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第 18 讲 等差数列及其求和
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.等差数列的概念
(1)定义：一般地，如果数列{a }从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于
n
同一个常数d，即a － a ＝ d 恒成立，则称{a }为等差数列.其中d称为等差数
n＋1 n n
列的公差.
数学语言表达式：a －a ＝d(n∈N*，d为常数).
n＋1 n
(2)等差中项：①如果x，A，y是等差数列，那么称A为x与y的等差中项，A
＝.
②推广：若{a }为等差数列，则2a ＝a ＋a (n≥3，n∈N )成立.
n n－1 n n－2 ＋
2.等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)若等差数列{a }的首项是a ，公差是d，则其通项公式为a ＝a ＋ ( n － 1 ) d.
n 1 n 1
(2)前n项和公式：S ＝na ＋ ＝ .
n 1
3.等差数列的性质
(1)通项公式的推广：a ＝a ＋ ( n － m ) d (n，m∈N*).
n m
(2)若{a }为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则a ＋ a ＝ a ＋ a .
n k l m n
(3)若{a }是等差数列，公差为d，则a ，a ，a ，…(k，m∈N*)是公差为
n k k＋m k＋2m
md 的等差数列.
(4)若S 为等差数列{a }的前n项和，则数列S ，S －S ，S －S ，…也是等
n n m 2m m 3m 2m
差数列.
(5)若S 为等差数列{a }的前n项和，则数列也为等差数列.
n n
(6)若等差数列的项数为 2n(n∈N )时，则S ＝ n ( a ＋ a )，且S －S ＝nd，
＋ 2n n n＋1 偶 奇
＝.
(7)若等差数列的项数为2n－1(n∈N )时，则S ＝ (2 n － 1) a ，且S －S ＝
＋ 2n－1 n 奇 偶
a ，S ＝na ，S ＝(n－1)a ，＝.
n 奇 n 偶 n
二、考点和典型例题
1、等差数列的基本运算
【典例1-1】（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（理））已知正项等比数列 首项为1，且 成等差数列，则 前6项和为（ ）
A．31 B． C． D．63
【答案】C
【详解】
∵ 成等差数列，
∴ ，
∴ ，即 ，解得 或 ，
又∵ ，∴ ，
∴ ，
故选：C.
【典例1-2】（2022·北京育才学校模拟预测）设 是等差数列，且 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：由题意得：
设 的公差为又
又 ，
故选：D
【典例1-3】（2022·云南师大附中模拟预测（理））《九章算术》是我国秦汉时期一部杰
出的数学著作，书中第三章“衰分”有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，
凡五人，共出百钱.欲令高爵出少，以次渐多，问各几何?”意思是：“有大夫、不更、簪裏、
上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增
等差数列，这5个人各出多少钱?”在这个问题中，若不更出17钱，则公士出的钱数为（
）
A．10 B．14 C．23 D．26
【答案】A
【详解】
解：设大夫、不更、簪裹、上造、公士所出的钱数依次排成一列，构成数列 ．
由题意可知，等差数列 中 ，前5项和为100，
设公差为 ，前 项和为 ，
则 ，解得 ，
所以 ，
所以公士出的钱数为 ，
故选：A．
【典例1-4】（2022·海南海口·二模）设公差不为0的等差数列 的前n项和为 ，已知，则 （ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】C
【详解】
因为 ，又 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
设等差数列 的公差为 ，
则 ，
所以 ，又 ，
所以 ，
所以 ．
故选：C.
【典例1-5】（2022·河北·石家庄二中模拟预测）记 为等差数列 的前 项和.若
， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
设等差数列 的公差为 ，
由 得： ，解得： ，
.
故选：D.【典例1-6】（2022·河南·通许县第一高级中学模拟预测（文））在等差数列 中，
， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由 得： ， .
故选：B.
2、等差数列的判定与证明
【典例2-1】（2022·安徽·高二阶段练习）设等差数列 的前n项和为 ，且满足 ，
，则下列结论正确的是（ ）
A．数列 为单增数列 B．数列 为单减数列
C．对任意正整数n，都有 D．对任意正整数n，都有
【答案】BD
【详解】
在等差数列 中，因为 ， ，
可得 ， ，
即 且 ，即 且 ，
所以 ， ，且 ，此时数列为递减数列，可得对任意正整数n，都有 .
故选：BD.
【典例2-2】（2022·辽宁实验中学高二期中）已知等差数列 ，其前n项的和为 ，则
下列结论正确的是（ ）
A．数列 是等差数列
B．数列 不可能是等差数列
C．
D．若公差 ，且 ，则当 时， 取得最小值
【答案】ACD
【详解】
设数列 的公差为 ，则 ，
所以 ， ， ，
所以 ，C正确；
若 ，则 ，
所以 ，
因为 ，所以当 时， 取得最小值，D对，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以数列 是等差数列，A对，，所以 ， ， ，
令 可得 ，化简可得 ，
此时 ，所以 ，
所以数列 可能是等差数列，B错，
故选：ACD.
【典例2-3】（2022·湖北·高二阶段练习）已知数列 满足 ， （
）.
(1)求证数列 为等差数列；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【解析】(1)由已知可得 ，即 ，即 ，
是等差数列.
(2)由（1）知， ， ，
相减得，【典例2-4】（2021·河北保定·高二期中）已知数列 满足
，设 ．
(1)判断数列 是否为等差数列，并说明理由；
(2)若 是数列 的前 项和，求 的通项公式．
【解析】(1)由 可得： ，
故由 可知， ，
故数列 为等差数列；
(2)由（1）知，数列 为首项 ，公差为2的等差数列，
故 ，即 ，
由于 是数列 的前 项和，故 ，
当 时， ，
适合上式，
故 .
【典例2-5】（2018·河南洛阳·一模（理））已知数列 满足 ，
，数列 满足 .
（1）求证：数列 是等差数列；
（2）求数列 的前 项和 .【解析】（1）因为 ，
即 ，∴ ，
由等差数列的定义可得 是首项为 ，公差为 的等差数列.
∴ .
（2）由（1）知 ，
所以 ，
两边同时乘以 得， ，
两式相减得 ，
即 ，
所以 .
3、等差数列的性质及应用
【典例3-1】（2021·北京·高考真题）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，
中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长
(单位:cm)成等差数列，对应的宽为 (单位: cm),且长与宽之比都
相等，已知 ， ， ，则
A．64 B．96 C．128 D．160
【答案】C
【详解】由题意，五种规格党旗的长 (单位:cm)成等差数列，设公差为 ，
因为 ， ，可得 ，
可得 ，
又由长与宽之比都相等，且 ，可得 ，所以 .
故选：C.
【典例3-2】（2007·辽宁·高考真题（理））设等差数列 的前 项和为 ，若 ，
，则 （ ）
A．63 B．36 C．45 D．27
【答案】C
【详解】
由等差数列的 项和的性质可知， 成等差数列，
即 ， ， 成等差数列，所以 ，所以 .
即 .
故选：C
【典例3-3】（2020·全国·高考真题（理））北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、
中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成
第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环
依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不
含天心石)（ ）A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块
【答案】C
【详解】
设第n环天石心块数为 ，第一层共有n环，
则 是以9为首项，9为公差的等差数列， ，
设 为 的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分
别为 ，因为下层比中层多729块，
所以 ，
即
即 ，解得 ，
所以 .
故选：C
【典例3-4】（2022·福建·厦门双十中学模拟预测）等差数列 的前 项和为 ，已知
， 为整数，且 .
(1)求 的通项公式；(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1) (2)
【解析】(1)
由 ， 为整数知，等差数列 的公差 为整数.
又 ，故 ， .
于是 ， ，解得 ，
因此 ，故数列 的通项公式为 .
(2)
，
于是
.
【典例3-5】（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）已知数列{ }为等差数列， ，
，数列{ }的前n项和为 ，且满足 ．
(1)求{ }和{ }的通项公式；
(2)若 ，数列{ }的前n项和为 ，且 对 恒成立，求实
数m的取值范围．
【答案】(1) ； (2)
【解析】(1)解：等差数列{ }中，设公差为d，
则
数列{ }中的前n项和为 ，且 ①
当 时，
当 时， ②
②－①得：
故数列{ }是以1为首项，3为公比的等比数列，所以 .
(2)
解：数列{ }中， .
则
所以
故
所以
∵ 对 恒成立．
当n为奇数时， ，
当n为偶数时，综上：实数m的取值范围为 ．
