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第 31 练 统计与统计模型
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、单选题
1．2022年2月4日至2月20日春节期间，第24届冬奥会在北京市和张家口市联合举行.共
有 个冬奥村供运动员和代表队官员入住，其中北京冬奥村的容量约为 人，延庆冬奥
村的容量约 人，张家口冬奥村的容量约 人.为了解各冬奥村服务质量，现共准备
了 份调查问卷，采用分层抽样的方法，则需在延庆冬奥村投放的问卷数量是（ ）
A．58份 B．50份 C．32份 D．19份
【答案】C
【详解】
在延庆冬奥村投放的问卷数量是 份.
故选：C.
2．从某小区随机抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在
50~300kw·h之间，适当分组（每组为左闭右开区间）后绘制成如图所示的频率分布直方图．
则直方图中x的值以及在被调查的用户中月用电量落在区间 内的户数分别为
（ ）
A．0.0046，72 B．0.0046，70
C．0.0042，72 D．0.0042，70
【答案】A
【详解】
根据频率分布直方图的面积和为1，得 ，解得
，
月用电量落在区间 内的频率为 ，所以在被
调查的用户中月用电量落在区间 内的户数为 户.
故选：A.
3．某市有11名选手参加了田径男子100米赛的选拔比赛，前5名可以参加省举办的田径赛，如果各个选手的选拔赛成绩均不相同，选手小强已经知道了自己的成绩，为了判断自
己能否参加省举办的田径赛，他还需要知道这11名选手成绩的（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】B
【详解】
因为11名选手成绩的中位数恰好是第6名，知道了第6名的成绩，
小强就可以判断自己是否能参加省举办的田径赛了，其余数字特征不能反映名次．
故选：B．
4．在2022北京冬奥会单板滑雪U型场地技巧比赛中，6名评委给 选手打出了6个各不
相同的原始分，经过“去掉其中一个最高分和一个最低分”处理后，得到4个有效分．则
经处理后的4个有效分与6个原始分相比，一定会变小的数字特征是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】D
【详解】
去掉最大值与最小值这组数的平均值大小不确定，中位数不变，众数大小不确定，
根据方差的定义，去掉最高分，最低分后，剩余四个数据的波动性小于原来六个数据的波
动性，故方差一定会变小.
故选：D
5．某地教育局为了解“双减”政策的落实情况，在辖区内高三年级在校学生中抽取100名
学生，调查他们课后完成作业的时间，根据调查结果绘制如下频率直方图.根据此频率直方
图，下列结论中不正确的是（ ）
A．所抽取的学生中有25人在2小时至 小时之间完成作业
B．该地高三年级学生完成作业的时间超过3小时的概率估计为
C．估计该地高三年级学生的平均做作业的时间超过 小时
D．估计该地高三年级有一半以上的学生做作业的时间在2小时至3小时之间
【答案】D
【详解】
对A，直方图中2小时至 小时之间的频率为 ，故所抽取的学生中有25人在2小时至 小时之间完成作业，故A正确；
对B，由直方图得超过3小时的频率为 ,所以B正确；
对C，直方图可计算学生做作业的时间的平均数为：
，所以C正确；
对D，做作业的时间在2小时至3小时之间的频率为 ，所以D错
误.
故选:D．
6．某电脑公司有 名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表所示：
推销员编号
工作年限 （年）
推销金额 （万
元）
由表中数据算出线性回归方程 中的 ．若第 名推销员的工作年限为 年，
则估计他的年推销金额为（ ）A． 万元 B． 万元
C． 万元 D． 万元
【答案】B
【详解】
由题意，得 ， ，
所以 ，即 ．
当 时， ．
故选：B．
7．为了保证乘客的安全，某市要对该市出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出
名司机，已知抽到的司机年龄都在 岁之间，根据调查结果，得出司机的年龄情况残
缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄
的中位数大约是（ ）A． 岁 B． 岁 C． 岁 D． 岁
【答案】C
【详解】
设第二组矩形的高为 ，则 ，解得 ．
设中位数为 ，前 个矩形的面积之和为 ，
前 个矩形的面积之和为 ，所以， ，
所以， ，得 ．
故选：C．
8．在一项调查中有两个变量 和 ，如图是由这两个变量近 年来的取值数据得到的散点
图，那么适宜作为 关于 的回归方程的函数类型是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：散点图呈曲线，A中函数为线性函数，不合题意，排除 选项；
由散点图可知整体呈增长态势，且增长速度变慢，
对B选项中函数，当 时，函数为单调递增函数，且增长速度逐渐变慢，符合题意，故
B正确；
对于C选项，当 时，函数为开口向上的二次函数，增长先慢后快，不合题意，
当 时，函数为开口向下的二次函数，增长先慢后快，不合题意，排除选项C；
对于D选项，函数为指数型函数，当 时单调递增，且越增越快，不合题意，当 时为单调递减函数，不合题意，故排除D；
故选：B
9．《电信条例》规定任何单位和个人未经电信用户同意，不得向其发送商业信息.某调研
小组对某社区居民持有的35部手机在某特定时间段内接收的商业信息进行统计，绘制了如
下所示的茎叶图，现按照接收的商业信息由少到多对手机进行编号为1~35号，再用系统抽
样方法从中依次抽取7部手机，若被抽取的第一部手机接收商业信息的条数是133，则第4
部手机接收的商业信息的条数是（ ）
A．141 B．143 C．145 D．148
【答案】B
【详解】
由题，根据系统抽样方法定义，抽取的手机编号间隔为 ，第一部手机编号为3号，
故第四部手机编号为 号，即143，
故选：B
10．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段事件内没有发生大规模群
体感染的标志是“连续 日，每天新增疑似病例不超过 人”．过去 日，甲、乙、丙、
丁四地新增疑似病例数据信息如下：
甲地：总体平均数为 ，中位数为 ；
乙地：总体平均数为 ，总体方差大于 ；
丙地：中位数为 ，众数为 ；
丁地：总体平均数为 ，总体方差为 ．
则甲、乙、丙、丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的是（ ）
A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地
【答案】D
【详解】
对于甲地，若连续 日的数据为 ，则满足平均数为 ，中位数为 ，
但不符合没有发生大规模群体感染的标志，A错误；
对于乙地，若连续 日的数据为 ，则满足平均数为 ，方差大于 ，但
不符合没有发生大规模群体感染的标志，B错误；
对于丙地，若连续 日的数据为 ，则满足中位数为 ，众数为 ，但不
符合没有发生大规模群体感染的标志，C错误；
对于丁地，若总体平均数为 ，假设有一天数据为 人，则方差 ，
不可能总体方差为 ，则不可能有一天数据超过 人，符合没有发生大规模群体感染的标志，D正确.
故选：D.
二、多选题
11．某市商品房调查机构随机抽取n名市民，针对其居住的户型结构和满意度进行了调查，
如图1调查的所有市民中四居室共300户，所占比例为 ，二居室住户占 ．如图2是用分
层抽样的方法从所有调查的市民的满意度问卷中，抽取10%的调查结果绘制成的统计图，
则下列说法错误的是（ ）
A．样本容量为90 B．样本中三居室住户共抽取了35户
C．据样本可估计对四居室满意的住户有110户D．样本中对二居室满意的有3户
【答案】BC
【详解】
解：如图1调查的所有市民中四居室共300户，所占比例为 ，二居室住户占 ，
，二居室有 户，三居室有450户，
由图1和图2得：
在A中，样本容量为： ，故A正确；
在B中，样本中三居室住户共抽取了 户，故B错误；
在C中，根据样本可估计对四居室满意的住户有 户，故C错误；
在D中，样本中对二居室满意的有 户，故D正确．
故选：BC．
12．某校举行“永远跟党走､唱响青春梦”歌唱比赛，在歌唱比赛中，由9名专业人士和9
名观众代表各组成一个评委小组给参赛选手打分.根据两个评委小组（记为小组A､小组B）
对同一名选手打分的分值绘制成折线图如图所示，则（ ）A．小组A打分的分值的众数为47
B．小组B打分的分值第80百分位数为69
C．小组A是由专业人士组成的可能性较大
D．小组B打分的分值的方差小于小组A打分的分值的方差
【答案】AC
【详解】
由折线图知，小组A打分的9个分值排序为：42，45，46，47，47，47，50，50，55，小
组 打分的9个分值排序为：36，55，58，62，66，68，68，70，75；
对于A：小组A打分的分值的众数为47，故选项A正确；
对于B：小组 打分的分值第80百分位数为 ，所以应排序第8，
所以小组 打分的分值第80百分位数为70，故选项B不正确；
对于C：小组A打分的分值比较均匀，即对同一个选手水平对评估相对波动较小，故小组
A更像是由专业人士组成，故选项C正确；
对于D：小组A打分的分值的均值约47.7，小组 打分的分值均值为62，根据数据的离散
程度可知小组 波动较大，方差较大，选项D不正确；
故选：AC
三、解答题
13．网购是现代年轻人重要的购物方式，截止：2021年12月，我国网络购物用户规模达
8.42亿，较2020年12月增长5968万，占网民整体的81.6%．某电商对其旗下的一家专营
店近五年来每年的利润额 （单位：万元）与时间第 年进行了统计得如下数据：
1 2 3 4 5
2.6 3.1 4.5 6.8 8.0
(1)依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y与t的关系？请计算相关系数r并加
以说明（计算结果精确到0.01）．（若 ，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）
(2)试用最小二乘法求出利润y与时间t的回归方程，并预测当 时的利润额．
附： ，
， ．
参考数据： ， ， ， ．
【答案】(1) ，y与t的线性相关程度很高，可以用线性回归模型拟合．
(2) ， 万元．
【解析】(1)
由题表， ，
因为 ， ， ，
所以 ．
故y与t的线性相关程度很高，可以用线性回归模型拟合．
(2)
， ，
所以 ．当 时， ．
预测该专营店在 时的利润为 万元．
14．2021年4月22日，一则“清华大学要求从2019级学生开始，游泳达到一定标准才能
毕业”的消息在体育界和教育界引起了巨大反响.游泳作为一项重要的求生技能和运动项目
受到很多人的喜爱.其实，已有不少高校将游泳列为必修内容.某中学为了解2020届高三学
生的性别和喜爱游泳是否有关，对100名高三学生进行了问卷调查，得到如下列联表：
喜欢游泳 不喜欢游泳 总计
男生 10女生 20
总计
已知在这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为 .
(1)请将上述列联表补充完整；
(2)判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关.
附： ，
0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【解析】(1)
（1）因为在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为 ，
所以喜欢游泳的学生人数为 .
其中女生有20人，男生有40人，列联表补充如下：
喜欢游泳 不喜欢游泳 合计
男生 40 10 50
女生 20 30 50
合计 60 40 100
(2)
因为 ，
所以有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关.
15．在某生态系统中，有甲、乙两个种群，两种群之间为竞争关系．设t时刻甲、乙种群
的数量分别为 ， （起始时刻为 ）．由数学家Lotka和Volterra提出的模型是
函数 ， 满足方程 ， ，其中a，
b，c，d均为非负实数．
(1)下图为没有乙种群时，一段时间内甲种群数量与时间的关系折线图．为预测甲种群的数量变化趋势，研究人员提出了两种可能的数学模型：① ；② ，
其中m，n均为大于1的正数．根据折线图判断，应选用哪种模型进行预测，并说明理由．
(2)设 ， ．
①函数 的单调性；
②根据①中的结论说明：在绝大多数情况下，经过充分长的时间后，或者甲种群灭绝，或
者乙种群灭绝．
注：在题设条件下，各种群数量均有上限值．
【答案】(1)应选用模型②预测甲种群数量的变化趋势；理由见解析
(2)① 为常函数；②答案见解析
【解析】(1)
由折线图知，甲种群数量的增长速度随着时间的推移而加快．而增长速度大致对应种群数
量对时间的导数．
如选用模型①， ， 是关于时间的减函数，不符合折线图；
如选用模型②， ， 是关于时间的增函数，符合折线图．
所以应选用模型②预测甲种群数量的变化趋势
(2)
由题设知 ， ．
（i） ， ．
消去条件中的 得 ，所以 ．
所以 为常函数．
（ii）由（i）， ， ．
由于各种群数量均有上限值，不妨设甲乙种群数量的上限值分别为 ， ．
①若 ， ．
则当 时， ，此时可以近似认为甲种群灭绝；
②若 ， ．
则当 时， ，此时可以近似认为乙种
群灭绝；
③若 ， ，甲乙种群数量之比保持恒定，可能不出现灭绝的情况．
综上所述，对所有 的情况，经过充分长的时间后，或者甲种群灭绝，或者乙
种群灭绝
