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第 18 练 等差数列及其求和
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、单选题
1．在公差不为零的等差数列 中，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
∵ ，则
∴
故选：B．
2．2022年4月26日下午，神州十三号载人飞船返回舱在京完成开舱．据科学计算，运载
“神十三”的“长征二号” 遥十三运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2千米，以
后每秒钟通过的路程都增加2千米，在达到离地面380千米的高度时，火箭与飞船分离，
则这一过程需要的时间大约是（ ）
A．10秒 B．13秒 C．15秒 D．19秒
【答案】D
【详解】
设每秒钟通过的路程构成数列 ，
则 是首项为2，公差为2的等差数列，
由求和公式有 ，
解得 ．
故选：D.
3．已知在等差数列 中， , ，则 =（ ）
A．8 B．10 C．14 D．16
【答案】D
【详解】
设公差为 ，
则 ，解得 ，
所以 .
故选：D.
4．5G基站建设是众多“新基建”的工程之一，截至2021年7月底，A地区已经累计开通
5G基站300个，未来将进一步完善基础网络体系，加快推进5G网络建设．已知2021年8月该地区计划新建50个5G基站，以后每个月比上一个月多建40个，预计A地区累计开通
4640个5G基站要到（ ）
A．2022年10月底 B．2022年9月底
C．2022年8月底 D．2022年7月底
【答案】B
【详解】
由题意得，2021年8月及之后该地区每个月建设的5G基站数量为等差数列，则公差为
40，
假设要经过k个月，则 ，
解得： ，所以预计A地区累计开通4640个5G基站要到2022年9月底，
故选：B．
5．在等差数列 中， ， ，则 （ ）
A．4 B． C．3 D．2
【答案】C
【详解】
因为 ，所以 .
故选：C．
6．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若 ，则 的值为（ ）
A．60 B．120 C．180 D．260
【答案】A
【详解】
设等差数列{an}的公差为 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
故选：A.
7．已知等差数列 中， 为数列 的前 项和，则 （ ）
A．115 B．110 C． D．
【答案】D
【详解】
设数列 的公差为 ，则由 得 ，解得 ，．
故选：D．
8．已知 是等差数列 的前 项和，其中 ，数列 满足 ，且
，则数列 的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
设等差数列 的公差为 ，
因为 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ， ， ，……， ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
故选：B
9．在数列 中，设其前n项和为 ，若 ， ， ，则 等于
（ ）
A．25 B．20 C．15 D．10
【答案】B
【详解】
由 可知：当 为奇数时， ，当 为偶数时， ，
所以奇数项成常数列，偶数项成等差数列，且公差为2
故
故选：B10．已知等差数列 的公差为 ，且 ，且 、 、 成等比数列，若 ， 为
数列 的前 项和．则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
由已知可得 ，即 ，可得 ， ，解得 ，
，所以， ，
，
令 ，则 ，
当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
所以，数列 中， 最小，故 的最小值为 .
故选：D.
二、多选题
11．公差为d的等差数列 满足 ， ，则下面结论正确的有（ ）
A．d＝2 B．
C． D． 的前n项和为
【答案】ABD
【详解】
由题意得，
，即 ，
解得 ，所以 ，故A、B正确；
得 ，
故 ，故C错误；所以数列 的前n项和为
，故D正确.
故选：ABD.
12．已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，且 ，则（ ）
A．d＜0 B．a ＝0 C．S ＜0 D．S＜S
10 18 8 9
【答案】BC
【详解】
， ，所以B正确
又 , , ,所以A错误
，故C正确
,故D错误
故选：BC
三、填空题
13．已知数列 的前n项和为 ， ， ，2，3，…，则
______．
【答案】 ##
【详解】
因为 ，
所以 ，
所以数列 是以 为公差的等差数列，
所以 ，
故答案为：
14．已知等差数列 满足 ，且 ，则 ______．
【答案】1【详解】
因为 ，所以 ，即 .
因为 ，则 ，
所以 .
故答案为：1
四、解答题
15．已知数列 为公差不为零的等差数列，其前 项和为 ， ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，其中 表示不超过 的最大整数，求 的值．
【答案】(1) (2)61
【解析】(1)
设数列 为公差为 ，
， ，
∴
∴
∴数列 的通项公式为
(2)
，则 ， ，
当 ，则 ，可得 ，
当 ，则 ，可得 ，
当 ，则 ，可得 ，
当 ，则 ，可得 ，
此时 .
所以， ，
故16．已知数列 满足 ，且 ， ， .
(1)求实数 ，使得数列 为等差数列；
(2)在（1）的条件下，设数列 的前 项和为 ，求 的取值范围
【答案】(1) (2)
【解析】(1)
若存在实数 ,使得数列 为等差数列,则 必是与 无关的常数
又
所以 ,经检验,符合题意
所以
(2)
由（1）知数列 是等差数列,其首项为2,公差为1,则
所以
所以
又 递增所以
所以
