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专题 2-3 勾股定理（考题猜想，利用勾股定理判定直角的六种常用方法）
方法1：利用三边的数量关系证明直角
【例题1】（22-23八年级下·湖北十堰·阶段练习）a，b，c为直角三角形的三边，且c为斜边，h为斜边上
的高．有下列说法：
① 能组成三角形；② 能组成三角形；
③ 能组成直角三角形；④ 能组成直角三角形
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果一
个三角形的三边 、 、 满足 ，那么这个三角形是直角三角形．先求出两小边的平方和，再求
出最长边的平方，看看是否相等即可．根据勾股定理的逆定理和三角形的三边关系进行逐个分析即可．
【详解】解： ， ， 是 的三边，且 ， 是斜边上的高，
① ，不符合三角形的两边之和大于第三边；
∴ 不能组成三角形，故①错误；
②∵ ， ，又 、 、 能组成三角形，
，
∴ ，
，
， ， 组成三角形（这里明显 是最长边）；
， ， 能组成三角形，故②正确；
③ ， （直角三角形面积 两直角边乘积的一半 斜边和斜边上的高乘积的一
半），
，
，
，
，
，
，
、 、 能组成直角三角形，故③正确；
④ ，
能组成直角三角形，故④正确，
综上分析可知，正确的结论有3个．
故选：C
【变式1】（22-23八年级下·湖南湘西·期中）如上图所示， 中，
，斜边上的高 ，以 的长为三角形的三边构造一个新
，若按角分类， 是 三角形．
【答案】直角
【分析】勾股定理得到 ，等积法得到 ，进而推出
，即可．
【详解】解：∵ 中， ，
∴ ，∵斜边上的高 ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ 为直角三角形．
【点睛】本题考查勾股定理和逆定理．熟练掌握两个定理，是解题的关键
【变式2】（22-23八年级下·新疆吐鲁番·阶段练习）已知如图，在四边形 中，已知 ， ，
， ，若 ，求证 ．
【答案】见解析
【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理，在 中，根据勾股定理求出 的值，再在
中根据勾股定理的逆定理，判断出 ，再根据平行线的判定即可求解．
【详解】证明：∵ ， ， ，
∴ ，
又 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴
【变式3】（22-23八年级下·浙江·期中）如图，平行四边形 的对角线 与 交于点 ，若
， ， ．
(1)猜想 的度数，并证明你的猜想；
(2)求平行四边形 的周长．
【答案】(1) 的度数为 ，证明见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理：（1）先根据平行四边形的性质可得 ， ，，再利用勾股定理的逆定理即可得出结
论；
（2）先利用勾股定理可得 ，再根据平行四边形的周长公式即可得解．
【详解】（1）解： 的度数为 ，证明如下：
∵四边形 是平行四边形，且 ， ，
， ，
，
，
∴ 是直角三角形，且 ；
（2）解： ， ， ，
∴ ，
∴平行四边形 的周长为
方法2：利用转换为三角形法构造直角三角形
【例题2】（22-23八年级下·山东青岛·期末）如图，平行四边形 中，对角线 ， 相交于 ，过
点 作 交 于点 ，若 ， ， ，则 的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接 ，由线段垂直平分线的性质得 ，再由勾股定理的逆定理证明 是直角三角
形， ，然后由勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，连接 ，
∵四边形 是平行四边形， ， ，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形， ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握平行四边形的性
质，证明 为直角三角形是解题的关键
【变式1】（22-23八年级下·河北沧州·阶段练习）如图，在四边形 中， ， ，
， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接 ，根据已知可判断出 为等边三角形，得出 ， ，再根据勾股定
理逆定理得出 ，即可求出 的度数．
【详解】解：如图，连接 ，
， ，
为等边三角形，
， ，
， ， ，
，
，
，
故选： ．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理逆定理，判断出 为等边三角形，求出
的长是解答本题的关键
【变式2】（22-23八年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，在四边形 中， ， ， ，
， ，求四边形 的面积．
【答案】36
【分析】本题考查了求不规则图形面积，勾股定理及其逆定理；连接 ，由勾股定理得
，求出 ，再由勾股定理的逆定理得 ，即可求解；掌握定理，将不规则图
形转化为规则图形是解题的关键．
【详解】解：如图，连接 ，
，
，
，
，
，
；．
故四边形 的面积为
【变式3】（22-23八年级下·四川泸州·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，
B，C，D是网格线的交点．
(1)探索 与 的位置关系，并说明理由；
(2)求四边形 的面积．
【答案】(1) ．理由见解析
(2)30．
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理.
（1）根据图中的数据，根据勾股定理的逆定理得到 ；
（2）将四边形的面积分解为两个三角形的面积分别计算即可.
【详解】（1）解： ．理由如下，
理由如下：由题意，
， ， ，
∴ ，
∴ ，即 ；
（2）解：∴
方法3：利用倍长中线法构造直角三角形
【例题3】（22-23八年级下·重庆巴南·期中）如图，在 中，点 是边 的中点，且 ， ，
，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】延长 至点 ，使得 ，连接 ，可证 ，可得 ，
，然后根据勾股定理逆定理证明 是直角三角形，利用 的面积 的面积，
即可解决问题．【详解】解：如图，延长 至点 ，使得 ，连接 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
∴ 的面积 的面积 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的中线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理逆定理，三角形的面积等
知识，得到 是直角三角形是解题的关键
【变式1】（22-23八年级下·安徽宿州·期末）如图，在 中，点D为 的中点，
，则：
（1） 的度数为 ；
（2） 的面积是 ．
【答案】 /90度 30
【分析】（1）延长 至 ，使 ，连接 ，证明 ，得 ，
， ，从在，是得 ，再由勾股定理逆定理得出 ，即可求
解；（2）根据 ，利用 求解即可．
【详解】解：（1）延长 至 ，使 ，连接 ，
为 的中点，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
∴ ，
；
故答案为： ．
（2）
的面积是30．
故答案为：30．
【点睛】本题考查全等三角的判定与性质，勾股定理逆定理，倍长中线，构造全等三角形是解题的关键
【变式2】（22-23八年级下·湖北武汉·阶段练习）已知直角 ， ，D是斜边 的中点，
E、F分别是 、 边上的点，且 ，连接 ．
(1)如图1，求证： ；
(2)如图1，求证： ；
(3)如图2，当 ，若 ， ，求 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析(3) ．
【分析】（1）利用四边形内角和得出 ，再根据补角的性质即可得；
（2）延长 至点P，使 ，构造全等三角形，利用全等三角形的性质得到直角三角形，由勾股定
理及等量代换可得；
（3）由（2）结论求 长，再通过全等证明 ，由面积公式求解．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）证明：如图，延长 至点P，使 ，连接 ，
∵ ，
∴ 为 的垂直平分线，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
由勾股定理得， ，
∴ ；
（3）解：如图，∵ ，即 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 是等腰直角三角形， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题为三角形的综合应用，主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，以及
勾股定理等，构造全等三角形、掌握“倍长中线”型全等三角形的模型是解答此题的关键
【变式3】（20-21八年级下·辽宁大连·期中）如图，四边形 、 都是正方形， 是 的中点，
连接 、 ．
(1)当 、 、 三点共线时，求证： ，且 ．
(2)当 、 、 三点不共线时，（1）中的结论是否成立，并加以证明．
【答案】(1)见解析
(2)成立，证明见解析
【分析】（1）延长 交 于点N，连接 ，通过证明 ，得出即点M为 中点，
再证明 ，得出 为等腰直角三角形，即可求证；
（2）过点E作 ；延长 ，交 于点N；延长 交 于点P； 与 相交于点Q；连接；用和（1）一样的方法即可证明．
【详解】（1）证明：延长 交 于点N，连接 ，
∵四边形 为正方形，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
在 和 中，
，
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ 为等腰直角三角形，
∵ ，
∴ ，即点M为 中点，
∴ ．（2）过点E作 ；延长 ，交 于点N；延长 交 于点P； 与 相交于点Q；连接
；
∵ 是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ 为等腰直角三角形，∵ ，
∴ ，即点M为 中点，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的性质和判定，解题的关键是正确画出辅助线，构建
全等三角形，根据全等三角形的性质进行证明
方法4：利用化分散为集中法构造直角三角形
【例题4】（20-21八年级上·广东惠州·期末）如图， 中， ，在斜边 上取点 ，
（不包含 、 两点），且 ，设 ， ， 则以下结论能成立的
是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据等腰直角三角形中 ， 可知 ，所以将 绕
点 旋转与 拼接在一起，并连接 如图所示（见详解），将 ， ， 转化到直角三角形
中，即可求出答案．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，于是将 绕点 旋转，使得点 与点 重合，点 对应点是点 ，如图所
示，连接 ，∴ ， ， ，且设 ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，且 ，
∴在 中， ，即 ，
故选： ．
【点睛】本题主要考查图形的选择，结合直角三角形的勾股定理求线段长的关系．理解和掌握图形旋转的
特点，解直角三角形各边的关系是解题的关键
【变式1】（23-24八年级下·吉林白城·阶段练习）如图，在等腰直角 的斜边 上任取两点 ，
使 ，记 ，则以 为边长的三角形的形状是 ．
【答案】直角三角形
【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，难度较大，注意掌握旋下列情形常实施旋转变换：（1）图形
中出现等边三角形或正方形，把旋转角分别定为 、 ；(2)图形中有线段的中点，将图形绕中点旋转
，构造中心对称全等三角形；（3）图形中出现有公共端点的线段，将含有相等线段的图形绕公共端
点，旋转两相等线段的夹角后与另一相等线段重合．
把 绕 点逆时针旋转 ，得 ，这样 就集中成一个与 相等的角，
在一条直线上的 、 、 集中为 ，只需判定 的形状即可．
【详解】解：如图：把 绕 点逆时针旋转 ，得 ，
则 ，
，又 ，
∴ ，
，
又 ，
，
∴以 、 、 为边长的三角形的形状是直角三角形．
故答案为：直角三角形
【变式2】（22-23八年级下·湖南永州·期中）若 的三边 ， ， 满足
，则 的面积是 ．
【答案】30
【分析】先进行移项，再运用完全平方公式进行整理，再根据非负项和为0，则各项均为0，求出 的
值，根据勾股定理逆定理判断为直角三角形，最后利用公式求面积即可．
【详解】解：
， ，
即
是直角三角形，
的面积是：
故答案为：30．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，勾股定理逆定理，三角形面积公式等知识，熟练掌握以上知识点
并进行灵活运用是解题的关键
【变式3】（23-24八年级上·浙江湖州·阶段练习）定义：如图1，点 把线段 分割成 和
，若以 为边的三角形是一个直角三角形，则称点 是线段 的勾股分割点．
(1)如图1，已知点 是线段 的勾股分割点，且线段 是线段 和 中最长的，若
，则线段 的长为____________ ；(2)如图2，已知点 在线段 上，且 ，点 在 上，且 ， 是线段 的勾
股分割点，求线段 的长；
(3)如图3，在 中， ，点 在斜边 上，且 ，求证：点
是线段 的勾股分割点．
【答案】(1)6.5
(2) 或
(3)见解析
【分析】（1）由勾股分割点的定义知 ，代入计算可得；
（2）分两种情况： 最长和 最长，利用勾股定理即可解决问题；
（3）过点A作 ，且 ．先证 ，得 ， ，再证
，得 ，然后在 中，由勾股定理得 ，即可得出
结论．
【详解】（1）解：∵点M，N是线段 的勾股分割点，且线段 是线段 和 中最长的，
，
∴ ，
故答案为：6.5；
（2）解：当 最长时， ，
设 ，则 ，
∴ ，
解得： ，
即 ；
当 最长时， ，
设 ，则 ，
，
解得： ，
即 ；
综上所述，线段 的长为 或 ；
（3）证明：如图，过点A作 ，且 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，
∴点M，N是线段 的勾股分割点．
【点睛】本题是三角形的综合题，考查了新定义“勾股分割点”、全等三角形的判定和性质、勾股定理等
知识，本题综合性强，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型
方法5：利用“三线合一”法构造直角三角形
【例题5】（23-24八年级上·四川乐山·期末）如图， 中， ， 交 于E，C为
上一点， ．若 ，则 的长为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质．作 于点
，作 于点 ，求得 ，再求得 ， ，
从而求得 ，根据 证明 ，据此求解即可．
【详解】解：设 ，作 于点 ，作 于点 ，∵ ，
∴ ， ，
∵ ，垂足为 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的一个外角，
∴ ，而 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ．
故选：B
【变式1】（23-24八年级下·河南商丘·阶段练习）如图，等腰三角形 的底边 长为 ，腰 的长
为 ，腰 的垂直平分线 分别交 ， 边于 点．若点 为 边的中点，点 为线段
上一动点，则 周长的最小值为 .
【答案】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的周长，等腰三角形的性质，垂线段最短，勾股定理，
连接 ，由线段垂直平分线的性质可得 ，进而得到 周长 ，又由等腰
三角形的性质可得当点 三点共线时， ，利用勾股定理求出 ，即可求解，掌握线段
垂直平分线的性质是解题的关键．
【详解】解：连接 ，∵ 为 的垂直平分线，
∴ ，
∴ 周长 ，
∵ ，点 为 边的中点，
当点 三点共线时， ，
此时 最短，即 的周长最小，
∵ ，点 为 边的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 的周长最小值 ，
故答案为：
【变式2】（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·阶段练习）在等腰直角三角形 中， ，
点 为 的中点，以 为斜边作直角三角形 ，连接 ．
(1)当点 在 的内部时，如图①，求证： ；
(2)当点 在 的外部时，如图②、图③，线段 之间又有怎样的数量关系？请直接写出猜
想，不需要证明．
(3)若 则 _________， _________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3) ； 或
【分析】（1）如图 ，连接 ，交 于点 ，过点 作 交 于点 ，由等腰三角形性质及
直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得 ， ，由三角形内角和定理结合对顶角相等，证
得 ，根据同角的余角相等，得 ，再根据全等三角形判定（角边角），证得
，进而得到 ， ，由 是等腰直角三角形，得 ，然后根据 ，即可证得结论；
（2）图②证明：连接 ，过点 作 ，交 延长线于点 ，得 ， ，再利用
四边形内角和结合平角计算得 ，根据同角的余角相等，得 ，再根据全等三
角形判定（角边角），证得 ，进而得到 ， ，勾股定理得 ，然
后根据 ，即可证得结论；
图③证明：连接 ，过点 作 ，交 延长线于点 ，得 ， ，根据余角计算
得 ，根据等量交换得 ，再根据全等三角形判定（角角边），可证得
，进而得 ， ，勾股定理得 ，然后根据
，即可证得结论；
（3）根据三角形面积，计算出 的长，再分析以 为直角边， ，符合条件的有图①和图②，
图③因 不符条件，然后根据“ 角所对的直角边等于斜边的一半”，即可得到 ，
，由（1）、（2）得图① ，图② ，分别求解即可得 的值．
【详解】（1）证明：如图①，连接 ，交 于点 ，过点 作 交 于点 ，
是等腰直角三角形，点 为 的中点，
， ，
又 ，
，
， ，
，
， ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
是等腰直角三角形，
，
．（2）解：图②，猜想： ，
图③，猜想： ，
图②证明：连接 ，过点 作 ，交 延长线于点 ，则 ， ，
， ，
在四边形 中， ，
，
，
， ，
，
在 和 中， ，
，
， ，
是等腰直角三角形，
，
；
图③证明：连接 ，过点 作 ，交 延长线于点 ，则 ， ，
， ，
， ，
，
， ，
，在 和 中， ，
，
， ，
是等腰直角三角形，
，
．
（3）解： ， ，
，
，
图①，图②符合，
， ，
由图①结论得 ，
，
由图②结论得 ，
，
故答案为： ； 或 ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形内角和定
理，勾股定理等，解题关键是合理添加辅助线：连接斜边中线 ，作垂线段 ，构造全等三角形及等腰
直角三角形，得到所求线段间的关系
【变式3】（23-24八年级上·湖南长沙·期末）如图1， 和 都是等腰直角三角形， ，
， 的顶点 在 的斜边 上，连接 ， 交 于点 ， ，垂足为 ，
的延长线交 于点 ．
(1)填空：① ______ （填写“＞”“＜”或“ ”）；② ______ ；
(2)证明： ；
(3)①记四边形 ， ， ， ， 的面积依次为 ， ， ， ， ，若满足
， ，求 的值；
②在线段 上取一点 ，连接 ， ，如图2，当 平分 时，求 的值．【答案】(1)①＝；②90；
(2)证明详见解析；(3) ．
【分析】（1）证明 ，利用全等三角形的性质即可得出结论；
（2）连接 ，先证明 ，得出 ， ，继而证得 ，
即可由勾股定理得出结论；
（3）①先证明 ， ，得出 ；然后过 作 于点 ，证明
，得出 ，即可求解；
②过点 作 于点 ，连接 ，先证明 ，得 ，再证明
，得到 ，即可代入计算求解．
【详解】（1）解：∵ 和 都是等腰直角三角形，
∴ ，
∴
∴
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ，90．
（2）证明：连接 ，
，，
在 和 中，
，
， ， ，
是 的中垂线，
，
，
， ，
，
，
；
（3）解：① 且 ，
， ，
①，
同理， ②，
①＋②得： ，
可化为 ，
即
， ，
；
过 作 于点 ，
故 ，
，又由（2）知 ，
，
在等腰 中，由 ，
∴
∴ ，
②如图，过点 作 于点 ，连接 ，
由（2）知
平分 ， ，
又 是 的中垂线，
，
∴
又由（2）知 ，
．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形判定与性质，角平分线的性质，线段垂
直平分线的性质，直角三角形的性质．本题属三角形综合题目，熟练掌握相关性质和判定是解题的关键
方法6：利用旋转法构造直角三角形
【例题6】（22-23八年级下·广东河源·期中）如图，在 中， ， ， 为 的中
点，将 绕点 按顺时针方向旋转得到 ，使点 落在边 上，点 落在 的延长线上，连接
， ， ，若 ，则下列结论错误的是（ ）A． B．
C． 是等边三角形 D． 垂直平分
【答案】A
【分析】设 交于点G，根据旋转的性质可得 ，再由等腰三角形的性
质可得 ， ， ， ，可证得
是等边三角形， 从而得到 ，再由 ，求出 ，
，进而得到 ，然后证明 ， ，即可求解．
【详解】解：如图，设 交于点G，
根据题意得： ，
∵O为 的中点，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形， 故C正确；
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故B正确；
∴ ，故A错误；∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 垂直平分 ，故D正确；
综上所述，错误的是A．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握直
角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键
【变式1】（23-24八年级下·河南郑州·期中）如图，已知正方形 的边长为2，点E是边 的中点，
连接 ，将线段 绕点E旋转得到线段 ，连接 ，当 时， 的长为 ．
【答案】 或
【分析】本题分两种情况：①点F在 左侧，②点F在 右侧，讨论即可．
【详解】∵正方形 的边长为2，点E是边BC的中点，
∴ ．
在 中，由勾股定理，得 ．
在 中，由勾股定理，得 ．
由旋转的性质，可知 ，
∴ ．
由题意，可知需分以下两种情况讨论．
①当点F在 右侧时，
过点F作 交 的延长线于点G，如图所示，
，
．
∴ ．
∵ ， ，∴ ．
∴ ， ．
∴ ．
∴在 中，由勾股定理，得 ．
②当点F在 左侧时，
过点F作 交 的延长线于点H，如图所示．
同①，可知 ．
∴ ， ．
∴ ．
∴在 中，由勾股定理，得 ．
综上所述，当 时， 的长为 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识．明确题意，
添加合适辅助线，找出所求问题需要的条件是解题的关键
【变式2】（22-23八年级下·全国·假期作业）如图，P是等边三角形ABC内一点，且 ， ，
．若将△APB绕点B按逆时针方向旋转后得到△CQB，求∠APB的度数．
【答案】
【详解】解：如图，连接PQ．由题意可知， ， ， ，
， ．∵△ABC是等边三角形， ，
，
∴△BPQ是等边三角形，
， ．
又 ， ， ，
∴△PQC是直角三角形，且
，
【变式3】（22-23八年级下·广东佛山·期末）已知，在 中， ，点 为 边上一点，连接
，将线段 绕点 按顺时针方向旋转 得到 ，连接 ．
(1)如图 ，当 时，
①求证： ；
②当 的周长取最小值为 时，求 的周长；
(2)如图 ，当 ， 时，若 ，求 的值．
【答案】(1)①详见解析；②
(2)
【分析】（1）①根据等腰三角形的性质得： 根据旋转的性质得 ， ，利
用"SAS"证明 得到： ， ，根据勾股定理即可求解；
②由 知 为等腰直角三角形，进而得到： ，易知当 有最小值时，
的周长最小，即当 时， 的周长最小，求出AB、BC、AC的长度，即可求解；
（2）根据旋转的性质得： ， ，根据 证明 得
，从而 ，过点 作 于点 ，设 ，根据30度角的性质和勾股定理分别求出 ， ，进一步表示出 ， ，进而可求
出 的值．
【详解】（1）解：①连接 ．
， ，
，
，
将线段 绕点 按顺时针方向旋转 得到 ，
， ，
∵ ，
，
，
， ，
，
，
；
解：由 知 为等腰直角三角形，
，
的周长为 ，
有最小值时， 的周长最小，
，
，
当 时， 的周长最小，， ，
，
，
的周长为 ；
（2）解： 将线段 绕点 按顺时针方向旋转 得到 ，
， ，
，
，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
过点 作 于点 ，
， ．
设 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，，
，
．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，含30度
角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键
