失败，则连同前面所得奖金全部
归零，闯关游戏结束，选手小李参加该闯关游戏，已知他第一、二、三关闯关成功的概率分别为 ， ，
，第一关闯关成功选择继续闯关的概率为 ，第二关闯关成功选择继续闯关的概率为 ，且每关闯关成
功与否互不影响.
（1）求小李第一关闯关成功，但所得总奖金为零的概率；
（2）设小李所得总奖金为 ，求随机变量 的分布列及其数学期望.
【答案】见解析
【解析】（1）解：根据题意得，小李第一关闯关成功，但所得总奖金为零的事件分为两类情况：第一种
情况为：第一关闯关成功，第二关闯关失败，其概率为： ；第二种情况为：第一
关闯关成功，第二关闯关成功，第三关闯关失败，其概率为： ；记“小李第一关闯关成功，但所得总奖金为零”为事件 ：则 .
（2）解：根据题意得： 的可能取值为：0，600，1500，3000，
所以 ，
， ，
，
所以 的分布列为：
0 600 1500 3000
所以 的期望为： .
考点四 条件概率
【例4】（2022·衡阳模拟）将《三国演义》、《西游记》、《水浒传》、《红楼梦》4本名著全部随机分
给甲、乙、丙三名同学，每名同学至少分得1本， 表示事件：“《三国演义》分给同学甲”； 表示事
件：“《西游记》分给同学甲”； 表示事件：“《西游记》分给同学乙”，则下列结论正确的是
（ ）
A．事件 与 相互独立 B．事件 与 相互独立
C． D．
【答案】C
【解析】将《三国演义》、《西游记》、《水浒传》、《红楼梦》4本名著全部随机分给甲、乙、丙三名
同学，共有 种基本事件，事件A包含的基本事件数为： ，则 ，
同理 ，
事件AB包含的基本事件数为： ，则 ，
事件AC包含的基本事件数为： ，则 ，
因为 ，A不符合题意；
因为 ，B不符合题意；
因为 ，C符合题意；
因为 ，D不符合题意；
故答案为：C
【一隅三反】
1．（2022·湖北模拟）奥密克戎变异毒株传染性强、传播速度快隐蔽性强，导致上海疫情严重，牵动了全
国人民的心．某医院抽调了包括甲、乙在内5名医生随机派往上海①，②，③，④四个医院，每个医院至
少派1名医生，“医生甲派往①医院”记为事件A：“医生乙派往①医院”记为事件B；“医生乙派往②
医院”记为事件C，则（ ）
A．事件A与B相互独立 B．事件A与C相互独立
C． D．
【答案】C
【解析】将甲、乙在内5名医生派往①，②，③，④四个医院，每个医院至少派1名医生有个基本事件，它们等可能．
事件A含有的基本事件数为 ，则 ，同理 ，
事件AB含有的基本事件数为 ，则
事件AC含有的基本事件数为 ，则
，
即事件A与B相互不独立，事件A与C相互不独立，A、B不正确；
， ，
故答案为：C．
2．（2022·浙江·高三开学考试）（多选）同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1，2，3，4的正四面体
一次，记事件A表示“第一个四面体向下的一面出现偶数”，事件B表示“第二个四面体向下的一面出现
奇数”，事件C表示“两个四面体向下的一面同时出现奇数或者同时出现偶数”，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】由题意 ， ， ，
,故A正确．
所以 ， ，所以 ，故B正确．
事件A，B，C不可能同时发生，故 ，故C错误；
，故D错误．
故选：AB．3．（2022·全国·高三专题练习）（多选）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3
个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 ， 和 表示从甲罐取出的球是红球、
白球、黑球，再从乙罐中随机取出一球，以B表示从乙罐取出的球是红球．则下列结论中正确的是（
）
A． B．
C．事件B与事件 相互独立 D． ， ， 两两互斥
【答案】AD
【解析】因为事件 ， 和 任意两个都不能同时发生，所以 ， ， 是两两互斥的事件，故D正确；
因为 ， ， ， ，故A正确；
， ，
，因为 ， ，所以 ，所以
与 不是相互独立事件，故B，C不正确．
故选：AD．
考点五 正态分布
【例5-1】（2022·西安模拟）已知随机变量 ，且 ，则二项式的展开
式 中有理项的个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B
【解析】由题可知，x轴上，0和a关于1对称，a＝2； 的通项为
，当 时，为有理项.故答案为：B.
【例5-2】（2022·河南·高三阶段练习（理））在某市举行的一次市质检考试中，为了调查考试试题的有效
性以及试卷的区分度，该市教研室随机抽取了参加本次质检考试的100名学生的数学考试成绩，并将其统
计如下表所示．
成绩X [75，85） [85，95） [95，105） [105，115） [115，125]
人数Y 6 24 42 20 8
(1)已知本次质检中的数学测试成绩 ，其中μ近似为样本的平均数， 近似为样本方差 ，
若该市有5万考生，试估计数学成绩介于90~120分的人数；（以各组的区间的中点值代表该组的取值）
(2)现按分层抽样的方法从成绩在[75，85）以及[115，125]之间的学生中随机抽取7人，再从这7人中随机
抽取3人进行试卷分析，记被抽取的3人中成绩在[75，85）之间的人数为X，求X的分布列以及期望E
（X）．
参考数据：若 ，则 ， ，
．
【答案】(1)
(2)X的分布列见解析；
【解析】(1)根据统计图表中的数据，结合平均数的计算方法，可得本次质检中数学测试成绩样本的平均数
为 .
，
则 ，所以 ，
故所求人数为 ．
(2)依题意成绩在 之间的抽取3人，成绩在 之间的抽取4人，故X的可能取值为0，1，2，
3．
故 ， ，
， ．
故X的分布列为
0 1 2 3
故E ．
【一隅三反】
1．（2022·德州二模）设随机变量X服从正态分布N(1， )，若 ，则
（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6
【答案】C
【解析】由题，因为 ，故 关于 对称，故
故答案为：C
2．（2022·西藏·拉萨中学高三阶段练习（理））某学校高三有 名学生，按性别分层抽样从高三学生中
抽取 名男生， 名女生期末某学科的考试成绩，得到如下所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩
的茎叶图.(1)试计算男生考试成绩的平均分 （每组数据取区间的中点值）；
(2)根据频率分布直方图可以认为，男生这次考试的成绩服从正态分布 ，试计算男生成绩落在区
间 内的概率及全校考试成绩在 内的男生的人数（结果保留整数）；
(3)若从抽取的 名学生中考试成绩优秀（ 分以上包括 分）的学生中再选取 名学生，作学习经验交
流，记抽取的男生人数为 ，求 的分布列与数学期望.
参考数据，若 ，则 ， ，
【答案】(1)
(2)概率约为 ，人数约为 人
【解析】(1)解：男生的平均分为 .
(2)解：由（1）知 ,可知 .
可知成绩落在 内的概率为
，
所求考试成绩在 内的男生的人数大约为 （人）.
(3)解：根据频率分布直方图可知男生的考试成绩在 的人数为 ，女生的人数为 ，可知随机变量 的可能取值为 、 、 、 ，
， ，
， ，
所以，随机变量 的分布列为：
所以， .
3．（2022·海南海口·二模）为落实体育总局和教育部发布的《关于深化体教融合，促进青少年健康发展的
意见》，某校组织学生加强100米短跑训练．在某次短跑测试中，抽取100名男生作为样本，统计他们的
成绩（单位：秒），整理得到如图所示的频率分布直方图（每组区间包含左端点，不包含右端点）．
(1)若规定男生短跑成绩小于13.5秒为优秀，求样本中男生短跑成绩优秀的概率．
(2)估计样本中男生短跑成绩的平均数．（同一组的数据用该组区间的中点值为代表）
(3)根据统计分析，该校男生的短跑成绩X服从正态分布 ，以（2）中所求的样本平均数作为
的估计值．若从该校男生中随机抽取10人，记其中短跑成绩在 以外的人数为Y，求 ．
附：若 ，则 ． ．【答案】(1) (2) (3)
【解析】(1)由频率分布直方图可得 ，解得 ，
所以样本中男生短跑成绩优秀的概率为 ．
(2)估计样本中男生短跑成绩的平均数为
．
(3)由（2）知 ，所以 ，
所以该校男生短跑成绩在 以外的概率为
根据题意 ，
所以 ．
