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第八单元 数学广角
【例1】观察下面的点阵图规律，第（9）个点阵图中有（ ）个点。
解析：本题考查的知识点是数与形结合的规律，考查的方法是通过特例分析归
纳出一般结论的方法。对于找规律的题目，首先应找出哪部分发生了变化，是
按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后，再利用规律求解。
第（1）个图有1+2+3=6个点，第（2）个图有2+3+4=9个点，第（3）个图
有3+4+5=12个点……第 个图就有 个点，所以第（9）个图中
应有9+10+11=30（个）点。
解答：30。
【例2】先画出第五个图形并填空。再想一想：后面的第10个方框里有（
）个点，第51个方框里有（ ）个点。
解析：本题考查的知识点是数与形结合的规律，解答时，应找出哪些部分发生
了变化，是按照什么规律变化的。按照给出的规律，以此类推，第五个图形有
1+4×4个点，如下图。因为第 n个图中共有1+4（n-1）个点，所以第10个图
中有1+4×（10-1）=37个点，则第51个图共有1+4×（51-1）=201个点。
解答：37 201
【例3】按下面用小棒摆正六边形。摆 4个正六边形需要（ ）根小棒；
摆 10 个 正 六 边 形 需 要 （ ） 根 小 棒 ； 摆 个 正 六 边 形 需 要
（ ）根小棒。
解析：本题考查的知识点是是数形结合规律。解答时，根据已知图形的排列特
点及数量关系，推理得出一般的结论进行解答。
摆1个六边形需要6根小棒，可以写作5×1+1；摆2个六边形需要11根小
棒，可以写作5×2+1；摆3个六边形需要16根小棒，可以写作5×3+1……由此可以推理得出一般规律，即摆 个六边形需要 根小棒。
解答：21 51 5n+1
【例4】观察下列由五角星组成的等边三角形图案：
它们是按一定规律排列的，依照此规律，第20个图形共有多少个★？
解析：本题考查的知识点是利用数学结合思想解答五角星组成的图案问题。解
答时，设每个图形的每边的五角星个数是 n，每个图案的总点数即五角星总数
用S表示。
当n=2时，S=3×（2-1）=3 当n=3时，S=3×（3-1）=6
当n=4时，S=3×（4-1）=9 …
所以，S=3×（n-1）=3n-3，当第20个图形，n=21，所以S=3×21-3=60（个）
解答：60
【例5】现在有若干圆环，它的外直径5厘米，环宽5毫米，将它们扣在一起，
拉紧后测其长度，请你完成下列各题。
（1）根据表中规律，则8个环拉紧后的长度是多少厘米？
（2）设环的个数为a，拉紧后总长为S，你能用一个关系式表示你发现的规律
吗？
解析：本题考查的知识点是数学结合规律解答问题。解答时，根据题干可知：1
个圆环的长度是5厘米，以后每增加一个圆环，就增加 5-0.5×2=4厘米，由此
可以完成表格。
（1）当有n个环时，拉紧后的总长度就是：1+4n厘米；据此求出n=11时的长
度。（2）设环的个数为a，拉紧后总长为S，则可得圆环与拉紧后的总长度的
关系式是：S=0.5×2+（5-0.5×2）a，即：S=1+4a。
解答：5毫米=0.5厘米，1个圆环的长度是5厘米，以后每增加一个圆环，就增
加5-0.5×2=4厘米，由此可以完成表格，（1）当有 n 个环时，拉紧后的总长度就是 1+4n 厘米，当 n=8 时，总长度是
1+8×4=33（厘米）
答：8个圆环拉紧后的长度是33厘米．
（2）设环的个数为 a，拉紧后总长为 S， S=0.5×2+（5-0.5×2）a，即：
S=1+4a
答：这个关系式是：S=1+4a。
【例6】用长2厘米、宽1厘米的长方形纸按下图的顺序摆出山字形。
（1）排成5层时，这个图形的周长是多少厘米？
（2）写出层数和周长的关系式．
解析：本题考查的知识点是数形结合思想解答图形排列问题。解答时，先看一
层时，周长是（2+1）×2；两层时，周长是（2×2+1×2）×2；三层时周长是
（2×3+1×3）×2…，所以n层时，周长是（2n+n）×2=6n，据此解答即可。
解答：
（1）当n=5时，6×5=30（厘米）
（2）n层时，周长是（2n+n）×2=6n
