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第 03 讲 成对数据的统计分析 (精练）
A 夯实基础 B 能力提升 C 综合素养
A 夯实基础
一、单选题
1．（2022·全国·高二课时练习）下列关于回归分析与独立性检验的说法正确的是（ ）
A．回归分析和独立性检验没有什么区别
B．回归分析是对两个变量准确关系的分析，而独立性检验是分析两个变量之间的不确定性关系
C．回归分析研究两个变量之间的相关关系，独立性检验是对两个变量是否具有某种关系的一种检验
D．独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系
【答案】C
【详解】回归分析是对两个变量之间的相关关系的一种分析，而相关关系是一种不确定关系，通过回归分
析预测和估计两个变量之间具有的相关关系;
独立性检验是对两个变量之间是否具有某种关系的分析，并且可以分析这两个变量在多大程度上具有这种
关系，但不能100%肯定这种关系．
故ABD错误，C正确．
故选：C.
2．（2022·陕西西安·高一期末）如图是根据 的观测数据 得到的散点图，可以判断
变量 具有线性相关关系的有（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【答案】D
【详解】由图可知，③，④中各点比较均匀的分布在一条直线附近，具有线性相关关系．
故选：D．
3．（2022·辽宁大连·高二期末）为考察一种新药预防疾病的效果，某科研小组进行动物实验，收集整理数
据后将所得结果填入相应的 列联表中.由列联表中的数据计算得 .参照附表，下列结论正确的
是（ ）
0.025 0.010 0.005 0.0015.02 6.635 7.879 10.828
A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物有效”
B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物无效”
C．有99.99%以上的把握认为“药物有效”
D．有99.99%以上的把握认为“药物无效”
【答案】A
【详解】因为 ，即 ，
所以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物有效”或有99.9%以上的把握认为“药物有效”．
故选：A．
4．（2022·全国·高二课时练习）如图是某地区2012年至2021年的空气污染天数Y（单位：天）与年份X
的折线图．根据2012年至2016年的数据，2017年至2021年的数据，2012年至2021年的数据分别建立线
性回归模型 ， ， ，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【详解】记三条回归直线分别为 ， ， ，
画出这三条回归直线的大致图象，如图所示，
由图可知这三条回归直线的斜率大小关系为 ，
截距大小关系为 ．故选：C.
5．（2022·安徽·歙县教研室高二期末）已知变量 的成对样本数据的四个样本点
，用最小二乘法得到回归方程 过点 的直线方程为
，给出下列4个命题：
① ；
② ；
③ ；
④点 一定在直线 上.
其中正确的命题的个数是（ ）
参考公式： ， ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】作出散点图，直观判断可知 ， ，故①正确，②错误；
又 ，
所以 ，
所以
因为 ，所以
所以
所以 的残差平方和较小，所以③正确；
由回归方程一定过样本点中心 ，所以④正确.
故选：C6．（2022·山东滨州·高二期末）针对时下的“短视频热”，某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关
联进行了一次调查，其中被调查的男生､女生人数均为 人，男生中喜欢短视频的人数占男生人
数的 ，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的 .零假设为 ：喜欢短视频和性别相互独立.若依据
的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，则 的最小值为（ ）
附： ，附表：
0.05 0.01
3.841 6.635
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【详解】根据题意，不妨设 ，于是
，由于依据 的独立性检验认为喜欢短视频
和性别不独立，根据表格可知 ，解得 ，于是 最小值为 .
故选：C
7．（2022·辽宁·高三期末）某工厂为了对研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行
试销，得到如下数据：
单价x元 9 9.2 9.4 9.6 9.8 10
销量y件 100 94 93 90 85 78
（附：对于一组数据（x，y），（x，y）…（xn，yn），其回归直线 的斜率的最小二乘估计值
1 1 2 2
为 参考数值： ， ）；预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从这种线性相关关系，且该产品的成本是5元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为（
）A．9.4元 B．9.5元 C．9.6元 D．9.7元
【答案】B
【详解】由题意
由
所以 ，则
设该产品的售价为 元，工厂的利润为 ，则
由
当且仅当 ，即 时等号成立.
所以 时，工厂的利润的最大为405元
故选：B
8．（2022·山西省长治市第二中学校高二阶段练习）中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地.茶的发现和利
用已有四千七百多年的历史，且长盛不衰，传遍全球.为了弘扬中国茶文化，某酒店推出特色茶食品“金萱
排骨茶”，为了解每壶“金萱排骨茶”中所放茶叶量x（单位：克）与食客的满意率y的关系，通过调查
研究发现选择函数模型 来拟合y与x的关系，根据以下数据：
茶叶量x/克 1 2 3 4 5
4.34 4.36 4.44 4.45 4.51
可求得y关于x的回归方程为（ ）
（附：对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为
， ）
A． B．
C． D．
【答案】B【详解】对等式 两边同时取对数，可得：
易知： ，
则
综上，可得：
又有：
可得：
故选：B
二、多选题
9．（2022·全国·高二课时练习）为了增强学生的身体素质，某校将冬天长跑作为一项制度固定下来，每天
大课间例行跑操．为了调查学生喜欢跑步是否与性别有关，研究人员随机调查了相同人数的男、女学生，
发现男生中有80%喜欢跑步，女生中有40%不喜欢跑步，且有95%的把握判断喜欢跑步与性别有关，但没
有99%的把握判断喜欢跑步与性别有关，则被调查的男、女学生的总人数可能为（ ）
A．120 B．130 C．240 D．250
【答案】AB
【详解】依题意，设男、女学生的人数均为 ，则被调查的男、女学生的总人数为 ．建立如
下 列联表：
喜欢跑
不喜欢跑步 总计
步
男
女
总计
则 ，又 ，所以 ．
故选：AB．
10．（2022·山东聊城·高二期末）对具有相关关系的两个变量 和 进行回归分析时，经过随机抽样获得
成对的样本数据 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若两变量 、 具有线性相关关系，则回归直线至少经过一个样本点
B．变量 、 的线性相关系数 的绝对值越接近 ，则两个变量 与 的线性相关程度越强
C．用残差平方和来比较两个模型的拟合效果时，残差平方和越小，模型的拟合效果越好
D．用 来刻画回归模型的拟合效果时，若所有样本点都落在一条斜率为非零的直线上，
则 的值为
【答案】BCD
【详解】对于A选项，若两变量 、 具有线性相关关系，则回归直线过样本中心点，但不一定过样本点，
A错；
对于B选项，若变量 、 的线性相关系数 的绝对值越接近 ，则两个变量 与 的线性相关程度越强，
B对；
对于C选项，用残差平方和来比较两个模型的拟合效果时，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，C对；
对于D选项，用 来刻画回归模型的拟合效果时，若所有样本点都落在一条斜率为非零
的直线上，则 的值为 ，D对.
故选：BCD.
三、填空题
11．（2022·内蒙古·满洲里市第一中学高一期末）某地，第x年该地人均收入y的部分数据如下表：
年份 2015 2016 2017 2018 2019
年份编号x 1 2 3 4 5
年人均收入y（万元） 0.5 0.6 1 1.4 m
根据表中所数据，求得y与x的线性回归方程为： ，则2019年该地区实际年人均收入为
___________万元.
【答案】 ##
【详解】解：依题意 ， ，因为回归直线方程必过样本中心点 ，
所以 ，解得 ，即2019年该地区实际年人均收入为 万元；
故答案为：
12．（2022·全国·高三专题练习） 和 的散点图如图所示，则下列说法中所有正确命题的序号为______.
① ， 是负相关关系；
② ， 之间不能建立线性回归方程；
③在该相关关系中，若用 拟合时的相关指数为 ，用 拟合时的相关指数为 ，则
.
【答案】①③
【详解】在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，因此 ， 是负相关关系，故①正确；
x,，y之间可以建立线性回归方程，但拟合效果不好，故②错误；
由散点图知用 拟合比用 拟合效果要好，则 ，故③正确.
故答案为：①③.
四、解答题
13．（2022·陕西渭南·高一期末）每到夏季，许多人选择到水上乐园游玩，某水上乐园统计了开业后第3~7
天每天的游客人数 （百人）的数据，得到下面的表格：
第 天 3 4 5 6 7
游客人数 （百人） 1.5 2 3 3.5 5
(1)若 与 具有线性相关关系，求 关于 的线性回归方程；
(2)已知该水上乐园每天最大的游客承载量为1000人，如果某天的游客数量预计会超过该水上乐园每天最
大的游客承载量，则当天需采取限流措施，根据（1）中的回归方程估计：从第几天开始，该水上乐园需
要采取限流措施？
附：线性回归方程 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ， ．【答案】(1)
(2)从第14天开始．该水上乐园需要采取限流措施
（1）由表中数据得： ， ，计算得 ，
∴ ，∴ ，∴ ，∴ 关于 的
线性回归方程为
（2）令 得 ，解得 ，∴从第14天开始．该水上乐园需要采取限流措施．
14．（2022·全国·高二课时练习）某市自2021年1月启动对“车不让人行为”处罚以来，斑马线前机动车
抢行不文明行为得以根本改变，但作为交通重要参与者的行人，闯红灯通行却频有发生，带来了较大的交
通安全隐患，同时也使机动车的通畅率降低．该市交警部门在某十字路口根据以往的检测数据，得到行人
闯红灯的概率约为0.4，并从穿越该路口的行人中随机抽取了200人进行调查，对是否存在闯红灯情况得到
如下 列联表：
30岁及以下 30岁以上 总计
闯红灯 60
未闯红灯 80
总计 200
近期，为了整顿“行人闯红灯”这一项不文明及违法行为，交警部门在该十字路口对闯红灯行人试行经济
处罚，并在试行经济处罚后从穿越该路口的行人中随机抽取了200人进行调查，得到下表：
处罚金额（单位：
5 10 15 20
元）
闯红灯的人数 50 40 20 0
将统计数据所得频率作为概率，完成下列问题．
(1)将 列联表填写完整（不需写出填写过程），并根据表中数据分析，在未对闯红灯行人试行经济处罚
前，是否有99.9%的把握认为闯红灯与年龄有关？
(2)当处罚金额为10元时，行人闯红灯的概率比不进行处罚降低多少？
(3)结合调查结果，谈谈如何治理行人闯红灯现象．
【答案】(1)表格见解析，有99.9%的把握认为闯红灯与年龄有关
(2)0.2
(3)答案见解析
（1） 30岁及以下 30岁以上 总计闯红灯 20 60 80
未闯红灯 80 40 120
总计 100 100 200
由表中数据，得 ．∵ ，∴有99.9%的把握认为闯红灯
与年龄有关．
（2）未进行处罚前，行人闯红灯的概率约为0.4，当处罚金额为10元时，行人闯红灯的概率约为
，故当处罚金额为10元时，行人闯红灯的概率比不进行处罚降低0.2．
（3）①根据调查数据显示，行人闯红灯与年龄有明显关系，可以针对30岁以上人群开展“道路安全”宣
传教育；②由于试行经济处罚可以明显降低行人闯红灯的概率，则可以进行适当经济处罚来降低行人闯红
灯的概率．
B 能力提升
1．（2022·江苏·盐城中学模拟预测）某抽奖系统中，抽得的物品可分为5星，4星和3星，其中一种抽奖
种类中的抽奖系统的概率和相关保底机制如下：
物品类别 5星 4星 3星
基础概率 0.600% 5.100% 94.300%
基础概率：在没有任何其他机制的影响下，单次抽奖抽中指定类别奖品的概率．
保底机制：现假定玩家 从未进行过抽奖，则玩家抽取5星（或4星）的概率会随者未抽中5星（或4
星）的次数增加而改变，相关机制如下表所示：
连续未抽中4星的次数i
下一次抽中4星的概率 5.100%
连续未抽中5星的次数i
下一次抽中5星的概率 0.600%
注：① 表示 中的最小值：
②抽中4星的概率和抽中5星的概率的增加值从抽中3星的概率中等量扣除；
③若发现下一次抽奖中，抽中4星的概率和抽中5星的概率的和大于1，则下一次抽奖抽中5星的概率等于
表中的值（记为p），而抽中4星的概率为 ．
现记玩家 获得1个5星物品所需要的最大抽奖次数为N；
(1)统计10名玩家 抽到第一个五星的总次数和中途抽到四星的次数如下表所示：玩家序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
总次数y 30 78 64 80 85 79 55 83 66 81
四星个数x 4 8 7 9 9 8 6 9 8 9
计算得： ，已知y与x之间存在很强的线性相关关系，求出其线
性回归方程，并求出使得 最小的x（回归方程中的 和 取两位小数）
参考公式：回归直线方程 斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
．
【答案】(1) ，
（1）因为 ，代入数据得： ，所以
，所以y与x的线性回归方程为 .当连续未抽中5星的次
数 ，下一次抽中5星的概率为0.600%，所以下一次可能抽不中5星；当连续未抽中5星的次数
，下一次抽中5星的概率 0.600%，由
有： ，所以玩家 获得1个5星物品所需要的最大抽奖次数为73.
所以 ，由 有： ，所以使得 最小
的x为8.
2．（2022·河北唐山·高二期末）为过接2022年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某校开展了“冰雪答题
王”冬奥知识竞赛活动，现从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩
（满分为100分）为6组： ， ， ， ， ， ，得到如图所示的频
率分布直方图.
(1)求a的值；(2)记A表示事件“从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取一名学生，该学生的比赛成绩不低于80
分”，估计A的概率；
(3)在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成低于90分为“非优秀”，请
将下面的 列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？
优秀 非优秀 合计
男生 40
女生 50
合计 100
参考公式及数据： ， .
0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】(1) ；
(2)0.35；
(3)列联表答案见解析，没有99.9%的把握认为比赛成绩优秀与性别有关.
（1）由频率分布直方图知， ，解得： ，所以a的
值是0.025.
（2）由（1）知 ，则比赛成绩不低于80分的频率为 ，所以从参加冬奥知
识竞赛活动的学生中随机抽取一名学生，该学生的比赛成绩不低于80分的概率约为0.35.
（3）由（2）知，在抽取的100名学生中，比赛成绩优秀的有 人，由此可得完整的2×2列联
表：
优秀 非优秀 合计
男生 10 40 50
女生 25 25 50
合计 35 65 100
零假设 ：比赛成绩优秀与性别无关，根据表中的数据，计算得到
，依据小概率值 的独立性检验，没有充
分证据推断 不成立，因此可以认为 成立，即没有99.9%的把握认为比赛成绩优秀与性别有关.C 综合素养
1．（2022·黑龙江·哈尔滨三中三模（文））2022年春节前，受疫情影响，各地鼓励市民接种新冠疫苗第三
针.某市统计了该市4个地区的疫苗接种人数与第三针接种人数（单位：万），得到如下表格：
A区 B区 C区 D区
疫苗接种人数x/万 6 8 10 12
第三针接种人数y/万 2 3 5 6
(1)请用相关系数说明y与x之间的关系可用线性回归模型拟合，并求y关于x的线性回归方程
（若 ，则线性相关程度很高，可用直线拟合）.
参考公式和数据：相关系数 ，回归方程 中斜率和截距的最小二乘估
计公式分别为 ， ， .
【答案】(1)说明答案见解析，
由题： ， ，
， ， ，
所以相关系数 ，
说明y与x之间的性相关程度很高，所以可用线性回归模型拟合y与x之间的关系.
，
故y关于x的线性回归方程为 .
2．（2022·河南新乡·高二期中（文））为研究男体育特长生的身高与体重之间的关系，从某校的男体育特
长生中随机选取8名，其身高和体重的数据如表所示：
编号 1 2 3 4 5 6 7 8
身高x（ ） 178 173 158 167 160 173 166 169体重y（ ） 66 61 50 58 53 66 57 57
(1)根据最小二乘法的思想与公式求得身高与体重的线性回归方程为 .利用已经求得的线性回
归方程，完善下列残差表，并求解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值 （保留两位有效
数字）.
编号 1 2 3 4 5 6 7 8
体重y（ ） 66 61 50 58 53 66 57 57
残差 -0.5 -1.5 -0.5 0.3 0.9
(2)通过残差分析，对于残差绝对值最大的那组数据，需要确认在样本点的采集中是否有人为的错误，已知
通过重新采集发现，该组数据的体重应该为58kg.请重新根据最小二乘法的思想与公式，求出男体育特长
生的身高与体重的线性回归方程.
参考公式： ， ， ， .参考数
据： ， ， ， ， .
【答案】(1)填表答案见解析， 约为0.91
(2)
(1)解：对编号为6的数据： ；
对编号为7的数据： ；
对编号为8的数据： .
完成的残差表如下所示：
编号 1 2 3 4 5 6 7 8
体重y（kg） 66 61 50 58 53 66 57 57
残差 -0.5 -1.5 -0.5 0.3 0.9 3.5 0.1 -2.3
，
，所以解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值 约为0.91.
(2)由（1）可知，第六组数据的体重应为58，
此时 ，又 ， ， ，
，
，
所以重新采集数据后，男体育特长生的身高与体重的线性回归方程为 .
3．（2022·山东淄博·模拟预测）小叶紫檀是珍稀树种，因其木质好备受玩家喜爱，其幼苗从观察之日起，
第x天的高度为ycm，测得数据如下：
1 4 9 16 25 36 49
0 4 7 9 11 12 13
数据的散点图如图所示：
为近似描述y与x的关系，除了一次函数 ，还有 和 两个函数可选．
(1)从三个函数中选出“最好”的曲线拟合y与x的关系，并求出其回归方程（ 保留到小数点后1位）；
(2)判断说法“高度从1000cm长到1001cm所需时间超过一年”是否成立，并给出理由．
参考公式： ， ．
参考数据（其中 ， ）： ， ， ， ， ， ，
， ， ， ．
【答案】(1)选用 ； ；
(2)说法“高度从1000cm长到1001cm所需时间超过一年”成立.理由见解析.(1)由散点图可知，这些数据集中在图中曲线的附近，
而曲线的形状与函数 的图象很相似，
因此可以用类似的表达式 来描述y与x的关系，
即三个函数中 的图象是拟合y与x的关系“最好”的曲线.
令 ，则 ，根据已知数据，
得 ， ，
所以 ，
又回归直线 经过点(4,8)，所以 ，
所以y关于x的回归直线方程为 ，即 ；
(2)说法“高度从1000cm长到1001cm所需时间超过一年”成立.
设其幼苗从观察之日起，第m天的高度为1000cm，
有 ，解得 ，
第n天的高度为1001cm，
有 ，解得 ，
天，
所以说法“高度从1000cm长到1001cm所需时间超过一年”成立.
