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6.2 古典概型及条件概率（精练）（基础版）
题组一 古典概型
1．（2022·山东滨州）法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出
的人们（书籍的作者）一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流，阅读会让精神世界闪光”.
某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间
（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示：
(1)求a；
(2)根据频率分布直方图，估计该地年轻人每天阅读时间的中位数（精确到0.1）（单位：分钟）；
(3)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组 ，
和 的年轻人中抽取5人，再从中任选3人进行调查，求其中恰好有2人每天阅读时间位于
的概率.
【答案】(1) (2)74.4分钟(3)
【解析】（1）因为频率分布直方图的所有矩形面积之和为1，所以 ，
解得 .
（2）因为 ， .则中位数位于区间
内，设中位数为x，则 ，解得 ，所以估计该地年轻人阅读时间的中位数约
为74.4分钟.（3）由题意，阅读时间位于 的人数为 ，阅读时间位于 的人数为 ，
阅读时间位于 的人数为 ，所以在这三组中按照分层抽样抽取5人的抽样比例为 ，
则抽取的5人中位于区间 有1人，设为a，位于区间 有2人，设为 ， ，位于区间
有2人，设为 ， .则从5人中任取3人，样本空间
.含有10个样本点.设事件A为“恰有2人每天阅
读时间在 ”， ，含有3个样本点.所以 ，所以恰好有2
人每天阅读时间位于 的概率为 .
2．（2022·青海西宁）新冠肺炎疫情期间，为确保“停课不停学”，各校精心组织了线上教学活动，开学
后，某校采用分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为150的样本进行关于线上教学实施情况
的问卷调查.已知该校高一年级共有学生660人，抽取的样本中高二年级有50人，高三年级有45人.下表是
根据抽样调查情况得到的高二学生日睡眠时间（单位： ）的频率分布表.
分组 频数 频率
5
8
12
10
合计 50 1
(1)求该校学生总数及频率分布表中实数 的值；(2)已知日睡眠时间在区间 的5名高二学生中，有2名女生，3名男生，若从中任选2人进行面谈，
求选中的2人恰好为一男一女的概率.
【答案】(1)1800人， (2)
【解析】(1)设该校学生总数为 ，由题意 ，解得 ，
该校学生总数为1800人.由题意 ，解得 ，
(2)记“选中的2人恰好为一男一女”为事件 ，
记5名高二学生中女生为 ，男生为 ，
从中任选2人有以下情况： ，
，基本事件共有10个，其中事件 包含的基本事件有6个，故 ，
所以选中的2人恰好为一男一女的概率为 .
3．（2022·河北张家口）英才中学为普及法律知识，组织高一学生学习法律常识小册子，并随机抽出100
名学生进行法律常识考试，并将其成绩制成如图所示的频率分布直方图.
(1)估计这100人的平均成绩；
(2)若成绩在 的学生中恰有两位是男生，现从成绩在 的学生中抽取3人去校外参加社会法
律知识竞赛，求其中恰有一位男生的概率.
【答案】(1) 分(2)
【解析】(1)由频率分布直方图可知 ，解得 ，所以这100人的平均成绩为： ，
即这100人的平均成绩为 分.
(2)依题意可知成绩在 的有 人，
其中 位男生、 位女生，设 位女生分别为 、 、 ， 位男生为 、 ，
从中任取3人的取法有 、 、 、 、 ， ， ， ， ，
共 种取法，
其中恰有一个男生的有 、 、 、 ， ， 共 种，
所以恰有一位男生的概率 .
4．（2022·河南·商丘市）蹦床是一项将运动和美学完美结合的运动，随着全民健身时代的到来，蹦床越来
越受到人们的喜爱，某大型蹦床主题公园为吸引顾客，推出优惠活动对首次消费的顾客，先注册成为会员，
首次按60元收费，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：
消费次
第1次 第2次 第3次 第4次 ≥5次
数
收费比
1 0.95 0.90 0.85 0.80
例
该蹦床主题公园从注册的会员中，随机抽取了100位统计他们的消费次数，得到数据如下：
消费次
第1次 第2次 第3次 第4次 ≥5次
数
频数 60 20 10 5 5
假设每消费一次，蹦床主题公园的成本为30元，根据所给数据，解答下列问题：
(1)以频率估计概率，估计该蹦床主题公园一位会员至少消费2次的概率；
(2)某会员消费6次，求这6次消费中，该蹦床主题公园获得的平均利润；
(3)以样本估计总体，假设从消费次数为3次和4次的会员中采用分层抽样的方法共抽取6人进行满意度调
查，再从这6人中随机选取3人进一步了解情况，求抽取的3人中恰有一人的消费次数为4次的概率．
【答案】(1) (2)23（元）(3)
【解析】(1)随机抽取的100位会员中，至少消费2次的会员有 （位），所以该蹦床主题公园一位会员至少消费2次的概率
(2)第1次消费时，蹦床主题公园获取的利润为 （元），
第2次消费时，蹦床主题公园获取的利润为 （元），
第3次消费时，蹦床主题公园获取的利润为 （元），
第4次消费时，蹦床主题公园获取的利润为 （元），
第5次或第6次消费时，蹦床主题公园获取的利润为 （元）
所以这6次消费中，该蹦床主题公园获得的平均利润为 （元）
(3)由题意知，从消费次数为3次和4次的会员中抽取的人数分别为4人，2人，
这6人中，将消费3次的会员分别记为a，b，c，d，消费4次的会员分别记为e，f
从6人中随机抽取3人的情况有
; ; ; ;
; ； ； ； ，共20种
设“抽取的3人中恰有一人的消费次数为4次”为事件A，则事件A包含的情况有
，共12种．
根据古典概型的概率计算公式可得，
5．（2022·广西柳州）某政府部门为促进党风建设，拟对政府部门的服务质量进行量化考核，每个群众办
完业务后可以对服务质量进行打分，最高分为100分.上个月该部门对100名群众进行了回访调查，将他们
按所打分数分成以下几组：第一组 ，第二组 ，第三组 ，第四组 ，第五组
，得到频率分布直方图如图所示.(1)估计所打分数的众数，平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）
(2)该部门在第一､二组群众中按比例分配的分层抽样的方法抽取6名群众进行深入调查，之后将从这6人
中随机抽取2人聘为监督员，求监督员来自不同组的概率.
【答案】(1)众数为70，平均数为65；(2)
【解析】(1)由频率分布直方图可知，众数为 ；
5个组的频率分别为0.05，0.1，0.2，0.35，0.3，所以平均数为
；
(2)由频率分布直方图可知第一组的频率为0.05，第二组的频率为0.1，
则第一组的人数为5人，第二组的人数为10人，
所以按分层抽样的方法抽到的6人中，
第一组抽2人，记为 ；第二组抽4人，记为 ，
则 ，
设事件 为抽到的2人来着不同的组，
则 ，所以 .
题组二 条件概型
1．（2022·吉林）先后抛掷一颗质地均匀的骰子两次，观察向上的点数．在第一次向上的点数为奇数的条
件下，两次点数和不大于 的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】设事件 表示“先后抛掷一颗质地均匀的骰子两次，第一次向上的点数为奇数”，
事件 表示“先后抛掷一颗质地均匀的骰子两次，两次点数和不大于 ”，
则 ， ,所以 .故选：D.
2（2022·江西·高三阶段练习（理））从1，2，…，6这六个数字中随机抽取2个不同的数字，记事件
“恰好抽取的是2，4”， “恰好抽取的是4，5”， “抽取的数字里含有4”．则下列说法正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题知，从6个数中随机抽取2个数，共有 种可能情况，则 ， ．
对于A选项，“恰好抽取的是2，4”和“恰好抽取的是4，5”为互斥事件， ， ，故
A错误；
对于B选项， ，故B错误；
对于C选项， ，故C错误；
对于D选项，由于 ，故由条件概率公式得 ，故D
正确．
故选:D．
3．（2022·福建·莆田华侨中学模拟预测）甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球，先
从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以A表示事件“由甲罐取出的球是黑球”，再从乙罐中随机取出一球，
以B表示事件“由乙罐取出的球是黑球”，则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】因为甲罐中有3个红球、2个黑球，所以 ，故选项A正确；
因为 ，所以 ，故选项B正确；
因为 ，故选项C错误；
因为 ，所以 ，故选项D正确.
故选：C.
4．（2022·山东济宁）在8件同一型号的产品中，有3件次品，5件合格品，现不放回的从中依次抽取2件，
在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当第一次抽到次品后，还剩余2件次品，5件合格品，所以第二次抽到次品的概率为 .故选：D
5．（2022·黑龙江）已知 ， ，则 等于（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 .故选：A.
6．（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）每年的6月6日是全国爱眼日，某位志愿者跟踪调查电子产品对
视力的影响，据调查，某高校大约有45%的学生近视，而该校大约有20%的学生每天操作电子产品超过1
，这些人的近视率约为50%.现从每天操作电子产品不超过1 的学生中任意调查一名学生，则他近视的
概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】令事件 “玩手机时间超过 的学生”， “玩手机时间不超过 的学生”， “任意调
查一人，此人近视”，则样本空间 ，且 互斥，
，
依题意， ，
解得 ，所以所求近视的概率为 .
故选： .
7．（2022·河北张家口·高二期末）某个闯关游戏规定：闯过前一关才能去闯后一关，若某一关没有通过，
则游戏结束.小明闯过第一关的概率为 ，连续闯过前两关的概率为 ，连续闯过前三关的概率为 ，且各
关相互独立.事件 表示小明第一关闯关成功，事件 表示小明第三关闯关成功，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设事件 表示小明第二关闯关成功，可得 ，
由条件概率的计算公式，可得 .故选：D.
8．（2022·山东济宁）（多选）设M、N是两个随机事件，则下列等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【解析】对A，当 不互斥时， 不成立，故A错误；对B，当 为对立事件时， ，则 不成立，故B错误；
对C，当 时， 成立，当 时，根据条件概率的公式
可得 成立，故C正确；
对D，根据条件概率的公式，结合C选项可得 成立，故D正确；
故选：CD
9．（2022·福建福州）（多选）甲箱中有 个红球， 个白球和 个黑球，乙箱中有 个红球， 个白球和
个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以 和 表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球
的事件；再从乙箱中随机取出一球，以 表示由乙箱取出的球是红球的事件，则（ ）
A．事件 与事件 相互独立 B．
C． D．
【答案】BD
【解析】由题意知： ， ， ， ， ，
，
，D正确；
，B正确；
，C错误；
， ，， 事件 与事件 不相互独立，A错误.故选：BD.
题组三 古典与条件综合运用
1．（2022·河南）从标有1，2，3，4的卡片中不放回地先后抽出两张卡片，则4号卡片“第一次被抽到的
概率”、“第二次被抽到的概率”、“在整个抽样过程中被抽到的概率”分别是（ ）
A． ， ， B． ， ， C． ， ， D． ， ，
【答案】A
【解析】4号卡片“第一次被抽到的概率” ，
“第二次被抽到的概率” ，
“在整个抽样过程中被抽到的概率” ．
故选：A.
2．（2023·全国·高三专题练习（理））一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯
（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），
同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
不够良
良好
好
病例组 40 60
对照组 10 90
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该
疾病”． 与 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标
为R．
（ⅰ）证明： ；（ⅱ）利用该调查数据，给出 的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．
附 ，
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【答案】(1)答案见解析
(2)（i）证明见解析；(ii) ；
【解析】（1）由已知 ，又 ，
，所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.
（2）(i)因为 ，所以
所以 ，(ii) 由已知 ， ，
又 ， ，所以
3．（2022·全国·高三专题练习）现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果
不放回地依次抽取2个节目，求：
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；
(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率.
【答案】(1) (2) (3)
【解析】(1)设第1次抽到舞蹈节目为事件 ，第2次抽到舞蹈节目为事件 ，则第1次和第2次都抽到舞
蹈节目为事件 ，从6个节目中不放回地依次抽取2个的基本事件总数为 ，根据分步计数原理有 ，所以 .
(2)由(1)知， ，所以 .
(3)由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为
.
