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第 5 练 指对幂函数及其应用
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、单选题
1．已知 ，则 （ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
【答案】B
【详解】
因为 ，所以 ，所以 .
故选： .
2．设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：由题意得：
故选：D
3．函数 的图象大致为（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【详解】
由 ，定义域为
，
所以函数为奇函数，故排除BD；
当 时， ；当 时，函数 的增长速度比 的增产速度快，
所以 ，故排除C；
故选：A
4．1947年，生物学家Max Kleiber发表了一篇题为《body size and metabolicrate》的论文，
在论文中提出了一个克莱伯定律：对于哺乳动物，其基础代谢率与体重的 次幂成正比，
即 ，其中F为基础代谢率，M为体重．若某哺乳动物经过一段时间生长，其体重
为原来的10倍，则基础代谢率为原来的（参考数据： ）（ ）A．5.4倍 B．5.5倍 C．5.6倍 D．5.7倍
【答案】C
【详解】
设该哺乳动物原体重为 、基础代谢率为 ，则 ，
经过一段时间生长，其体重为 ，基础代谢率为 ，则
则 ，则
故选：C
5．已知函数 ，则关于 的方程 有 个不同实数解，
则实数 满足（ ）
A． 且 B． 且
C． 且 D． 且
【答案】C
【详解】
令 ，作出函数 的图象如下图所示：由于方程 至多两个实根，设为 和 ，
由图象可知，直线 与函数 图象的交点个数可能为0､2､3､4，
由于关于x的方程 有7个不同实数解，
则关于u的二次方程 的一根为 ，则 ，
则方程 的另一根为 ，
直线 与函数 图象的交点个数必为4，则 ，解得 .
所以 且 .
故选：C.
6．浮萍是我国南方常见的一种水生植物，生长速度非常快．最快每30个小时浮萍铺在水
面的面积就可以扩大为原来的2倍．李大爷承包了一块面积为3亩（1亩≈666.7平方米）
的鱼塘，为养殖草鱼购买了一些浮萍．最初，浮萍铺在水面上大约有1平方米，如果浮萍
始终以最高效繁殖，大约（ ）天后，浮萍可以铺满整个鱼塘．（不考虑草鱼对浮萍的
损耗．结果四舍五入到整数，参考数据： ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】B
【详解】
由题，鱼塘面积共 平方米，浮萍 天后在水面上的面积大约有 平方米，故浮萍铺满整个鱼塘的天数 满足 ，两边取对数化简有
，解得 ，故大约14天后，浮萍可以铺满整个鱼塘
故选：B
7．设 为指数函数 （ 且 ），函数 的图象与 的图
象关于直线 对称．在 ， ， ， 四点中，函数 与
的图象的公共点只可能是（ ）
A．点P B．点Q C．点M D．点N
【答案】D
【详解】
由题意，知 ．逐一代入验证，
点 代入 中，求得： ，不合要求，舍去；
点 代入 中，解得： ，将 代入 中， ，Q点不在
上，不合要求，舍去；
点 代入 中，解得： ，将 代入 中， ，解
得： ，故与 矛盾，舍去；
代入 中， ，解得： ，将 代入 中，
，解得： ，满足题意.故仅点N可能同时在两条曲线上．
故选：D．
8．甲、乙两人解关于x的方程 ，甲写错了常数b，得到的根为x＝－2或
，乙写错了常数c，得到的根为x＝0或x＝1，则原方程的根是（ ）
A．x＝－2或 B．x＝－1或x＝1
C．x＝0或x＝2 D．x＝－1或x＝2
【答案】D
【详解】
方程 ，即
设 ，即转转为方程
甲写错了常数b，得到的根为x＝－2或 ，即甲得到的根为
则 ，所以
乙写错了常数c，得到的根为x＝0或x＝1，即乙得到的根为
所以 ，所以
所以方程为 ，解得 或 ，即 ，或
解得 或
故选：D
二、多选题
9．下列函数在定义域内既是奇函数又是减函数的有（ ）
A． B．C． D．
【答案】BD
【详解】
， 定义域是R，BCD三个选项中函数定义域都
是R，
A中函数是奇函数，B中函数 ，是奇函数，
C中函数 ，是奇函数，
D中函数， ，是奇函数，
A中函数在定义域内不是减函数，
B中函数由于 是减函数， 是增函数，因此 是减函数，
C中函数， 时， 递增， 递增， 递增，所以 递增，
不是减函数，
D中， 时， 是减函数，由于其为奇函数，因此在 上也递减，从而在
定义域内递减，
故选：BD．
10．若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【详解】
解：令 ，因为 在定义域 上单调递增， 在定义域 上单调递减，
所以 在定义域 上单调递增，由 ，即 ，所以，故A正确；
因为 在定义域 上单调递减，所以 ，故D正确；
当 ， ，满足 ，但是 ，故B错误；
当 ， ，满足 ，但是 ，故C错误；
故选：AD
11．已知 ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【详解】
由题设， ，则 (仅 等号成立)，可得 ，
由 ，即 ，则 ，A正确；
由 ，即 ，B错误；
由 ，C正确；
由 ，当且仅当 时等号成立，D错误；
故选：AC
12．在同一直角坐标系中，函数 与 的图象可能是（ ）
A． B．C． D．
【答案】BD
【详解】
当 时， 在 单调递增且其图象恒过点 ，
在 单调递增且其图象恒过点 ，
则选项B符合要求；
当 时， 在 单调递减且其图象恒过点 ，
在 单调递减且其图象恒过点 ，
则选项D符合要求；
综上所述，选项B、D符合要求.
故选：BD.
三、填空题
13．已知函数 ，则 ______．
【答案】11
【详解】
由于 ， ， ，从而
．
故答案为：11．
14．已知 是定义在 上的函数，对任意实数 都有 ，且当时， ，则 ______．
【答案】 ##
【详解】
因为 ，则 ，故可得 ，
故 的一个周期为 ，则 ，
对 ，令 ，故可得 .
即 .
故答案为： .
15．幂函数 在 上单调递增， 在 上单调递减，能够使
是奇函数的一组整数m，n的值依次是__________．
【答案】1， （答案不唯一）
【详解】
因为幂函数 在 上单调递增，所以 ，
因为幂函数 在 上单调递减，所以 ，
又因为 是奇函数，所以幂函数 和幂函数 都是奇函数，所以 可以
是 ， 可以是 .
故答案为：1， （答案不唯一）.16．已知定义域为 的奇函数 ，当x>0时，有 ，则
______．
【答案】0
【详解】
上的奇函数 ，则有 ，而当x>0时，有 ，
于是有 ， ， ，
因 ， ，则有 ，
，
所以 .
故答案为：0
四、解答题
17．已知函数 ．
(1)若 ，求函数 的定义域．
(2)若函数 的值域为R，求实数m的取值范围．
(3)若函数 在区间 上是增函数，求实数m的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) ；(3) .
【解析】(1)
由题设， ，则 或 ，
所以函数定义域为 .
(2)
由函数 的值域为R，则 是 值域的子集，
所以 ，即 .
(3)
由 在 上递减，在 上递增，而 在定义域上递减，
所以 在 上递增，在 上递减，
又 在 上是增函数，故 ，可得 .
18．已知函数 是奇函数.
(1)求a的值并判断函数 的单调性（不需要证明）；
(2)若对任意的实数t，不等式 恒成立，求实数k的取值范围.
【答案】(1) ， 是R上的增函数；(2) ．
【解析】
(1)
因为函数 是奇函数，定义域为R，所以 ，令 ，有，即 ，经检验符合题意，
所以 ，又因为函数 在R上递增，函数 在R上递减，所以函数
是R上的增函数．
(2)
不等式 可化为 ，由函数
是R上的增函数，所以 ，即 ，而 ，所
以 ，故实数k的取值范围为 ．
