文档内容
8.3 分布列（精练）（提升版）
题组一 超几何分布
1.（2021·湖南·高考真题）端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有6个粽子，其中肉粽1个，蛋黄
粽2个，豆沙粽3个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取2个.
（1）用 表示取到的豆沙粽的个数，求 的分布列；
（2）求选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率.
【答案】（1）分布列见解析；（2） .
【解析】（1）由条件可知 ，
， ， ，
所以 的分布列，如下表，
（2）选取的2个中至少有1个豆沙粽的对立事件是一个都没有，
则选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率 .
2.（2022·广东汕头·二模）袋中装着标有数字1，2，3，4的小球各3个，从袋中任取3个小球，每个小球
被取出的可能性都相等．
（Ⅰ）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
（Ⅱ）用 表示取出的3个小球上所标的最大数字，求随机变量 的分布列和数学期望．
【答案】（1） （2）
【解析】（I）“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为 ，则 ．
（II）由题意 所有可能的取值为： ， ， ， .
；
；
；
．
所以随机变量 的分布列为
1 2 3 4
随机变量 的均值为
．
3．（2022·湖南永州·三模）某游乐场开展摸球有奖活动，在一个不透明的盒子中放入大小相同的10个小
球，其中红球4个，黑球6个，游客花10元钱，就可以参加一次摸球有奖活动，从盒子中一次随机摸取4
个小球，规定摸取到两个或两个以上的红球就中奖.根据摸取到的红球个数，设立如下的中奖等级：
摸取到的红球个数 2 3 4
中奖等级 三等奖 二等奖 一等奖
(1)求游客在一次摸球有奖活动中中奖的概率；
(2)若游乐场规定：在一次摸球有奖活动中，游客中三等奖，可获得奖金15元；中二等奖，可获得奖金20
元；中一等奖，可获得奖金200元.请从游乐场获利的角度，分析此次摸球有奖活动的合理性.【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】(1)解：设一次摸球有奖活动中中奖为事件 ，则事件 包含的基本事件有：
, 基本事件总数为： ，
∴ ∴游客在一次摸球有奖活动中中奖的概率为 .
(2)解：设游客在一次摸球有奖活动中获得的奖金为 ， 可以取0，15，20，200，
故 的分布列为
0 15 20 200
的数学期望
由于一次摸球有奖活动中支付给游客奖金的均值 ，
所以游乐场可获利，故此次摸球有奖活动合理.
题组二 二项分布
1．（2022·广东汕头·一模）足球比赛全场比赛时间为90分钟，在90分钟结束时成绩持平，若该场比赛
需要决出胜负，需进行30分钟的加时赛，若加时赛仍是平局，则采取“点球大战”的方式决定胜负.“点
球大战”的规则如下：①两队应各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜：②如果在踢满5
轮前，一队的进球数已多于另一队踢满5次可能射中的球数，则不需再踢，譬如：第4轮结束时，双方进
球数比为2：0，则不需再踢第5轮了；③若前5轮点球大战中双方进球数持平，则采用“突然死亡法”决
出胜负，即从第6轮起，双方每轮各派1人罚点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜.
(1)已知小明在点球训练中射进点球的概率是 .在一次赛前训练中，小明射了3次点球，且每次射点球互
不影响，记X为射进点球的次数，求X的分布列及数学期望.
(2)现有甲、乙两校队在淘汰赛中（需要分出胜负）相遇，120分钟比赛后双方仍旧打平，须互罚点球决出
胜负.设甲队每名球员射进点球的概率为 ，乙队每名球员射进点球的概率为 .每轮点球中，进球与否互
不影响，各轮结果也互不影响.求在第4轮结束时，甲队进了3个球并刚好胜出的概率.
【答案】(1)分布列见解析，期望为 ；
(2) .
【解析】(1)依题意， ， 的可能取值为：0,1,2,3，
；
.
X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
.
(2)记“在第4轮结束时，甲队进了3个球并刚好胜出”为事件A.
依题意知：在第4轮结束时，甲队进了3个球并刚好胜出，甲乙两队进球数比为:“甲VS乙：3:0”记为事
件 ，或“甲VS乙：3:1”记为事件 ，则 ，且 与 互斥.
依题意有： ，
，.
2．（2022·广东茂名·一模）为了增强学生体质，茂名某中学的体育部计划开展乒乓球比赛，
为了解学生对乒乓球运动的兴趣，从该校一年级学生中随机抽取了200人进行调查，男女人
数相同，其中女生对乒乓球运动有兴趣的占80%，而男生有15人表示对乒乓球运动没有兴趣．
(1)完成2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“对乒乓球运动是否有兴趣与性别有关”？
有兴趣 没兴趣 合计
男
女
合计
(2)为了提高同学们对比赛的参与度，比赛分两个阶段进行.第一阶段的比赛赛制采取单循环方
式，每场比赛采取三局二胜制，然后由积分的多少选出进入第二阶段比赛的同学，每场积分
规则如下：比赛中以 取胜的同学积3分，负的同学积0分；以 取胜的同学积2分，负
的同学积1分.其中，小强同学和小明同学的比赛倍受关注，设每局小强同学取胜的概率为
，记小强同学所得积分为 ， 求 的分布列和期望.
附表：
P
0.50 0.40 0.25 0.150 0.100 0.050
（K2≥k ）
0
k 0.455 0.780 1.323 2.072 2.706 3.841
0
【答案】(1)表格见解析，没有；
(2)分布列见解析， .
【解析】(1)
由题意得到如下的2×2列联表，
有兴趣 没兴趣 合计
男 85 15 100女 80 20 100
合计 165 35 200
，
由表格得到 ，
所以没有90%的把握认为“对乒乓球运动是否有兴趣与性别有关”.
(2)
由题意，知 ，
； ；
； ，
所以 的分布为
0 1 2 3
所以期望 .
题组三 独立事件
1．（2022·广东·一模）小王每天17：00—18：00都会参加一项自己喜欢的体育运动，运动项目有篮球、
羽毛球、游泳三种.已知小王当天参加的运动项目只与前一天参加的运动项目有关，在前一天参加某类运
动项目的情况下，当天参加各类运动项目的概率如下表：
当天
前一天
篮球 羽毛球 游泳
篮球 0.5 0.2 0.3羽毛球 0.3 0.1 0.6
游泳 0.3 0.6 0.1
(1)已知小王第一天打羽毛球，则他第三天做哪项运动的可能性最大？
(2)已知小王参加三种体育运动一小时的能量消耗如下表所示：
运动项目 篮球 羽毛球 游泳
能量消耗/卡 500 400 600
求小王从第一天打羽毛球开始，前三天参加体育运动能量消耗总数的分布列和期望.
【答案】(1)第三天打羽毛球的可能性最大
(2)分布列见解析，期望为1428卡
【解析】(1)用A，B，C分别表示篮球，羽毛球，游泳三种运动项目，用 ， ， 分
别表示第n天小王进行A，B，C三种运动项目的概率.
因为小王第一天打羽毛球，
所以第2天小王做三项运动的概率分别为 ， ， .
第3天小王做三项运动的概率分别为 ，
，
，
所以小王第三天打羽毛球的可能性最大.
(2)
小王从第一天打羽毛球开始，前三天的运动项目安排有：BAA，BAB，BAC，BBA，BBB、BBC、BCA，BCB、
BCC共9种，
运动能量消耗总数用X表示，有1200，1300，1400，1500，1600共5种可能，
，
，，
，
，
所以小王从第一天打羽毛球开始，前三天参加体育运动能量消耗总数X的分布列为
X 1200 1300 1400 1500 1600
P 0.01 0.09 0.57 0.27 0.06
能量消耗总数X的期望
（卡）
所以小王从第一天打羽毛球开始，前三天参加体育运动能量消耗总数X的期望为1428卡.
2（2022·广东韶关·一模）在某校开展的知识竞赛活动中，共有 三道题，答对 分别得2分､
2分､4分，答错不得分.已知甲同学答对问题 的概率分别为 ，乙同学答对问题 的概率
均为 ，甲､乙两位同学都需回答这三道题，且各题回答正确与否相互独立.
(1)求甲同学至少有一道题不能答对的概率；
(2)运用你学过的统计学知识判断，谁的得分能力更强.
【答案】(1)
(2)乙
【解析】(1)设甲同学三道题都答对的事件为 ,则 ，
所以甲同学至少有一道题不能答对的概率为 .
(2)设甲同学本次竞赛中得分为 ，则 的可能取值为 分，
则 ,
,,
,
,
所以 的概率分布列为：
0 2 4 6 8
所以
设乙同学本次竞赛中得分为 ，由 的可能取值为 分
,
,
,
,
,
所以 的概率分布列为：
0 2 4 6 8
所以 ,所以 ，所以乙的得分能力更强.
3．（2022·广东茂名·二模）某校组织“百年党史”知识比赛，每组有两名同学进行比赛，有2道抢答题
目．已知甲、乙两位同学进行同一组比赛，每人抢到每道题的机会相等．抢到题目且回答正确者得100分，
没回答者得0分；抢到题目且回答错误者得0分，没抢到者得50分，2道题目抢答完毕后得分多者获胜．
已知甲答对每道题目的概率为 ．乙答对每道题目的概率为 ，且两人各道题目是否回答正确相互独立．
(1)求乙同学得100分的概率；
(2)记X为甲同学的累计得分，求X的分布列和数学期望．
【答案】(1) ；
(2)分布列见解析， .
【解析】(1)由题意，乙同学得100分的基本事件有{乙抢到两题且一道正确一道错误}、{甲乙各抢到一题
都回答正确}、{甲抢到两题且回答错误}，
所以乙同学得100分的概率为 .
(2)由题意，甲同学的累计得分 可能值为 ，
；
；
； ；
；
分布列如下：
0 50 100 150 200
所以期望 .题组四 条件概率
1．（2022·福建·莆田华侨中学模拟预测）甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球，先
从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以A表示事件“由甲罐取出的球是黑球”，再从乙罐中随机取出一球，
以B表示事件“由乙罐取出的球是黑球”，则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为甲罐中有3个红球、2个黑球，所以 ，故选项A正确；
因为 ，所以 ，故选项B正确；
因为 ，故选项C错误；
因为 ，所以 ，故选项D正确.
故选：C.
2．（2022·东城模拟）若某地区60岁及以上人群的新冠疫苗全程（两针）接种率为60%，加强免疫接种
（第三针）的接种率为36%，则在该地区完成新冠疫苗全程接种的60岁及以上人群中随机抽取一人，此人
完成了加强免疫接种的概率为（ ）
A．0.6 B．0.375 C．0.36 D．0.216
【答案】A
【解析】设事件 为抽取的一人完成新冠疫苗全程接种，事件 为抽取的一人完成加强免疫接种，
所以 ， ，
所以在该地区完成新冠疫苗全程接种的60岁及以上人群中随机抽取一人，此人完成了加强免疫接种的概率
为 .故答案为：A
3．（2022·宁德模拟）从0，1，2，…，9这十个数字中随机抽取3个不同的数字，记A为事件：“恰好抽的是2，4，6”，记B为事件：“恰好抽取的是6，7，8”，记C为事件：“抽取的数字里含有6”.则下列说
法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题知，从10个数中随机的抽取3个数，共有 种可能情况，
对于A选项，“恰好抽的是2，4，6”和“恰好抽取的是6，7，8”为互斥事件，
，A选项错误；
对于B选项， ，B选项错误；
对于C选项， ，C选项错误；
对于D选项，由于 ，故由条件概率公式得 ，D选项正
确.
故答案为：D
4．（2022·凉山模拟）设A， 是两个事件，且 发生A必定发生， ，给出下
列各式，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 发生 必定发生，
（A）， （B），A，D不符合题意，，B不符合题意，
，C符合题意．
故答案为：C．
5．（2022·淄博模拟）（多选）甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和
3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以 和 表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑
球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以 表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（
）
A．事件 与事件 相互独立
B．
C．
D．
【答案】B,D
【解析】由题意 ， ， ，
先 发生，此时乙袋有5个红球，3个白球和3个黑球，则 ，
先 发生，此时乙袋有4个红球，4个白球和3个黑球，则 ，
先 发生，此时乙袋有4个红球，3个白球和4个黑球，则 ，所以 ，B符合题意； ，
，
，C不符合题意；
则 ， ， ，A不符合题意；
，D符合题意.
故答案为：BD
6．（2022·江阴模拟）已知随机事件M，N， ，则 的
值为 ．
【答案】
【解析】依题意得 ，所以
故 ．故答案为： ．
7．（2022·江苏无锡·模拟预测）已知随机事件M，N， ，则 的
值为________．
【答案】
【解析】依题意得 ，所以故 ．
故答案为： ．
8．（2022·甘肃·高台县第一中学高三开学考试（理））甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中
有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，
分别以 ， 和 表示由甲箱中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表
示由乙箱中取出的球是红球的事件，下列说法正确的序号是__________.
①事件 ， 相互独立；② ；③ ；④ ；⑤ ．
【答案】③④⑤
【解析】依题意， ， 和 是两两互斥事件，
， ，
又 ， ①②错误；
又 ， ，
，③④正确；
，⑤正确；
故答案为：③④⑤.题组五 正态分布
1．（2022·滨州二模）设随机变量 ，则“ ”是“ ”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当 时，根据正态曲线的对称性可知 ，故 不是 的充
分条件；反之，若 ，由对称性可知 ，故 是 的必要条件；
故 是 的必要不充分条件，故答案为：B
2．（2022·东北三省模拟）已知随机变量 ，下列表达式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，
因此 ， ，
因此B、D不正确，C符合题意，
又因为 ，所以A不正确，故答案为：C
3．（2022·厦门模拟）我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量．概率论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量
，当n充分大时，二项随机变量Y可以由正态随机变量X来近似，且正态随机变量X的期望
和方差与二项随机变量Y的期望和方差相同．棣莫弗在1733年证明了 的特殊情形，1812年，拉普
拉斯对一般的p进行了证明．现抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上
次数超过60次的概率为（ ）（附：若 ，则 ，
， ）
A．0.1587 B．0.0228 C．0.0027 D．0.0014
【答案】B
【解析】抛掷一枚质地均匀的硬币100次，设硬币正面向上次数为 ，则 ，
所以 ， ，
由题意， ，且 ， ，
因为 ，
所以利用正态分布近似估算硬币正面向上次数超过60次的概率为
，
故答案为：B.
4．（2021·河南模拟）红外体温计的工作原理是通过人体发出的红外热辐射来测量体温的，有一定误差．
用一款红外体温计测量一位体温为36.9℃的人时，显示体温X服从正态分布 ，若X的值在内的概率约为0.9973，则n的值约为（ ）
参考数据：若 ，则 ．
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】因为体温X服从正态分布 ，
所以 ，
因为X的值在 内的概率约为0.9973，
根据参考数据知 ，
即 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，解得 。
故答案为：B.
5．（2022·呼和浩特模拟）设随机变量X服从正态分布 ，若 ，则
．
【答案】0.6
【解析】因为 ，所以所对应的正态曲线关于 对称，
因为 ，所以 ，所以 ；故答案为：0.6
6（2022·广东广东·一模）某市教育局对该市普通高中学生进行学业水平测试，试卷满分120分．现从全
市学生中随机抽查了10名学生的成绩，分别为78，81，84，86，86，87，92，93，96，97．
(1)已知10名学生的平均成绩为88，计算其中位数和方差；
(2)已知全市学生学习成绩分布服从正态分布 ，某校实验班学生30人．
①依据（1）的结果，试估计该班学业水平测试成绩在 的学生人数（结果四舍五入取整数）；
②为参加学校举行的数学知识竞赛，该班决定推荐成绩在 的学生参加预选赛，若每个学生通过预
选赛的概率为 ，用随机变量X表示通过预选赛的人数，求X的分布列和数学期望．（正态分布参考数据：
， ）
【答案】(1)中位数为 ，方差为 ；
(2)①4；②分布列见解析，数学期望为 .
【解析】(1)这10个数据依次为78，81，84，86，86，87，92，93，96，97，
所以中位数为 ，平均数为 ，
所以方差 .
(2)①由（1）知： ， ，
，
该班学生成绩在 的人数为 .
②随机变量 ，显然X服从二项分布 ，其分布列为 ，其中
，X 0 1 2 3 4
P
所以， .
